Rozdział 2 Krzywe stożkowe

Rozdział 2
Krzywe stożkowe
Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Ax2 + By 2 + 2Cxy + Dx + Ey + F = 0 .
(2.1)
W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę, parabolę i hiperbolę. Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg.
2.1
Elipsa
Elipsa to zbiór punktów płaszczyzny spełniających równanie
x2 y 2
+
=1
a2 b2
(2.2)
gdzie zakładamy bez starty ogólności, że a > b > 0. Przypadek a = b = r, odpowiadający okręgowi o promieniu r, wyłączmy z dalszych rozważań. Postać
parametryczna równania elipsy to
x = a cos t
y = b sin t ,
t ∈ [0, 2π) .
(2.3)
Parametr t = 0, π odpowiada punktom przecięcia elipsy osi x w punktach, odpowiednio,
(a, 0) ,
(−a, 0) .
(2.4)
Ogniska elipsy to punkty na osi x o współrzędnych
√
√
O0 = ( a2 − b2 , 0) .
O = (− a2 − b2 , 0) ,
Tak więc odległość między ogniskami to
√
|OO0 | = 2 a2 − b2 .
1
(2.5)
(2.6)
6
k
k’
4
A
P
A’
2
0
-a
O
O’
a
-2
-4
-6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Rysunek 2.1: Elipsa o parametrach a = 5, b = 3 i mimośrodzie e = 0.8.
Suma odległość dowolnego punktu elipsy P od jej ognisk jest stała i wynosi
(patrz Rys. 2.1)
|OP | + |O0 P | = 2a .
(2.7)
Mimośrodem e nazywamy stosunek odległości między ogniskami do odległości między punktami przecięcia elipsy z osia x, co daje
√
a2 − b2
|OO0 |
=
.
(2.8)
e=
2a
a
Zauważmy, że e < 1. Ogniska leżą więc wewnątrz elipsy w punktach o współrzędnych
O = (−ea, 0) ,
O0 = (ea, 0) .
(2.9)
Kierownicą elipsy k sprzężną z ogniskiem O jest prosta równoległa do osi
y i przechodząca przez punkt
a
x=− ,
(2.10)
e
natomiast kierownicą k 0 sprzężona z ogniskiem O0 jest prosta
a
x= .
(2.11)
e
Obie kierownice leżą na zewnątrz elipsy. Odległość ognisk od sprzężnych z
nimi kierownic wynosi
a
b2
d = − ea = √
(2.12)
e
a2 − b2
2
Wzory (2.8) i (2.12) pozwalają wyliczyć wartości długości półosi elipsy w funkcji parametrów e i d,
a=
ed
,
1 − e2
b= √
ed
1 − e2
.
(2.13)
Stosunek odległości dowolnego punktu elipsy od ogniska do odległości tego punktu od sprzężonej z ogniskiem kierownicy jest równy mimośrodowi
elipsy,
|OP | |O0 P |
=
= e.
(2.14)
|AP | |A0 P |
Ćwiczenie - Udowodnić relacje (2.7) i (2.14) wykorzystując postać parametryczną (2.3) równania paraboli.
2.2
Hiperbola
Hiperbola zadana jest równaniem na płaszczyźnie
x2 y 2
−
=1
a2 b2
Hiperbola ma dwie gałęzie o dodatnich i ujemnych wartościach x,
r
y2
x = ±a 1 + 2 .
b
(2.15)
(2.16)
Obie gałęzie posiadają asymptoty do których dążą gdy x → ±∞,
b
y = ± x.
a
(2.17)
Postać parametryczna dodatniej gałęzi hiperboli to
x = a cosh t
y = b sinh t ,
t ∈ (−∞, ∞) .
(2.18)
Dla ujemnej gałęzi znak zmiennej x jest przeciwny. Wartość parametru t = 0
odpowiada punktom przecięcia gałęzi hiperboli z osią x o współrzędnych
(±a, 0) .
(2.19)
Ogniska hiperboli to punkty O0 dla gałęzi ujemnej i O dla gałęzi dodatniej
o współrzędnych
√
√
O0 = (− a2 + b2 , 0) ,
O = ( a2 + b2 , 0) .
