Matematyka A II

POLECAMY
„Matematyka – nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z
przykładami cz.I”. To książka dla wszystkich maturzystów,
zdających nową maturę z matematyki na poziomie podstawowym i
rozszerzonym.
Jasne i zwięzłe przedstawienie materiału, który jest obrazowany
licznymi przykładami sprawi, że nawet najbardziej skomplikowane
zadnie stanie się banalnie proste.
Książka obejmuje wszystkie zagadnienia obowiązujące na
egzaminie maturalnym z matematyki, zarówno na poziomie
podstawowym jak i rozszerzonym, tj.
podstawowe działania (procenty, średnie, wykresy i diagramy),
funkcja liniowa i kwadratowa, wielomiany, równania i nierówności
algebraiczne, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje
trygonometryczne, funkcje cyklometryczne, elementy logiki
indukcja matematyczna, dwumian Newtona, ciągi liczbowe,
funkcja i rachunek różniczkowy, planimetria, stereometria,
geometria
analityczna,
przekształcenia
geometryczne
na
płaszczyźnie, kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa i
zmienna losowa oraz elementy statystyki.
Nieocenioną pomocą dla sprawdzenia swojej wiedzy jest II część
„Matematyka – nowa matura – 1001 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami”. Książka zawiera 1001 zadań z pełnymi
rozwiązaniami i komentarzami. Jest to jedyna taka publikacja na rynku, zawierająca tak ogromną bazę zadań. Zadania zostały ułożone
działami matematyki i obejmują poziom podstawowy i rozszerzony. Obydwie książki stanowią integralną całość ale zakupić je można
osobno.
Autorzy obu pozycji z matematyki są przekonani, że dzięki tym obu książkom maturzysta nabędzie umiejętności rozumienia i
rozwiązywania zadań z tej, całkiem przyjemnej, dziedziny, jaką jest matematyka. A co najważniejsze skutecznie przygotuje się do
egzaminu maturalnego.
Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA
Wydanie: drugie wrzesień 2005
Format: A5
Ilość stron: 246
Cena detaliczna: 35,- PLN
ISBN: 83-918391-3-3
„Matematyka – nowa matura - 1001 zadań z pełnymi
rozwiązaniami i komentarzami cz.II” . Książka zawiera 1001 zadań
z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Jest to jedyna taka
publikacja na rynku, zawierająca tak ogromną bazę zadań
przeznaczoną do przygotowania się do nowej matury z matematyki.
Zadania zostały ułożone działami matematyki i obejmują poziom
podstawowy i rozszerzony. Doskonałym uzupełnieniem drugiej części
książki jest „Matematyka – nowa matura -
zagadnienia
teoretyczne wraz z przykładami cz.1” gdzie zawarta jest teoria
niezbędna do rozwiązywania zadań.
Obydwie książki stanowią
integralną całość ale zakupić je można osobno.
Autorzy obu pozycji z matematyki są przekonani, że dzięki tym obu
książkom maturzysta nabędzie umiejętności rozumienia i
rozwiązywania zadań z tej, całkiem przyjemnej, dziedziny, jaką jest
matematyka. A co najważniejsze skutecznie przygotuje się do
egzaminu maturalnego.
Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA
Wydanie: drugie wrzesień 2005
Format: A5
Wydanie: drugie wrzesień 2005
Ilość stron: 601
Cena detaliczna: 49,90 PLN
ISBN: 83-918391-4-1
Książki można zamówić na naszej
stronie internetowej w korzystnych
cenach!
Matematyka
163 oryginalnych zadań maturalnych
z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami.
Książka zawiera 163 oryginalnych zadań maturalnych z
matematyki z lat 2004 – 2006 z pełnymi rozwiązaniami krok
po kroku. Publikowane zadania, stanowiące niezastąpioną
bazę zadań, pochodzą ze wszystkich przeprowadzonych dotychczasowo egzaminów maturalnych tj.:
-
próbne egzaminy maturalne, przeprowadzone przez Okręgowe Komisje Egzaminacyjne w Jaworznie, Warszawie,
Poznaniu, Krakowie i Wrocławiu (2004),
próbny egzamin maturalny (grudzień 2005),
egzamin maturalny (styczeń 2006),
egzamin maturalny (maj 2005),
egzamin maturalny (maj 2006).
