Zadania z geometrii B

Zadania z geometrii B
Zestaw 9: stożkowe
1. Napisać równanie elipsy, której ogniska leżą w punktach (4, 0),(−4, 0) i której
(a) półoś wielka równa się 5;
(b) półoś mała równa się 2;
2. Napisać równanie osiowe elipsy, której
(a) półoś wielka równa się a = 3, parametr 2p = 4;
(b) mimośród e = 1/2, parametr 2p = 6;
3. Znaleźć osie główne, ogniskową, mimośród i parametr elipsy x2 + 2y2 = 8.
4. Znaleźć miejsce geometryczne punktów P , których odległość od punktu (2, 0) jest 2 razy mniejsza niż
odległość od prostej x = 8.
5. Znaleźć równanie stycznej i normalnej do elipsy x2 + 2y2 = 6 w punkcie (−2, 1).
2
2
6. Z punktu (−2, 3) wykreślono do elipsy x8 + y2 = 1 dwie styczne. Znaleźć ich równania i kąt nachylenia.
7. Pokazać, że jeśli punkt (x0 , y0 ) leży na elipsie
x2
a2
+
y2
b2
= 1 to prosta
x0 x
a2
+
y0 y
b2
= 1 jest styczną do tej
elipsy w punkcie (x0 , y0 ).
8. Uzasadnij że pole elipsy
x2
a2
+
y2
b2
= 1 wynosi πab.
9. Znaleźć długośc tej średnicy elipsy
x2
a2
2
+ yb2 = 1, która jest równa co do długości średnicy do niej sprzężonej.
10. Znaleźć miejsce geometryczne punktów z którego można poprowadzić do elipsy
x2
a2
+
y2
b2
= 1 dwie styczne
prostopadłe.
11. Napisać równanie hiperboli o ogniskach (3, 0),(−3, 0), która ma
(a) oś rzeczywistą 2a = 4;
(b) oś urojoną 2b = 5;
(c) mimośród e = 2.
12. Znaleźć ogniskową, mimośród, parametr i równania asymptot hiperboli:
(a)
y2
x2
4 + 12 = 1
2
2
− x4 + y8 =
2
2
(b)
1
(c) x + 3y = 1
13. Znaleźć równanie hiperboli znając jej asymptoty y = x/2, y = −x/2 oraz
√
(a) jedno ognisko (0, 5)
(b) jeden jej punkt (5, 2)
14. Z punktu (1, 2) poprowadzić do hiperboli 2x2 − y2 = 2 dwie styczne. Znaleźć ich punkty styczności i
równania.
15. Pokazać, że jeśli punkt (x0 , y0 ) leży na hiperboli
x2
a2
−
y2
b2
= 1 to prosta
x0 x
a2
−
y0 y
b2
= 1 jest styczną do tej
hiperboli w punkcie (x0 , y0 ).
16. Wykazać, że elipsa i hiperbola o wspólnych ogniskach przecinają się pod kątem prostym.
17. Znaleźć miejsce geometryczne punktów, z których można poprowadzić wzajemnie do siebie prostopadłe
styczne do hiperboli
x2
a2
−
y2
b2
= 1.
18. Napisać równanie paraboli, której
(a) ognisko leży w punkcie (3, 0), a kierownicą jest prosta x = −3;
(b) ognisko leży w punkcie (−2, 0), a wierzchołek w początku układu współrzędnych ;
(c) ognisko leży w punkcie (0, 1), a kierowsnicą jest prosta y = −1.
19. Gdzie leżą ognisko i kierownica i jaki jest parametr paraboli
(a) y 2 = 3x;
(b) x2 = 8y.
20. Napisać równanie paraboli o ognisku F (x0 , y0 ) i kierownicy Ax + By + C = 0.
21. Pokazać, że jeśli punkt P (x0 , y0 ) leży na paraboli y2 = 2px, to prosta y0 y = p(x + x0 ) jest styczną do
paraboli w punkcie P .
1
22. Znaleźć miejsce geometryczne środków okręgów stycznych do osi y i przechodzących przez punkt (x0 , 0).
23. Znaleźć mijsce geometryczne punktów z których można poprowadzić dwie styczne do paraboli y2 = 2px,
które są do siebie prostopadłe.
24. Co przedstawia równanie:
(a) 2x2 − xy − 3y 2 = 0;
(b) 2x2 − 12xy + 18y 2 = 0;
(c) 8x2 + 4xy + y 2 = 0.
Postaraj się rozwiązać zadanie nie uciekając sie do metody wyróżników.
25. Ocenić za pomocą wyróżników, jaką linię przedstawia równanie:
(a)
(b)
(c)
(d)
2x2 + 3y 2 + 8x − 6y + 5 = 0;
x2 − 4x − 6y − 2 = 0;
x2 − 2axy + a2 y 2 − 2ax + 2a2 y + a2 = 0;
x2 − 6xy + y 2 − 2 = 0
26. Zbadaj jaką linię przedstawia równanie:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
(g)
(h)
3x2 + 2xy + y 2 − 6x + 4 = 0;
xy = 2 ;
x2 − 2xy + y 2 − 10x − 2y = 0;
4x2 − 4xy + y 2 − 2x + y = 0;
2x2 + 4y 2 + 4x − 24y + 30 = 0;
−x2 + y 2 + 2x + 4y − 1 = 0;
4x2 − y 2 + 16x + 2y + 15 = 0;
x2 − 4x − 4y − 8 = 0.
Postaraj się rozwiązać zadanie nie obliczając wyróżników.
2