Statystyka Astronomiczna – zadania 1/9 KOMBINATORYKA 1

Statystyka Astronomiczna – zadania 1/9
KOMBINATORYKA
1. Alfabet Morse’a składa się z dwóch znaków: · i —. Na ile sposobów można zakodować wyraz,
który ma przynajmniej jeden element, ale nie więcej niż 10 elementów?
2. Ile różnych prostych można przeprowadzić przez 7 różnych punktów? Zakładamy, że jedna prosta
przechodzi przez dokładnie dwa punkty oraz że żadne trzy punkty nie leżą na jednej prostej.
3. Dane jest 10 punktów, z których cztery leżą na jednej prostej. Żaden z pozostałych punktów
nie leży na prostej stworzonej z czterech punktów, o których była wcześniej mowa. Prowadzimy
linie proste, które przechodzą przez przynajmniej 2 punkty spośród tych dziesięciu. Ile prostych
można poprowadzić przez wszystkie te punkty?
4. Wypełniasz test składający się z 10 pytań. Możesz zakreślić jedną z trzech odpowiedzi. Na ile
sposobów możesz rozwiązać cały test?
5. Wypełniasz test wielokrotnego wyboru składający się z 10 pytań. Możesz zakreślić jedną, dwie
albo trzy z trzech odpowiedzi. Na ile sposobów możesz rozwiązać cały test?
6. Grając w „Duży Lotek” wybierasz 6 liczb z 49. Ile jest możliwych wyników w tej grze?
7. Ile jest liczb siedmiocyfrowych, w których cyfry się nie powtarzają i pierwsze trzy cyfry są
nieparzyste a pozostałe są parzyste?
ELEMENTY TEORII ZBIORÓW
8. Rzucamy 2 kośćmi. Zdarzenie A polega na tym, że suma wyników jest równa 4, a B – na tym,
że przynajmniej na jednej kości wypadła liczba parzysta. Opisać zdarzenie A ∩ B.
9. Niech A, B i C będą trzema dowolnymi zdarzeniami. Napisać za pomocą działań na zbiorach
następujące zdarzenia:
a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C,
b) zachodzą dokładnie dwa zdarzenia spośród A, B, C,
c) zachodzą co najmniej dwa zdarzenia spośród A, B, C,
d) zachodzą nie więcej niż dwa zdarzenia spośród A, B, C.
10. Rzucamy 3 razy monetą. Zdarzenie Ai polega na tym, że otrzymamy orła przy i-tym rzucie.
Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Za pomocą działań na zdarzeniach Ai zapisać następujące
zdarzenia:
a) w drugim rzucie otrzymano orła,
b) otrzymano co najmniej jednego orła,
c) otrzymano dokładnie jednego orła,
d) liczba orłów była większa od liczby reszek.
11. Wykazać, że jeżeli P (A) = 0,7 i P (B) = 0,8, to P (A ∩ B) > 0,5.
12. Dla prawdopodobieństw P (A) = 41 , P (B) = 13 , P (A ∪ B) = 12 , oblicz P (AC ), P (B C ), P (A ∩ B),
P (A \ B).
13. Oblicz P (A) wiedząc, że P (AC ) = 2P (A).
1
Statystyka Astronomiczna – zadania 1/9
PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE
14. Rzucono trzema kośćmi. Wyznaczyć prawdopodobieństwo A, że suma i iloczyn oczek są sobie
równe.
15. Z 52 kart wylosowano 6. Jaka jest szansa, że wśród wylosowanych kart będą:
a) 3 karty czerwone i 3 karty czarne,
b) wszystkie karty czerwone,
c) karty czerwone i czarne?
16. Z urny, zawierającej 16 czarnych kul i 2 białe, losujemy m kul bez zwracania. Obliczyć najmniejsze m, dla którego prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej białej kuli jest większe
lub równe 21 .
17. W jury złożonym z trzech członków, dwóch niezależnie od siebie akceptuje prawidłowe rozwiązanie (jakiegoś problemu) z prawdopodobieństwem p, a trzeci dla zaakceptowania prawidłowego
rozwiązania rzuca monetą. Ostateczne rozwiązanie przyjęte zostaje większością głosów. Jury
jednoosobowe akceptuje prawidłowe rozwiązanie z prawdopodobieństwem p. Które jury przyjmuje prawidłowe rozwiązanie z większym prawdopodobieństwem?
18. Student losuje na egzaminie 5 zadań z 30 możliwych. Zna odpowiedzi na 27 zadań.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosuje właśnie te 3 pechowe zadania?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosuje przynajmniej jedno zdanie, którego nie potrafi?
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosuje 5 zadań, na które zna odpowiedź?
PRAWDOPODOBIEŃSTWO GEOMETRYCZNE
19. W okrąg o promieniu a wpisany jest kwadrat. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że:
a) punkt losowo wrzucony do kręgu znajdzie się wewnątrz kwadratu,
b) spośród 5 punktów wrzuconych do okręgu jeden znajdzie się wewnątrz kwadratu oraz każdy
z pozostałych punktów w osobnym wycinku koła.
20. Sygnalizator odbiera sygnały z dwóch urządzeń, przy czym wpłynięcie każdego z sygnałów jest
jednakowo możliwe w dowolnej chwili czasu T. Sygnalizator pracuje normalnie, jeśli różnica czasu
między chwilami wpłynięcia sygnałów jest mniejsza od t (t < T ). Znaleźć prawdopodobieństwo
tego, że sygnalizator pracuje normalnie w czasie T, jeśli każde z urządzeń wysłało po jednym
sygnale.
21. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x2 + px + q = 0, p,q ∈ [0,1], są
rzeczywiste.
22. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwiastki równania ax2 +bx+1 = 0 są rzeczywiste
dla dwóch losowo wybranych liczb a i b z przedziału [−1,1].
23. Z przedziału [−2,2] wybrano losowo dwie liczby x i y. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) xy ≤ 1,
b) x2 − 1 ≤ y.
24. Na odcinku AB o długości l wybrano dwa przypadkowe punkty L i M . Przyjmując, że wszystkie
położenia L i M są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że punkt L jest
bliżej punktu M niż punktu A.
2
Statystyka Astronomiczna – zadania 1/9
25. Płaszczyznę podzielono prostymi równoległymi, między którymi odległość równa jest 2a. Na
płaszczyznę losowo rzucono igłę o długości 2l (l < a). Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że igła
przetnie którąkolwiek prostą. (Igła Buffona)
26. Dany jest okrąg o promieniu 1 cm. Losowo kreślimy jego cięciwę. Jakie są szanse, że cięciwa
będzie dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg? (Paradoks Bertranda)
3