Matematyczny - I N S T Y T U T

OPIS MODUŁU KSZTAŁCENIA (przedmiot lub grupa przedmiotów)
Nazwa modułu/ przedmiotu
Przedmioty podstawowe - matematyka
Przedmioty:
Analiza matematyczna
Algebra z geometrią
Równania różniczkowe
Nazwa jednostki prowadzącej przedmiot
Instytut Matematyki
kierunek
specjalność
Edukacja technicznoinformatyczna
wszystkie
specjalizacja
semestr/y
poziom kształcenia/forma kształcenia
forma studiów
I, II
SPS
stacjonarne
Nazwisko osoby prowadzącej (osób prowadzących)
dr hab. prof. AP Ewa Łazarow, dr Zofia Lewandowska, dr Agata Sochaczewska, dr Katarzyna Nowakowska, dr Stanisław Kowalczyk, prof. dr hab. Leonid Barannyk, dr Dariusz Klein, dr Irena Domnik
koordynator:
dr Zofia Lewandowska
Formy zajęć
Liczba godzin: IwZ(naucz)
N
S
(nauczyciel)
(student)
Liczba punktów ECTS
Analiza matematyczna
Wykład
Czytanie wskazanej literatury
Przygotowanie do egzaminu
Ćwiczenia
Przygotowanie do ćwiczeń
Przygotowanie do zaliczenia
45
105
105
45
60
60
30
30
5
30
15
15
3
20
10
10
215
2
6
Algebra z geometrią
Ćwiczenia
Przygotowanie do ćwiczeń
Przygotowanie do zaliczenia
45
Równania różniczkowe
Ćwiczenia
Przygotowanie do ćwiczeń
Przygotowanie do zaliczenia
Razem
30
225
Metody dydaktyczne
Wykład, ćwiczenia audytoryjne
Określenie przedmiotów wprowadzających wraz z wymogami wstępnymi
Matematyka na poziomie szkoły ponadgimnazjalnej
16
Cele przedmiotu
Kształtowanie umiejętności formułowania definicji, twierdzeń i wyciągania z nich wniosków. Opanowanie rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych. Umiejętność wykonania wykresu funkcji i
jego analiza. Poznanie definicji całki nieoznaczonej, oznaczonej i całki Riemanna. Poznanie technik obliczania całki funkcji jednej zmiennej. Umiejętność stosowania rachunku całkowego w zakresie całek wielokrotnych. Znajomość zastosowań rachunku różniczkowego i całkowego w fizyce, technice i ekonomii.
Poznanie podstawowych pojęć geometrii analitycznej na płaszczyźnie i w przestrzeni. Przyswojenie
umiejętności posługiwania się działaniami na wektorach, warunkami prostopadłości i równoległości wektorów, iloczynem skalarnym, wektorowym i mieszanym.
Uzupełnienie wiadomości o prostej na płaszczyźnie i w przestrzeni. Poznanie podstawowych pojęć algebry liniowej. Zapoznanie się z podstawowymi strukturami algebraicznymi: grupą, pierścieniem, ciałem i
przestrzenią liniową. Ciało liczb zespolonych, Nabycie umiejętności obliczania wyznaczników, rozwiązywania układów równań liniowych i ich interpretacja w terminach wektorów oraz w terminach odwzorowań
liniowych.
Zapoznanie z podstawami teorii równań różniczkowych. Opanowanie podstawowych metod analitycznych
i przybliżonych rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych.
Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami matematyki dyskretnej, takimi jak relacja, funkcja , rekurencja
oraz z metodami badaniami struktur nieciągłych, co najwyżej przeliczalnych.
Treści programowe
Analiza matematyczna
1. Zdania i rachunek zdań. Zbiory i rachunek zbiorów. Formy zdaniowe i kwantyfikatory.
2. Ciągi liczbowe i ich własności. Granica ciągu liczbowego. Metody liczenia granic ciągów. Liczba e.
3. Szeregi liczbowe. Zbieżność szeregów bezwzględna i warunkowa. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych.
4. Definicja funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej. Funkcje monotoniczne, okresowe, parzyste i nieparzyste. Złożenie funkcji i funkcja odwrotne. Definicja granicy funkcji i metody obliczania granic funkcji.
Asymptoty funkcji.