(2.20)
3
15
k’
k
10
A
P
5
0
-a
O’
a
O
-5
-10
-15
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Rysunek 2.2: Hiperbola o parametrach a = 3, b = 6 i mimośrodzie e = 2.24.
Odległość między ogniskami to
√
|OO0 | = 2 a2 + b2 .
(2.21)
Moduł różnicy odległości dowolnego punktu hiperboli P od obu ognisk jest
stały i wynosi (patrz Rys. 2.2)
|O0 P | − |OP | = 2a .
(2.22)
Mimośród, zdefiniowany jako stosunek odległości ognisk do odległości między punktami przecięcia gałęzi hiperboli z osią x, wynosi
√
|OO0 |
a2 + b2
e=
=
> 1.
(2.23)
2a
a
Podobnie jak dla elipsy ogniska leżą w punktach
O0 = (−ea, 0) ,
O = (ea, 0) .
(2.24)
Kierownice hiperboli są prostymi równoległymi do osi x, przechodzącymi
przez punkt
a
(2.25)
x=± ,
e
4
gdzie znak (+) odnosi się do kierownicy k sprzężonej z ogniskiem O, natomiast znak (−) do kierownicy k 0 sprzężonej z ogniskiem O0 . Odległość ognisk
od sprzężonych co nich kierownic wynosi
a b2
d = ea − = √
.
e
a2 + b2
(2.26)
Relacje (2.23) i (2.26) pozwalają wyliczyć parametry a i b hiperboli w funkcji
parametrów e i d,
ed
ed
a= 2
,
b= √
.
(2.27)
e −1
e2 − 1
Stosunek odległości dowolnego punktu P dodatniej gałęzi hiperboli od ogniska O do odległości tego punktu od kierownicy k jest stały i równy mimośrodowi hiperboli,
|OP |
= e.
(2.28)
|AP |
Podobnie dla punktów ujemnej gałęzi, ogniska O0 i kierownicy k 0 .
Ćwiczenie - Udowodnić relacje (2.22) i (2.28) wykorzystując postać parametryczną (2.18) równania hiperboli.
2.3
Parabola
Równanie paraboli na płaszczyźnie to
x = ay 2
a > 0.
(2.29)
t ∈ (−∞, ∞) .
(2.30)
Równanie parametryczne to
x = at 2
y = t,
Ognisko paraboli O leży na osi x i ma współrzędne
1
O=
,0 .
4a
(2.31)
Kierownica k paraboli to prosta równoległa do osi y o równaniu
x=−
1
.
4a
(2.32)
Odległość ogniska od kierownicy wynosi
d=
1
,
2a
5
(2.33)
5
k
4
A
P
3
2
1
0
O
-1
-2
-3
-4
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Rysunek 2.3: Parabola o parametrze a = 1/5.
natomiast punkt przecięcia paraboli z osią x znajduje się w połowie odległości
między ogniskiem a kierownicą. Zauważmy, że dla d → 0 elipsa staje się coraz
szersza, gdyż a → ∞.
Dowolny punkt P hiperboli jest równo odległy od ogniska O i kierownicy
k (patrz Rys. 2.3),
|OP |
= 1.
(2.34)
|AP |
Stosunek ten określa też mimośród paraboli, e = 1.
Ćwiczenie - Udowodnić relację (2.34) wykorzystując postać parametryczną (2.30)
równania paraboli.
2.4
Postać biegunowa krzywych stożkowych
Krzywe stożkowe można określić przy pomocy jednego wzoru wprowadzając
kierownicę k i ognisko O odległe od kierownicy o odległość d. Krzywą stożkową definiujemy wtedy jako zbiór punktów P płaszczyzny, dla których stosunek odległości od ogniska O do odległości do kierownicy k jest stały i równy
6
5
k
4
A
P
A
P
A
P
3
2
1
O
d
0
e=0.5
-1
-2
e=1
-3
-4
e=2
-5
-1
0
1
2
3
4
5
Rysunek 2.4: Krzywe stożkowe. Zwróć uwagę, że dla wybranych punktów P
na rysunku, odległość |OP | = ed = p.
