Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
1
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
Z1/8.1 Zadanie 4
Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/8.1.
Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych we wszystkich węzłach oraz w utwierdzeniu. Wymiary
ramy podane są w metrach.
4,0 kN/m
B
8,0 kN
D
A
8,0 kN/m
E
3,0
8,0 kN
2,0
5,0 kN/m
C
F
2,0
2,0
Rys. Z1/8.1. Rama wspornikowa.
Z1/8.2 Wyznaczenie reakcji podporowych
Wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej jesteśmy w stanie narysować bez wyznaczania
wartości i zwrotów reakcji w utwierdzeniu. Jednak w niniejszym przykładzie dla sprawdzenia obliczeń
wyznaczymy reakcje w utwierdzeniu. Rysunek Z1/8.2 przedstawia założone zwroty reakcji w utwierdzeniu.
Reakcję VF wyznaczymy z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na ramę wspornikową na oś
pionową Y.
 Y =0
V F −8,0−4,0⋅2,0=0 .
V F =16,0 kN
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/8.1)
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
2
4,0 kN/m
B
8,0 kN
D
A
8,0 kN/m
E
HF
3,0
8,0 kN
2,0
5,0 kN/m
C
F
VF
MF
2,0
2,0
Rys. Z1/8.2. Założone zwroty reakcji w utwierdzeniu.
Reakcja posiada zwrot zgodny z założonym. Reakcję HF wyznaczymy z warunku sumy rzutów wszystkich
sił działających na ramę wspornikową na oś poziomą X.
 X =0
H F 8,05,0⋅2,0−8,0⋅3,0=0 .
H F =6,0 kN
(Z1/8.2)
Reakcja posiada zwrot zgodny z założonym. Moment w utwierdzeniu MF wyznaczymy z warunku sumy
momentów wszystkich sił działających na ramę wspornikową względem punktu F.
 M F =0


1
1
1
M F 8,0⋅3,04,0⋅2,0⋅ ⋅2,05,0⋅2,0⋅ 3,0 ⋅2,0 −8,0⋅2,0−8,0⋅3,0⋅ ⋅3,0=0 .
2
2
2
M F =−20,0 kNm
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/8.3)
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
3
Moment w utwierdzeniu posiada więc zwrot przeciwny do założonego. Rysunek Z1/8.3 przedstawia
prawidłowe zwroty i wartości reakcji w utwierdzeniu.
4,0 kN/m
B
8,0 kN
D
A
8,0 kN/m
E
6,0 kN
3,0
8,0 kN
2,0
5,0 kN/m
C
F
16,0 kN
20,0 kNm
2,0
2,0
Rys. Z1/8.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w utwierdzeniu.
Z1/8.3 Siły przekrojowe w przedziale AB
W przedziale AB nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna i normalna będą stałe w
całym przedziale natomiast moment zginający będzie liniowy. Rysunek Z1/8.4 przedstawia równowagę siły
normalnej i poprzecznej w przedziale AB.
Siła normalna w przedziale AB wynosi
N
 AB
=0,0 kN .
(Z1/8.4)
Siła poprzeczna w przedziale AB wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
4
N(AB)
T(AB)
8,0 kN
A
Rys. Z1/8.4. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale AB.
MB(AB)
b)
2,0
a)
MA
A
8,0 kN
A
8,0 kN
Rys. Z1/8.5. Równowaga momentów w przedziale AB.
T
=−8,0 kN .
 AB 
(Z1/8.5)
Rysunek Z1/8.5 przedstawia równowagę momentów w punktach A i B. Zgodnie z rysunkiem Z1/8.5 a)
moment zginający w punkcie A wynosi
M A =0,0 kNm .
(Z1/8.6)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.5 b) moment zginający w punkcie B przedziału AB wynosi
 AB
M B =8,0⋅2,0 =16,0 kNm .
(Z1/8.7)
Znak plus we wzorze (Z1/8.7) oznacza, że moment zginający w punkcie B rozciąga część przekroju pręta
znajdującą się po lewej stronie. Wykresy sił przekrojowych w przedziale AB przedstawiają rysunki Z1/7.17,
Z1/7.18 i Z1/7.19.
Z1/8.4 Siły przekrojowe w przedziale BC
W przedziale BC działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła
normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie
parabolą.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
a)
b)
NB(BC)
5
4,0 kN/m
NC(BC)
B
B
TB(BC)
2,0
2,0
TC(BC)
8,0 kN
2,0
A
8,0 kN
A
Rys. Z1/8.6. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale BC.
a)
b)
4,0 kN/m
B
B
2,0
MC(BC)
2,0
MB(BC)
8,0 kN
A
2,0
A
8,0 kN
Rys. Z1/8.7. Równowaga momentów w przedziale BC.
Rysunek Z1/8.6 przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w przedziale BC. Zgodnie z
rysunkiem Z1/8.6 a) i b) siła normalna w przedziale BC wynosi
N BBC=N CBC =N  BC=8,0 kN .
(Z1/8.8)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.6 a) siła poprzeczna w punkcie B przedziału BC wynosi
BC 
T B =0,0 kN .
(Z1/8.9)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.6 b) siła poprzeczna w punkcie C przedziału BC wynosi

.
T BC
C =4,0⋅2,0=8,0 kN
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/8.10)
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
6
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.7 a) moment zginający w punkcie B przedziału BC wynosi
 BC
M B =8,0⋅2,0=16,0 kNm .
(Z1/8.11)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.7 b) moment zginający w punkcie C przedziału BC wynosi
1
 BC
M C =8,0⋅2,0−4,0⋅2,0⋅ ⋅2,0 =8,0 kNm .
2
(Z1/8.12)
Znak plus we wzorach (Z1/8.11) i (Z1/8.12) oznacza, że moment zginający rozciąga dolną część przekroju
ramy w tych punktach. Ekstremum paraboli będzie się znajdowało w punkcie B natomiast „brzuszek”
paraboli będzie zwrócony w stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego czyli w dół. Wykresy sił
przekrojowych w przedziale BC przedstawiają rysunki Z1/7.17, Z1/7.18 i Z1/7.19.
Z1/8.5 Siły przekrojowe w przedziale CD
W przedziale CD działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła
normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie
parabolą.
a)
b)
4,0 kN/m
B
C
NC(CD)
2,0
2,0
TC(CD)
B
5,0 kN/m
C
4,0 kN/m
8,0 kN
8,0 kN
TD(CD)
A
2,0
A
ND
(CD)
2,0
Rys. Z1/8.8. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale CD.
Rysunek Z1/8.8 przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w przedziale CD. Zgodnie z
rysunkiem Z1/8.8 a) i b) siła normalna w przedziale CD wynosi
CD 
CD
N C =N D =N
Dr inż. Janusz Dębiński
CD
=−4,0⋅2,0=−8,0 kN .
(Z1/8.13)
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
7
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.8 a) siła poprzeczna w punkcie C przedziału CD wynosi
CD
T C =8,0 kN .
(Z1/8.14)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.8 b) siła poprzeczna w punkcie D przedziału CD wynosi
.
T CD
D =8,05,0⋅2,0=18,0 kN
a)
(Z1/8.15)
b)
4,0 kN/m
B
C
2,0
2,0
MC(CD)
B
5,0 kN/m
C
4,0 kN/m
8,0 kN
2,0
A
8,0 kN
MD(CD)
A
2,0
Rys. Z1/8.9. Równowaga momentów w przedziale CD.
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.9 a) moment zginający w punkcie C przedziału CD wynosi
1
CD 
M C =8,0⋅2,0−4,0⋅2,0⋅ ⋅2,0=8,0 kNm .
2
(Z1/8.16)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.9 b) moment zginający w punkcie D przedziału CD wynosi
1
1
CD 
M D =−4,0⋅2,0⋅ ⋅2,0−5,0⋅2,0⋅ ⋅2,0=−18,0 kNm .
