1001 książka

POLECAMY
„Matematyka – nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z
przykładami cz.I”. To książka dla wszystkich maturzystów,
zdających nową maturę z matematyki na poziomie podstawowym i
rozszerzonym.
Jasne i zwięzłe przedstawienie materiału, który jest obrazowany
licznymi przykładami sprawi, że nawet najbardziej skomplikowane
zadnie stanie się banalnie proste.
Książka obejmuje wszystkie zagadnienia obowiązujące na
egzaminie maturalnym z matematyki, zarówno na poziomie
podstawowym jak i rozszerzonym, tj.
podstawowe działania (procenty, średnie, wykresy i diagramy),
funkcja liniowa i kwadratowa, wielomiany, równania i nierówności
algebraiczne, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje
trygonometryczne, funkcje cyklometryczne, elementy logiki
indukcja matematyczna, dwumian Newtona, ciągi liczbowe,
funkcja i rachunek różniczkowy, planimetria, stereometria,
geometria
analityczna,
przekształcenia
geometryczne
na
płaszczyźnie, kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa i
zmienna losowa oraz elementy statystyki.
Nieocenioną pomocą dla sprawdzenia swojej wiedzy jest II część
„Matematyka – nowa matura – 1001 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami”. Książka zawiera 1001 zadań z pełnymi
rozwiązaniami i komentarzami. Jest to jedyna taka publikacja na rynku, zawierająca tak ogromną bazę zadań. Zadania zostały ułożone
działami matematyki i obejmują poziom podstawowy i rozszerzony. Obydwie książki stanowią integralną całość ale zakupić je można
osobno.
Autorzy obu pozycji z matematyki są przekonani, że dzięki tym obu książkom maturzysta nabędzie umiejętności rozumienia i
rozwiązywania zadań z tej, całkiem przyjemnej, dziedziny, jaką jest matematyka. A co najważniejsze skutecznie przygotuje się do
egzaminu maturalnego.
Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA
Wydanie: drugie wrzesień 2005
Format: A5
Ilość stron: 246
Cena detaliczna: 35,- PLN
ISBN: 83-918391-3-3
„Matematyka – nowa matura - 1001 zadań z pełnymi
rozwiązaniami i komentarzami cz.II” . Książka zawiera 1001 zadań
z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Jest to jedyna taka
publikacja na rynku, zawierająca tak ogromną bazę zadań
przeznaczoną do przygotowania się do nowej matury z matematyki.
Zadania zostały ułożone działami matematyki i obejmują poziom
podstawowy i rozszerzony. Doskonałym uzupełnieniem drugiej części
książki jest „Matematyka – nowa matura -
zagadnienia
teoretyczne wraz z przykładami cz.1” gdzie zawarta jest teoria
niezbędna do rozwiązywania zadań.
Obydwie książki stanowią
integralną całość ale zakupić je można osobno.
Autorzy obu pozycji z matematyki są przekonani, że dzięki tym obu
książkom maturzysta nabędzie umiejętności rozumienia i
rozwiązywania zadań z tej, całkiem przyjemnej, dziedziny, jaką jest
matematyka. A co najważniejsze skutecznie przygotuje się do
egzaminu maturalnego.
Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA
Wydanie: drugie wrzesień 2005
Format: A5
Wydanie: drugie wrzesień 2005
Ilość stron: 601
Cena detaliczna: 49,90 PLN
ISBN: 83-918391-4-1
Książki można zamówić na naszej
stronie internetowej w korzystnych
cenach!
Matematyka
163 oryginalnych zadań maturalnych
z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami.
Książka zawiera 163 oryginalnych zadań maturalnych z
matematyki z lat 2004 – 2006 z pełnymi rozwiązaniami krok
po kroku. Publikowane zadania, stanowiące niezastąpioną
bazę zadań, pochodzą ze wszystkich przeprowadzonych dotychczasowo egzaminów maturalnych tj.:
-
próbne egzaminy maturalne, przeprowadzone przez Okręgowe Komisje Egzaminacyjne w Jaworznie, Warszawie,
Poznaniu, Krakowie i Wrocławiu (2004),
próbny egzamin maturalny (grudzień 2005),
egzamin maturalny (styczeń 2006),
egzamin maturalny (maj 2005),
egzamin maturalny (maj 2006).
Dla ułatwienia korzystania z publikacji, zadania zostały ułożone według głównych działów matematyki, z wyraźnym
odznaczeniem zadań na poziom podstawowy i rozszerzony:
- podstawowe działania na liczbach rzeczywistych,
- funkcje jednej zmiennej,
- analiza matematyczna: ciągi liczbowe, rachunek różniczkowy, metody optymalizacji,
- geometria,
- rachunek prawdopodobieństwa ze statystyką; procent
składany.
Niniejsza publikacja stanowi doskonały materiał do treningu
dla uczniów szkół średnich, zdających matematykę na egzaminie maturalnym i pozwoli zorientować się, czego można się
spodziewać na egzaminie maturalnym z matematyki.
Do książki dołączono, w postaci książeczki, zestaw
wybranych wzorów matematycznych opracowany i dopuszczony przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Stanowi on
dokładne odzwierciedlenie oryginalnego zestawu, z którego
maturzysta korzysta na egzaminie maturalnym z matematyki.
W każdej książce znajduje się zestaw wybranych
wzorów matematycznych!
Autor: Artur Nowoświat
Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA
Wydanie: pierwsze sierpień 2006
Format: B5
Ilość stron: 134
Cena detaliczna: 19,90 PLN
ISBN: 83 – 60206 – 03 – 1
Informacje i zamówienia:
PRÓBNA MATURA 2006
Matematyka Arkusz I – PEŁNE rozwiązania zadań. 17 listopada 2006
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy 120 minut
ZADANIE 1. (3 pkt)
Wzrost kursu euro w stosunku do złotego spowodował podwyżkę ceny wycieczki zagranicznej o
5%. Ponieważ nowa cena nie była zachęcająca, postanowiono obniżyć ją o 8%, ustalając cenę
promocyjną równą 1449 zł. Oblicz pierwotną cenę wycieczki dla jednego uczestnika.
ZADANIE 2. (4 pkt)
Dany jest kwadrat o boku długości a. W prostokącie ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy niż bok
kwadratu, a bok AD jest o 2 cm krótszy od boku kwadratu. Pole tego prostokąta jest
o 12 cm2 większe od pola kwadratu. Oblicz długość boku kwadratu.
ZADANIE 3. (5 pkt)
Z prostokąta o szerokości 60 cm wycina się detale w kształcie półkola o promieniu 60 cm. Sposób
wycinania detali ilustruje poniższy rysunek.
Oblicz najmniejszą długość prostokąta potrzebnego do wycięcia dwóch takich detali. Wynik
zaokrąglij do pełnego centymetra.
ZADANIE 4. (3 pkt)
Wielomian W ( x ) = -2 x 4 + 5 x 3 + 9 x 2 - 15 x - 9 jest podzielny przez dwumian ( 2 x + 1) . Wyznacz
pierwiastki tego wielomianu.
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz I
strona 1
ZADANIE 5. (5 pkt)
Dane są proste o równaniach 2 x - y - 3 = 0 , 2 x - 3 y - 7 = 0 .
a) Zaznacz w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie kąt opisany układem
ì 2x - y - 3 £ 0
nierówności í
î2 x - 3 y - 7 £ 0
b) Oblicz odległość punktu przecięcia się tych prostych od punktu S = ( 3, - 8 ) .
ZADANIE 6. (5 pkt)
W urnie znajdują się kule z kolejnymi liczbami 10, 11, 12, 13, ..., 50, przy czym kul z liczbą 10
jest 10, kul z liczbą 11 jest 11 itd., a kul z liczbą 50 jest 50. Z urny tej losujemy jedną kulę. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę z liczbą parzystą.
ZADANIE 7. (6 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 8 cm i tworzy z
przekątną ściany bocznej, z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest równy
2
.
3
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz I
strona 2
ZADANIE 8. (5 pkt)
Dany jest wykres funkcji y = f ( x ) określonej dla x Î - 6, 6
Korzystając z wykresu funkcji zapisz:
a) maksymalne przedziały, w których funkcja jest rosnąca,
b) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
c) największą wartość funkcji f w przedziale x Î - 5, 5 ,
d) miejsca zerowe funkcji g ( x ) = f ( x - 1) ,
e) najmniejszą wartość funkcji h ( x ) = f ( x ) + 2 .
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz I
strona 3
ZADANIE 9. (4 pkt)
Nauczyciele informatyki, chcąc wyłonić reprezentację szkoły na wojewódzki konkurs
informatyczny, przeprowadzili w klasach IA i IB test z zakresu poznanych wiadomości. Każdy z
nich przygotował zestawienie wyników swoich uczniów w innej formie. Na podstawie analizy
przedstawionych poniżej wyników obu klas:
a) oblicz średni wynik z testu każdej klasy,
b) oblicz, ile procent uczniów klasy IB uzyskało wynik wyższy niż średni w swojej klasie,
c) podaj medianę wyników uzyskanych w klasie IA.
ZADANIE 10. (6 pkt)
Dane są zbiory:
A = { x Î ¡ : 5 - x ³ 3} ,
B = { x Î ¡ : x 2 - 9 ³ 0} ,
x +1 ü
ì
C = í xΡ:
£ 1ý
x -1 þ
î
a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory A, B i C.
b) Wyznacz i zapisz za pomocą przedziału liczbowego zbiór C \ ( A Ç B ) .
ZADANIE 11. (4 pkt)
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej x z przedziału - 4, - 2 połowę
kwadratu tej liczby pomniejszoną o 8.
a) Podaj wzór tej funkcji.
b) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f w podanym przedziale.
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz I
strona 4
ROZWIĄZANIA ZADAŃ
ROZWIĄZANIE ZADANIA 1.
x – cena początkowa.
Wykorzystując wzór na procent składany, mamy:
5 öæ
8 ö
æ
x ç1 +
÷ç 1 ÷ = 1449 ,
è 100 øè 100 ø
x×
105 92
×
= 1449 ,
100 100
x=
1449 × 100 × 100
,
105 × 92
x = 1500 zł.
ROZWIĄZANIE ZADANIA 2.
SW = a 2 ,
a-2
S X = 2a ( a - 2 ) .
Rozwiązujemy równanie:
2a ( a - 2 ) - a 2 = 12 ,
2a
a 2 - 4a - 12 = 0 ,
D = 16 + 48 = 64 ,
a1 =
4-8
< 0 - sprzeczność
2
a2 =
4+8
= 6.
2
Odp. Bok kwadratu ma 6 cm.
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz I
strona 5
ROZWIĄZANIE ZADANIA 3.
Przedstawmy pełny rysunek:
Szukana szerokość prostokąta ma
długość 120 + P1P2 + 60 .
O2
Stosując twierdzenie Pitagorasa dla
trójkąta O1P1P2 mamy:
2
2
O1 P2 + P2O2 = O1O2
2
gdzie O1 P2 = 60 + P1P2 .
P1
O1
Przyjmując P1P2 = x mamy:
P2
( 60 + x )2 + 602
= 120 2 ,
3600 + 120 x + x 2 + 3600 = 14400
x 2 + 120 x - 7200 = 0 .
Stąd
D = 120 2 + 4 × 7200 = 120 (120 + 4 × 60 ) = 120 × 60 ( 2 + 4 ) = 4 × 30 × 2 × 30 × 6 =
= 4 × 900 × 4 × 3 = 16 × 900 × 3
Zatem
D = 16 × 900 × 3 = 4 × 30 3 = 120 3 .
Stąd
x=
-120 - 120 3
< 0 - sprzeczność
2
lub
x=
-120 + 120 3
= 60
2
(
szerokość = 120 + 60 + 60
)
3 -1 .
(
)
(
)
(
)
3 - 1 = 60 2 + 1 + 3 - 1 = 60 2 + 3 » 224 cm
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz I
strona 6
ROZWIĄZANIE ZADANIA 4
Wykonujemy dzielenie
( -2 x
+ 5 x 3 + 9 x 2 - 15 x - 9 ) : ( 2 x + 1) = - x3 + 3x 2 + 3 x - 9
2 x 4 + x3
6 x3 + 9 x 2
- 6 x3 - 3x2
6 x 2 - 15 x
-6 x 2 - 3 x
- 18 x - 9
18 x + 9
= =
4
Rozwiązujemy równania:
- x 3 + 3 x 2 + 3x - 9 = 0
- x 2 ( x - 3) + 3 ( x - 3) = 0
( x - 3) ( - x 2 + 3) = 0
(
)(
W ( x ) = ( 2 x + 1)( x - 3 ) ( - x 2 + 3) = - ( 2 x + 1)( x - 3) x - 3 x + 3
)
Stąd
x=-
1
2
Ú
x=3 Ú
x=- 3 Ú
x = 3.
ROZWIĄZANIE ZADANIA 5
ì y ³ 2x - 3
ï
í
2x - 7
ïî y ³ 3
Rozwiązujemy układ równań:
y
1
ì 2x - y - 3 = 0
í
î2 x - 3 y - 7 = 0
2
1
-1
5
x
Odejmując równania stronami mamy
2 y + 4 = 0 , y = -2 ,
zatem x =
-3
1
.
2
Wyznaczamy odległość d:
2
2
æ1
ö
d = ç - 3 ÷ + ( -2 + 8 ) =
è2
ø
25
+ 36 =
4
25 + 144
169 13
=
= .
4
4
2
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz I
strona 7
ROZWIĄZANIE ZADANIA 6
W = 10 + 11 + 12 + K + 50 =
A = 10 + 12 + K + 50 =
P ( A) =
10 + 50
× 41 = 30 × 41 = 1230 ,
2
10 + 50
× 21 = 30 × 21 = 630
2
630 21
=
1230 41
ROZWIĄZANIE ZADANIA 7
V = a2 × b ,
SC = 2a 2 + 4ab
Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat, więc 8 = a 2 ,
stąd a = 4 2 .
b
x
x
Wykorzystując funkcje trygonometryczne mamy:
cos a =
a
a
2 4
= zatem x = 6
3 x
stąd
Zauważmy, że x jest przekątną ściany bocznej (prostokąta)
zatem
a
a
4
x
(4 2 )
2
+ b2 = 6 ,
32 + b 2 = 36 ,
b = 2.
Ostatecznie
(
V = 4 2
(
)
2
× 2 = 64 ,
SC = 2 × 4 2
)
2
(
+ 4 × 4 2 × 2 = 64 + 32 2 = 32 2 + 2
)
ROZWIĄZANIE ZADANIA 8
a) Funkcja jest rosnąca w przedziale - 3, 0 ,
3, 6
b) Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla:
x Î - 5, 6 ) È ( - 1, 1 ) È ( 5, 6 .
c) ymax ( 0 ) = 1 w przedziale - 5, 5
d) Wykres funkcji f ( x - 1) jest przesunięciem wykresu funkcji f ( x ) o jedną jednostkę w prawo,
zatem miejscami zerowymi funkcji g są:
x1 = -4, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 6
e) Wykres funkcji h jest przesunięciem wykresu funkcji f o dwie jednostki w górę, zatem:
ymin ( -3) = ymin ( 3) = -2
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz I
strona 8
ROZWIĄZANIE ZADANIA 9
a) Średni wynik dla klasy IA wynosi:
1 × 0 + 2 × 1 + 4 × 2 + 2 × 3 + 2 × 4 + 4 × 5 + 2 × 6 + 2 × 7 + 4 × 8 + 4 × 9 + 3 × 10
= 5, 6
30
x1 =
Średni wynik dla klasy IB wynosi:
x2 =
1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 2 + 2 × 3 + 1 × 4 + 2 × 5 + 4 × 6 + 4 × 7 + 1 × 8 + 2 × 9 + 5 × 10
= 6, 08
25
b) 12 uczniów z 25 otrzymało więcej punktów od średniej, czyli jest to:
12
× 100% = 48% .
25
c) Uporządkujmy próbkę rosnąco:
0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5
Zan
2
, 6
Za n
2
+1
, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10
zatem
me =
ö 1
1æ
ç a n + a n +1 ÷ = ( 5 + 6 ) = 5,5
2è 2
2
2 ø
ROZWIĄZANIE ZADANIA 10
a) Rozwiązujemy nierówność:
5 - x ³ 3 Û 5 - x ³ 3 Ú 5 - x £ -3 Û x £ 2 Ú
A
A
8
2
x³8
x
Rozwiązaniem nierówności x 2 - 9 ³ 0 jest poniższy zbiór:
B
-3
B
3
x
Rozwiązujemy nierówność:
x +1
x +1 x -1
2
£1Û
£1Û
£ 0 Û x <1
x -1
x -1 x -1
x -1
C
x
1
Część wspólną zbiorów A i B zaznaczono poniżej
AÇB
AÇB
-3
8
x
Zatem końcowy wynik można przedstawić jak na poniższym rysunku.
C \ ( A Ç B)
-3
1
x
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz I
Odp. C \ ( A Ç B ) = ( - 3, 1 )
strona 9
ROZWIĄZANIE ZADANIA 11
a) f ( x ) =
1 2
x -8
2
b) Najmniejszą wartością paraboli o współczynniku a > 0 jest wierzchołek paraboli. Mamy:
xw = 0 Ï - 4, 2 .
Zatem sprawdzamy wartości funkcji na krańcach przedziału:
f ( -4 ) = 8 - 8 = 0 ,
f ( -2 ) = 2 - 8 = -6
Odp. f min ( -2 ) = -6
© Centrum Kształcenia Akademickiego „C.K.A.”, Gliwice 2006.
Pełne rozwiązania zadań opracował zespół Centrum Kształcenia Akademickiego CKA. Nie są to oficjalne rozwiązania prezentowane przez Centralną Komisję
Egzaminacyjną. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentów rozwiązań zadań w jakiejkolwiek postaci jest zabronione bez zgody CKA.
Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną a także kopiowanie na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich
niniejszej publikacji.
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz I
strona 10