Wykład 6

Matematyka I
WYKŁAD 6 .
Wyznacznik macierzy: definicja indukcyjna i permutacyjna. Własności wyznaczników,
rozwinięcie Laplace'a, wzór Sarrusa. Macierz odwrotna i sposoby jej wyznaczania.

GENEZA WYZNACZNIKA
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi
a1 x  b1 y  c1 

a2 x  b2 y  c2 
a12  b12  0, a22  b22  0
Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

Mnożymy pierwsze równanie przez b2

Mnożymy drugie równanie przez  b1

Dodajemy równania stronami.
Stąd a1b2  a2b1 x  c1b2  c2b1
Podobnie a1b2  a2b1 y  a1c2  a2 c1
Rozwiązanie układu równań jest postaci x 
c1b2  c 2 b1
,
a1b2  a 2 b1
y
a1c 2  a 2 c1
a1b2  a 2 b1
przy założeniu a1b2  a2b1  0
a
Macierz układu równań  1
a 2
b1 
cb c b
; x 1 2 2 1 ,

b2 
a1b2  a2b1
y
a1c2  a2c1
a1b2  a2b1
Definicja
Wyznacznikiem macierzy głównej układu równań nazywamy wyrażenie postaci:
a1b2  a2b1
/wyznacznik drugiego stopnia/
c1b2  c2b1 
c1
c2
b1
,
b2
a1
a2
b1
 a1b2  a2b1 ;
b2
a1c2  a2 c1 
a1
a2
c1
,
c2
c1 b1
c b
x 2 2 ,
a1 b1
a2 b2
y
a1
a2
c1
c2
a1
a2
b1
b2
1/13
Matematyka I
Przykład
Obliczyć wyznacznik
5 3
= 20 - (-6) = 26
2
4
Macierz kwadratowa wymiary n  n
 a11 a12  a1n 
a
a22  a2 n 
21

A=
 


 


an1 an 2  ann 
Pierre Simon de Laplace - członek Instytutu Narodowego we Francji. Bonaparte mianował
go ministrem spraw wewnętrznych. Po sześciu tygodniach odwołano go za niekompetencje.
Indukcyjna definicja wyznacznika względem ilości wierszy n – rozwinięcie Laplace’a
względem pierwszego wiersza
Niech A oznacza macierz kwadratową wymiaru n
Krok 1. Dla n=1,
n
detA = a
Krok 2.
Założenie: mamy zdefiniowany wyznacznik
macierzy A wymiaru n  n
Definiujemy wyznacznik macierzy A wymiaru (n+1)
 a11
a
 21
 

an 1,1
 (n+1)
a12  a1n
a1, n 1 
a22  a2 n
a2, n  2 



 

an 1, 2  ann
an 1, n 1 
dla i = 1, 2, ..., n+1:

Wykreślamy z macierzy A wiersz 1 i kolumnę i

Dla pozostałej macierzy A1i obliczamy det A 1i

Tworzymy sumę
S   1 a11  det A1,1   1 a12  det A1, 2  ...
11
1 2
  1 a1,i  det A1,i  ...   1
1 i

1 n 1
Przyjmujemy
a1, n 1  det A1, n 1
Det A = S
2/13
Matematyka I
Wyznacznik liczbowej macierzy kwadratowej
oznaczamy symbolem
a11 a12
 
 
an1 an 2




a1n


ann
Przykład
Obliczyć wyznacznik macierzy
2
1
3
1  3
4 

2 1  3
detA =  1
11
  1
1 3
4
4
 3
1
1 2
+  1  2  det 
 3  det 


 1  3
2  3
1  3
1 det 

2 1 
3((3)  (3)  4 1)  2  (1 (3)  2  4)  1 (11  (3)  2) 
= 15 + 22 + 7 = 44
Definicja
Iloczynem liczby i wiersza (kolumny) nazywamy ciąg, którego każdy element jest iloczynem tej
liczby i odpowiedniego elementu mnożonego wiersza (kolumny).
Iloczynem liczby  i wiersza a11,a12 , a13 jest ciąg a11, a12 , a13
Dwa wiersze (kolumny) nazywamy proporcjonalnymi,
jeżeli jeden powstaje z drugiego w wyniku pomnożenia przez określoną liczbę.
1 2 3
2 4 6
0 0 0
a)
Wiersze 1, 2, 3 i 2, 4, 6 są proporcjonalne ( = 2)
3/13
Matematyka I
b)
Wiersze 1, 2, 3 i 0, 0, 0 są proporcjonalne (= 0)
Sumą dwóch wierszy (kolumn) nazywamy ciąg złożony
z elementów, będących sumami odpowiadających sobie elementów tych dwóch wierszy (kolumn) z
zachowaniem ich porządku.
Sumą wierszy (a11, a12, a13) i (a 21 , a22, a23) jest ciąg
(a11  a21, a12  a22, a13  a23)
Przykład
Dane są macierze
1 3 1 
A  0 2 5
2 3 3
 1 5 6
B   1 2 0 
 4 8 11
(1,5,6) B  (1,3,1) A  (0,2,5) A
(4,8,11) B  1 (0,2,5) A  2  (2,3,3) A
Kombinacją liniową dwóch wierszy (kolumn) macierzy
nazywamy ciąg, którego elementy są kombinacjami liniowymi odpowiednich elementów
rozpatrywanych wierszy (kolumn).
Liczba a jest kombinacją liczbową liczb b i c jeżeli istnieją takie liczby  i , że
a =  b  c
Twierdzenie – własności wyznaczników

Wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy wyznacznikowi macierzy względem jej
transponowanej
det A  det AT
a b
a c
 ad  bc 
c d
b d

Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy jest równoważne pomnożeniu wyznacznika
przez –1
a b
b a
 ad  bc   (bc  ad )  
c d
d c
4/13
Matematyka I

Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych kolumnach jest równy 0
a b
 ab  ab  0
a b

Wyznacznik macierzy mającej wiersz (kolumnę) zerową jest równy 0
a b
 a0 b0  0
0 0

Mnożąc wiersz (kolumnę) macierzy przez liczbę mnożymy wyznacznik tej macierzy przez tę
liczbę.
a b
c

d
a b
c d
Wyznacznik o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy 0.
a b
a


b

a b
  0  0
a b
Wyznacznik możemy przedstawić w postaci sumy dwóch wyznaczników w postaci
a11  b11 a12  b12
c21
c22


cn1
cn 2
 a1n  b1n
a11 a12

c2 n
c
c
= 21 22


 

cnn
cn1 cn 2




a1n
b11 b12
c2 n
c
c
+ 21 22

 
cnn
cn1 cn 2




b1n
c2 n

cnn
Przykład
3 2
0 2 3 2


2 5 2 5 0 5

Jeżeli w macierzy jeden z wierszy (lub jedna z kolumn) jest kombinacją liniową pozostałych
wierszy (lub kolumn), to wyznacznik tej macierzy jest równy 0.
a1
a2
a3
b1
b2
b3
a1  b1
a1 b1 a1 a1 b1 b1
a2  b2  a2 b2 a2  a2 b2 b2
a3  b3 a3 b3 a3 a3 b3 b3
5/13
Matematyka I

Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, jeżeli do wiersza (lub kolumny) macierzy dodamy
kombinację liniową pozostałych wierszy (lub kolumn).
a1
a2
a3

b1
b2
b3
c1
a1
c2  a2
c3 a3
b1
b2
b3
c1
a1
c2  a2
c3 a3
b1
b2
b3
a1  b1
a1 b1 c1  a1  b1
a2  b2  a2 b2 c2  a2  b2
a3  b3 a3 b3 c3  a3  b3
Jeżeli wyznacznik macierzy jest równy 0 to jej wiersze (kolumny) są liniowo zależne.
a11 a12
Jeżeli a21 a22
a31 a32
a13
a23  0 , to istnieją takie trzy liczby
a33
 ,  ,  nie równe jednocześnie 0 dla których
a11  a21  a31  0
a12  a22  a32  0
a13  a23  a33  0
Inaczej: wśród wierszy (kolumn) macierzy o wyznaczniku zerowym istnieje taki wiersz lub
kolumna, który jest liniowo zależny od pozostałych wierszy (kolumn).
Przykład
1 2
 0,
2 4
drugi wiersz powstaje z pierwszego wiersza w wyniku
pomnożenia przez 2
1 2 3
4 5 6  0,
7 8 9
trzeci wiersz jest równy podwojonemu drugiemu wierszowi pomniejszonemu o wiersz pierwszy.

Metody obliczania wyznaczników

Rozwinięcie względem wiersza lub kolumny
Twierdzenie
Wyznacznik macierzy A można rozwijać względem dowolnej z jego kolumn ( zatem również
względem dowolnego wiersza)
6/13
Matematyka I
det A  (1)1 j a1 j det A1, j  ...  (1) n  j anj det An, j
 a11
a
 21
 

an 1,1
a12  a1n 
a22  a2 n 


 

an 1, 2  ann 
Przykład
9 2 3
1 1
4 1
4 1
4 1 1  9 
 2
3

1 2
4 2
4 1
4 1 2
 9(2  1)  2(8  4)  3(4  4)  9  8  1
Metoda Sarrusa
a11
a12

a21

a22

a31
a23

a32
 
a11
a12

a21
a13
 a11a22a33  a21a32a13  a31a12a23 
 (a13a22a31  a23a32a11  a33a12a21)
a33

a13

a22
a23
Przykład
1 0 2
 1 3  6  4  5  2  0  0 1  (2  3  0  1 5 1  6  0  4) 
4 3 1
 18  40  5  53
0 5 6
1 0 2
4 3 1
7/13
Matematyka I

Metoda permutacyjna –
permutacyjna definicja wyznacznika
Przypomnienie:
Permutacja zbioru n – elementowego: ciąg złożony
z n – elementów
Ilość permutacji zbioru n – elementowego: n!
Permutacja parzysta – parzysta ilość inwersji.
Permutacja nieparzysta - nieparzysta ilość inwersji

Znak permutacji - 

 1 permutacja nieparzysta
1 permutacja parzysta
Przykład
Zbiór A – {1, 2, 3, 4, 5}
Permutacje zbioru A, np. (2, 3, 4, 5, 1)
Ilość inwersji= 4
permutacja parzysta
znak permutacji wynosi 1


Twierdzenie
 
Dla macierzy A = aij
n n
mamy
det A   (sgn  )  a1 (1)  a2  ( 2)    an ( n ) ,

gdzie  przebiega wszystkie permutacje na zbiorze
{1, 2, ...,n}
Obliczanie wyznacznika macierzy metodą permutacyjną (dla macierzy 3 x 3)
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

Wypisujemy wszystkie permutacje zbioru {1, 2, 3}
(1, 2, 3)
(1, 3, 2)
(2, 1, 3)
(3, 2, 1) (2, 3, 1)
(3, 1, 2)
8/13
Matematyka I

Tworzymy iloczyny współczynników macierzy
w następujący sposób
Permutacja
wyjściowa
Permutacja obliczona Znak permutacji
1, 2, 3

1, 2, 3
Iloczyn
współczynników
1
a11a22a33
1, 3, 2
-1
a 11a 23 a32
2, 1, 3
-1
a12a21a33
3, 2, 1
-1
a13a22a31
2, 3, 1
1
a12a23a31
3, 1, 2
1
a13a21a32
Dodajemy utworzone iloczyny, które przepisujemy ze znakiem „+” dla permutacji
parzystej, ze znakiem „-” dla permutacji nieparzystej
det A = a11a22a33 - a 11a 23 a32 - a12a21a33 - a13a22a31 +…+ a12a23a31 + a13a21a32
1 3 4
0
2 1
Przykład Obliczyć wyznacznik macierzy metodą permutacyjną
3 5 0
a11a22a33  1 2  0  0
permutacja parzysta
a11a23a32  11 (5)  5
permutacja nieparzysta
a12a21a33  3  0  0  0
permutacja nieparzysta
a13a22a31  4  2  3  24
permutacja nieparzysta
a12a23a31  3 1 3  9
permutacja parzysta
a13a21a32  4  0  (5)  0
permutacja parzysta
detA= 0  (1)  5  (1)  0  (1)  24  9  0  20
9/13
Matematyka I
1
3
4
0
3
2 1
5 0
1
0
3 4
2 1
Metoda Sarrusa
 (1)  2  0  0  (5)  4  3  3  1  3  2  4  1  (5)  (1)  0  3  0 
 20

Rząd macierzy
A – macierz wymiaru m n
 a11 a12  a1n 
a
a22  a2 n 
21

A=
 


 


am1 an 2  amn 
Definicja
Macierz częściowa, podmacierz macierzy A – macierz kwadratowa, którą możemy uzyskać z
macierzy A
w wyniku skreślenia w niej pewnej liczby wierszy lub kolumn.
Np. podmacierzą macierzy A jest macierz
 a11 a12 
a

 21 a22 
Podwyznacznikiem danego wyznacznika nazywamy każdy wyznacznik macierzy, którą
otrzymamy usuwając z danej macierzy pewną liczbę wierszy i tę samą liczbę kolumn,
zachowując kolejność pozostałych elementów.
Minorem wyznacznika przynależnym do elementu
aik macierzy A nazywamy
podwyznacznik danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z macierzy wiersz oraz
kolumnę, na przecięciu których znajduje się ten element.
Np. w wyznaczniku drugiego stopnia
a11 a12
=a a a a
a21 a22 11 22 12 21
10/13
Matematyka I
minorem przynależnym do elementu a 11 jest a22  a22
Dopełnieniem algebraicznym Aik elementu aik wyznacznika nazywamy iloczyn minora tego
wyznacznika przynależnego do elementu aik oraz czynnika (1)i  k
Np. dla macierzy trzeciego stopnia
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
dopełnienia algebraiczne są postaci
A23  (1)2  3
a11 a12
 a11a32  a12a31
a31 a32
A33  (1)3 3
a11 a12
 a11a22  a12a21
a21 a22
Macierz osobliwa – macierz kwadratowa, której wyznacznik jest równy 0.
Macierz nieosobliwa – macierz kwadratowa, której wyznacznik jest różny od 0.
Definicja
Rzędem macierzy A o wymiarze m n nazywamy:
1. Liczbę R równą najwyższemu ze stopni jej różnych od zera minorów, gdy macierz jest
niezerowa;
2. Liczbę 0, gdy macierz jest zerowa.
Rząd macierzy spełnia nierówność
0  R  min( m, n)
Np. dla macierzy
 1
 3
A= 
 0

 5
0
5
2
1
4 1
6
7
7 3
3 2
2
8
5

2
0  rzA  min( 4,5)  4
Obliczanie rzA
 Liczymy wyznaczniki podmacierzy macierzy A wymiaru 4 x 4. Jeżeli istnieje taka
podmacierz, której wyznacznik jest różny od 0, to rzA = 4, w p.p. liczymy wyznaczniki
podmacierzy macierzy A wymiaru 3 x 3.
11/13
Matematyka I


Jeżeli istnieje taka podmacierz wymiaru 3 x 3, której wyznacznik jest różny od 0, to rzA =
3, w p.p. liczymy wyznaczniki podmacierzy macierzy A wymiaru 2 x2
Jeżeli istnieje taka podmacierz wymiaru 2 x 2, której wyznacznik jest różny od 0, to rzA =
2, itd.
Przykład
Obliczyć rząd macierzy
1 2 3 
A = 4 5 6
7 8 9

Obliczmy wyznacznik macierzy A (np. metodą permutacyjną)

det A  1 5  9 1 6  8  2  4  9  3  5  7  2  6  7  3  4  8  0
Wybieramy dowolną podmacierz wymiary 2  2 macierzy A i liczymy jej wyznacznik
1 2
 5  8  3  0
4 5
stąd rząd macierzy A, rzA=2

Odwracanie macierzy
Definicja
Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A1 , taką, że
A1  A  A  A1  I
Twierdzenie

Macierz odwracalna (tzn. taka, do której istnieje macierz odwrotna) jest macierzą
nieosobliwą.

Macierz odwrotna A1 do macierzy nieosobliwej A jest nieosobliwa.

Wyznacznik macierzy odwrotnej A1 jest równy odwrotności wyznacznika macierzy
odwracanej A.
12/13
Matematyka I
Definicja
Macierzą dołączoną AD macierzy kwadratowej A nazywamy macierz transponowaną
macierzy utworzonej z dopełnień algebraicznych elementów macierzy A.
 
AD  Aij
T
Macierz odwrotna jest wyrażona wzorem
AD
A 
A
1
Przykład
Obliczyć macierz odwrotną do macierzy
1  1
 3

2  1
A=  4
 2  1 1 

Obliczamy wyznacznik macierzy
1  1
 3
2  1 = 1  0
det  4
 2  1 1 

Obliczmy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A
A11 

2 1
1,
1 1
1 1
 0 , itd.
1 1
Tworzymy macierz dopełnień algebraicznych
1  2 0
Aij  0 1 1 
1  1 2
 

A21  
Obliczamy
 1 0 1
AD   2 1  1
 0 1 2
 1 0 1
AD 
A 
=  2 1  1
A
 0 1 2
1
13/13