Drgania układu o jednym stopniu swobody

Transkrypt

Rodzaje drgań na przykładzie układu
o jednym stopniu swobody
Układ o jednym stopniu swobody
Sosinpt
m
k
C
m
Sosinpt
Schemat układu
Przykład układu
Zestawienie sił w układzie
o jednym stopniu swobody z harmoniczną
siłą wymuszającą
Sosinpt
Sosinpt
m
y
B
K
Siły działające na układ:
C
harmoniczna siła wymuszająca -
S o sin pt
siła sprężystości (sztywność belki przeciwstawiająca się ruchowi) -
K = ky
siła tłumienia (tłumienie wiskotyczne materiałowo-konstrukcyjne) –
C = cy& = c
d2y
siła bezwładności - B (t ) = − m&y& = − m
dt 2
dy
dt
Równanie ruchu układu
Sosinpt
y
Siła wymuszająca
(zmienna w czasie)
tłumienie
m&y& + cy& + ky = S o sin pt
B
K
siła bezwładności
sztywność
C
HookesLaw_pl.exe
Drgania sprężyny bez tłumienia”
http://www.edukator.pl/Prawo-Hooke-a,7661.html
Siła bezwładności
Siła bezwładności jest to oddziaływanie na obiekt, który znajduje się w układzie
(np. samochodzie) nieinercjalnym, inaczej mówiąc układzie, który porusza się
ruchem niejednostajnym czyli nie ze stałą prędkością. Siła bezwładności jest
równa iloczynowi masy i przyśpieszenia (druga pochodna przesunięcia po
czasie).
2
B (t ) = − m&y& = − m
d y
dt 2
Siła bezwładności - przykład
Samochód jedzie ze stałą prędkością Vo=100km/h. Jakie siła bezwładności
Zadziała na pasażera o masie m=100kg, jeżeli samochód miał dobre hamulce
i od momentu rozpoczęcia hamowania do zatrzymania się przejechał yo=100m.
Zakładamy, że podczas hamowania opóźnienie było cały czas stałe równe a.
to
to
B (t ) = − m&y& = − ma = const
∫0 dV = ∫0 adt
to
to
dV d 2 y przyspieszenie
V
=
at
0
0
a=
= 2
dt
dt
V (t0 ) − V (0 ) = at 0 − a ⋅ 0
dy
to
to
to
prędkość
V=
dt
∫ dy = ∫ Vdt = ∫ atdt
0
0
2 to
0
y 0 = 0 .5 a t
0
y (t0 ) − y (0 ) = 0.5at 0 − 0.5a ⋅ 0
to
V0 = at 0
y0 = 0.5at 02 =
= 0.5V0t 0
Siła bezwładności - przykład
Samochód jedzie ze stałą prędkością Vo=100km/h. Jakie siła bezwładności zadziała
na pasażera o masie m=100kg, jeżeli samochód miał dobre hamulce i od momentu
rozpoczęcia hamowania do zatrzymania się przejechał yo=100m. Zakładamy, że
Podczas hamowania opóźnienie było cały czas stałe równe a.
V0 = at 0
y0 = 0.5V0t0
V0 = at 0
100 m = 0.5 ⋅100 km / h ⋅ t 0
100 m = 0.5 ⋅100 ⋅1000 m /(3600 s ) ⋅ t0
t 0 = 7 .2 s
100 km / h = a ⋅ 3.6 s
100 ⋅1000 m /(3600 s ) = a ⋅ 7.2 s
a = 13.9m / s 2
Siła bezwładności:
B = ma = 100 kg ⋅13.9m / s 2 =
= 1390 N = 1.39 kN
Tłumienie
Siła tłumienia jest działaniem wewnątrz konstrukcji, które przeciwstawia się
ruchowi. W konstrukcjach jest tłumienie materiałowe i konstrukcyjne
dy
C = cy& = c
dt
Struktura materiału – tarcie
wewnętrznych składników
wywołuje tłumienie materiałowe
Współpraca poszczególnych elementów
(połączenia) wywołuje tłumienie konstrukcyjne
Zestawienie rodzajów drgań
Drgania własne
m&y& + ky = 0
Drgania swobodne (drgania tłumione)
m&y& + cy& + ky = 0
Drgania wymuszone nie tłumione
m&y& + ky = S o sin pt
Drgania wymuszone tłumione
Rozwiązywanie równań różniczkowych
liniowych drugiego rzędu
Równanie
gdzie:
y = y(t )
