2.5. WYBOCZENIE

2.5. WYBOCZENIE
Wyboczeniem pręta prostego ściskanego siłą osiową P nazywamy jego nagłe wygięcie w
kierunku prostopadłym do osi podłużnej, zaś siłą krytyczną P K nazywamy siłę, przy
której następuje jego wyboczenie.
Wyboczenie jest jedną z form utraty stateczności układu mechanicznego, zaś stateczność
jest zdolnością tego układu do przeciwstawiania się czynnikom zakłócającym jego stan
równowagi.
2.5.1. Wyboczenie sprężyste
Rozważmy pręt prostoliniowy obciążony rosnącą siłą ściskającą P . Jeśli P < PK , pręt
znajduje się w stanie równowagi statecznej, zaś jego oś pozostaje prostoliniowa (rys. 1a).
Po osiągnięciu przez siłę ściskającą wartości krytycznej P = PK pojawia się stan
równowagi chwiejnej, w którym jakakolwiek niewielka przyczyna (wstrząs, przypadkowe
uderzenie) powoduje wyboczenie pręta i przejście do stanu równowagi obojętnej
charakteryzującej się krzywoliniową osią pręta (rys. 1b). Dalszy, niewielki przyrost siły
ściskającej powoduje wyraźne zwiększenie ugięcia pręta i może prowadzić do jego
nagłego zniszczenia.
Rys. 1
2.5.2. Siła krytyczna EULERA
Wartość siły krytycznej PK ≡ PE wyznaczymy korzystając z teorii EULERA wyboczenia
pręta sprężystego, przy następujących założeniach upraszczających:
− materiał pręta pracuje w zakresie liniowo-sprężystym (obowiązuje prawo HOOKE’A),
− krzywizna osi ugiętej pręta jest mała,
− kierunek siły ściskającej się nie zmienia,
− wpływ sił poprzecznych na siłę krytyczną jest pomijalny,
1
− wpływ skrócenia pręta na siłę krytyczną jest pomijalny.
Z analizy krzywoliniowej postaci osi pręta (rys. 2) wynika, że wyboczenie pręta skutkuje
jego zginaniem, przy czym moment zginający w dowolnym przekroju określa zależność
gdzie w (x ) jest ugięciem pręta.
M (x ) = PE ⋅ w (x )
(1)
Rys. 2
Podstawiając powyższą zależność do równania osi ugiętej pręta (1.11.6) otrzymujemy
następujące równanie:
PE ⋅ w
d 2w
M
d 2w
=
−
=
−
→
+ k 2w = 0
2
2
EImin
EImin
dx
dx
(2)
gdzie
k2 =
PE
EImin
(3)
W równaniu (2) występuje minimalny moment bezwładności, gdyż wyboczenie następuje
zawsze w kierunku prostopadłym do osi głównej, względem której moment bezwładności
jest najmniejszy.
Uzupełniając równanie (2) o warunki brzegowe, do wyznaczenia osi ugiętej pręta po jego
wyboczeniu dostajemy następujące zagadnienie brzegowe:
d 2w
+ k 2w = 0
dx 2
w (0 ) = w (l ) = 0
którego rozwiązanie ma postać
2
(4)
w (x ) = A sin kx + B cos kx
(5)
Stałe całkowania A i B wyznaczamy z warunków brzegowych
w (0) = A sin 0 + B cos 0 = 0 → B = 0
w (l ) = A sin kl + 0 ⋅ cos kl = 0 → A sin kl = 0 → A = 0 lub sin kl = 0
Jeśli A = 0 to w (x ) = 0 – co oznacza prostoliniową postać pręta. Jeśli zaś sin kl = 0
kl = nΠ → k =
nΠ
,
l
n = 1,2,3,...
Ponieważ rzeczywistą postać osi ugiętej pręta otrzymujemy przy n = 1, więc k =
Π
.
l
Podstawiając zatem k do relacji (5) otrzymujemy zależność
w (x ) = A sin
Π
x
l
(6)
z której wynika, że ugięcie osi pręta jest określona z dokładnością do stałej A .
