Repetytorium z analizy i rachunku całkowego funkcji wielu

SPIS TREŚCI
1
Repetytorium z analizy i rachunku całkowego funkcji wielu
zmiennych.
Wiadomości wstępne.
Spis treści
1 Repetytorium
2
2 Wiadomości wstępne
5
1 Repetytorium
1
2
Repetytorium
1. Rozwia̧zać równania (znaleźć trajektorie):
(−x )2
,
x
(i)x =






(iii)


x1 = −x1 ,

x2 = −x2 ,
(ii) 
x1 = x1 ,





x2
= x2 +
x3
= x3 ,
(iv)
x12 ,
(v) układ Hamiltona:





pi =





x1 = x1 − x2 + e t ,
x2 = −x1 + x2 ,
−∂H
,
∂qi
−∂H
,
∂pi
qi =
gdzie H jest funkcja̧ Hamiltona (energia) H = H(p1 , p2 , ..., pn , q1 , ..., qn ) klasy C 2 .
2. Podać przykłady: hiperpowierzchni 1-wymiarowej w R2 , w RN , 2-wymiarowej w R3 (podać parametryzacje).
3. Przypomnieć sobie pojȩcie całki na hiperpowierzchni (w tym całki krzywoliniowej i powierzchniowej nieskierowanej) oraz sposoby ich obliczania.
4. Obliczyć całki (tam, gdzie można, narysować zbiory):
(i)
(ii)
C (x
C (x
+ y ) ds, gdzie C jest brzegiem trójka̧ta o wierzchołkach: (0, 0), (1, 0), (0, 1);
4
3
+ y 3 ) ds, gdzie C jest astroida̧ o równaniu x 3 + y 3 = a 3 , a > 0;
2
+ y 2 + z 2 ) ds, gdzie P jest zbiorem określonym równaniem: x 2 + y 2 + z 2 = a2 a ds jest
P (x
(iii)
4
2
2
2
dwuwymiarowa̧ miara̧ indukowana̧ na powierzchni;
P (x
(iv)
(v)
2
+ y 2 + z 2 ) ds, gdzie P jest
 ośmiościanem |x| + |y | + |z| = a;



 x = u cos v ,

S z ds, gdzie S jest heliksoida̧
(vi)