2
2
(Z1/8.17)
Znak plus we wzorze (Z1/8.16) oznacza, że moment zginający rozciąga prawą część przekroju ramy w
punkcie C natomiast minus we wzorze (Z1/8.17) oznacza, że moment zginający rozciąga lewą część
przekroju ramy w punkcie D. Ekstremum paraboli będzie się znajdowało poza przedziałem CD, ponieważ na
końcach przedziału liniowa siła poprzeczna posiada wartości dodatnie. Natomiast „brzuszek” paraboli
będzie zwrócony w stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego czyli w prawo. Wykresy sił
przekrojowych w przedziale CD przedstawiają rysunki Z1/7.17, Z1/7.18 i Z1/7.19.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
8
Z1/8.6 Siły przekrojowe w przedziale DE
W przedziale DE nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna i normalna będą stałe w
całym przedziale natomiast moment zginający będzie liniowy. Rysunek Z1/8.10 przedstawia równowagę siły
normalnej i poprzecznej w przedziale DE.
8,0 kN
T(DE)
N(DE)
E
Rys. Z1/8.10. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale DE.
a)
b)
8,0 kN
8,0 kN
ME
MD(DE)
E
E
2,0
Rys. Z1/8.11. Równowaga momentów w przedziale DE.
Siła normalna w przedziale DE wynosi
N
=0,0 kN .
(Z1/8.18)
=−8,0 kN .
(Z1/8.19)
 DE 
Siła poprzeczna w przedziale DE wynosi
T
DE 
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.11 a) moment zginający w punkcie E wynosi
M E =0,0 kNm .
(Z1/8.20)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.11 b) moment zginający w punkcie D przedziału DE wynosi
 DE
M D =−8,0⋅2,0=−16,0 kNm .
(Z1/8.21)
Znak minus we wzorze (Z1/8.21) oznacza, że moment zginający w punkcie D rozciąga górną część
przekroju pręta. Wykresy sił przekrojowych w przedziale DE przedstawiają rysunki Z1/7.17, Z1/7.18 i
Z1/7.19.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
9
Z1/8.7 Siły przekrojowe w przedziale DF
W przedziale DF działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła
normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie
parabolą.
4,0 kN/m
B
8,0 kN
2,0
5,0 kN/m
C
D
E
8,0 kN
TD
A
(DF)
ND(DF)
2,0
2,0
Rys. Z1/8.12. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w punkcie D.
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.12 i Z1/8.13 siła normalna w przedziale DF wynosi
 DF 
DF 
N D =N F =N
DF 
=−4,0⋅2,0 −8,0=−16,0 kN .
(Z1/8.22)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.12 siła poprzeczna w punkcie D przedziału DF wynosi

.
T DF
D =8,05,0⋅2,0=18,0 kN
(Z1/8.23)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.13 siła poprzeczna w punkcie F przedziału DF wynosi
T F =8,05,0⋅2,0−8,0⋅3,0=−6,0 kN .
(Z1/8.24)
Siła poprzeczna w przedziale DF posiada na końcach przedziału wartości przeciwnych znaków więc w tym
przedziale będzie ona miała miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (1.62) znajduje się ono w odległości
x0 =
18,0
=2,25 m
8,0
(Z1/8.25)
od punktu D. Zgodnie z rysunkiem Z1/8.14 moment zginający w punkcie D przedziału DF wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
10
4,0 kN/m
B
8,0 kN
2,0
5,0 kN/m
C
8,0 kN
D
A
3,0
8,0 kN/m
E
TF
NF
2,0
2,0
Rys. Z1/8.13. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w punkcie F.
1
1
 DF 
M D =−4,0⋅2,0⋅ ⋅2,0−5,0⋅2,0⋅ ⋅2,08,0⋅2,0=−2,0 kNm .