P.Wielgos, Ocena skuteczności działania wielokrotnych, strojonych
tłumików masowych w konstrukcjach budowlanych, 2010
Rozwiązanie jest sumą dwóch równań
y = yo + y p
gdzie: yο – całka ogólna, yp – całka szczególna
Wyznaczanie całki ogólnej
Całka ogólna dla równania
to rozwiązanie równania
m&y& + cy& + ky = 0
W celu rozwiązania tego równania wykonuje się
podstawienie
rt
y=e
dla którego
y& = re rt
&y& = r 2 e rt
Podstawienie
y = e rt
do równania
&y& = r 2 e rt
y& = re rt
m&y& + cy& + ky = 0
daje nam zależność
mr e + cre + ke = 0
2 rt
rt
rt
Po podzieleniu równania przez ert otrzymujemy równanie
kwadratowe ze zmienną r
mr 2 + cr + k = 0
Rozwiązywane równanie kwadratowe:
mr 2 + cr + k = 0
Rozwiązanie zależy od parametru ∆, który jest równy
lub po podstawieniu
∆ = c 2 − 4mk
k
2
ω =
m
∆ = c 2 − 4 m 2ω 2
Liczba rozwiązań zależy czy ∆ jest mniejsza, większa
lub równa 0.
Rozwiązywane równanie kwadratowe i parametr ∆ :
mr 2 + cr + k = 0
∆ = c 2 − 4 m 2ω 2
∆>0
Przypadek 1
dwa rzeczywiste rozwiązania r1 i r2 równania kwadratowego
a całka ogólna jest zapisana wzorem
y = C1e r1t + C2e r2 t
∆=0
Przypadek 2
pierwiastek podwójny r=r1=r2 a całka ogólna jest zapisana wzorem
∆<0
Przypadek 3
dwa zespolone rozwiązania r1 = α + βi
a całka ogólna jest zapisana wzorem
y = (C1 x + C2 )e rt
i
r2 = α − βi
y = eαt (C1 cos(βt ) + C2 sin (βt ))
Drgania własne
Rozwiązanie równania drgań własnych
m&y& + ky = 0
jest całką ogólną równania, opisującego drgania wymuszone
nie tłumione czyli
Równanie drgań własnych po wykonaniu podstawienia y(t)=ert
ma formę
mr 2 + k = 0
lub
czyli
k
ω =
m
∆ = −4ω 2
2
2
2
r
+
ω
=0
po podstawieniu
Drgania własne
m&y& + ky = 0
lub po podstawieniu
r2 + ω2 = 0
ma rozwiązanie z ∆ = −4ω 2 < 0
czyli z dwoma pierwiastkami zespolonymi
−b+ ∆
r1 =
2a
− 4ω 2
4i 2ω 2
r1 =
=
= iω
2
2
r1 = α + βi
−b− ∆
r2 =
2a
− − 4ω 2 − 4i 2ω 2
r2 =
=
= −iω
2
2
r2 = α − βi
Rozwiązanie ma postać
α =0
β =ω
a po podstawieniu α i β otrzymujemy
y = C1 cos(ωt ) + C2 sin (ωt )
Drgania własne – wyznaczenie stałych
m&y& + ky = 0
ma formę
y = C1 cos(ωt ) + C2 sin (ωt )
z niewiadomymi, które wyznaczamy na podstawie
warunków początkowych czyli dla czasu t=0.
Zakładamy, że dla t=0
przesunięcie masy y=0, gdzie y = C1 cos(ωt ) + C2 sin(ωt )
a prędkość masy (wymuszoną), y& = V gdzie
y& = −C1ω sin(ωt ) + C2ω cos(ωt )
Drgania własne – wyznaczenie stałych
Zakładamy, że dla t=0
przesunięcie masy y=0, gdzie y = C1 cos(ωt ) + C2 sin(ωt )
czyli
0 = C1 cos(ω ⋅ 0) + C2 sin (ω ⋅ 0)
0 = C1 ⋅1 + C2 ⋅ 0
C1 = 0
a prędkość masy (wymuszoną), y& = V gdzie
Czyli
y& = −C1ω sin(ωt ) + C2ω cos(ωt )
V = −C1ω sin(ω ⋅ 0) + C2ω cos(ω ⋅ 0)
V = −C1ω ⋅ 0 + C2ω ⋅1
V
C2 =
ω
V
V
Rozwiązanie y = 0 cos(ωt ) + sin (ωt ) = sin(ωt ) = Ao sin(ωt )
ω
ω
Drgania własne
m&y& + ky = 0
ma formę
y = C1 cos(ωt ) + C2 sin(ωt )
A po uwzględnieniu warunków początkowych:
yo = Ao sin (ωt )
gdzie:
ω – częstość drgań własnych,
Ao – amplituda drgań własnych zależna
od warunków początkowych
drgania1.exe
yo = Ao sin (ωt )
dy
V = o = Aoω cos(ωt )
dt
dV
a = o = − Aoω 2 sin s (ωt )
dt