mimośrodowi krzywej stożkowej e (patrz Rys. 2.4),
|OP |
= e = const. .
|AP |
(2.35)
W zależności od wartości e, otrzymujemy
0<e<1
e=1
e>1
elipsa
parabola
hiperbola
(2.36)
Wprowadzając współrzędne biegunowe (r, φ) wyprowadzone z ogniska O,
otrzymujemy dla równania (2.35)
r
= e,
(2.37)
d + r cos φ
gdzie kąt φ liczy się od osi x prostopadłej do kierownicy i przechodzącej przez
ognisko O, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Stąd równanie krzywej stożkowej
r=
p
1 − e cos φ
7
p = ed .
(2.38)
W każdym przypadku minimalny promień rmin odpowiadający punktowi
przecięcia krzywej stożkowej z osią x jest określony z warunku φ = π i wynosi
rmin =
e
d.
1+e
(2.39)
Ponieważ rmin < d, leży on zawsze między ogniskiem a kierownicą.
Promień maksymalny rmax zależy od krzywej stożkowej. Dla elipsy otrzymujemy go dla kąta φ = 0,
e
rmax =
d.
(2.40)
1−e
Odpowiadający mu punkt leży na osi x po prawej stronie ogniska O. Łatwo
sprawdzić, że
rmin + rmax = 2a ,
(2.41)
a drugie ognisko O0 leży na prawo od ogniska O w odległości
√
rmax − rmin = 2 a2 − b2 ,
(2.42)
gdzie parametry elipsy a i b są określone wzorami (2.13).
Dla paraboli e = 1 i ze wzoru (2.38) wynika, że rmax → ∞ gdy φ → 0+ . Dla
hiperboli e > 1 i istnieje minimalny kąt φmin powyżej którego równanie (2.38)
ma sens geometryczny. Jest on określony równaniem
cos φmin =
1
,
e
(2.43)
+
a promień rmax → ∞ gdy φ → φmin
. Kąt ten określa tangens nachylenia asymptoty dodatniej gałęzi hiperboli,
√
b
tg φmin = e2 − 1 = .
a
(2.44)
Ćwiczenie - Znaleźć odległość punktu przecięcia asymptot hiperboli od kierownicy k w funkcji parametrów e i d. Po której stronie kierownicy znajduje
się ten punkt.
2.5
Sprowadzanie do postaci kanonicznej
Równanie (2.1) można zapisać w postaci macierzowej
x̂T Â x̂ + D̂ T x̂ + F = 0 ,
gdzie x̂T = (x, y), D̂ T = (D, E), F jest liczbą, natomiast macierz
!
A C
 =
C B
8
(2.45)
(2.46)
jest macierzą symetryczną. Macierz tą można sprowadzić do postaci diagonalnej przy pomocy transformacji ortogonalnej Ô, która prowadzi do nowych
zmiennych x̂0T = (x0 , y 0 ),
x̂0 = ÔT x̂ ,
oraz
ÔT Ô = ÔÔT = 1
!
λ1 0
Λ̂ =
= ÔT Â Ô .
0 λ2
(2.47)
(2.48)
Równanie (2.45) przyjmuje postać bez członów wieszanych
T
x̂0 Λ̂ x̂0 + D̂ T Ô x̂0 + F = 0 ,
(2.49)
λ1 x0 2 + λ2 y 0 2 + D 0 x0 + E 0 y 0 + F = 0 ,
(2.50)
lub w jawnej postaci
gdzie D̂ T Ô = (D 0 , E 0 ). Równanie to można zapisać w formie sumy kwadratów.
Na przykład, gdy λ1 , 0 oraz λ2 , 0 mamy
λ1
D0
x +
2λ1
0
!2
+ λ2
E0
y +
2λ2
0
!2
+F −
D 0 2 E0 2
−
= 0.
4λ21 4λ22
(2.51)
W zależności od znaków λ1 i λ2 oraz wyrazu wolnego otrzymujemy krzywą
stożkową lub zbiór pusty.
Ćwiczenie - Jaką krzywą stożkową przedstawia równanie
10x2 + 10y 2 − 12xy + 20x − 12y + 8 = 0 .
9