Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Zadanie 1. Wyznacz obszary w których zachowuje się typ równania:
a) x
 2u  2u

0
x 2 y 2
b) x
2
 2u
2  u

y
0
x 2
y 2
c) y
2
 2u
2  u

x
0
x 2
y 2
d ) (x 2  y 2)
 2u
 2u  2u
u

2
 2 2
0
2
xy y
x
x
Odpowiedzi
a)
typ eliptyczny – półpłaszczyzna x  0
typ hiperboliczny - półpłaszczyzna x  0
typ paraboliczny: ( x  0 )
b)
typ eliptyczny: ( x  0  y  0 )
typ hiperboliczny: ( x  0  y  0 )
typ paraboliczny: ( x  0 oraz y  0 )
c)
typ eliptyczny: [ ( x  0  y  0)  ( x  0  y  0) ]
typ hiperboliczny: [ ( x  0  y  0)  ( x  0  y  0) ]
typ paraboliczny: ( x  0  y  0 )
d)
typ hiperboliczny: ( x 2  y 2  1 )
typ paraboliczny: ( x 2  y 2  1 )
typ eliptyczny: ( x 2  y 2  1 )
Zadanie 2. Wyznacz charakterystyki równania:
a)
 2u
 2u
2u

6

5
0
xy
x 2
y 2
b)
 2u
 2u
2u

6

10
0
xy
x 2
y 2
c)
 2u
 2u
 2u
4
4 2 0
2
xy
x
y
d) x 2
2
 2u
2  u

y
0
x 2
y 2
Odpowiedzi
a ) y - 5x  C1 ; y - x  C 2
b) y - (-3 - 4i)x  C1 ; - y(3  4i)x  C 2
c ) y  -2x  C1
y
 C1 ; xy  C 2
x
d)
Zadanie 3. Sprowadź do postaci kanonicznej równania:
a)
 2u
 2u
 2u

6

5
0
xy
x 2
y 2
b)
 2u
 2u
 2u

4

8
0
xy
x 2
y 2
c)
 2u
 2u
 2u

6

9
u  0
xy
x 2
y 2
d)
 2u
 2 u  2 u u

2


0
xy y 2 y
x 2
e)
 2u
 2u
 2u
u
u
2
3 2  2 6
0
2
x
xy
y
x
y
f)
 2u
 2u
 2 u u
u
4
5 2 
2
0
2
xy
x
y
x
y
Odpowiedzi
 2u  2u

 2  2
a)   y - 6x,   -4x;
b)   2y  4x,   4x
 2u  2 u

0
 2  2
c )   y - 3x,   x;
 2u
u  0
 2
d )   y - x,   x;
 2 u u

0
u 2 
e)   x  y,   3x - y;
f )   2x - y,   x;
 2 u 1 u

0
 2 
 2 u  2 u u


0
 2  2 
Zadanie 4 Sprowadź do postaci kanonicznej równania:
a) tg 2 x
b) y
2u
2u
 2u
u
 2ytgx
 y 2 2  tg 3 x
0
2
xy
x
x
y
 2u  2u

0
x 2 y 2
c) x 2
 2u
 2u
2u
u
u
 2xy
 3y 2 2  2 x
 4y
 16 x 4u  0
2
x
xy
y
x
y
d)
2u
 2u
 2u
2

2
cos
x

(
3

sin
x)
0
x 2
xy
y 2
e)
 2u
2u
 2u
2
5 2 0
2
x
xy
y
Odpowiedzi :
a)   ysinx,   y;
3
b)   x,

2 2
y ;
3
c)   xy,

x3
;
y
d) 12
e)
 2 u 2 u


0
 2  2 
 2 u  2 u 1 u



0
 2  2 3 
2u
1 u 1 u

 
u 0
 4   
2u
   u u
 sin
( 
)0

4  
 2u  2u

0
 2  2
Zadanie 5 Wyznacz ogólne rozwiązanie następujących równań:
a)
 2u
u
 2y
0
xy
x
b)
 2u  2 u

0
x 2 xy
c)
 2u
 4 x3  0
xy
d)
 2u
 2u
 2u
u
 2 sin x
 cos 2 x 2  cos x
0
2
x
xy
y
y
e) x 2
 2u
 2u
u
 y2 2  2y
0
2
x
y
y
f)
 2 u u

0
xy y
g)
 2u  2u

0
x 2 x  y
h)
 2 u u

y0
 x 2 x
Odpowiedzi:
y
2
a) u(x, y)  A(x)e y    (t)e y
2
t2
dt
0
b) u(x, y)  A(y)  B(x  y)
c) u(x, y)   x 4 y  f(x)  g(y)
d) u(x, y)   (x  y  cosx)  ψ(x  y  cosx)
e) u(x, y) 
x
y
 (x, y)  ψ( )
y
x
x
F(x)    (t )e t  x dt
f) u(x, y)  A(y)e -x  F(x)
0
g) u(x, y)  F(y)  G(x - y)
h) u(x, y)  A(y)e x  ( x  1) y   ( y )
Zadanie 6 Wyznacz rozwiązanie równania spełniające dane warunki:
a)
 2u
 2 x sin y  0
xy
b)
 2u  2u

0
xy y 2
c)
 2 u u

0
xy y
d)
 2u
1
xy
e)
 2u
u
 3x 2
0
xy
y
u(x,0)  x 2 u(0, y)  siny
u(x,0)  x 5 u(0, y)  y 3
u(x,0)  x 3 u(0, y)  y 7
u(x,0)  x 5 u(0, y)  y 2
u(x,0)  5x 4  x 2 u(0, y)  3y 3
Odpowiedzi :
a) u(x, y)  x 2 (2  cos y )  sin y
b) u(x, y)  x 5  x 3  ( y  x )3
c) u(x, y)  e x y 7  x 3
d ) u(x, y)  x 5  xy  y 2
e) u(x, y)  5x 4  x 2  3 y 3e x
3
Zadanie 7 Znajdź rozwiązanie równania spełniające podane warunki:
a)
 2u
 2u
 2u
2
3 2  0
2
x
xy
y
u(x,0)  3x 2
b)
 2u
 2u
 2u

2

3
0
xy
x 2
y 2
u(x, x)  0
c)
 2 u  2u
 2u


2
0
x 2 xy
y 2
u(0, y)  y 5 - 5y
d)
 2u
 2u
 2u
2
3 2  0
2
xy
x
y
u(x,-x)  0
Odpowiedzi:
u(x,0)
0
y
u(x, x)
 3x 2
y
u
(0, y )  2 y  10
x
u
 x, x   4 x 3
y
a) u(x, y)  3x 2  y 2
1
3
3
b) u(x, y)  y  x    y  3x 
8
c) u(x, y)  x 2  2 xy  y 2  10 x  5 y

d ) u(x, y) 

1
y  3x 4  ( y  x) 4
16

