Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Modelowanie matematyczne elementów systemu sterowania
(obwody elektryczne, mechaniczne i płynowe)
Zadania do ćwiczeń – termin T1 i T2
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Tomasz Rutkowski, dr inż.
1
Zadanie 1
Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy siłą F1(t) a siłą
F2(t) działającymi na dźwignię dwuramienną przedstawioną na Rysunku 1.
r2
r1
F2(t)
F1(t)
Rysunek 1. Dźwignia dwuramienna
Podpowiedź:
Skorzystaj z zasady zachowania momentu siły.
Zadanie 2
Na podstawie prawa Ohma, I i II prawa Kirchoff’a oraz zależności między napięciami i
prądami zbudować model matematyczny wiążący prąd wyjściowy iwy(t) z prądem
wejściowym iwe(t) nieobciążonego prądowo obwodu przedstawionego na Rysunku 2.
iwe(t)
i2(t)=iwy(t)
i1(t)
uwe(t)
u1(t)
R1
u2(t)
R2
Rysunek 2. Obwód elektryczny RR (dzielnik prądu)
Zadanie 3
Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy napięciem
wejściowym uwe(t) a napięciem wyjściowym uwy(t) nieobciążonego prądowo czwórnika RC
(kondensator ładowany przez rezystor) przedstawionego na Rysunku 3.
R
iR(t)
iC(t)
uR(t)
uwe(t)
iobc(t)
uC(t)
C
Rysunek 3. Obwód elektryczny RC
2
uwy(t)
Zadanie 4
Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy napięciem
wejściowym uwe(t) a prądem płynącym przez układ iRL(t) czwórnika RL przedstawionego na
Rysunku 4.
R
iRL(t)
uR(t)
uwe(t)
uL(t)
L
Rysunek 4. Obwód elektryczny RL
Zadanie 5
Rozpatrzmy system mechaniczny „amortyzatora samochodowego”, przedstawiony na
Rysunku 5.
Opracujemy taki model matematyczny wspomnianego systemu, który będzie umożliwiał
badanie zależności pomiędzy siłą f(t) działającą na masę m a jej przesunięciem wzdłuż osi y
oraz pomiędzy siła f(t) a prędkością masy m wzdłuż osi y.
a)
b)
f(t)
m
k
y
B
gdzie:
m – masa nadwozia samochodu
k – współczynnik sprężystości amortyzatora
B – współczynnik tłumienia amortyzatora
Rysunek 5. Amortyzator samochodowy:
a) rzeczywisty amortyzator samochodowy (foto: http://www.autoklimatyzacja.com.pl)
b) prosty model ideowy amortyzatora samochodowego
3
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 5, zgodnie z
wymogami zadania przyjmujemy następujące założenia:
- ruch odbywa się w płaszczyźnie w kierunku zaznaczonej osi y,
- na system nie oddziaływają żadne zewnętrzne siły poza siłami przedstawionymi na
Rysunku 5.
Z założeń wynikają następujące fakty:
- system nie będzie się nam „bujał” na boki, porusza się na płaszczyźnie wzdłuż tylko
jednej osi y,
- nie uwzględniamy żadnej z sił, która nie jest zaznaczona na Rysunku 5 jako siła
zewnętrzna,
- nie uwzględniamy siły ciążenia, w zadaniu się o niej nie wspomina ☺ (jej
uwzględnienie wprowadza jedynie drobne modyfikacje do modelu wynikowego),
- uwzględniamy siłę bezwładności (II zasad dynamiki Newtona),
- dodatkowo uwzględniamy następujące siły: zewnętrznego wymuszenia f(t), siłę
sprężystości i tłumienia amortyzatora.
Zadanie 6
Rozpatrzmy system mechaniczny „połączenie sprężyste pomiędzy lokomotywą a
wagonikiem” przedstawiony na Rysunku 6.
Opracujemy taki model matematyczny wspomnianego systemu, który będzie umożliwiał
analizę zachowania systemu (położenie i prędkości lokomotywy i wagonika) ze względu na
parametry połączenia sprężystego pomiędzy lokomotywą a wagonikiem.
a)
b)
x
k
f (t )
m1
m2
Rysunek 6. System mechaniczny „lokomotywa-wagonik”:
a) układ rzeczywisty (foto: http://www.ptkigk.com)
b) prosty model ideowy składu lokomotywa-wagonik
4
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 6, zgodnie z
wymogami zadania przyjmujemy następujące założenia:
- kolejka porusza się na płaszczyźnie, w jednym kierunku wzdłuż zaznaczonej osi x ze
stałą prędkością,
- na układ działa siła ciążenia, kolejka może się poruszać z dużymi prędkościami
względnymi w wyniku czego należy uwzględnić siłę tarcia tocznego w odpowiedniej
postaci (siła tarcia tocznego zależna od prędkości).
Z założeń wynikają następujące fakty:
- system nie będzie się nam bujał na boki, porusza się na płaszczyźnie wzdłuż jednej
osi,
- uwzględniamy siłę bezwładności (II zasad dynamiki Newtona),
- uwzględniamy siłę ciążenia,
- dodatkowo uwzględniamy siły: zewnętrznego wymuszenia f(t) (napęd lokomotywy),
siłę sprężystości połączenia lokomotywa-wagonik (masa m1 – masa m2), siła tarcia
tocznego na styku kółka kolejki a tory (zależną od prędkości po ponieważ kolejka
porusza się z dużymi prędkościami względnymi co wynika z założenia zadania).
W przypadku małych prędkości względnych, siła tarcia nie zależałaby od prędkości.
Uwzględnienie jej w takiej postaci nieznacznie zmodyfikuje dalsze równania.
Zadanie 7
Rozpatrzmy system płynowy („zbiornik ze swobodnym wypływem”) przedstawiony na
Rysunku 7.
Opracujemy taki model matematyczny wspomnianego systemu, który będzie umożliwiał
analizę zależności pomiędzy poziomem wody w zbiorniku h a natężeniem dopływu wody Qwe
do zbiornika.
Natężenie dopływu
wody Qwe
Powierzchnia
lustra wody A
Poziom wody
w zbiorniku h
Objętość wody
w zbiorniku V
Zawór
Natężenie wypływu
wody Qwy
Rysunek 7. System płynowy –„zbiornik ze swobodnym wypływem”
5