Dla ułatwienia korzystania z publikacji, zadania zostały ułożone według głównych działów matematyki, z wyraźnym
odznaczeniem zadań na poziom podstawowy i rozszerzony:
- podstawowe działania na liczbach rzeczywistych,
- funkcje jednej zmiennej,
- analiza matematyczna: ciągi liczbowe, rachunek różniczkowy, metody optymalizacji,
- geometria,
- rachunek prawdopodobieństwa ze statystyką; procent
składany.
Niniejsza publikacja stanowi doskonały materiał do treningu
dla uczniów szkół średnich, zdających matematykę na egzaminie maturalnym i pozwoli zorientować się, czego można się
spodziewać na egzaminie maturalnym z matematyki.
Do książki dołączono, w postaci książeczki, zestaw
wybranych wzorów matematycznych opracowany i dopuszczony przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Stanowi on
dokładne odzwierciedlenie oryginalnego zestawu, z którego
maturzysta korzysta na egzaminie maturalnym z matematyki.
W każdej książce znajduje się zestaw wybranych
wzorów matematycznych!
Autor: Artur Nowoświat
Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA
Wydanie: pierwsze sierpień 2006
Format: B5
Ilość stron: 134
Cena detaliczna: 19,90 PLN
ISBN: 83 – 60206 – 03 – 1
Informacje i zamówienia:
PRÓBNA MATURA 2006
Matematyka Arkusz II – PEŁNE rozwiązania zadań. 17 listopada 2006
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut
ZADANIE 1. (5 pkt)
Funkcja homograficzna f jest określona wzorem f ( x ) =
px - 3
, gdzie p Î ¡ jest parametrem
x- p
i p ¹ 3.
a) Dla p = 1 zapisz wzór funkcji w postaci f ( x ) = k +
m
, gdzie k oraz m są liczbami
x -1
rzeczywistymi
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których w przedziale
( p, + ¥ )
funkcja f jest
malejąca.
ZADANIE 2. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości k Î ¡ , dla których pierwiastki wielomianu
W ( x ) = ( x 2 - 8 x + 12 ) × ( x - k ) są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego
ZADANIE 3. (4 pkt)
Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej f.
Rozwiąż równanie ( f ( x ) ) - 16 = 0 .
2
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 1
ZADANIE 4. (7 pkt)
Trójkąt prostokątny ABC, w którym SBCA = 900 i SCAB = 300 , jest opisany na okręgu o
promieniu
3 . Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tego okręgu z
przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.
ZADANIE 5. (3 pkt)
Sporządź wykres funkcji f danej wzorem f ( x ) = 2 x - x 2 , a następnie, korzystając z niego, podaj
wszystkie wartości x, dla których funkcja f przyjmuje maksima lokalne i wszystkie wartości x, dla
których przyjmuje minima lokalne.
ZADANIE 6. (4 pkt)
Podstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi Ox, wierzchołek D jest punktem przecięcia paraboli
1
o równaniu y = - x 2 + x + 6 z osią Oy. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej
3
paraboli (patrz rysunek). Oblicz pole trapezu.
ZADANIE 7. (3 pkt)
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2cos 2 x = cos x należące do przedziału 0, 2p .
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 2
ZADANIE 8. (4 pkt)
Uczeń analizował własności funkcji f, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i
która ma pochodną f ¢ ( x ) dla każdego x Î ¡ . Wyniki tej analizy zapisał w tabeli.
x
( - ¥, - 1 )
-1
( - 1, 2 )
2
( 2, 3 )
3
( 3, + ¥ )
f ¢( x)
( +)
0
( -)
0
( -)
0
( -)
f ( x)
2
-1
1
Niestety, wpisując znaki pochodnej, popełnił jeden błąd.
a) Przekreśl błędnie wpisany znak pochodnej i wstaw obok prawidłowy.
b) Napisz, czy po poprawieniu błędu w tabeli, zawarte w niej dane pozwolą określić dokładną
liczbę miejsc zerowych funkcji f. Uzasadniając swoją odpowiedź możesz naszkicować
przykładowe wykresy funkcji.
ZADANIE 9. (3 pkt)
Niech A Ì W i B Ì W będą zdarzeniami losowymi. Mając dane prawdopodobieństwa zdarzeń:
P ( A ) = 0,5 , P ( B ) = 0, 4 i P ( A B ) = 0,3 . Zbadaj, czy A i B są zdarzeniami niezależnymi.
ZADANIE 10. (5 pkt)
Ciąg liczbowy ( an ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ³ 1 wzorem
( an ) = ( n - 3) ( 2 - p 2 ) , gdzie
pΡ.
a) Wykaż, że dla każdej wartości p ciąg ( an ) jest arytmetyczny.
b) Dla p = 2 oblicz sumę a20 + a21 + K + a40 .
c) Wyznacz wszystkie wartości p, dla których ciąg ( bn ) określony wzorem bn = an - pn jest stały.
ZADANIE 11. (3 pkt)
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n > 1 największą liczbę całkowitą
spełniającą nierówność x 2 - 3nx + 2n 2 < 0 o niewiadomej x. Wyznacz wzór funkcji f.
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 3
ZADANIE 12. (4 pkt)
Dwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich
poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacienionej figury (patrz rysunek).
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 4
ROZWIĄZANIA ZADAŃ
ROZWIĄZANIE ZADANIA 1.
a) Dla p = 1 mamy:
f ( x) =
x - 3 x -1- 2
-2
=
= 1+
x -1
x -1
x -1
b) I sposób
Funkcja homograficzna postaci f ( x ) =
ax + b
jest malejąca w przedziale
cx + d
( p, + ¥ ) , gdy ramiona
hiperboli, będącej wykresem tej funkcji leżą w I i III ćwiartce. Zachodzi to wtedy, gdy spełniony
jest warunek: ad - cb < 0 .
W naszym przypadku zachodzić ma warunek:
p × ( - p ) - 1 × ( -3 ) < 0 ,
- p2 + 3 < 0 ,
p2 - 3 > 0 ,
(
Rozwiązaniem ostatniej nierówności jest zbiór: p Î - ¥, -
( p - 3 )( p + 3 ) > 0 .
3 ) È ( 3, + ¥ ) .
II sposób
Funkcja jest malejąca w przedziałach w których jej pochodna przyjmuje wartości ujemne.
Mamy zatem:
f ¢( x) =
p ( x - p ) - 1( px - 3)
( x - p )2
=
px - p 2 - px + 3
( x - p )2
=
- p2 + 3
( x - p )2
Zatem spełniony ma być warunek:
- p2 + 3 < 0 .
Warunek ten otrzymaliśmy w sposobie I i prowadzi on do rozwiązania
(
) (
Odp. p Î - ¥, - 3 È
)
3, + ¥ .
ROZWIĄZANIE ZADANIA 2
Wyznaczamy pierwiastki wielomianu:
x 2 - 8 x + 12 = 0 Ú
x -k = 0.
Rozwiązując równanie drugie otrzymujemy x = k .
Rozwiązujemy równanie pierwsze:
D = 64 - 48 = 16 ,
x1 =
8-4
= 2,
2
x1 =
8+4
= 6.
2
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 5
Pierwiastki wielomianu są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego, gdy są
ustawione w kolejności: 2, 6, k
6 k
=
2 6
2 6
=
lub
k 2
lub
lub k , 2, 6 lub 2, k , 6 i spełniony jest warunek:
k 6
= .
2 k
Mamy stąd
k = 18 lub k =
2
3
lub k = 2 3 .
ROZWIĄZANIE ZADANIA 3
Mamy rozwiązać równanie:
( f ( x))
2
f ( x ) = -4 lub
= 16 , stąd
f ( x) = 4 .
Wyznaczamy postać funkcji logarytmicznej f ( x ) = log a x . Ponieważ funkcja przedstawiona na
wykresie jest malejąca, więc 0 < a < 1 .
Ponadto do wykresu funkcji należy punkt ( 4, - 2 ) . Zatem
-2 = log a 4 , stąd na podstawie definicji logarytmu mamy:
2
a
-2
æ1ö
ç ÷ = 4,
èaø
= 4 skąd
Ostatecznie a =
1
2
lub a = -
1
= 2 lub
a
1
= -2 .
a
1
- sprzeczność.
2
Mamy więc f ( x ) = log 1 x .
2
Wracamy do rozwiązywania równania:
log 1 x = -4 lub log 1 x = 4 .
2
2
Na podstawie definicji logarytmu:
æ1ö
x=ç ÷
è2ø
-4
4
lub
Odp. x = 16 lub
æ1ö
x=ç ÷ .
è2ø
x=
1
.
16
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 6
ROZWIĄZANIE ZADANIA 4
C
R
S
O
60
A
B
P
W celu obliczenia długości CP wyznaczamy kąt COP i długość CO, a następnie wykorzystując
twierdzenie cosinusów dla trójkąta COP znajdziemy szukaną długość.
Dwusieczna CO dzieli kąt prosty ACB na pół, zatem SOCA = 450 . Ponieważ dwusieczna AS
dzieli kąt BAC na pół, więc SBAS = SABS = 300 . Suma kątów w trójkącie AOC (jak w każdym
innym trójkącie) jest równa 1800, zatem:
SAOC = 1800 - 750 = 1050 .
Pozostało do wyznaczenia długość CO. Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta COR, mamy:
2
2
2
OR + CR = CO .
Jak wcześniej wykazaliśmy trójkąt COR jest prostokątny równoramienny, więc:
CR = OR = r = 3 .
Zatem:
2
CO =
( 3) + ( 3) ,
2
2
2
CO = 6 ,
CO = 6 .
Natomiast OP = r = 3 .
Stosując twierdzenie cosinusów dla trójkąta COP mamy
2
2
2
CP = OP + OC - 2 × OP × OC × cos1650
CP = 3 + 6 - 2 × 3 × 6 × cos (1500 + 150 )
2
Wyznaczamy wartość
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 7
cos (1500 + 150 ) = cos1500 cos150 - sin1500 sin150 ,
gdzie
cos1500 = -
3
,
2
sin1500 =
1
2
sin150 = sin ( 450 - 300 ) = sin 450 cos 300 - cos 450 sin 300 =
cos150 = cos ( 450 - 300 ) = cos 450 cos 300 + sin 450 sin 300 =
2
3
2 1
×
× =
2
2
2 2
2 3
2 1
×
+
× =
2 2
2 2
6- 2
4
6+ 2
4
stąd
3 6+ 2 1 6- 2
×
- ×
=
2
4
2
4
6 - 2 -3 2 - 6 - 6 + 2
2+ 6
- 18 - 6
=
=
=8
8
8
8
cos (1500 + 150 ) = cos1500 cos150 - sin1500 sin150 = -
Zatem
CP = 3 + 6 - 2 × 3 × 6 × cos (1500 + 150 ) = 9 + 2 18 ×
2
=9+
12 + 6 12
6×2 3
= 9+3+
= 12 + 3 3
4
4
2+ 6
2+ 6
=9+6 2×
=
4
4
Ostatecznie
CP = 12 + 3 3 .
ROZWIĄZANIE ZADANIA 5
Zauważmy, że funkcja f jest parzysta. Zatem wystarczy narysować wykres funkcji w przedziale
x ³ 0 i obić go symetrycznie względem osi Oy. Mamy zatem
y
1
1
2
x
Zatem wykres funkcji f jest postaci jak na poniższym rysunku
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 8
y
minimum lokalne dla x = 0 ,
maksimum lokalne dla x = -1 oraz
1
-2
-1
x =1
1
2
x
ROZWIĄZANIE ZADANIA 6
Punkty A i B są miejscami zerowymi funkcji
y. Zatem:
1
- x2 + x + 6 = 0 ,
3
x 2 - 3x - 18 = 0 ,
Stąd D = 9 + 72 = 81 .
x1 =
3-9
3+9
= -3 , x1 =
= 6.
2
2
Stąd:
AB = 6 + 3 = 9 .
Wysokość trapezu odczytana z rysunku OD = 6 . Pozostaje wyznaczyć pierwszą współrzędną
1
æ
ö
punktu C ç xc , - xc2 + x + 6 ÷ .
3
è
ø
Zauważmy, że y ( x ) = 6 . Zatem rozwiązujemy równanie:
1
- x2 + x + 6 = 6 ,
3
æ 1
ö
x ç - x + 1÷ ,
è 3
ø
1
stąd x = 0 lub - x + 1 = 0 , czyli x = 3 .
3
Zatem pole trapezu: S =
DC + AB
3+9
× OD =
× 6 = 36 .
2
2
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 9
ROZWIĄZANIE ZADANIA 7.
Rozwiązując równanie mamy:
cos x ( 2 cos x - 1) = 0 ,
2 cos 2 x - cos x = 0 ,
stąd cos x = 0 Ú cos x =
Zatem x =
p
+ kp
2
Ú
1
.
2
x=-
p
+ 2kp
3
Uwzględniając przedział 0, 2p
Ú
x=
p
+ 2k p .
3
otrzymujemy:
ìp p 3 5 ü
Odp. x Î í , , p , p ý
î3 2 2 3 þ
ROZWIĄZANIE ZADANIA 8
Ponieważ zgodnie z tabelką w punktach ( - 1, 2 ) , ( 2, - 1 ) , ( 3, 1 ) funkcja osiąga ekstremum,
oraz funkcja w przedziale ( - ¥, - 1 ) musi być rosnąca (podane w tabeli prawidłowo), gdyż w
przeciwnym razie w wyżej wymienionych punktach nie mogłaby osiągać ekstremów (pod
warunkiem że tylko jeden znak jest błędnie wpisany w tabelce), więc przykładowe szkice
wykresów funkcji są następujące:
y
2
1
-1
x
3
2
-1
y
2
1
-1
-1
2
3
x
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 10
y
2
1
-1
2
-1
x
3
a)
x
( - ¥, - 1 )
-1
( - 1, 2 )
2
( 2, 3 )
3
( 3, + ¥ )
f ¢( x)
( +)
0
( -)
0
(-) (+ )
0
( -)
f ( x)
2
-1
1
b) Nie możemy wywnioskować na podstawie tabelki ile miejsc zerowych ma funkcja. Z
przedstawionych przykładowych wykresów widać, że może być 4, 3, 2 miejsca zerowe.
UWAGA
Skoro podana tabelka jest wynikiem analizy funkcji przeprowadzonej przez ucznia, to zauważmy, że nie ma tam nic
powiedziane o asymptotach poziomych funkcji. Zatem sugerowane jest, że asymptot brak. A skoro tak, to prawidłowym
wykresem jest tylko ten pierwszy. Wnioskujemy, że można powiedzieć o czterech miejscach zerowych. A jeżeli istnieją
granice skończone w ±¥ , to znaczy, że istnieją asymptoty poziome, wówczas miejsc zerowych może być 3 lub 2 (w
zależności od tego czy w „+” czy w „–„ nieskończoności jest granica skończona).
WNIOSEK
W tabelce rozwiązań, które są dostępne na stronie CKE jest sugestia, że nie można określić liczby miejsc zerowych,
autor zadania sugeruje, że skoro nic o tym nie mówi, to jasne że nie wiadomo czy są asymptoty. Otóż niejasne. Kolejne
zadanie którego treść jest nie przemyślana i jest niespójna z tabelką rozwiązań.
ROZWIĄZANIE ZADANIA 9.
Zdarzenia są niezależne, gdy zachodzi warunek:
P ( A Ç B ) = P ( A) × P ( B ) .
Zauważmy, że prawa strona równości P = 0,5 × 0, 4 = 0, 2 .
Prawą stronę ciężko zrozumieć, bo zapis P ( A \ B ) można rozumieć jak prawdopodobieństwo
różnicy zdarzeń i wówczas P ( A \ B ) = P ( A ) - P ( A Ç B ) wtedy
P ( A Ç B ) = P ( A ) - P ( A \ B ) = 0, 2 .
P ( A Ç B ) = P ( A ) × P ( B ) . Zdarzenia są zależne
Jednak w tablicach matematycznych w podobny sposób zapisuje się prawdopodobieństwo
warunkowe i wtedy
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 11
Wyznaczając ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe
P ( A B) =
P ( A Ç B)
prawdopodobieństwo iloczynu, mamy:
P (B)
L = P ( A Ç B ) = P ( A B ) × P ( B ) = 0,3 × 0, 4 = 0,12 .
Zatem P ( A Ç B ) ¹ P ( A) × P ( B ) - zdarzenia nie są zależne.
UWAGA
Uważamy, że zadanie może
wprowadzić w błąd i powinny być
uznane dwa rozwiązania
ROZWIĄZANIE ZADANIA 10
a) Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica an - an-1 jest stała. Mamy zatem:
an - an-1 = ( n - 3) ( 2 - p 2 ) - ( n - 1 - 3) ( 2 - p 2 ) = ( n - 3) ( 2 - p 2 ) - ( n - 4 ) ( 2 - p 2 ) =
= 2n -np 2 - 6 + 3 p 2 -2n + np 2 + 8 - 4 p 2 = 2 - p 2
Ponieważ wartość 2 - p 2 jest stała w zależności od p, zatem wnioskujemy, że dany ciąg jest
arytmetyczny.
b) Dla p = 2 mamy an = -2 ( n - 3) .
Zatem
a20 = -2 ( 20 - 3) = -34 ,
Stąd a20 + a21 + K + a40 =
a40 = -2 ( 40 - 3) = -74 .
a20 + a40
-34 - 74
× 21 =
× 21 = -1134 .
2
2
c) Ciąg jest stały gdy bn - bn-1 = 0 .
Zatem
bn - bn-1 = ( n - 3) ( 2 - p 2 ) - pn - éë( n - 4 ) ( 2 - p 2 ) - p ( n - 1)ùû =
= 2n -np 2 - 6 + 3 p 2 - pn -2n + np 2 + 8 - 4 p 2 + pn - p = - p 2 - p + 2
Rozwiązujemy zatem równanie
- p 2 - p + 2 = 0 , stąd p 2 + p - 2 = 0 .
Mamy zatem D = 1 + 8 = 9 ,
p1 =
-1 - 3
= -2 ,
2
p1 =
-1 + 3
=1
2
Odp. Dla p = -2 lub p = 1 ciąg bn jest stały.
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 12
ROZWIĄZANIE ZADANIA 11
Rozwiązujemy nierówność: x 2 - 3nx + 2n 2 < 0 .
Stąd D = 9n 2 - 8n 2 = n 2 ,
x1 =
3n - n
= n,
2
x2 =
3n + n
= 2n .
2
Stąd x Î ( n, 2n ) , gdzie n Î ¥ Ù n > 1 .
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest x = 2n - 1 .
Zatem szukana funkcja jest postaci:
f ( n ) = 2n - 1 .
ROZWIĄZANIE ZADANIA 12
Pole zacieniowanej figury S F równa się:
S F = SX - S wycinka
P
8
16
a
a
2
8
Q
gdzie SX = 2 × SV ABD .
Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa
Obliczamy długość boku AP trójkąta
prostokątnego ABP:
2
AP = 162 - 82 = 192 , zatem
AP = 8 3 .
Pole czworokąta równe jest:
SX = 2 ×
1
× 8 × 8 3 = 64 3 .
2
Pole wycinka jest równe:
S wycinka =
a 2
a
8 1
a p
R , gdzie cos =
= , stąd
= .
2
2 16 2
2 3
Zatem
S wycinka =
p 2 64
×8 = p .
3
3
Pole szukanej figury:
S F = 64 3 -
64
pö
æ
p = 64 ç 3 - ÷ .
3
3ø
è
© Centrum Kształcenia Akademickiego „C.K.A.”, Gliwice 2006.
Pełne rozwiązania zadań opracował zespół Centrum Kształcenia Akademickiego CKA. Nie są to oficjalne rozwiązania prezentowane przez Centralną Komisję
Egzaminacyjną. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentów rozwiązań zadań w jakiejkolwiek postaci jest zabronione bez zgody CKA.
Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną a także kopiowanie na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich
niniejszej publikacji.
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka – rozwiązania zadań Arkusz II
strona 13