y = u sin v ,
u ∈ (0, a), v ∈ (0, 2π),
z = u;
√ 2
2
2
2
S (x + y ) ds, gdzie S = {(x, y , z)| x + y 1};
− 2z) ds, gdzie S jest powierzchnia̧: z = 4 − 12 x 2 − 12 y 2 , z > 0;
√
(viii) S x 2 y 2 ds, gdzie S jest powierzchnia̧: z = R 2 − x 2 − y 2 ;
(vii)
(ix)
S (8
1
Sr
ds, gdzie S jest powierzchnia̧: z = xy dla x 2 + y 2 R 2 , r jest odległościa̧ punktu po-
wierzchni od osi Oz,
(x)
(xi)
S (2x
V (x
2
+ 1) ds, gdzie S jest powierzchnia̧: x =
√
4 − y 2 dla 0 z 1;
+ y 2 ) d µ, gdzie V = {(x, y )|x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t − t cos t), 0 t 2π};
1 Repetytorium
(xii)
xy d µ, gdzie V jest zbiorem określonym |x| + |y | = a (a > 0);
V
2y
(xiii)
3
V
a
d µ, gdzie V = {(x, y , z)|x = at, y = 12 at 2 , z = 13 at 3 , 0 t 1, a > 0}.
5. Stosuja̧c twierdzenie o zamianie zmiennych, obliczyć całki:
√
(i) A x 2 + y 2 dxdy , gdzie A = {(x, y ) ∈ R2 |x 2 + y 2 a2 };
2
2
2
2
2
2
1 − xa2 − yb2 − zc 2 dxdydz, gdzie V = {(x, y , z) ∈ R3 | xa2 + yb2 + cz 2 1};
√
(iii) V x 2 + y 2 dxdydz, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami: x 2 + y 2 = z 2 , z = 1;
(ii)
(iv)
(v)
(vi)
V
D (x
√
V
+ y ) dxdy , gdzie D jest zbiorem ograniczonym krzywa̧ x 2 + y 2 = x + y ;
x 2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchnia̧ x 2 + y 2 + z 2 = z;
xyz
V x 2 +y 2
dxdydz, gdzie V jest bryła̧ ograniczona̧ z góry powierzchnia̧ x 2 + y 2 + z 2 = a2 xy , a z
dołu płaszczyzna̧ z = 0.
6. Znaleźć wektor i płaszczyznȩ normalna̧ oraz wektor i płaszczyznȩ styczna̧ do hiperpowierzchni:
(i) H = {(x, y , z) ∈ R3 : e 2x+y +z + e 3x−y + log(1 + y + z) − 2 = 0} w punkcie (0, 0, 0);
(ii) H = {(x, y , z) ∈ R3 : x 2 − 2(y 2 + z 2 ) = a2 } w punkcie (2, 0,
3
).
2
W ostatnim przykładzie określić dla jakich a jest to hiperpowierzchnia i wykonać odpowiednie ilustracje.
7. Wykazać, że sfera jednostkowa w Rn S n−1 = {x ∈ Rn : x = 1} jest (n − 1)-wymiarowa̧
hiperpowierzchnia̧ klasy C 1 . Znaleźć przestrzeń styczna̧ oraz normalna̧ w dowolnym punkcie x ∈ S n−1 .
8. Wykazać, że stożek z 2 = x 2 + y 2 nie jest hiperpowierzchnia̧.
9. Znaleźć przestrzeń styczna̧ oraz normalna̧ do hiperpowierzchni zadanej przez parametryzacjȩ:
(i) φ(t, s) = ((r1 + r2 cos t) cos s, (r1 + r2 cos t) sin s, r2 sin t), t ∈ (0, 2π), s ∈ (0, 2π), r1 > r2 > 0;
(ii) φ(t) = (cos t, sin t, t), t ∈ (0, ∞).
10. Znaleźć przestrzeń styczna̧ oraz normalna̧ do hiperpowierzchni w danym punkcie A:
(i) z = xy , A = (1, 1, 1);
(ii) z = 2x 2 − 4y 2 , A = (2, 1, 4);
(iii)
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
√
√
√
= 1, A = ( a 3 3 , b 3 3 , c 3 3 ) lub A = (0, 0, c).
11. Prostopadłościan, którego dolna̧ podstawa̧ jest prostoka̧t D położony na płaszczyźnie Oxy
(i) i ograniczony prostymi x = 1, y = 2, x = −1, y = −2, został ściȩty od góry powierzchnia̧
z = 6 − x 2 − y 2,
1 Repetytorium
4
(ii) i ograniczony prostymi x = c, x = d (c < d ), y = e, y = f , (e < f ), został ściȩty od góry
powierzchnia̧ z =
x2
a2
+
y2
.
b2
Obliczyć objȩtość powstałej bryły.
12. Obliczyć objȩtość bryły ograniczonej powierzchniami:
(i) z = 1 + x + y , x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1,
(ii) y = x 2 , z = x 2 + y 2, y = 1, z = 0,
y
π, z = 0, y = x, y = 0, x = π,
(iii) z = sin 2x
(iv) z = cos x cos y , z = 0, |x + y | 12 π, |x − y | 12 π,
(v) z = sin πxy , z = 0, xy = 1, y = x, y = 2x, x > 0,
(vi) z = xy , x + y + z = 1, z = 0.
13. Stosuja̧c zamianȩ zmiennych obliczyć objȩtość bryły ograniczonej powierzchniami:
(i) z = 3x, x 2 + y 2 = 4, płaszczyznami Oxy i Oxz oraz leża̧cej nad płaszczyzna̧ Oxy ,
(ii) x + y + z = 10, x 2 + y 2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0,
(iii) z = a exp(−x 2 − y 2), płaszczyzna̧ Oxy i walcem x 2 + y 2 = R 2 ,
(iv) płaszczyzna̧ Oxy , walcem x 2 + y 2 − ax = 0 i paraboloida̧ obrotowa̧ x 2 + y 2 − cz = 0,
(v) x 2 + y 2 − 4z 2 = 0, x 2 + y 2 − 8x = 0 i płaszczyzna̧ Oxy .
14. Obliczyć długość krzywej:
(i) y = 2x, x ∈ [0, 1],
(ii) φ(t) = (t + 1, 2(t + 1)), t ∈ [−1, 0],
(iii) S 1 (0, 1) - okra̧g w R2 o promieniu 1,
(iv)
x2
a2
2
+
y2
b2
= 1, (sprowadzić do całki eliptycznej),
(v) r (θ) = 2a2 cos(2θ) (lemniskata, sprowadzić do całki eliptycznej),
(vi) r (θ) = a(cos(θ) + 1) (kardioida),
(vii) φ(t) = (cos t, sin t, t), t ∈ [0, a],
(viii) φ(t) = (t, t, t), t ∈ [0, a].
15. Obliczyć długość krzywej zadanej we współrzȩdnych biegunowych r = g (θ), dla danej funkcji g : [α, β] → (0, ∞) klasy C 1 .
16. Obliczyć pole hiperpowierzchni:
(i) z(x, y ) = x, x, y ∈ [0, 1],
(ii) S 2 (0, 1) - sfera jednostkowa w R3 ,
2 Wiadomości wstępne
5
(iii) z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 1,
(iv) x 2 + y 2 = 1, z ∈ [0, 1], ( walec),
(v) (x 2 + y 2 + z 2 )2 = 2xy , ( po zamianie na współrzȩdne sferyczne r = sin(ϕ) sin(θ)),
(vi)
2
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
Wiadomości wstępne
17. Sprawdzić, czy podane niżej równania są równaniem różniczkowym cząstkowym:
(i) cos(ux + uy ) − cos ux cos uy + sin ux sin uy = 0,
2
2
+ uyy
− (uxx − uyy )2 = 0,
(ii) uxx
(iii)
∂
tgu
∂x
− ux − 3u + 2 = 0,
(iv) ln |ux uy | − ln |ux | − ln |uy | + 5u − 6 = 0.
18. Określić rząd równania różniczkowego:
(i) 2(ux − 2u)uxy −
∂
(ux
∂y
− 2u)2 − xy = 0,
(ii) ln |uxx uyy | − ln |uxx | − ln |uyy | + ux + uy = 0,
2
2
2
(iii) ux uxy
+ (uxx
− 2uxy
+ uy )2 − 2xy = 0.
19. Stwierdzić, które z poniższych równań jest liniowe (jednorodne lub niejednorodne), a które jest
nieliniowe (quasi-liniowe):
2
(i) ux uxy
+ 2xuuyy − 3xyuy − u = 0,
(ii) 2 sin(x + y )uxx − x cos yuxy + xyux − 3u + 1 = 0,
(iii) 3uxy − 6uxx + 7uy − ux + 8x = 0,
(iv) uxy uxx − 3uyy − 6xuy + xyu = 0,
(v) uxy + uy + u 2 − xy = 0,
∂
(vi) 2xuxy − 6 ∂x
(u 2 − xy ) + uyy = 0.
20. Niech u : R2 → R będzie funkcją posiadającą odpowiednie pochodne cząstkowe. Podać postać wszystkich D α u(x) dla x ∈ R2 i dla α będącego multiindeksem rzędu 3.
21. Niech u : R2 → R będzie funkcją posiadającą odpowiednie pochodne cząstkowe. Podać postać wszystkich D α u(x) dla x ∈ R2 i dla α będącego multiindeksem rzędu 4.
BIBLIOGRAFIA
6
22. Dla podanego poniżej zagadnienia określić typ równania oraz rodzaj warunków brzegowych (podać
wszystkie możliwe cechy, np. równanie jest II rzędu liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach
z warunkiem brzegowym wewnętrznym Neumanna):
uxx + uyy = 0, uy (x, 0) = uy (x, l ) + hu(x, l ) = 0, u(0, y ) = f (y ), lim u(x, y ) = 0, h > 0.
x→∞
O ile to możliwe, podać interpretację fizyczną.
23. Dla podanego poniżej zagadnienia określić typ równania oraz rodzaj warunków brzegowych (podać
wszystkie możliwe cechy, np. równanie jest II rzędu liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach
z warunkiem brzegowym wewnętrznym Neumanna):
2uxx + sin yuyy = 4, u(x, 0) = 5, uy (x, l ) + hu(x, l ) = 5, u(0, y ) = f (y ), ux (0, y ) = 0, h > 0.
O ile to możliwe, podać interpretację fizyczną.
Bibliografia
[1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981.
[2] W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.
[3] W. I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, PWN, Warszawa 1983.
[4] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
[5] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
[6] P. Biler Prof. dr hab.- redakcja naukowa, Warsztaty z równań różniczkowych czastkowych,
Toruń 2003.
[7] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.
[8] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, Chapman & Hall, Oxford 1995.
[9] L. Evans, Równania różniczkowe czastkowe,
PWN, Warszawa 2002.
[10] Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1980.
[11] J. Jost, Postmodern Analysis, Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York 2002.
[12] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
[13] H. Marcinkowska, Wstep
PWN, Warszawa 1972.
do teorii równań różniczkowych czastkowych,
[14] J. Musielak, Wstep
do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.
BIBLIOGRAFIA
7
[15] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford University
Press, 2003.
[16] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu
Jagiellońskiego, Kraków 1999.
[17] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe.
Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódz
kiego, Łódź 2000.
[18] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego,
Łódź 2003.
[19] M. M. Smirnow, Zadania z równań różniczkowych czastkowych,
PWN, Warszawa 1970.
[20] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych,
Wydawnictwo Uniwersytetu War
szawskiego, Warszawa 2006.
[21] B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.
[22] Whitham G.B., Lecture notes on wave propagation , Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1979.
[23] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathemathics, John Wiley & Sons, Singapore-New YorkChichester-Brisbane-Toronto 1989.