2
2
(Z1/8.26)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.15 ekstremalny moment zginający w przedziale DF wynosi


1
1
M 1 =−8,0⋅2,25 −4,0⋅2,0⋅ ⋅2,0−5,0⋅2,0⋅ 2,25 ⋅2,0 8,0⋅2,0
2
2
.
1
8,0⋅2,25⋅ ⋅2,25=−22,25 kNm
2
(Z1/8.27)
Zgodnie z rysunkiem Z1/8.16 moment zginający w punkcie F przedziału DF wynosi


1
1
M F =−8,0⋅3,0−4,0⋅2,0⋅ ⋅2,0−5,0⋅2,0⋅ 3,0 ⋅2,0 8,0⋅2,0
2
2
.
1
8,0⋅3,0⋅ ⋅3,0=−20,0 kNm
2
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/8.28)
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
11
4,0 kN/m
B
8,0 kN
2,0
5,0 kN/m
C
D
E
2,0
8,0 kN
MD
(DF)
A
2,0
Rys. Z1/8.14. Równowaga momentów w punkcie D.
4,0 kN/m
B
8,0 kN
D
A
8,0 kN/m
E
2,25
8,0 kN
2,0
5,0 kN/m
C
M1
2,0
2,0
Rys. Z1/8.15. Równowaga momentów w miejscu zerowym siły poprzecznej.
Znak minus we wzorach (Z1/8.26), (Z1/8.27) oraz (Z1/8.28) oznacza, że moment zginający rozciąga lewą
część przekroju ramy w przedziale DF. Wykresy sił przekrojowych w przedziale DF przedstawiają rysunki
Z1/7.17, Z1/7.18 i Z1/7.19.
Z1/7.8 Równowaga węzłów i utwierdzenia
W celu sprawdzenia wykresów sił przekrojowych przedstawionych na rysunkach Z1/7.17, Z1/7.18 i
Z1/7.19 wykonamy sprawdzenie równowagi sił przekrojowych w węzłach B, C, D oraz w utwierdzeniu F.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
12
4,0 kN/m
B
8,0 kN
2,0
5,0 kN/m
C
8,0 kN
D
A
MF
2,0
3,0
8,0 kN/m
E
2,0
Rys. Z1/8.16. Równowaga momentów w punkcie F.
0,0
-8,0
+8,0
0,0
-16,0
N [kN]
Rys. Z1/8.17. Wykres siły normalnej w ramie wspornikowej.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
13
0,0
+8,0
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
-8,0
+8,0
T [kN]
+18,0
2,25
-8,0
0,75
0,0
-6,0
Rys. Z1/8.18. Wykres siły poprzecznej w ramie wspornikowej.
16,0
16,0
16,0
8,0
8,0
18,0
M [kNm]
0,0
2,25
2,0
20,0
0,75
22,25
Rys. Z1/8.19. Wykres momentu zginającego w ramie wspornikowej.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
14
16,0 kNm
B
B
8,0 kN
16,0 kNm
8,0 kN
Rys. Z1/8.20. Równowaga węzła B.
8,0 kN
C
8,0 kNm
C
8,0 kN
8,0 kN
8,0 kNm
8,0 kN
Rys. Z1/8.21. Równowaga węzła C.
8,0 kN
18,0 kNm
18,0 kN
8,0 kN
D
D
16,0 kNm
18,0 kN
2,0 kNm
16,0 kN
Rys. Z1/8.22. Równowaga węzła D.
Jak łatwo zauważyć na rysunkach Z1/8.20, Z1/8.21 oraz Z1/8.22 wszystkie siły przekrojowe w węzłach B, C
i D znajdują się w równowadze. Rysunek Z1/8.23 pokazuje także, ze wszystkie siły przekrojowe oraz
reakcje w utwierdzeniu znajdują się także w równowadze. Możemy więc stwierdzić, że wykresy sił
przekrojowych są poprawne.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4
16,0 kN
15
20,0 kNm
6,0 kN
F
6,0 kN
20,0 kNm
16,0 kN
Rys. Z1/8.23. Równowaga sił przekrojowych i reakcji w utwierdzeniu.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni