2. Przeliczanie współrzędnych BLH

Przeliczenie współrzędnych geodezyjnych B,L,H na
współrzędne kartezjańskie – centryczne X,Y,Z dowolnej
elipsoidy i zadanie odwrotne.
(dr inż. M. Zygmunt)
1. Przeliczenie: [B, L, H] ⇒ [X, Y, Z] (elipsoida GRS-80)
Dane: B, L, H
B=50o+n'+n”
L=15o+n'+n”
H=200+n[m]; n =stała studenta (numer kolejny na liście)
Elementy przekroju południkowego elipsoidy
X
Y
Z
=
=
=
rp ⋅ cos(L)
rp ⋅ sin(L)
(RN ⋅ (1 - e2)+ H) ⋅ sin (B)
rp=(RN + H) ⋅ cos (B)
RN jest długością odcinka normalnej, mierzoną od punktu Po do punktu S
przecięcia z osią obrotu elipsoidy − jest to zarazem promień krzywizny
przekroju poprzecznego (pierwszego wertykału) elipsoidy w punkcie Po (dla
szerokości B), wyrażający się wzorem:
RN = a / [1− e2 ⋅ sin2(B)]1/2
e2 – kwadrat pierwszego mimośrodu
a,b – półosie elipsoidy
2. Przeliczenie odwrotne: [X, Y, Z] ⇒ [B, L, H] (metoda kolejnych
przybliżeń)
Dane: X, Y, Z z poprzedniego zadania.
Jedna z metod obliczenia B polega na wykorzystaniu następującej
zależności:
tg(B)=(Z+q) / rp, z czego
Bk+1 = arc tg [(Z + qk) / rp] ; k = 0, 1, 2, 3, …
qk = a ⋅ e ⋅ ck / (1- ck2)1/2 ; ck = e ⋅ sin(Bk)
przyjmujemy rp=( X 2 + Y 2) 1/2
Przybliżenie początkowe B0 wyznaczamy przy założeniu q=0.
Iteracje kończymy gdy kolejne obliczenia nie zmieniają wyniku na dziesięciotysięcznej części sekundy. Następnie obliczamy L i H.
L = arccos(X / rp)
H = (dr2 + dz2)1/2
dr = rp – RN ⋅ cos(B) ; dz = Z – RN ⋅ (1-e2) ⋅ sin(B)
Parametry geometryczne elipsoidy GRS-80:
a = 6378137,0000
b = 6356752,31414
e = 0,0818191910428
e2 = 0,0066943800229
a, b – półosie elipsoidy
e – pierwszy mimośród elipsoidy
Przykład liczbowy:
15
50
'
30
17
"
45,0856
22,1233
50
6
0,7753
50
17
20,2503
50
17
22,1182
50
17
22,1233
50
17
22,1233
50
17
22,1233
15
30
45,0856
o
L=
B=
h=
L=
B=
h=
200,0000000000
15,5125237778
50,2894786944
200,0000000000
a=
b=
e=
e2 =
6378137,0000000000
Rn=
6390808,8022097000
rp=
4083273,6351334800
r=
4083145,8533149500
X=
Y=
Z=
3934528,2122239200
1092067,4551465500
4883577,7745183400
6356752,3141400000
0,0818191910
0,0066943800
odwrotne
B0=
50,1002153500
c0=
q0=
0,0627690294
32820,9900244887
B1=
50,2889584289
c1=
q1=
0,0629415762
32911,5705571855
B2=
50,2894772671
c2=
q2=
0,0629420496
32911,8190654660
B3=
50,2894786905
c3=
q3=
0,0629420509
32911,8197472389
B4=
50,2894786944
c4=
q4=
0,0629420509
32911,8197491094
B5=
50,2894786944
ro=
206264,8062470960
L=
15,5125237778
dr=
127,7818185361
dz=
153,8564490760
H=
200,0000001767