5. Funkcje ciągłe
6. Definicja pochodnej i różniczki funkcji. Ekstrema funkcji jednej zmiennej oraz warunki konieczne i
dostateczne istnienia ekstremum. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty przegięcia. Reguła de l'Hospitala
w zastosowaniu do liczenia granic funkcji.
7. Całka nieoznaczona. Całkowanie przez podstawianie i przez części. Całkowanie funkcji wymiernych,
niewymiernych i trygonometrycznych.
9. Całka oznaczona. Całka Riemanna.
10. Funkcje wielu zmiennych ze szczególnym uwzględnieniem funkcji dwóch i trzech zmiennych.
11. Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Ekstrema funkcji wielu zmiennych.
Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum.
12. Całki podwójne i całki potrójne. Całki iterowane, całki w obszarze normalnym. Metody obliczania całek. Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe. Twierdzenie o zamianie zmiennych.
Algebra z geometrią
1. Przestrzeń euklidesowa n-wymiarowa: wektory w przestrzeni euklidesowej, działania w zbiorze wektorów w przestrzeni euklidesowej, iloczyn skalarny wektorów, długość wektora.
2. Układ współrzędnych na płaszczyźnie: współrzędne kartezjańskie i biegunowe, podział odcinka w danym stosunku, środek odcinka i środek ciężkości trójkąta, warunki równo-ległości i prostopadłości wektorów, pole trójkąta i równoległoboku.
3. Prosta na płaszczyźnie: różne postacie równań prostej, warunki równoległości i prostopadłości prostych, odległość punktu od prostej, odległość dwóch prostych równoległych, pęk prostych.
4. Przestrzeń euklidesowa trójwymiarowa: współrzędne kartezjańskie, walcowe, sferyczne, iloczyn wektorowy, równanie płaszczyzny, wzajemne położenie dwóch płaszczyzn, odległość punktu od płaszczyzny,
prosta w przestrzeni i jej równanie, wzajemne położenie prostej i płaszczyzny.
5. Przekształcenia geometryczne: powinowactwo, podobieństwo, izometria, różne typy izometrii na płasz-
czyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej.
6. Podstawowe struktury algebraiczne. Grupy, pierścienie, ciała. Ciało liczb zespolonych.
7. Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie. Kombinacje liniowe układu wektorów. Liniowa zależność i niezależność układu wektorów. Baza i wymiar przestrzeni liniowej.
8. Rachunek macierzowy .
9. Układy równań liniowych. Rząd macierzy. Układy równań liniowych. Twierdzenie
Kroneckera-Capelliego. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.
Równania różniczkowe
1. Wprowadzenie w zagadnienie równań różniczkowych. Interpretacja geometryczna. Typy równań.
2. Podstawowe twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności. Zależność od warunków początkowych.
3. Równania liniowe rzędu n. Struktura zbioru rozwiązań, metody rozwiązywania równań liniowych rzędu
n.
4. Układy równań różniczkowych I rzędu, twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności, struktura zbioru
rozwiązań układu równań liniowych.
5. Stabilność rozwiązań równania różniczkowego w sensie Lapunowa. Kryteria stabilności, zagadnienia
brzegowe dla równań rzędu drugiego.
6. Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych.
Efekty uczenia się
Sposób zaliczenia oraz formy i podstawowe
kryteria oceny/wymagania egzaminacyjne
Wiedza
(W_01) definiuje zbiór liczb zespolonych
(W_02) formułuje definicje i podstawowe twierdzenia z zakresu
zbieżności ciągów i szeregów liczbowych
(W_03) formułuje klasyczne pojęcia i twierdzenia związane z ciągłością, różniczkowalnością i całkowalnością funkcji rzeczywistej jednej
i wielu zmiennych rzeczywistych
(W_04) formułuje definicje i twierdzenia z zakresu algebry w ramach
omawianych treści kształcenia;
(W_05) interpretuje układy równań liniowych w terminach wektorów i odwzorowań liniowych;
(W_06) formułuje klasyczne pojęcia i twierdzenia z zakresu równań
różniczkowych zwyczajnych.
Umiejętności
(U_01) bada zbieżność ciągów i szeregów liczbowych
(U_02) bada granicę i ciągłość funkcji rzeczywistej jednej zmiennej
(U_03) wykorzystuje twierdzenia i metody rachunku różniczkowego
funkcji jednej zmiennej w zagadnieniach związanych z poszukiwaniem ekstremów lokalnych i globalnych oraz badaniem przebiegu
funkcji
(U_04) dokonuje obliczenia pochodnych funkcji jednej i wielu zmiennych
(U_05) oblicza całki funkcji jednej i wielu zmiennych rzeczywistych
(U_06) rozwiązuje układy równań liniowych o stałych współczynnikach;
(U_07) rozwiązuje wybrane typy równań różniczkowych zwyczajnych
(U_8) stosuje cechy podzielności liczb naturalnych, własności
liczb pierwszych i złożonych, kongruencje w zadaniach rachunkowych
(U_9) rozwiązuje zadania dotyczące figur płaskich i przestrzennych,
również korzystając z interpretacji geometrycznej iloczynu skalarnego, iloczynu wektorowego, bądź iloczynu mieszanego.
Kompetencje społeczne
A. Sposób zaliczenia
Zaliczenie z oceną
B. Formy i kryteria zaliczenia
Formy zaliczania
egzaminy ustne i pisemne
kolokwia pisemne
domowa praca kontrolna
Ocena modułu jest średnią ważoną ocen poszczególnych przedmiotów, dla których wagami
są przypisane im liczby punktów ECTS.
Matryca efektów kształcenia dla modułu
Odniesienie do efektów kształcenia
dla programu
Numer (symbol)
efektu kształcenia
Odniesienie do efektów kształcenia
dla obszaru
(W_01)
K_W03+, K_W20+++
T1A_W01++, T1A_W02++, T1A_W07+
(W_02)
K_W03+, K_W20+++
T1A_W01++, T1A_W02++, T1A_W07+
(W_03)
K_W03+, K_W20+++
T1A_W01++, T1A_W02++, T1A_W07+
(W_04)
K_W03+, K_W20+++
T1A_W01++, T1A_W02++, T1A_W07+
(W_05)
K_W03+, K_W20+++
T1A_W01++, T1A_W02++, T1A_W07+
(W_06)
K_W03+, K_W20 ++
T1A_W01++, T1A_W02++, T1A_W07+
(U_01)
K_U18++
T1A_U08+
(U_02)
K_U19++
T1A_U08+
(U_03)
K_U19++
T1A_U09+
(U_04)
K_U19++
T1A_U09+
(U_05)
K_U19++
T1A_U09+
(U_06)
K_U18++, K_U20++
T1A_U08+
(U_07)
K_U12++, K_U20+++
T1A_U09+
(U_8)
K_U22+++
T1A_U08+, T1A_U09+
(U_9)
K_U21+++
T1A_U09+
Wykaz literatury
A. Literatura wymagana do ostatecznego zaliczenia zajęć (zdania egzaminu):
1. Kołodziej W., Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978,
2. Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1. PWN, Warszawa 2007,
3. Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach cz. 2. PWN, Warszawa 2008,
4. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1 i 2, Oficyna Wydawnicza GIS, Wrocław, 2003,
5. Barannyk L., Jędrzejewski J., Wstęp do algebry liniowej, Wydawnictwo Pomorskiej Akademii Pedagogicznej, Słupsk 2006,
6. Gdowski B., Pluciński E., Zadania z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej, PWN Warszawa
1976,
7. Leja F., Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1961,
8. Muszyński J., Myszkis A. D., Równania różniczkowe zwyczajne, Warszawa, PWN, 1984,
9. Stiepanow W. W., Równania różniczkowe, PWN, Warszawa, 1984.
B. Literatura uzupełniająca
1. Kuratowski K., Rachunek różniczkowy i całkowy, funkcje jednej zmiennej, PWN, Warszawa 1971,
2. Rasiowa H., Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 1999,
3. Górniewicz L., Ingarden R. S., Analiza matematyczna dla fizyków, T. 1 i 2, UMK 2000,
4. Leja F., Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, PWN, 2008
5. Banaszak G., Gajda W., Elementy algebry liniowej, cz. 1, WNT, Warszawa 2002,
6. Kostrikin A. I., Wstęp do algebry. Podstawy algebry, PWN, Warszawa 2004,
7. Kostrikin A. I., Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 2005,
8. Stark M., Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1972.
Kontakt
dr Zofia Lewandowska
[email protected]