Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
1
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
Z1/7.1 Zadanie 3
Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1.
Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych we wszystkich węzłach oraz w utwierdzeniu. Wymiary
ramy podane są w metrach.
E
D
1,7
4,3 kN/m
7,6 kN
3,8 kN/m
F
B
1,8
C
5,2 kN/m
6,2 kN
2,2
2,3
A
Rys. Z1/7.1. Rama wspornikowa.
Z1/7.2 Wyznaczenie reakcji podporowych
Wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej jesteśmy w stanie narysować bez wyznaczania
wartości i zwrotów reakcji w utwierdzeniu. Jednak w niniejszym przykładzie dla sprawdzenia obliczeń
wyznaczymy reakcje w utwierdzeniu. Rysunek Z1/7.2 przedstawia założone zwroty reakcji w utwierdzeniu.
Reakcję VF wyznaczymy z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na ramę wspornikową na oś
pionową Y.
 Y =0
V F −7,6−3,8⋅2,35,2⋅2,2=0 .
V F =4,9 kN
(Z1/7.1)
Reakcja posiada zwrot zgodny z założonym. Reakcję HF wyznaczymy z warunku sumy rzutów wszystkich
sił działających na ramę wspornikową na oś poziomą X.
 X =0
H F −6,2−4,3⋅1,7=0 .
H F =13,51 kN
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/7.2)
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
2
7,6 kN
E
1,7
4,3 kN/m
MF
HF
D
3,8 kN/m
F
B
1,8
C
5,2 kN/m
VF
6,2 kN
A
2,2
2,3
Rys. Z1/7.2. Założone zwroty reakcji w utwierdzeniu.
7,6 kN
3,8 kN/m
F
B
C
55,84 kNm
1,8
13,51 kN
D
1,7
4,3 kN/m
E
5,2 kN/m
4,9 kN
6,2 kN
A
2,2
2,3
Rys. Z1/7.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w utwierdzeniu.
Reakcja posiada zwrot zgodny z założonym. Moment w utwierdzeniu MF wyznaczymy z warunku sumy
momentów wszystkich sił działających na ramę wspornikową względem punktu F.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
 M F =0


1
1
M F 7,6⋅ 2,22,3 6,2⋅1,83,8⋅2,3⋅ 2,2 ⋅2,3 −4,3⋅1,7⋅ ⋅1,7
2
2
.
1
−5,2⋅2,2⋅ ⋅2,2=0
2
M F =−55,84 kNm
3
(Z1/7.3)
Moment w utwierdzeniu posiada więc zwrot przeciwny do założonego. Rysunek Z1/7.3 przedstawia
prawidłowe zwroty i wartości reakcji w utwierdzeniu.
Z1/7.3 Siły przekrojowe w przedziale AB
W przedziale AB nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna i normalna będą stałe w
całym przedziale natomiast moment zginający będzie liniowy. Rysunek Z1/7.4 przedstawia równowagę siły
normalnej i poprzecznej w przedziale AB.
N(AB)
T(AB)
6,2 kN
A
Rys. Z1/7.4. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale AB.
Siła normalna w przedziale AB wynosi
N
=0,0 kN .
(Z1/7.4)
=6,2 kN .
(Z1/7.5)
 AB
Siła poprzeczna w przedziale AB wynosi
T
 AB 
Rysunek Z1/7.5 przedstawia równowagę momentów w punktach A i B. Zgodnie z rysunkiem Z1/7.5 a)
moment zginający w punkcie A wynosi
M A =0,0 kNm .
(Z1/7.6)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.5 b) moment zginający w punkcie B przedziału AB wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
4
 AB
M B =−6,2⋅1,8=−11,16 kNm .
(Z1/7.7)
Znak minus we wzorze (Z1/7.7) oznacza, że moment zginający w punkcie B rozciąga część przekroju pręta
znajdującą się po prawej stronie. Wykresy sił przekrojowych w przedziale AB przedstawiają rysunki
Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18.
b)
MB(AB)
1,8
a)
MA
6,2 kN
A
A
6,2 kN
Rys. Z1/7.5. Równowaga momentów w przedziale AB.
Z1/7.4 Siły przekrojowe w przedziale BC
W przedziale BC działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła
normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie
parabolą.
a)
b)
3,8 kN/m
TB(BC)
NB(BC)
NC(BC)
B
B
1,8
1,8
TC(BC)
6,2 kN
6,2 kN
A
A
2,3
Rys. Z1/7.6. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale BC.
Rysunek Z1/7.6 przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w przedziale BC. Zgodnie z
rysunkiem Z1/7.6 a) i b) siła normalna w przedziale BC wynosi
 BC
BC
N B =N C =N
Dr inż. Janusz Dębiński
=−6,2 kN .
 BC
(Z1/7.8)
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
5
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.6 a) siła poprzeczna w punkcie B przedziału BC wynosi
BC 
T B =0,0 kN .
(Z1/7.9)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.6 b) siła poprzeczna w punkcie C przedziału BC wynosi

.