Drgania swobodne układu
Drgania swobodne są to drgania układu rzeczywistego
z tłumieniem jakie można obserwować po wstępnym
wymuszeniu ruchu, a następnie pozostawieniu konstrukcji
bez dodatkowych obciążeń zmiennych.
Rozwiązanie równania
drgań swobodnych
m&y& + cy& + ky = 0
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
-5.00
-10.00
-15.00
-20.00
jest całką ogólną równania,
15.00
opisującego drgania
10.00
wymuszone
5.00
0.00
tłumione czyli
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
-5.00
-10.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
Rozwiązanie równania drgań swobodnych, otrzymujemy
na podstawie równania
mr 2 + cr + k = 0
które uzyskujemy po podstawieniu wzoru:
y = e rt
Rozwiązanie równania zależy od parametru równania
kwadratowego:
∆ = c 2 − 4 m 2ω 2
Analizę problemu wykonuje się dla równania w prostszej
formie, którą uzyskuje się po podzieleniu obu stron
równania przez m
mr 2 + cr + k = 0 / m
2
2
r
+
2
γ
r
+
ω
=0
czyli
gdzie:
ω – częstość drgań własnych,
γ – współczynnik tłumienia.
c
2γ =
m
Delta równania kwadratowego wynosi:
i przybiera prostszą formę
ω2 = k
∆ = 4γ 2 − 4ω 2
Rozwiązanie równania drgań swobodnych zależy od
wzajemnej relacji ω i γ czyli mamy trzy przypadki:
Przypadek 1 - Duże tłumienie γ>ω czyli ∆ > 0
Przypadek 2 -Tłumienie krytyczne γ = ω czyli ∆ = 0
Sytuacja najczęściej spotykana w konstrukcjach
Przypadek 3 - Małe tłumienie γ<ω czyli ∆ < 0
Przypadek 1 - Duże tłumienie γ>ω
∆>0
∆ = 2 γ 2 −ω2
r 2 + 2γr + ω 2 = 0
Pierwiastki równania kwadratowego
r1 = −γ − γ 2 − ω 2
r2 = −γ + γ 2 − ω 2
Rozwiązanie równania różniczkowego:
y = C1e + C2e
r1t
r2 t
&y& + 2γy& + ω 2 y = 0
Przypadek 1 - Wyznaczenie stałych
Warunki początkowe: t=0, y=yo , y& = v = vo
Równanie ruchu (rozwiązanie równania)
i po uwzględnieniu warunków początkowych
y o = C1 + C 2
Równanie prędkości po zróżniczkowaniu równania ruchu
r1t
r2 t
względem czasu
&
y = C1r1e + C2 r2e
vo = C1r1 + C2 r2
Stałe wyznaczamy z układu równań:
2
2
r
=
−
γ
−
γ
−
ω
1
gdzie:
r2 = −γ + γ 2 − ω 2
y o = C1 + C 2
vo = C1r1 + C2 r2
i są one opisane wzorami:
C1 =
C2 =
vo + yoγ − y0 γ 2 − ω 2
− 2 γ −ω
2
2
vo + yoγ + yo γ 2 − ω 2
2 γ −ω
2
2
Przypadek 1 - Przykład
Sosinpt
m
Dane:
Początkowe wychylenie yo=0.05m,
Początkowa prędkość vo=10m/s,
Tłumienie układu γ=2 rad/s,
Częstość drgań własnych układu ω= 1 rad/s.
Dane:
Szukamy wielkości z równania:
r1 = −γ − γ 2 − ω 2
r1 = −2 − 3 = −3.73205 [rad/s ]
r2 = −γ + γ 2 − ω 2 r2 = −2 + 3 = −0.26795 [rad/s ]
Dane:
C1 =
C2 =
y = C1e + C2e
r1t
r2 t
vo + yoγ − y0 γ 2 − ω 2
− 2 γ 2 − ω2
10m/s + 0.05m ⋅ 2rad/s − 0.05m 22 − 12 rad/s
C1 =
= −0.264m
2
2
− 2 2 − 1 rad/s
vo + yoγ + yo γ 2 − ω 2
2 γ 2 − ω2
C2 =
10m/s + 0.05m ⋅ 2rad/s + 0.05m 22 − 12 rad/s
2 2 − 1 rad/s
2
2
= 2.941m
Wykres zmian przemieszczenia
w czasie. Ruch jest nie drgający
i zanikający w czasie.
y [m]
2.8
Dane:
Początkowe wychylenie yo=0.05m, 2.6
Początkowa prędkość vo=10m/s, 2.4
2.2
Częstość drgań
2
własnych układu ω= 1 rad/s.
1.8
Rozwiązanie:
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
t [s]
6
7