Podstawiając z kolei k do relacji (3) otrzymujemy siłę krytyczną EULERA określoną
następującym wzorem
PE =
Π 2EImin
l2
(7)
2.5.3. Wpływ zamocowania na siłę krytyczną. Długość wyboczeniowa
Ponieważ rozwiązanie równania (2) jest zależne od warunków brzegowych, a więc
wartość siły krytycznej zależy od sposobu zamocowania pręta. Jeśli rozwiążemy zatem
odpowiednie zagadnienia brzegowe w przypadku prętów przedstawionych na rys. 3 b-d
Rys. 3
3
to otrzymamy następujące wartości siły krytycznej:
PEb =
Π 2EImin
(2l )2
,
PEc =
Π 2EImin
(0.7l )2
,
PEd =
Π 2EImin
(0.5l )2
(8)
Porównując formuły (7) i (8) widzimy, że można je przedstawić w jednolitej postaci
PE =
Π 2EImin
lw2
(9)
gdzie lw oznacza długość wyboczeniową, zależną od sposobu zamocowania pręta.
W rozważanych przypadkach długość ta wynosi odpowiednio lw = l, 2l, 0.7l, 0.5l .
Ze wzoru (9) wynika, że wartość siły krytycznej zależy od długości pręta, wielkości
i kształtu jego przekroju, rodzaju materiału oraz sposobu zamocowania końców pręta.
W przypadku różnego sposobu zamocowania pręta w obu kierunkach osi głównych należy
wyznaczyć obie wartości siły krytycznej i wybrać mniejszą.
2.5.4. Naprężenie krytyczne. Smukłość pręta
Wartości siły krytycznej i pojawieniu się wyboczenia, czyli utracie stateczności, odpowiada
następująca wartość naprężenia krytycznego:
σE =
2
PE Π 2EImin Π 2Eimin
Π 2E
=
=
=
A
λ2
Alw2
lw2
(10)
gdzie
lw
λ=
(11)
i min
oznacza smukłość pręta.
2.5.5. Zakres ważności wzoru EULERA
Ponieważ pręt pracuje w zakresie liniowo-sprężystym, zatem naprężenia ściskające nie
powinny przekraczać granicy proporcjonalności RH . Zatem
σ E (λ ) =
Π 2E
λ2
≤ RH
Z powyższej nierówności wynika, że wzór EULERA (9) jest ważny tylko w przypadku prętów
ściskanych, których smukłość spełnia następujący warunek:
4
λ≥Π
E
= λgr
RH
(12)
gdzie λgr oznacza smukłość graniczną pręta. Z powyższej zależności wynika, że
smukłość ta zależy wyłącznie od rodzaju materiału pręta (np. w przypadku stali λgr ≅ 100 ).
2.5.6. Wyboczenie niesprężyste
Z przedstawionego na rys. 4 wykresu zależności σ E (λ ) = Π 2E λ2 – zwanego hiperbolą
EULERA – wynika, że pręty ściskane o smukłości 0 < λ < λgr ulegają wyboczeniu
niesprężystemu (pracują w zakresie poza liniowo-sprężystym, gdyż σ K (λ < λgr ) > RH ).
Rys. 4
W takim przypadku nie można ich projektować przy wykorzystaniu wzoru (9), gdyż
obliczone z niego wartości siły krytycznej są zbyt duże. Istnieje kilka teorii wyboczenia
niesprężystego. Najprostsza z nich, opracowana przez TETMAJERA i JASIŃSKIEGO, zakłada,
że naprężenia krytyczne przy wyboczeniu niesprężystym można aproksymować
następującą prostą (rys. 4):
σ T − J = a − bλ
(13)
gdzie RH < σ T − J ≤ Re , zaś a, b są stałymi, zależnymi od rodzaju materiału.
W przypadku wyboczenia niesprężystego siłę krytyczną obliczamy z zależności
σ T −J =
PT − J
→ PT − J = σ T − J A
A
(14)
Aproksymacja TETMAJERA-JASINSKIEGO zakłada, że w przypadku prętów, których smukłość
λ → 0 (prętów krępych) stan graniczny nośności osiągany jest przez uplastycznienie
przekroju. Dlatego stałe a i b we wzorze (13) wyznacza się z warunków (rys. 4)
5
σ T − J (λ = 0 ) = a = Re
σ T − J (λ = λgr ) = a − bλgr = Re − bλgr = RH → b =
Re − RH
λgr
=
Re − R H
Π
RH
E
W przypadku stali a = 33.87 kN/cm2, b = 0.148 kN/cm2.
2.5.7. Wymiarowanie prętów smukłych ściskanych osiowo
W celu uproszczenia wymiarowania, możliwość wyboczenia prętów smukłych ściskanych
osiowo uwzględnia się modyfikując wzór określający naprężenia normalne przy ściskaniu
osiowym prętów krępych w następujący sposób
σ=
Pmw
A
(15)
gdzie mw jest współczynnikiem wyboczeniowym, którego wartości są stabelaryzowane
(tab. 1) i podawane w normach konstrukcyjnych.
Tab. 1. Współczynniki wyboczeniowe mw stali
λ / λp 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20
mw
1.12
1.25
1.48
2.00
2.88
1.40
1.60
1.80
2.00
3.92
5.12
6.48
8.00
Wartość tego współczynnika zależy od rodzaju materiału pręta oraz wartości wyrażenia
λ / λp , gdzie λp oznacza smukłość porównawczą. W przypadku konstrukcji stalowych
smukłość tę oblicza się z zależności
λ p=
1645
R
(16)
przy czym R = Rc = Rr jest wytrzymałością obliczeniową stali na ściskanie w MPa.
Wymiarując pręty smukłe ściskane osiowo sprawdzamy warunek wytrzymałości
σ=
Pmw
≤ Rc
A
(17)
Z powyższego warunku wynika wielkość dopuszczalnej siły osiowej
P=
ARc
mw
(18)
Przykłady
Przykład 1. W przypadku prętów stalowych o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rys. 3a-d należy
wyznaczyć ich smukłość, określić rodzaj wyboczenia (sprężyste czy niesprężyste) oraz wyznaczyć wartość
siły krytycznej przy wykorzystaniu wzoru EULERA lub TETMAJERA-JASIŃSKIEGO.
6
Dane: b = h = 6 cm, l = 300 cm, E = 2.05 ⋅ 10 4 kN/cm2, λgr = 100, a = 33.87 kN/cm2, b = 0.148 kN/cm2
Szukane: λ, PK
Rozwiązanie
Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju
A = b ⋅ h = 6 ⋅ 6 = 36 cm2, Iy = Iz = Imin =
2
imin
=
h ⋅ b 3 6 ⋅ 63
=
= 108 cm4
12
12
Imin 108 cm4
=
= 3 cm2 → imin = 3 cm2 = 1.73 cm
A
36 cm2
Krok 2. Wyznaczamy smukłość prętów
λa =
lwa = l = 300 cm →
lwa
imin
=
300 cm
= 173 > λgr = 100 wyboczenie sprężyste
1.73 cm
lwb = 2 l = 2 ⋅ 300 cm = 600 cm →
λb =
lwb
imin
lwc = 0.7 l = 0.7 ⋅ 300 cm = 210 cm →
λc =
lwd = 0.5 l = 0.5 ⋅ 300 cm = 150 cm →
λd =
=
600 cm
= 347 > λgr = 100 wyboczenie sprężyste
1.73 cm
lwc
imin
lwd
imin
=
=
210 cm
= 121 > λgr = 100 wyboczenie sprężyste
1.73 cm
150 cm
= 87 < λgr = 100 wyboczenie niesprężyste
1.73 cm
Krok 3. Obliczamy siłę krytyczną
PKa = PEa =
PKb = PEb =
PKc = PEc =
Π 2EImin
(l )
a 2
w
Π 2EImin
(l )
b 2
w
Π 2EImin
(l )
c 2
w
=
=
=
3.142 ⋅ 2.05 ⋅ 10 4 kN/cm2 ⋅ 108 cm4
(300 cm )2
3.142 ⋅ 2.05 ⋅ 104 kN/cm2 ⋅ 108 cm4
(600 cm )2
3.142 ⋅ 2.05 ⋅ 104 kN/cm2 ⋅ 108 cm4
(210 cm )2
= 243 kN
= 61 kN
= 495 kN
PKd = PTd− J = σ T − J A = (a − bλd )A = (33.87 − 0.148 ⋅ 87) kN/cm2 ⋅ 36 cm2 = 756 kN
Przykład 2. W przypadku prętów stalowych o schemacie statycznym i obciążeniu jak w przykładzie 1 należy
wyznaczyć dopuszczalną wartość siły osiowej przy wykorzystaniu wzoru (18).
Dane: Patrz przykład 1, R = Rc = Rr = 215 MPa = 21.5 kN / cm2
Szukane: P
Rozwiązanie
Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju (patrz przykład 1)
7
Imin = 108 cm4 ,
imin = 1.73 cm
Krok 2. Wyznaczamy smukłość prętów (patrz przykład 1)
λa = 173, λb = 347, λc = 121, λd = 87
Krok 3. Obliczamy smukłość porównawczą λp i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika mw
λ p=
1645
1645
=
= 112
R
215
λa 173
=
= 1.54 → mwa = 4.74
λp 112
λb 347
=
= 3.10 → mwb = 18.1
λp 112
λc 121
=
= 1.08 → mwc = 2.33
λp 112
87
λd
=
= 0.78 → mwd = 1.45
λp 112
Krok 4. Obliczamy siłę dopuszczalną
Pa =
ARc
Pb =
ARc
Pc =
ARc
Pd =
ARc
mwa
mwb
mwc
mwd
=
=
=
=
36 cm2 ⋅ 21.5
4.74
36 cm2 ⋅ 21.5
18.1
36 cm 2 ⋅ 21.5
2.33
36 cm 2 ⋅ 21.5
1.45
kN
cm2 = 163kN
kN
cm2 = 43 kN
kN
cm2 = 332 kN
kN
cm2 = 534 kN
Warto zauważyć, że razie rozciągania rozważany pręt mógłby przenieść siłę
Pa = Pb = Pc = Pd = ARr = 36 cm 2 ⋅ 21.5
kN
= 774 kN
cm2
Przykład 3. W przypadku stalowego słupa o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rys. P3.1 wyznaczyć
pole powierzchni przekroju oraz dobrać typ profilu dwuteowego.
Dane: P = 350 kN = 35 ⋅ 104 N, l = 2 m, R = Rc = 210 MPa = 210 ⋅ 106 N m2
Szukane: A
Rozwiązanie
Krok 1. Szacujemy wstępnie pole przekroju słupa
8
Rys. P3.1
σ=
P
P
35 ⋅ 10 4 N
≤R→A=
=
= 0.17 ⋅ 10− 2 m 2 = 17 cm2
A
R 210 ⋅ 106 N
m2
Krok 2. Przewidując możliwość wyboczenia słupa zwiększamy otrzymaną wartość A ok. trzy razy i z tablic
profili walcowanych bierzemy dwuteownik 260 o następujących charakterystykach geometrycznych:
A = 53.4 cm2 = 53.4 ⋅ 10−4 m 2 , Iz =I min = 288 cm 4
2
imin
=
I min
288 cm 4
=
= 5.39 cm 2 → imin = 5.39 cm 2 = 2.32 cm
A
53.4 cm2
Obliczamy smukłość, smukłość porównawczą i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika mw
lw = 2l = 2 ⋅ 2 m = 4 m = 400 cm →
λ p=
1645
R
=
1645
210
= 114 →
λ=
lw
imin
=
400 cm
= 172
2.32 cm
λ 172
=
= 1.51 → mw = 4.56
λp 114
Sprawdzamy warunek wytrzymałości
Pmw 35 ⋅ 10 4 N ⋅ 4.56
N
=
= 299 ⋅ 106 2 = 299 MPa > Rc = 210 MPa
−4
2
A
53.4 ⋅ 10 m
m
Wniosek. Wyznaczone naprężenia przekraczają wytrzymałość obliczeniową stali o ok. 40%. Musimy zatem
przyjąć dwuteownik o większym polu powierzchni.
Krok 3. Z tablic profili walcowanych bierzemy dwuteownik 340 o następujących charakterystykach
geometrycznych:
A = 86.8 cm2 = 86.8 ⋅ 10−4 m 2, Iz =I min = 674 cm 4
2
imin
=
I min
674 cm 4
=
= 7.76 cm 2 → imin = 7.76 cm2 = 2.79 cm
A
86.8 cm2
Obliczamy smukłość, smukłość porównawczą i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika mw
lw = 400 cm →
λ=
lw
imin
=
400 cm
= 143
2.79 cm
9
λ p = 114 →
λ 143
=
= 1.25 → mw = 3.12
λp 114
Sprawdzamy warunek wytrzymałości
Pmw 35 ⋅ 10 4 N ⋅ 3.12
N
=
= 126 ⋅ 106 2 = 126 MPa < Rc = 210 MPa
A
86.8 ⋅ 10− 4 m 2
m
Wniosek. Wyznaczone naprężenia są o ok. 40% mniejsze od wytrzymałości obliczeniowej stali. Powinniśmy
zatem przyjąć dwuteownik o mniejszym polu powierzchni.
Krok 4. Z tablic profili walcowanych bierzemy dwuteownik 300 o następujących charakterystykach
geometrycznych:
A = 69.1 cm 2 = 69.1 ⋅ 10−4 m 2 , Iz =I min = 451 cm 4
2
imin
=
I min
451 cm 4
=
= 6.53 cm2 → imin = 6.53 cm2 = 2.55 cm
A
69.1 cm 2
Obliczamy smukłość, smukłość porównawczą i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika mw
lw = 400 cm →
λ p = 114 →
λ=
lw
imin
=
400 cm
= 157
2.55 cm
λ 157
=
= 1.38 → mw = 3.82
λp 114
Sprawdzamy warunek wytrzymałości
Pmw 35 ⋅ 10 4 N ⋅ 3.82
N
=
= 194 ⋅ 106 2 = 194 MPa < Rc = 210 MPa
−4
2
A
69.1 ⋅ 10 m
m
Wniosek. Wyznaczone naprężenia są o ok. 8% mniejsze od wytrzymałości obliczeniowej stali, zatem
przyjmujemy przekrój słupa w postaci dwuteownika 300.
Przykład 4. Przy jakiej wartości obciążenia q układu prętowego o schemacie statycznym jak na rys. P4.1
nastąpi wyboczenie pręta 1-2 przy założeniu, że pracuje on w zakresie liniowo-sprężystym.
Rys. P4.1
Dane: l b , l s , Eb , Es , Jb , Js = Jmin ; J oznacza tu moment bezwładności, wskaźnik b – belkę, zaś s – słup
10
Szukane: q
Rozwiązanie
Zadanie rozwiążemy przy wykorzystaniu metody sił, której równanie w przypadku analizowanego układu
(jednokrotnie statycznie niewyznaczalnego) przyjmuje postać
(a) δ 11X 1 + δ 1P = 0
Krok 1. Przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys. P4.2, rysujemy wykresy MP i M1 oraz
obliczamy współczynniki δ11 i δ 1P (pomijamy skrócenie pręta 1-2)
Rys. P4.2
δ11 =
M1 × M1
=
E b Jb
1l l
2 bb
E b Jb
(b)
δ1P =
⋅ 23 l b
M1 × MP
=−
E b Jb
lb
6
=
(lb )3
3EbJb
2
 q (l b )
q (l ) l 
⋅ lb + 4 ⋅ b ⋅ b 

4
8
2 
q (l )
 2
=− b
E b Jb
8EbJb
2
Krok 2. Zastępujemy siłę X1 siłą PE , gdyż wyboczenie słupa 1-2 nastąpi wtedy, gdy ściskająca go siła
osiągnie określoną wzorem EULERA wartość krytyczną
(c)
X 1 = PE =
Π 2E s J s
(ls )2
Krok 3. Podstawiamy (b) i (c) do (a) wyznaczając poszukiwaną wartość obciążenia krytycznego qE
(lb )3
3E bJb
Π 2E s J s
(ls )2
qE (l b )
8 Π 2Es Js
= 0 → qE =
8EbJb
3 l b (ls )2
4
−
Przykład 5. Przy jakiej wartości ∆T > 0 przyrostu temperatury w pręcie 1-2 układu prętowego o schemacie
statycznym jak na rys. P5.1 nastąpi jego wyboczenie, przy założeniu, że pracuje on w zakresie liniowosprężystym.
Dane:
l b , ls , Eb , Es , Jb , Js = Jmin, αT ; gdzie
J
jest momentem bezwładności,
o
αT – współczynnikiem
rozszerzalności cieplnej materiału pręta [1/ C]; wskaźnik b oznacza belkę, zaś s – słup
Szukane: ∆T
11
Rys. P5.1
Rozwiązanie
Zadanie rozwiążemy przy wykorzystaniu metody sił, której równanie w przypadku analizowanego układu
(jednokrotnie statycznie niewyznaczalnego) przyjmuje postać
(a) δ 11X 1 + δ1T = 0
gdzie
(b) δ 1T = αT ∆Tl s N1
przy czym αT ∆Tl s oznacza przyrost długości pręta pod wpływem przyrostu jego temperatury.
Krok 1. Przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys. P5.2, rysujemy wykresy M1 i N1 oraz
obliczamy współczynniki δ11 i δ 1T (wartość δ11 jest identyczna jak w przykładzie 43)
Rys. P5.2
(c) δ 11 =
(lb )3
3EbJb
, δ 1T = αT ∆Tls N1 = αT ∆Tls (− 1) = −αT ∆Tl s
Krok 2. Zastępujemy siłę X 1 siłą PE , gdyż wyboczenie słupa 1-2 nastąpi wtedy, gdy ściskająca go siła
osiągnie określoną wzorem EULERA wartość krytyczną
12
(d)
X 1 = PE =
Π 2E s J s
(ls )2
Krok 3. Podstawiamy (c) i (d) do (a) wyznaczając poszukiwaną wartość temperatury krytycznej ∆TE
(lb )3
Π 2 E s Js
3Eb Jb
(ls )
2
− αT ∆TE ls = 0 → ∆TE =
Π 2Es Js (l b )
3
3αT EbJb (l s )
3
Przykład 6. Przy jakiej wartości ∆ > 0 błędu montażowego podpory 1 układu prętowego o schemacie
statycznym jak na rys. P6.1 nastąpi wyboczenie pręta 1-2, przy założeniu, że pracuje on w zakresie liniowosprężystym.
Rys. P6.1
Dane: l b , l s , Eb , Es , Jb , Js = Jmin ; J oznacza tu moment bezwładności, wskaźnik b – belkę, zaś s – słup
Szukane: ∆
Rozwiązanie
Zadanie rozwiążemy przy wykorzystaniu metody sił, której równanie w przypadku analizowanego układu
(jednokrotnie statycznie niewyznaczalnego) przyjmuje postać
(a) δ 11X 1 + δ 1∆ = 0
gdzie
(b) δ 1∆ = ∆N1
Krok 1. Przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys. P6.2, rysujemy wykresy M1 i N1 oraz
obliczamy współczynniki δ11 i δ 1∆ (wartość δ11 jest identyczna jak w przykładzie 4)
(c) δ 11 =
(lb )3
3EbJb
, δ1∆ = ∆N1 = ∆ (− 1) = − ∆
Krok 2. Zastępujemy siłę X1 siłą PE , gdyż wyboczenie słupa 1-2 nastąpi wtedy, gdy ściskająca go siła
osiągnie określoną wzorem EULERA wartość krytyczną
(d)
X 1 = PE =
Π 2 E s Js
(ls )2
13
Rys. P6.2
Krok 3. Podstawiamy (c) i (d) do (a) wyznaczając poszukiwaną wartość błędu montażowego ∆ E
(lb )3
3Eb Jb
Π 2 E s Js
(ls )2
Π 2Es Js (l b )
3
− ∆E = 0 → ∆E =
3EbJb (ls )
2
14