T BC
C =3,8⋅2,3=8,74 kN
a)
(Z1/7.10)
b)
3,8 kN/m
B
B
1,8
MC(BC)
1,8
MB(BC)
6,2 kN
6,2 kN
A
A
2,3
Rys. Z1/7.7. Równowaga momentów w przedziale BC.
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.7 a) moment zginający w punkcie B przedziału BC wynosi
 BC
M B =−6,2⋅1,8 =−11,16 kNm .
(Z1/7.11)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.7 b) moment zginający w punkcie C przedziału BC wynosi
1
 BC
M C =−6,2⋅1,8 −3,8⋅2,3⋅ ⋅2,3=−21,21 kNm .
2
(Z1/7.12)
Znak minus we wzorach (Z1/7.11) i (Z1/7.12) oznacza, że moment zginający rozciąga górną część przekroju
ramy w tych punktach. Ekstremum paraboli będzie się znajdowało w punkcie B natomiast „brzuszek”
paraboli będzie zwrócony w stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego czyli w dół. Wykresy sił
przekrojowych w przedziale BC przedstawiają rysunki Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18.
Z1/7.5 Siły przekrojowe w przedziale DE
W przedziale DE nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna i normalna będą stałe w
całym przedziale natomiast moment zginający będzie liniowy. Rysunek Z1/7.8 przedstawia równowagę siły
normalnej i poprzecznej w przedziale DE.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
T(DE)
6
7,6 kN
(DE)
N
D
Rys. Z1/7.8. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale DE.
Siła normalna w przedziale DE wynosi
N
=0,0 kN .
(Z1/7.13)
=7,6 kN .
(Z1/7.14)
 DE 
Siła poprzeczna w przedziale DE wynosi
T
DE 
a)
MD
b)
7,6 kN
7,6 kN
D
D
ME(DE)
2,3
Rys. Z1/7.9. Równowaga momentów w przedziale DE.
Rysunek Z1/7.9 przedstawia równowagę momentów w punktach D i E. Zgodnie z rysunkiem Z1/7.9 a)
moment zginający w punkcie D wynosi
M D =0,0 kNm .
(Z1/7.15)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.9 b) moment zginający w punkcie E przedziału DE wynosi
 DE
M E =−7,6⋅2,3=−17,48 kNm .
(Z1/7.16)
Znak minus we wzorze (Z1/7.16) oznacza, że moment zginający w punkcie E rozciąga górną część przekroju
pręta. Wykresy sił przekrojowych w przedziale DE przedstawiają rysunki Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18.
Z1/7.6 Siły przekrojowe w przedziale CE
W przedziale CE działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła
normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie
parabolą.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
a)
b)
7,6 kN
E
7,6 kN
E
D
TE(CE)
NE(CE)
1,7
4,3 kN/m
D
7
2,3
TC(CE)
NC(CE)
2,3
Rys. Z1/7.10. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale CE.
Rysunek Z1/7.10 przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w przedziale CE. Zgodnie z
rysunkiem Z1/7.10 a) i b) siła normalna w przedziale CE wynosi
CE
CE
N CE
=−7,6 kN .
E =N C =N
(Z1/7.17)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.10 a) siła poprzeczna w punkcie E przedziału CE wynosi
CE
T E =0,0 kN .
(Z1/7.18)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.10 b) siła poprzeczna w punkcie C przedziału CE wynosi
.
T CE
C =−4,3⋅1,7 =−7,31 kN
(Z1/7.19)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.11 a) moment zginający w punkcie E przedziału CE wynosi
CE
M E =−7,6⋅2,3=−17,48 kNm .
(Z1/7.20)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.11 b) moment zginający w punkcie C przedziału CE wynosi
1
CE
M C =−7,6⋅2,34,3⋅1,7⋅ ⋅1,7=−11,27 kNm .
2
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/7.21)
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
7,6 kN
a)
E
8
7,6 kN
b)
E
D
ME(CE)
2,3
1,7
4,3 kN/m
D
MC(CE)
2,3
Rys. Z1/7.11. Równowaga momentów w przedziale EC.
Znak minus we wzorach (Z1/7.20) i (Z1/7.21) oznacza, że moment zginający rozciąga lewą część przekroju
ramy w tych punktach. Ekstremum paraboli będzie się znajdowało w punkcie E natomiast „brzuszek”
paraboli będzie zwrócony w stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego czyli w lewo. Wykresy
sił przekrojowych w przedziale CE przedstawiają rysunki Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18.
Z1/7.7 Siły przekrojowe w przedziale CF
W przedziale CF działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła
normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie
parabolą.
E
D
1,7
4,3 kN/m
7,6 kN
3,8 kN/m
NC(CF)
B
C
1,8
TC(CF)
6,2 kN
2,3
A
Rys. Z1/7.12. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w punkcie C.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
E
9
D
TF
1,7
4,3 kN/m
7,6 kN
3,8 kN/m
B
1,8
C
NF
5,2 kN/m
6,2 kN
2,2
2,3
A
Rys. Z1/7.13. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w punkcie F.
