Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Modelowanie matematyczne elementów systemu sterowania
(obwody elektryczne, mechaniczne i płynowe)
Zadania do ćwiczeń – termin T3
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Tomasz Rutkowski, dr inż.
Gdańsk, październik 2009
1
Zadanie 1
Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy napięciem
wejściowym uwe(t) a napięciem wyjściowym uwy(t) nieobciążonego prądowo czwórnika RR
(dzielnik napięcia) przedstawionego na Rysunku 1.
R1
iR1(t)
iobc(t)
iR2(t)
uR1(t)
uwe(t)
uwy(t)
R2
uR2(t)
Rysunek 1. Czwórnik RR (dzielnik napięcia)
Zadanie 2
Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy napięciem
wejściowym uwe(t) a napięciem wyjściowym uwy(t) nieobciążonego prądowo czwórnika RC
(kondensator ładowany przez rezystor) przedstawionego na Rysunku 2.
R
iR(t)
iobc(t)
iC(t)
uR(t)
uwe(t)
C
uC(t)
Rysunek 2. Czwórnik RC
2
uwy(t)
Zadanie 3
Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy napięciem
wejściowym uwe(t) a prądem płynącym przez układ iRL(t) czwórnika RL przedstawionego na
Rysunku 3.
R
iRL(t)
uR(t)
uwe(t)
L
uL(t)
Rysunek 3. Obwód RL
Zadanie 4
Dany jest układ elektryczny przedstawiony na rysunku 4.
W
uw (t)
iRL
R
L
uR (t)
uL (t)
uwe(t)
iC
uRo (t)
iRo
R0
C
uC (t)
.
Rysunek 4. Obwód z rozładowanym kondensatorem
Do zacisków układu podłączone jest napięcie
uwe (t ) = E .
W chwili tuż przed włączeniem
t  0  wyłącznika W w obwodzie panują następujące warunki u t  0   0 . W chwili t=0


C
zostaje włączony wyłącznik W. Zbudować model matematyczny pozwalający badać
zależność przebiegu napięcia na kondensatorze
3
przy zadanym napięciu
.
Zadanie 5
Rozpatrzmy system mechaniczny „amortyzatora samochodowego”, przedstawiony na
Rysunku 5.
Opracujemy taki model matematyczny wspomnianego systemu, który będzie umożliwiał
badanie zależności pomiędzy siłą f(t) działającą na masę m a jej przesunięciem wzdłuż osi y
oraz pomiędzy siła f(t) a prędkością masy m wzdłuż osi y.
a)
b)
f(t)
m
k
y
B
gdzie:
m – masa nadwozia samochodu
k – współczynnik sprężystości amortyzatora
B – współczynnik tłumienia amortyzatora
Rysunek 5 Amortyzator samochodowy:
a) rzeczywisty amortyzator samochodowy (foto: http://www.autoklimatyzacja.com.pl)
b) prosty model ideowy amortyzatora samochodowego
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 5, zgodnie z
wymogami zadania przyjmujemy następujące założenia:
- ruch odbywa się w płaszczyźnie w kierunku zaznaczonej osi y,
- na system nie oddziaływają żadne zewnętrzne siły poza siłami przedstawionymi na
Rysunku 5.
Z założeń wynikają następujące fakty:
- system nie będzie się nam „bujał” na boki, porusza się na płaszczyźnie wzdłuż tylko
jednej osi y,
- nie uwzględniamy żadnej z sił, która nie jest zaznaczona na Rysunku 5 jako siła
zewnętrzna,
- nie uwzględniamy siły ciążenia, w zadaniu się o niej nie wspomina  (jej
uwzględnienie wprowadza jedynie drobne modyfikacje do modelu wynikowego),
- uwzględniamy siłę bezwładności (II zasad dynamiki Newtona),
4
dodatkowo uwzględniamy następujące siły: zewnętrznego wymuszenia f(t), siłę
sprężystości i tłumienia amortyzatora.
-
Zadanie 6
Rozpatrzmy system mechaniczny „połączenie sprężyste pomiędzy lokomotywą
wagonikiem” przedstawiony na Rysunku 6.
a
Opracujemy taki model matematyczny wspomnianego systemu, który będzie umożliwiał
analizę zachowania systemu (położenie i prędkości lokomotywy i wagonika) ze względu na
parametry połączenia sprężystego pomiędzy lokomotywą a wagonikiem.
a)
b)
x
f t 
k
m1
m2
Rysunek 6. System mechaniczny „lokomotywa-wagonik”:
a) układ rzeczywisty (foto: http://www.ptkigk.com)
b) prosty model ideowy składu lokomotywa-wagonik
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 6, zgodnie z
wymogami zadania przyjmujemy następujące założenia:
- kolejka porusza się na płaszczyźnie, w jednym kierunku wzdłuż zaznaczonej osi x ze
stałą prędkością,
5
-
na układ działa siła ciążenia, kolejka może się poruszać z dużymi prędkościami
względnymi w wyniku czego należy uwzględnić siłę tarcia tocznego w odpowiedniej
postaci (siła tarcia tocznego zależna od prędkości).
Z założeń wynikają następujące fakty:
- system nie będzie się nam bujał na boki, porusza się na płaszczyźnie wzdłuż jednej
osi,
- uwzględniamy siłę bezwładności (II zasad dynamiki Newtona),
- uwzględniamy siłę ciążenia,
- dodatkowo uwzględniamy siły: zewnętrznego wymuszenia f(t) (napęd lokomotywy),
siłę sprężystości połączenia lokomotywa-wagonik (masa m1 – masa m2), siła tarcia
tocznego na styku kółka kolejki a tory (zależną od prędkości po ponieważ kolejka
porusza się z dużymi prędkościami względnymi co wynika z założenia zadania).
W przypadku małych prędkości względnych, siła tarcia nie zależałaby od prędkości.
Uwzględnienie jej w takiej postaci nieznacznie zmodyfikuje dalsze równania.
Zadanie 7
Rozpatrzmy system płynowy („zbiornik ze swobodnym wypływem”) przedstawiony na
Rysunku 7.
Opracujemy taki model matematyczny wspomnianego systemu, który będzie umożliwiał
analizę zależności pomiędzy poziomem wody w zbiorniku h a natężeniem dopływu wody Qwe
do zbiornika.
Natężenie dopływu
wody Qwe
Powierzchnia
lustra wody A
Poziom wody
w zbiorniku h
Objętość wody
w zbiorniku V
Zawór
Natężenie wypływu
wody Qwy
Rysunek 7. System płynowy –„zbiornik ze swobodnym wypływem”.
6