Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09
Wydział Elektroniki
Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Listy zadań nr 10 - 12
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Literatura:
[1] A. Plucińska, E. Pluciński, Rachunek prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna.
Procesy stochastyczne, WNT, Warszawa, 2000
[2] T. Inglot, T. Ledwina, Z. Ławniczak, Materiały do ćwiczeń z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław
1979
[3] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część I, PWN, Warszawa, 1995
[4] J. Ombach, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Instytutu Matematyki AGH, Kraków, 1997
[5] W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Definicje,
twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2002
[6] H. Jasiulewicz, W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 2003
[7] Y. Viniotis, Probability and Random Processes for Electrical Engineers, McGraw-Hill,
Boston, 1998
[8] J. Jakubowski, , R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa SCRIPT, Warszawa,
2001
[9] J. Stojanow, I. Mirazczijski, C. Ignatow, M. Tanuszew Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa, 1991
[10] A. Papoulis, Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne, WNT,
Warszawa, 1972
1
Lista 10. Zmienne losowe dwuwymiarowe. Rozkłady łączne,
brzegowe, warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Niezależność zmiennych losowych. Momenty. Współczynnik
korelacji.
Zadanie 10.1
(a) Wektor losowy (X, Y ) ma następujący rozkład łączny:
P (X = 0, Y = −1) = C; P (X = 0, Y = 0) = 0; P (X = 0, Y = 1) = 0, 15;
P (X = 1, Y = −1) = P (X = 1, Y = 0) = 0, 25; P (X = 1, Y = 1) = 0, 2.
Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzegowe tego wektora losowego. Czy X i Y są niezależne?
(b) Znaleźć rozkład łączny wektora losowego (X, Y ), gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
P (X = 1) = 0, 3; P (X = 2) = 0, 7;
P (Y = 0) = 0, 75; P (Y = 1) = 0, 25.
Zadanie 10.2
(
8 3
y (5x
9
+ 2) dla 0 < x < 1, 0 < y < 1
jest gęstością wektora losowego
0
poza tym.
(X, Y ). Obliczyć P ((X, Y ) ∈ ∆), gdzie ∆ to obszar 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ x ¬ 2y. Wyznaczyć
rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ). Czy X i Y są niezależne?
(a) Funkcja f (x, y) =
(
e−x−y dla x > 0, y > 0
jest gęstością wektora losowego (X, Y ). Obli0
poza tym.
czyć P (1 < X < 2, −1 < Y < 1). Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ). Czy
X i Y są niezależne?
(b) Funkcja f (x, y) =
(
∗
C dla (x, y) ∈ K
gdzie K to półokrąg o środku
0 poza tym,
w punkcie (0, 0) i promieniu 1, położony nad osią Ox, była gęstością pewnego wektora losowego
(X, Y ). Obliczyć następnie P (X 2 + Y 2 ¬ 1/4). Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego
(X, Y ). Czy X i Y są niezależne?
(c) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f (x, y) =
(d) Dobrać stałą C tak, aby funkcja
(
f (x, y) =
Cxy(2 − x − y) dla 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1,
0
poza tym
była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Obliczyć następnie P ((X, Y ) ∈ ∆), gdzie ∆
to trójkąt 0 ¬ x ¬ 1/2, 0 ¬ y ¬ x. Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ).
2
Zadanie 10.3
Wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych oraz macierz kowariancji wektora losowego (X, Y ) o podanym rozkładzie. Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y , które są składowymi
tego wektora.
xn
yk
(a) −1
0
1
1
0, 15 0, 25 ;
0
0, 25
0, 15 0, 2
xn
yk
(b)
0
1
0
1
2
0, 225 0, 525
0, 075 0, 175
(
(c) rozkład o gęstości f (x, y) =
8 3
y (5x
9
0
(
(d) rozkład o gęstości f (x, y) =
e−x−y dla x > 0, y > 0
0
poza tym.
(
∗
+ 2) dla 0 < x < 1, 0 < y < 1
poza tym.
2
π
dla (x, y) ∈ K
gdzie K to półokrąg o środku w punkcie
0 poza tym,
(0, 0) i promieniu 1, położony nad osią Ox.
(e) rozkład o gęstości f (x, y) =
(
(f) rozkład o gęstości f (x, y) =
6xy(2 − x − y) dla 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1,
0
poza tym.
Czy X i Y są niezależne?
3
Lista 11. Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego
związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace’a i
Fouriera. Prawo wielkich liczb.
Zadanie 11.1
(a) Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy Exp(3), a Y rozkład
normalny N (2, 3). Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 3X − 5Y − 3.
(b) Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład Poissona P(3), a Y rozkład
Bernoulliego B(10; 0, 2). Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej
Z = 3X − 5Y + 7.
(c) Niech Y = X +2N , gdzie X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p = 0, 3; a N ma rozkład
normalny N (0, 2), przy czym zmienne losowe X i N są niezależne. Obliczyć współczynnik
korelacji ρXY .
Zadanie 11.2
(a) Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład Cauchy’ego C(0, 1), a Y rozkład normalny N (3, 5). Jaka jest funkcja charakterystyczna rozkładu zmiennej losowej X + Y , a jaka
zmiennej losowej 2X − 3Y ?
(b) Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład Poissona P(3), a Y rozkład wykładniczy
Exp(2). Jaka jest funkcja charakterystyczna rozkładu zmiennej losowej 5X − 2Y ?
(c) Pokazać, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych odpowiednio o rozkładach Poissona
P(1) i P(3) ma również rozkład Poissona P(λ). Podać wartość parametru λ.
(d) Niech X1 i X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym
X1 + X2
.
N (0, 2). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y = √
2
Zadanie 11.3
(a) Zmienne losowe X1 , X2 , . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie wykładniczym Exp(2).
X1 + . . . + Xn
Do czego jest zbieżna średnia arytmetyczna
? W sensie jakiej zbieżności?
n
(b) Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
jednostajnym U(0, 1). Zdefiniujmy
(
Zn =
Czy granica n→∞
lim
0
dla n = 1, 3, 5, . . .
Xn dla n = 2, 4, 6, . . .
n
1X
Zi równa jest 0,25 czy 0,5 z prawdopodobieństwem 1? Odpowiedź uzan i=1
sadnić.
4
Lista 12. Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a. Centralne
Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Lévy’ego.
Zadanie 12.1
(a) W pewnym dużym okręgu wyborczym ma zostać przeprowadzone referendum w sprawie budowy elektrowni atomowej. Wśród uprawnionych do głosowania mieszkańców 45% popiera tę
inwestycję, a 55% jest przeciw. Na podstawie tw. Moivre’a–Laplace’a oszacować, jakie jest
prawdopodobieństwo odrzucenia projektu w referendum, w których weźmie udział tylko 200
osób wybranych losowo. Oszacować błąd przybliżenia.
(b) Jeśli gracz wyrzuci kostką 6 oczek, to wygrywa 4 zł. Jeśli nie, przegrywa 1 zł. Oszacować
prawdopodobieństwo tego, że w 1000 rzutach gracz przegra co najwyżej 20 zł. Oszacować błąd
przybliżenia.
(c) W pewnym towarzystwie ubezpieczeniowym jest ubezpieczonych 100000 samochodów. Każdy
z właścicieli płaci roczną składkę 50 zł za samochód. Średnio 9 na 1000 samochodów ulega
uszkodzeniu w ciągu roku. Właścicielowi uszkodzonego pojazdu towarzystwo wypłaca 5000 zł.
Na podstawie tw. Moivre’a–Laplace’a oszacować, jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu
roku towarzystwo nie poniesie strat. Oszacować błąd przybliżenia.
(d) Prawdopodobieństwo, że dowolna osoba odpowie na przesłaną pocztą reklamę i zamówi towar,
wynosi 0,03. Reklamę wysłano do 200 osób. Na podstawie tw. Moivre’a–Laplace’a oszacować
prawdopodobieństwo, że (1) dokładnie 5 osób, (2) mniej niż 5 osób przyśle zamówienia. Oszacować błąd przybliżenia. Porównać wyniki z otrzymanymi w zadaniu 7.3(a) metodą dokładną
i przybliżoną z tw. Poissona.
Zadanie 12.2
(a) Czas oczekiwania na tramwaj linii 14 jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o średniej
20 minut. Pan Piotr codziennie w dni robocze dojeżdża nim do pracy. Oszacować na podstawie
CTG Lindeberga–Lévy’ego prawdopodobieństwo, że pan Piotr traci w ciągu 160 kolejnych dni
roboczych na czekanie na tramwaj linii 14 więcej niż 2500 minut.
(b) Czas pracy lampy pewnego typu ma rozkład wykładniczy o średniej 100 dni. Na podstawie
tw. Lindeberga–Lévy’ego oszacować, czy wystarczy mieć w zapasie 169 lamp, aby z prawdopodobieństwem 0,9 wystarczyło ich na 15000 dni nieprzerwanej pracy. (Przyjmujemy, że spalona
lampa jest natychmiast wymieniana na nową.)
(c) Pewna konstrukcja składa się ze 500 jednakowych elementów. Na podstawie CTG Lindeberga–
Lévy’ego oszacować prawdopodobieństwo, że całkowita masa tej konstrukcji nie przekroczy
1755 kg, jeśli rozkład masy elementów, z których jest złożona, ma wartość oczekiwaną 3,5 kg i
odchylenie standardowe 0,5 kg?
(d) Samolot zabiera na pokład 70 osób. Waga pasażerów ma pewien rozkład o wartości oczekiwanej
75 kg i wariancji 25 kg2 . Oszacować na podstawie CTG Lindeberga–Lévy’ego prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów przekroczy 5300 kg.
(e) W grupie studenckiej przeprowadza się test, w którym można uzyskać do 100 punktów. Średni wynik uzyskiwany przez studenta wynosi 40 pkt, a wariancja 202 . Wyniki studentów są
niezależne i o takim samym rozkładzie. Oszacować na podstawie CTG Lindeberga–Lévy’ego
prawdopodobieństwo tego, że przeciętna liczba punktów przypadająca na jednego studenta w
grupie 150 osób zawiera się w przedziale od 35 do 45 pkt.
5
Odpowiedzi i wskazówki:
Lista nr 10:
xn
0
1
yk
−1
0, 15 0, 25
10.1 (a) C = 0, 15;
0
0
0, 25
1
0, 15 0, 2
r.brzeg.X 0, 3 0, 7
xn
1
2
r.brzeg.
yk
Y
0, 225 0, 525
0, 75
(b) 0
1
0, 075 0, 175
0, 25
P
r.brzeg.X
0, 3
0, 7
=1
r.brzeg.
Y
0, 4
; X i Y nie sa niezależne;
0, 25
0, 35
P
=1
(
10.2 (a) P ((X, Y ) ∈ ∆) =
(
2123
2160
≈ 0, 9829; fX (x) =
(2/9)(5x + 2) dla 0 < x < 1,
, fY (y) =
0
dla pozostalych x.
4y 3 dla 0 < y < 1,
, X i Y są niezależne;
0
dla pozostalych y.
(b) P (1 < X < 2, −1 < Y < 1) =
e2 −2e+1
e3
(
≈ 0, 1470; fX (x) =
e−x dla x > 0,
,
0
dla pozostalych x.
(
e−y dla y > 0,
, X i Y są niezależne;
0
dla pozostalych y.
( √
2
1 − x2 dla − 1 < x < 1,
2
2
2
(c) C = π ; P (X + Y ¬ 0, 25) = 0, 25; fX (x) = π
,
0
dla
pozostalych
x.
( √
4
1 − y 2 dla 0 < y < 1,
fY (y) = π
; X i Y nie są niezależne;
0
dla pozostalych y.
(
4x − 3x2 dla 0 < x < 1,
(d) C = 6; P ((X, Y ) ∈ ∆) = 0, 0625; fX (x) =
,
0
dla pozostalych x.
(
4y − 3y 2 dla 0 < y < 1,
fY (y) =
0
dla pozostalych y.
fY (y) =
"
10.3 (a) (EX, EY ) = (0, 7; −0, 05); macierz kowariancji to
#
0, 21 −0, 015
;
−0, 015 0, 7475
−0, 015
√
ρXY = √
≈ −0, 0379;
0, 21 0, 7475
"
#
0, 21
0
(b) (EX, EY ) = (1, 7; 0, 25); macierz kowariancji to
; ρXY = 0;
0
0, 1875
"
#
109/1458
0
(c) (EX, EY ) = (16/27; 4/5); macierz kowariancji to
; ρXY = 0;
0
2/75
#
"
1 0
(d) (EX, EY ) = (1; 1); macierz kowariancji to
; ρXY = 0;
0 1
"
#
0, 25
0
4
(e) (EX, EY ) = (0; 3π ); macierz kowariancji to
; ρXY = 0
2
0 " 9π36π−16
2
#
43/720 −1/144
(f) (EX, EY ) = (7/12; 7/12); macierz kowariancji to
;
−1/144 43/720
ρXY = −5/43 ≈ −0, 1163 6= 0, więc X i Y nie są niezależne;
6
Lista nr 11:
√
11.1 (a) EZ = −12, D2 Z = 226; (b) EZ = 6, D2 Z = 67; (c) ρXY = 0, 21/ 0, 21 · 16, 21 ≈ 0, 1138
2
2 /2
11.2 (a) ϕX+Y (t) = e−|t| ·e3it−25t /2 , ϕ2X−3Y (t) = e−2|t| ·e−9it−225t
(c) λ = 4; (d) jest to rozkład N (0, 2)
5it −1)
; (b) ϕ5X−2Y (t) = e3(e
/(1+it);
11.3 (a) do 4/3 z prawdop. 1; (b) do 0,25.
Lista nr 12:
12.1 (a) 0, 9319 ± 0, 06; (b) 0, 0064 ± 0, 05; (c) 0, 9996 ± 0, 03; (d) (1) 0, 1492 ± 0, 64; (2) 0, 2676 ± 0, 32
12.2 (a) ≈ 0, 9972; (b) tak; (c) ≈ 0, 4247; (d) ≈ 0, 1170; (e) ≈ 0, 9978
7