y = −0.264m ⋅ e −3.73205 rad/st + 2.941m ⋅ e −0.26795 rad/st
8
9
10
Przypadek 2 - Tłumienie krytyczne γ=ω
∆=0
∆ =0
r 2 + 2γr + ω 2 = 0
Pierwiastki równania kwadratowego
r = r1 = r2 = −γ
&y& + 2γy& + ω 2 y = 0
y = (C1t + C2 )e = (C1t + C2 )e
rt
γt
Przypadek 2 - Tłumienie krytyczne γ=ω
γt
(
)
y = C1t + C2 e
,
yo = C2
względem czasu
y& = C1 (tγ + 1)eγt + C2 reγt
vo = C1 + C 2 γ
y = (C1t + C2 )e
yo = C2
vo = C1 + C 2 γ
gdzie:
C1 = vo − y o γ
C2 = yo
r = −γ
γt
Sosinpt
m
Dane:
Dane:
r = −γ
r = −1 rad/s
C1 = vo − y o γ
C1=9.95m/s
C2 = yo
C2=0.05m
y = (C1t + C 2 )e
rt
Dane:
Częstość drgań
w czasie. Ruch jest nie drgający
4
3.5
3
y [m]
2.5
Rozwiązanie:
2
1.5
1
0.5
0
0
1
y = (9.95m/s ⋅ t + 0.05m )e
2
−1rad/st
3
4
5
t [s]
6
7
8
9
10
Przypadek 3 - Małe tłumienie γ<ω
∆<0
∆ = 2i γ 2 − ω 2
Urojone pierwiastki równania kwadratowego
,
r 2 + 2γr + ω 2 = 0
r2 = α − βi
r1 = α + βi
r1 = −γ − i γ 2 − ω 2
r2 = −γ + i γ 2 − ω 2
y = eαt (C1 cos(βt ) + C2 sin (β t ))
gdzie:
α = −γ
ω1 – częstość drgań swobodnych
&y& + 2γy& + ω 2 y = 0
β = ω − γ = ω1
2
2
y = e (C1 cos(βt ) + C2 sin (βt ))
y o = C1
αt
względem czasu
y& = αeαt (C1 cos(βt ) + C2 sin (βt )) + eαt (− β C1 sin (βt ) + βC2 cos(βt ))
v o = −γC1 + C 2 ω − γ
2
2
y o = C1
,,
v o = −γC1 + C 2 ω 2 − γ 2
C1 = y o
C2 =
vo + γy o
ω2 −γ 2
Przypadek 3 Zmiana formy zapisu równania ruchu
Parametry drgań swobodnych z małym tłumieniem:
Składowa rzeczywista:
y x1 = eαt C1 cos(βt )
Składowa urojona:
y x2 = e C2 sin (βt )
αt
Ao = C + C
C1
ϕ o = arctan
C2
Początkowa amplituda drgań:
Faza drgań:
Równanie ruchu
2
1
y = Ao eαt sin (ω1t + ϕ o )
2
2
Sosinpt
m
Dane:
Tłumienie układu γ=0.5 rad/s,
Dane:
y = eαt (C1 cos(βt ) + C2 sin (β t ))
α = −γ
α = −0.5rad/s
β = ω 2 − γ 2 = ω1 β = 2 2 − 0.52 = ω1 = 0.866 [rad/s ]
C1=0.05m
C1 = y o
vo + γy o
C2 =
ω −γ
2
2
C2=11.5758 m
Dane:
Parametry drgań swobodnych z małym tłumieniem:
Ao=11.5759m
Ao = C12 + C22
C1
ϕ = arctan
= 0.00432
C2
w czasie. Ruch drgający
6
y [m
m]
Dane:
Częstość drgań
5
4
3
2
Rozwiązanie:
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t [s]
y = e −0.5 rad/st (0.05m cos(0.866rad/st ) + 11.5758m sin (0.866rad/st ))
y = 11.5759m ⋅ e −0.5 rad/s⋅t sin (0.866rad/s ⋅ t + 0.00432)
9
10
Przypadek 3 - Parametry tłumienia
m&y& + 2γy& + ky = 0
m&y& + cy& + ky = 0
15
14
c – współczynnik proporcjonalności tłumienia do prędkości
13
12
γ – współczynnik tłumienia
11
10
Na podstawie stosunku amplitud wyznacza się
logarytmiczny dekrement tłumienia
y [m]
9
8
7
An −1
∆ = ln
= γT1 lub
An
6
5
4
T1 – okres swobodnych drgań tłumionych
3
Ao
2
1
A2
A1
Równanie krzywej przerywanej
0
0
1
y (t )
∆ = ln
= γT1
y (t + T1 )
2
3
4
t [s]
5
6
7
8
9
10
y = Ao e −γt
Drgania swobodne układu porównanie
Wykres zmian przemieszczenia w czasie dla:
4
2.8
6
2.6
3.5
2.4
5
2.2
3
2
4
1.4
1.2
y [m]
2.5
1.6
y [m]
y [m]
1.8
2
3
1.5
1
2
0.8
1
0.6
1
0.5
0.4
0.2
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t [s]
Przypadek 1
Duże tłumienie γ>ω
czyli ∆ > 0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t [s]
Przypadek 2
Tłumienie krytyczne
γ>ω czyli ∆ = 0
Drgania wahadła tłumione
drgania2.exe
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t [s]
Przypadek 3
Małe tłumienie γ<ω
czyli ∆ < 0
9
10
Drgania wymuszone
Rozwiązanie
(suma całki ogólnej
i szczególnej)
y = yo + y p
P.Wielgos, Ocena skuteczności działania wielokrotnych, strojonych
tłumików masowych w konstrukcjach budowlanych, 2010
Wyznaczenie całki szczególnej
Rozwiązanie równania różniczkowego
Całka szczególna, przyjęta jest na podstawie założenia, że
zmiana przesunięcia w czasie musi mieć podobną formę do
zmian w czasie funkcji wymuszającej czyli prognozowane
rozwiązanie ma formę
y p = A1 sin ( pt ) + A2 cos ( pt )
a jej pochodne
y& p = A1 p cos( pt ) − A2 p sin ( pt )
&y& p = − A1 p 2 sin( pt ) − A2 p 2 cos( pt )
Wyznaczenie całki szczególnej
Po podstawieniu równań z prognozowanym rozwiązaniem
mamy
− mA1 p 2 sin ( pt ) − mA2 p 2 cos( pt ) + kA1 sin ( pt ) + kA2 cos( pt ) =
= S o sin pt
Wyrazy po lewej i prawej stronie równania muszą mieć te same
współczynniki czyli
− mA1 p 2 + kA1 = S o
− mA2 p 2 + kA2 = 0
k
2
ω =
a po podstawieniu
m
So
2
2
A1 (ω − p ) =
A2 ω 2 − p 2 = 0
m
(
)
Rozwiązanie równania różniczkowego m&y& + ky = S o sin pt
jest równanie y p = A1 sin ( pt ) + A2 cos ( pt )
So
2
2
2
2
A1 (ω − p ) =
gdzie
A
ω
−
p
=0
2
m
So
1
A1 =
A2 = 0
m ω 2 − p2
(
(
)
)
Całka szczególna, przyjęta na podstawie założenia, że
zmiana przesunięcia w czasie musi mieć podobną formę do
zmian w czasie funkcji wymuszającej i ostatecznie ma formę
y p = Ap sin ( pt )
gdzie:
So
1
Ap =
m ω 2 − p2
(
)
Równanie różniczkowe
Całka ogólna, która jest rozwiązaniem równania
m&y& + ky = 0
yo = Ao sin (ωt )
ma formę
Całka szczególna
y p = Ap sin ( pt )
Rozwiązanie, które jest sumą całki ogólnej i szczególnej
y = Ap sin ( pt ) + Ao sin (ωt )
Całka szczególna
y p = Ap sin ( pt − ϕ )
So
Ap =
m
1
gdzie:
(ω
2
−p
)
2 2
2γp
ϕ = arctan 2
ω − p2
DrivenSHM_pl.exe
+ 4γ p
2
2
c
2γ =
m
k
ω =
m
2
Równanie różniczkowe
Rozwiązanie, które jest sumą całek ogólnej i szczególnej
y = Ao e −γt sin (ω1t + ϕ o ) + Ap sin ( pt − ϕ )
Współczynnik dynamiczny
Współczynnik dynamiczny jest to stosunek: S=S sin(pt)
o
amplitudy drgań wywołanych
siłą zmienną w czasie
z amplitudą siły So
A(t)
do
Ap=A(t)
przemieszczenia statycznego
wywołanego siłą So - yst
So
S=Sosin(pt)
yst
Współczynnik dynamiczny drgań
wymuszonych nie tłumionych
Maksymalna amplituda drgań wymuszonych
nie tłumionych – układ drgający
So
1
Ap =
m ω 2 − p2
(
)
S=Sosin(pt)
A(t)
S=Sosin(pt)
Ap=A(t)
Przemieszczenie punktu konstrukcji o sztywności k
- Brak drgań
S
So
yst =
k
o
yst
wymuszonych nie tłumionych
Z definicji częstości drgań własnych wynika:
So
yst =
2
mω
k = mω
czyli
So
1
Ap =
m (ω 2 − p 2 )
2
β=
Ap
yst
So
1
2
2
2
1
ω
m ω −p
= 2
=
β=
2
2
So 1
ω −p
 p
1−  
m ω2
ω 
(
)
wymuszonych tłumionych
Amplituda drgań wymuszonych tłumionych
So
Ap =
m
(ω
1
2
−p
)
2 2
+ 4γ 2 p 2
Przemieszczenie punktu konstrukcji o sztywności k
So
yst =
k
So
yst =
mω 2
wymuszonych tłumionych
β=
Ap
yst
β=
β=
So
m
(ω
1
2
)
− p + 4γ 2 p 2
So 1
m ω2
2 2
1
  p
1 −  
 ω 

2
2
2

p

2
 + 4γ  

ω 

Rezonans drgań
dla drgań wymuszonych tłumionych
β=
Jeżeli
1
  p
1 −  
 ω 

2
2

 + 4γ 2  p 

ω



ω → p , to β = 1
2γ
2
Rezonans drgań
dla drgań wymuszonych nie tłumionych
Jeżeli
ω→p
, to
β →∞
β=
1
 p
1−  
ω 
2
W przypadku wymuszania drgań z częstością zbliżoną do
częstości drgań własnych następuje znaczący wzrost
amplitudy drgań. W przypadku braku tłumienia amplituda dąży
do nieskończoności.
Rezonans drgań
µ - amplituda
γ
b=
ω
Link do rezonansu:
Z. Dyląg i in., Mechanika budowli.
http://www.edukator.pl/Drgania-wymuszone,8067.html
http://www.edukator.pl/
drgania1.exe
Koniec
Drgania własne
drgania2.exe
Drgania wahadła tłumione

Drgania układu o jednym stopniu swobody

Transkrypt

Podobne dokumenty

moje wyjaśnienie

DRGANIA MECHANICZNE

Zestaw do domu nr 6 1) Niech σq : Mq → Mq, σq bj2j := bq−1−j2j, Mq

Drgania tłumione i wymuszone. Rezonans mechaniczny.

Zestaw 05

1. Oblicz kilka początkowych potęg podanych macierzy, a następnie

Analiza matematyczna 1 Lista 8 (1) Stosując całkowanie przez

Tablica ważniejszych całek Użyteczne całki (niekoniecznie do

Materiały do zajęć - część 3