Aproksymacja cz. II, Wielomiany ortogonalne

Transkrypt

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok
Aproksymacja cz. II, wielomiany ortogonalne zastosowania
Bartosz Kuczewski
PWSZ Gªogów, 2009
Bartosz Kuczewski
Iloczyn skalarny
Funkcja okre±lona na przestrzeni liniowej (·, ·) → R
iloczyn skalarny wektorów
w
i
v
w przestrzeni Rn
(w, v) =
n
X
wi vi
i =1
iloczyn skalarny funkcji f i g w przestrzeni L2 [a, b ]
Zb
(f , g ) =
f (x )g (x ) dx
a
iloczyn skalarny funkcji f i g w przestrzeni L2w [a, b ]
(f , g ) =
Zb
f (x )g (x )w (x ) dx
a
Wªasno±¢:
Bartosz Kuczewski
kf k =
p
(f , f )
Aproksymacja ±redniokwadratowa
Model F (x ) w postaci (funkcja aproksymuj¡ca):
F (x ) = a0 ϕ0 (x ) + a1 ϕ1 (x ) + . . . + am ϕm (x )
gdzie {ϕk (x )}m
k =0 s¡ liniowo niezale»ne
Rozwi¡zaniem zadania aproksymacji ±redniokwadratowej jest ukªad
równa« liniowych w postaci:
m
X
(ϕi , ϕk )ak = (f , ϕi ),
i = 0, 1, . . . , m
k =0
Bartosz Kuczewski
Przykªad - przypadek dyskretny
Dopasowanie funkcji kwadratowej
Punkty pomiarowe:
i
0
1
2
xi
1
2
3
f (xi )
1
2
1
ϕ0 (xi )
1
1
1
ϕ1 (xi )
1
2
3
ϕ2 (xi )
1
4
9
Model F (x ) postaci:
F (x ) = a0 ϕ0 (x ) + a1 ϕ1 (x ) + a2 ϕ2 (x )
Funkcje bazowe:
ϕi = x i ⇒ ϕ0 (x ) = x 0 = 1,
Bartosz Kuczewski
ϕ1 (x ) = x ,
ϕ2 (x ) = x 2
Otrzymujemy ukªad równa« w postaci:

 (ϕ0 , ϕ0 )a0 + (ϕ0 , ϕ1 )a1 + (ϕ0 , ϕ2 )a2 = (f , ϕ0 )
(ϕ1 , ϕ0 )a0 + (ϕ1 , ϕ1 )a1 + (ϕ1 , ϕ2 )a2 = (f , ϕ1 )

(ϕ2 , ϕ0 )a0 + (ϕ2 , ϕ1 )a1 + (ϕ2 , ϕ2 )a2 = (f , ϕ2 )
gdzie:
(ϕ0 , ϕ0 ) =
P2
i =0 ϕ0 (xi )ϕ0 (xi )
= 3 (f , ϕ0 ) =
(ϕ0 , ϕ1 ) = (ϕ1 , ϕ0 ) = 6
(ϕ0 , ϕ2 ) = (ϕ2 , ϕ0 ) = 14
(ϕ1 , ϕ1 ) = 14
(ϕ1 , ϕ2 ) = (ϕ2 , ϕ1 ) = 36
(ϕ2 , ϕ2 ) = 98
Bartosz Kuczewski
P2
i =0 f (xi )ϕ0 (xi )
(f , ϕ1 ) = 8
(f , ϕ2 ) = 18
=4
Po podstawieniu otrzymujemy:

 3a0 + 6a1 + 14a2 = 4
6a0 + 14a1 + 36a2 = 8

14a0 + 36a1 + 98a2 = 18
Czyli:
3
 6
14

6
14
36

 

14
a0
4
36   a1  =  8 
98
a2
18
Rozwi¡zanie:
a0 = −2, a1 = 4, a2 = −1
Zatem:
F (x ) = −x 2 + 4x − 2
Bartosz Kuczewski
2
1.5
1
y
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
0.5
1
1.5
Bartosz Kuczewski
2
x
2.5
3
3.5
4
Przykªad przypadek ci¡gªy
Aproksymowa¢ przebieg funkcji f (x ) = x 2 za pomoc¡ staªej na przedziale
[a, b ] = [0, 2]
Dane: F (x ) = a0 ϕ0 (x );
Rozwi¡zanie:
ϕ0 (x ) = x 0 = 1
(ϕ0 , ϕ0 )a0 !
= (f , ϕ0 )
Rb
Rb
1 · 1 dx a0 = x 2 · 1 dx
a
R2
a0 =
0
a
x 2 dx
R2
0
3 2
0
2
[x ]0
1
=
dx
Bartosz Kuczewski
3x
=
8
3
2
=
4
3
Przykªad - przypadek ci¡gªy
4
3.5
3
2
f(x)=x
y
2.5
2
F(x)=4/3
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Bartosz Kuczewski
1
x
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Wielomiany ortogonalne
Rodzina trójk¡tna wielomianów ortogonalnych
(φi , φi ) = 0 dla i 6= k ⇒ {φk (x )}nk =0 nosi nazw¦ rodziny trójk¡tnej
wielomianów ortogonalnych
Dowolny wielomian ma posta¢:
p (x ) =
n
X
ci φi (x )
i =0
Pierwiastki wielomianów ortogonalnych w przestrzeni L2w [a, b ] s¡
rzeczywiste, jednokrotne i le»¡ wewn¡trz przedziaªu [a, b ]
Bartosz Kuczewski
Wielomiany Czebyszewa
Tn (x ) = cos(n arccos(x ))
Denicja
Dziedzina
Funkcja wagowa
Wzór rekurencyjny
[−1, 1]
w (x ) = √11−x 2
Tn (x ) = 2xTn−1 (x ) − Tn−2 (x )
T0 (x ) = 1; T1 (x ) = x

 0
π
(Tp , Tk ) =
 π
Ortogonalno±¢
2
xk = cos
Zera
(T1 (x ), T2 (x )) =
Z1
dla p 6= k
dla p = k = 0
dla p = k 6= 0
2k +1 π
n 2
T1 (x ) · T2 (x ) · w (x ) dx =
−1
Z1
x · (2x 2 − 1) · √
−1
Bartosz Kuczewski
1
dx = 0
1 − x2
Wielomiany Legendre'a
P0 (x ) = 1; Pn (x ) =
Denicja
Dziedzina
Funkcja wagowa
Wzór rekurencyjny
Ortogonalno±¢
1 dn
2n n! dx n
n
x2 − 1
[−1, 1]
w (x ) = 1
Pn (x ) = 2nn−1 xPn−1 (x ) − n−n 1 Pn−2 (x )
P0 (x ) = 1; P1 (x ) = x
(Pp , Pk ) =
Bartosz Kuczewski
0
2
2n + 1
dla p 6= k
dla p = k
Wielomiany Laquerre'a
n
Denicja
d
n −x )n
Ln (x ) = (−1)n e x dx
n (x e
Dziedzina
Funkcja wagowa
[0, ∞]
w (x ) = e −x
Wzór rekurencyjny
Ln (x ) = (2n − 1)xLn−1 (x ) − (n − 1)2 Ln−2 (x )
L0 (x ) = 1; L1 (x ) = 1 − x
Ortogonalno±¢
(Lp , Lk ) =
Bartosz Kuczewski
0
1
dla p 6= k
dla p = k
Wielomiany Hermite'a
H0 (x ) = 1; Hn (x ) = (−1)n e x
Denicja
2 dn
dx n
e −x
2
Dziedzina
[−∞, ∞]
Funkcja wagowa
w (x ) = e −x
Wzór rekurencyjny
Hn (x ) = 2xHn−1 (x ) − 2(n − 1)Hn−2 (x )
H0 (x ) = 1; H1 (x ) = 2x
Ortogonalno±¢
(Hp , Hk ) =
2
dla p 6= k
√0
p ! 2p π dla p = k
H2 (x ) = 4x 2 − 2, H3 (x ) = 8x 3 − 12x , H4 (x ) = 16x 4 − 48x 2 + 12, . . .
Bartosz Kuczewski
Wielomiany ortogonalne zastosowania
Interpolacja wielomianowa problem doboru w¦zªów interpolacji
Optymalny dobór w¦zªów: n + 1 w¦zªów interpolacji w zerach n + 1
wielomianu Czebyszewa
Przykªad: Interpolacja dla funkcji y = |x |
- równoodlegªe w¦zªy (n=4)
- równoodlegªe w¦zªy (n=10)
- w¦zªy dobrane optymalnie (n=10)
Bartosz Kuczewski
1
0.9
0.8
0.7
y
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
Bartosz Kuczewski
0
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Aproksymacja ±redniokwadratowa wybieraj¡c za funkcje bazowe ϕi
wielomiany ortogonalne kolejnych stopni znacz¡co upraszcza (przy
zachowaniu warunków ortogonalno±ci danej rodziny
) wyznaczenie rozwi¡zania (poniewa»
zeruj¡ si¦ mieszane iloczyny skalarne (ϕp , ϕk ) dla p 6= k macierz
ukªadu równa« liniowych b¦dzie diagonalna!).
wielomianów ortogonalnych
Caªkowanie numeryczne przy konstrukcji kwadratur Gaussa
(pozwala to m.in. na numeryczne liczenie caªek dla funkcji z
osobliwo±ciami na przedziale caªkowania (np. asymptoty pionowe R∞
tan(x )) a tak»e na liczenie caªek niewªa±ciwych w postaci f (x ) dx ,
R0
−∞
f (x ) dx ,
R∞
−∞
0
f (x ) dx
Bartosz Kuczewski

Aproksymacja cz. II, Wielomiany ortogonalne

Transkrypt

Podobne dokumenty

1 690 000 337.24 m2 - Bartosz Piwowarski Inwestycje w

STATYSTYKA CBOS - ROŚNIE ZAUFANIE DO POLICJI (STYCZEŃ

Rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

Komputerowe przetwarzanie tekstu

4 Metody numeryczne - if univ rzeszow pl

Listy z nazwiskami osób - Politechnika Poznańska

STATYSTYKA NIELEGALNA ADOPCJA (ART.211A)

statystyka eutanazja (art. 150)

statystyka kazirodztwo (art. 201)

Metody numeryczne i statystyka dla inzynierów