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.12 i Z1/7.13 siła normalna w przedziale CF wynosi
CF 
CF 
N C =N F =N
=−6,2−4,3⋅1,7 =−13,51 kN .
CF
(Z1/7.22)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.12 siła poprzeczna w punkcie C przedziału CF wynosi
.
T CF
C =7,6 3,8⋅2,3 =16,34 kN
(Z1/7.23)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.13 siła poprzeczna w punkcie F wynosi
T F =7,63,8⋅2,3−5,2⋅2,2=4,9 kN .
(Z1/7.24)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.14 moment zginający w punkcie C przedziału CF wynosi
1
1
CF 
M C =−7,6⋅2,3−6,2⋅1,8−3,8⋅2,3⋅ ⋅2,3 4,3⋅1,7⋅ ⋅1,7=−32,48 kNm .
2
2
(Z1/7.25)
Zgodnie z rysunkiem Z1/7.15 moment zginający w punkcie F wynosi


1
1
M F =−7,6⋅ 2,22,3 −6,2⋅1,8−3,8⋅2,3⋅ 2,2  ⋅2,3 4,3⋅1,7⋅ ⋅1,7
2
2
.
1
5,2⋅2,2⋅ ⋅2,2=−55,84 kNm
2
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/7.26)
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
E
10
D
1,7
4,3 kN/m
7,6 kN
3,8 kN/m
B
C
1,8
MC(CF)
6,2 kN
A
2,3
Rys. Z1/7.14. Równowaga momentów w punkcie C.
E
MF
D
1,7
4,3 kN/m
7,6 kN
3,8 kN/m
B
1,8
C
5,2 kN/m
6,2 kN
2,2
2,3
A
Rys. Z1/7.15. Równowaga momentów w punkcie F.
Znak minus we wzorach (Z1/7.25) i (Z1/7.26) oznacza, że moment zginający rozciąga górną część przekroju
ramy w tych punktach. Ekstremum paraboli będzie się znajdowało poza przedziałem CF, ponieważ siła
poprzeczna na obu końcach przedziału jest dodatnia. Natomiast „brzuszek” paraboli będzie zwrócony w
stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego czyli do góry. Wykresy sił przekrojowych w
przedziale CF przedstawiają rysunki Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18.
Z1/7.8 Równowaga węzłów i utwierdzenia
W celu sprawdzenia wykresów sił przekrojowych przedstawionych na rysunkach Z1/7.16, Z1/7.17 i
Z1/7.18 wykonamy sprawdzenie równowagi sił przekrojowych w węzłach B, C, E oraz w utwierdzeniu F.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
11
-7,6
0,0
N [kN]
-6,2
-13,51
Rys. Z1/7.16. Wykres siły normalnej w ramie wspornikowej.
+7,6
0,0
+6,2
+16,34
+8,74
+4,9
-7,31
0,0
T [kN]
Rys. Z1/7.17. Wykres siły poprzecznej w ramie wspornikowej.
Rysunki Z1/7.19 i Z1/7.20 przedstawiają równowagę węzłów B i E. Jak widać wszystkie siły przekrojowe w
tych węzłach znajdują się w równowadze.
Rysunek Z1/7.21 przedstawia równowagę węzła C. Suma rzutów wszystkich sił przekrojowych na oś
poziomą X wynosi
13,51−7,31−6,2=0 .
(Z1/7.27)
Wszystkie siły poziome w węźle C znajdują się w równowadze. Suma rzutów wszystkich sił przekrojowych
na oś pionową Y wynosi
16,34−7,6−8,74=0 .
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/7.28)
Zaoczni
12
0,0
17,48
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
11,16
M [kNm]
32,48
21,21
55,84
17,48
11,16
11,27
0,0
Rys. Z1/7.18. Wykres momentu zginającego w ramie wspornikowej.
11,16 kNm
B
B
6,2 kN
6,2 kN
11,16 kNm
Rys. Z1/7.19. Równowaga węzła B.
17,48 kNm
7,6 kN
E
E
17,48 kNm
7,6 kN
Rys. Z1/7.20. Równowaga węzła E.
Wszystkie siły pionowe w węźle C znajdują się w równowadze. Suma wszystkich momentów zginających w
węźle C wynosi
11,2721,21−32,48 =0 .
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/7.29)
Zaoczni
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 3
13
7,6 kN
11,27 kNm
7,31 kN
32,48 kNm
8,74 kN
21,21 kNm
6,2 kN
C
13,51 kN
C
16,34 kN
Rys. Z1/7.21. Równowaga węzła C.
Wszystkie momenty zginające w węźle C znajdują się w równowadze. Ponieważ w tym węźle zostały
spełnione wszystkie warunki równowagi możemy stwierdzić, że znajduje się on w równowadze.
4,9 kN
13,51 kN
F
55,84 kNm
13,51 kN
55,84 kNm
4,9 kN
Rys. Z1/7.22. Równowaga sił przekrojowych i reakcji w utwierdzeniu.
Rysunek Z1/7.22 przedstawia równowagę sił przekrojowych i reakcji w utwierdzeniu. Jak łatwo stwierdzić
utwierdzenie znajduje się w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni