∫ 1. ∫ = C ∫ ∫ ∫+ ∫ ∫- ∫

CAŁKA NIEOZNACZONA; PODSTAWOWE WZORY I REGUŁY CAŁKOWANIA
def
(  f ( x )dx  F ( x )  C na przedziale I )  ( F | ( x)  f ( x) dla każdego x  I )
1.
2.
 0dx  C
1
 x dx  a  1 x  C ,
2a)  1dx  x  C
1
2b)  xdx  x  C
2
a
a 1
dla a  R \ {1)
2
x
2c)
2
dx 
1 3
x C
3
1
3.
 x dx  ln x  C
4.
a
x
1 x
a  C,
ln a
x
x
 e dx  e  C
dx 
4a)
5.
6.
7.
8.
dla a  (0,1)  (1, )
 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
1
 sin x dx  ctgx  C
2
1
 cos
2
x
dx  tgx  C
1
dx  arcsin x  C
1 x2
1
10. 
dx  arctgx  C
1 x2
9.

11.  af ( x )dx  a  f ( x )dx ,
dla a  R
12.  [ f ( x )  g ( x )]dx   f ( x)dx   g ( x )dx
13.  [ f ( x )  g ( x )]dx   f ( x)dx   g ( x )dx
|
|
 f ( x) g ( x)dx  f ( x) g ( x)   f ( x) g ( x)dx
15.  f ( g ( x)) g ( x)dx   f (t )dt ,
gdzie t  g (x)
14.
|
wzór na całkowanie przez części
wzór na całkowanie przez podstawienie
UWAGI
 Powyższe wzory prawdziwe są tylko tam, gdzie funkcje podcałkowe są określone
 W każdym ze wzorów przez C oznaczono dowolną stałą rzeczywistą
 Wzór 11 „mówi”, że całkowanie jest działaniem jednorodnym względem mnożenia przez skalar
 Wzory 12 i 13 „mówią”, że całkowanie jest działaniem addytywnym
 Wzór 14 jest odpowiednikiem wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji
 Wzór 15 jest odpowiednikiem wzoru na pochodną funkcji złożonej