Egzamin 21 z 24 marca 2001 r.

24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
X 1 , X 2 , X 3 N ,
2
2
1 3
. Niech S X i X 2 i 1
2
estymatorem wariancji.
Oblicz Pr S 2 2 .
(A)
Pr S 2 2 0.36788
(B)
Pr S 2 2 0.5
(C)
Pr S 2 2 0.63212
(D)
Pr S 2 2 0.66667
(E)
Pr S 2 2 0.33333
1
24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
!!!! "
ze
zwracaniem 4-krotnie po jednej kuli. Niech S !#$
$
$
%!
&&
'('$ S 3 1 5 9 ).
)*$&*
S .
(A) E S 11.
(B) E S 15.5556
(C) E S 20.
(D) E S 22.
(E) E S 18.9145
2
24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
X +$ ,$& f ( x) e x ( x 0) &Y $$
, x 0 ,
E (Y X x) x 2 ,
$,
,
Y istnieje $+!
-$
.
(A) Cov X , Y 1 / 2 i Corr X , Y 1 / 2
(B) Cov X , Y 2 i Corr X , Y 1 / 2
(C) Cov X , Y 2 i Corr X , Y 1 / 2
(D) /
0
$
ancji, ani
!
(E) Cov X , Y 1 &
0
$
!
Wskazówka: $* E (Y X x) .
3
24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Dana jest próbka X 1 ,..., X 10 , N , 2
z nieznanymi
parametrami i 2 !1
$
$$
H 0 : 0 przeciw
alternatywie H 1 : 0 !#$
$$ry odrzuca H 0 & | X / V | c , gdzie
1 10
2
V 2 i 1 X i .
10
2
$ c $
+$3$
,$
$
0.05 .
(A) c 0.2622
(B) c 0.6021
(C) c 0.7046
(D) c 0.7427
(E) /
+$3$
,$
$
,
$
2 i nie istnieje liczba c $
$
!(!
4
24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
1 + 4 X 1 , X 2 ,...
&
1 P 0
na przestrzeni stanów 1,2,3 o macierzy
0 0 1 ,
1
0 (gdzie Pij Pr X n1 j | X n i dla i, j 1,2,3 5!
$
+cha jest wektorem
,
,
,
2
2
2
(gdzie i Pr X 1 i dla i 1,2,3 ).
Oblicz p Pr X 3 1 | X 2 1, X 1 1 .
(A) p / 2 (B) p / 2
(C) p (D) p / 2 (E) p (1 ) / 2 5
24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Na podstawie próbki X 1 ,..., X n , ,$& f ( x) e x
( x 0) , estymujemy parametr . Niech ˆ 1 / X .
*
zmiar próbki n $
| ˆ |
Pr
0.01 0.95 .
/*
!
(A) n 400
(B) n 10000
(C) n 40000
(D) n 2000
(E) n 27000
6
24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
X 1 ,..., X n $
+$$
1 e x dla x ;
F ( x) Pr( X i x) 0 dla x ;
gdzie 0 $
$
!1$
$$.
ˆ min( X 1 ,..., X n ) .
)0yka tego estymatora:
R( ) E (ˆ ) 2 .
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
(1 e ) n
n
1
R( ) e n
n
1
R( ) 2 e n
n
2
R( ) 2 e n
n
2
R( ) 2
n
R( ) 7
24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
X 1 , X 2 , X 3 /$&
(!
)* v var( X 2 X 3 | X 1 X 2 5) .
(A) v 10
(B) v 5
(C) v 7.5
(D) v 6.25
(E) v 15
8
24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Zmienna losowa X ,$& f ( x) e x ( x 0 ). Niech,
dla dowolnej liczby a :
a $
a ;
a a a &*6 a .
)* u E X & c E X .
(A) u (ln(c 1) ln c) 1 c
(B) u c /(2c 1)
(C) u c (ln(c 1) ln c) 1
(D) u c /(c ln c)
(E) u 1 / 2
9
24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Niech X 1 ,..., X 10 +$.
Pr( X i 1) 2 / 3 i Pr( X i 1) 1 / 3 .
k
Niech S k X i dla k 1,2,...,10 .
i 1
Oblicz
r Pr( S10 2 i S1 5, S 2 5, ..., S10 5) .
(A) r 0.1275
(B) r 0.3128
(C) r 0.2201
(D) r 0.2276
(E) r 0.2265
10
24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 24 marca 2001 r.
Arkusz odpowiedzi*
3!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!7"#8)2/)3923!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.........
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
)
:
C
E
E
B
B
C
D
D
A
E
Punktacja
Arkuszu odpowiedzi.
Egzaminacyjna.
11