Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3” Ćwiczenia Otwierające αcos

Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3” Ćwiczenia Otwierające αcos

Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3” Ćwiczenia Otwierające
Zadanie na rozgrzewkę - „DWA TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE…” (10 punktów)1
W tym zadaniu naleŜy:
1. Przetłumaczyć treść zadania na język polski
2. Rozwiązać zadanie
3. Rozwiązanie zadania naleŜy podać w wybranym wcześniej języku
Zadanie na rozgrzewkę - „DWA TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE” – (10 punktów)
Przyjmując dane jak na rysunku poniŜej, oblicz:
sin α , cos α oraz długości przyprostokątnych trójkąta EDA.
Warm up- „ TWO RIGHT-ANGLED TRIANGLES”– (10 points)
Assuming the data as shown in the figure below, calculate: sin α , cos α and the length of
the catheti of the triangle EDA
1
Zaczerpnięto z [1] - Zadanie 2.6 Strona 15
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
Strona 1
Paquet 5 Lycée
Paquet 5 « SINUS, COSINUS...»
Exercices d’introduction
Exercice pour entraînement – „ DEUX TRIANGLES RECTANGLES” (10 points)
En admettant les données comme sur l’image ci-dessous, calcule:
sin α , cos α et les cathètes du triangle EDA.
Paquete 5 – „SINUS, COSINUS…”
Ejercicios de iniciación
Ejercicio de iniciación - “Dos triángulos rectángulos”– (10 puntos)
Admitiendo los datos como los del dibujo de más abajo, calcula:
sin α , cos α y las longitudes de los cateos
del triángulo EDA
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
Strona 2
Paket 5 – „SINUS, COSINUS…”
Öffnungsaufgaben:
Aufgaben zur Erwärmung- „ZWEI RECHTECKIGE DREIECKE ” – (10 Punkte))
Nimm die Angaben wie auf der Zeichnung unten an und berechne:
sin α , cos α sowie die Längen von
Katheten des Dreiecks EDA.
Pacchetto 5 – „SENO, COSENO…”
Esercizi di apertura:
esercizio per riscaldare - „DUE TRANGOLI RETTANGOLI” – (10 punti)
Ammessi i dati riportati sul disegno qui sotto, calcola:
sin α , cos α nonché le lunghezze dei cateti del
triangolo EDA.
Zadanie1 – „WYSOKI CZY NISKI?” – (8 punktów)2
2
Zaczerpnięto z [2] - Zadanie 2.27, Strona 47
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
Strona 3
Wysokość trójkąta równoramiennego jest dwa razy krótsza niŜ jego ramię. Oblicz miary kątów tego trójkąta.
Rozpatrz dwa przypadki.
Zadanie 2 – „OD SUMY SINUSÓW, DO ILOCZYNU COSINUSÓW” (4 punkty) 3
spełniony jest warunek:
W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych α i β
sin α + sin β =
5
.
2
Oblicz iloczyn cosinusów tych kątów.
Zadanie 3 – „ŁUK PODKOWIASTY” (4 punkty) 4
Czym jest sinus?
W architekturze islamu często stosowanym elementem był łuk podkowiasty.
Schemat okna w kształcie takiego łuku (łuku okręgu) przedstawiono na rysunku poniŜej. Korzystając z danych
na rysunku oblicz wysokość okna h i największy prześwit d .
Zadanie 4 – „ELEKTROWNIA WIATROWA” (6 punktów)5
E.
Z punktu A widziała ją pod kątem 30° stopni do kierunku drogi. A z punktu B pod kątem 60° . PrzejeŜdŜając
Ewa jadąc drogą widziała elektrownię wiatrową oznaczoną na rysunku literą
przez punkt
C minęła elektrownię. Długość odcinka AB jest równa 20 km .
3
Zaczerpnięto z [3] - Zadanie 5, strona 98
Zaczerpnięto z [4] - d555/5180631
5
Zaczerpnięto z [4] - d555/220466
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
4
Strona 4
a) Oblicz miary kątów ∠AEB i ∠BEC .
b) Oblicz długość odcinka BC .
c) Oblicz odległość elektrowni od drogi.
W rachunkach przyjmij, Ŝe 3 ≈ 1,75 .
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
Strona 5
Szkice rozwiązań ĆWICZEŃ OTWIERAJĄCYCH
Zadanie na rozgrzewkę - „DWA TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE…” – (10 punktów)
Szkic rozwiązania:
Dane:
Trójkąty ∆ABC oraz ∆EDA prostokątne, w których jeden z kątów ostrych ma miarę α
W ∆ABC:
W
AB = 3
BC = 4
Szukane:
sin α = ?,
cos α = ?
Przyprostokątne ∆EDA, czyli:
AE = ? oraz AD = ?
Rozwiązanie:
W ∆ABC:
1. Na mocy twierdzenia Pitagorasa:
AC = AB + BC
2
Uwzględniając dane z rysunku otrzymujemy
zatem
2
( AC
2
2
) (
)
= 3 2 + 4 2 ⇒ AC = 9 + 16 ⇒ AC = 25 ,
2
2
AC = 5
2. Z definicji funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:
I.
sin α =
AB
AC
, stąd
sin α =
3
5
W ∆EDA:
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
Strona 6

AE  
AE 3
3
12
 sin α =
 ∧  sin α = 3  ∧ DE = 4 , zatem
= , stąd AE = ⋅ 4 , czyli AE =


4
5
5
5
DE  
5

I.
II.

AD 4
AD  
4
16
 cos α =
 ∧  cos α = 4  ∧ DE = 4 , zatem
= , stąd AD = ⋅ 4 , czyli AD =


4
5
5
5
DE  
5

Odpowiedź:
sin α =
3
4
; cos α =
5
5
Przyprostokątne w trójkącie ∆EDA wynoszą:
12
16
oraz
.
5
5
Propozycja punktacji
NR.
ETAPY ROZWIĄZANIA
1
Tłumaczenie na język polski
2
Wyznaczenie długości przeciwprostokątnej AC
3
4
5
6
Obliczenie
sin α , cos α
PUNKTY
1
1
2
Wyznaczenie długości przyprostokątnej
AE
2
Wyznaczenie długości przyprostokątnej
AD
2
Zapisanie rozwiązania w języku obcym
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
2
Strona 7
Warm up- „ TWO RIGHT-ANGLED TRIANGLES”– (10 points)– the draft
Dane:
Right-angled triangles: ∆ABC and ∆EDA, in which one of the acute angles has measure α
In ∆ABC:
AB = 3
BC = 4
In ∆EDA
Search:
sin α , cos α
The catheti ∆EDA, That is:
AE = ? and AD = ?
Solution:
In ∆ABC:
1. On the strength of the Pythagoras theorem:
AC = AB + BC
2
2
2
Taking into account the data from the figure we get
:
( AC
2
) (
)
= 3 2 + 4 2 ⇒ AC = 9 + 16 ⇒ AC = 25 ,so AC = 5
2
2
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
Strona 8
2. On be basis of the definition of trigonometric functions we get::
I.
sin α =
AB
AC
cos α =
II.
, so sin α
BC
AC
, so
=
3
5
cos α =
4
5
In ∆EDA:

AE 3
AE  
3
12
 sin α =
 ∧  sin α = 3  ∧ DE = 4 , then
= , so AE = ⋅ 4 , so AE =


4
5
5
5
DE  
5

I.
II.

AD  
AD 4
4
16
 cos α =
 ∧  cos α = 4  ∧ DE = 4 , then
= , so AD = ⋅ 4 , so AD =

4
5
5
5
DE  
5

Answer:
sin α =
3
4
; cos α =
5
5
The catheti in the triangle ∆EDA are:
Suggested scoring schema:
NO.
1
2
3
4
5
6
12
16
and
.
5
5
THE STAGES OF THE SOLUTION
Translation into Polish
Giving the length of the hypotenuse
Calculating
AC
sin α , cos α
POINTS
1
1
2
Giving the length of the cathetus
AE
2
Giving the length of the cathetus
AD
2
Writing the solution in a foreign language
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
2
Strona 9
Etudes de la solution des exercices d’introduction
Exercice pour entraînement – „ DEUX TRIANGLES RECTANGLES” (10 points) – étude de la solution
Données:
Les triangles rectangles: ∆ABC et ∆EDA, dans lesquels l’un des angles aigus a la mesure α
Dans ∆ABC:
AB = 3
BC = 4
Dans ∆EDA
Recherchés:
sin α , cos α
Cathètes ∆EDA, alors:
AE = ? et AD = ?
Solution:
Dans ∆ABC:
1. Conformément au théorème de Pythagore
:
AC = AB + BC
2
2
2
En prenant en considération les données de l’image, on obtient
( AC
2
) (
)
= 3 2 + 4 2 ⇒ AC = 9 + 16 ⇒ AC = 25 , alors AC = 5
2
2
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
Strona 10
2. D’après la définition des fonctions trigonométriques on obtient:
I.
AB
sin α =
II.
AC
cos α =
, d’où
BC
AC
sin α =
, d’où
3
5
cos α =
4
5
Dans ∆EDA:

AE 3
AE  
3
12
 sin α =
 ∧  sin α = 3  ∧ DE = 4 , alors
= , d’où AE = ⋅ 4 , alors AE =


4
5
5
5
DE  
5

I.
II.

AD  
AD 4
4
16
 cos α =
 ∧  cos α = 4  ∧ DE = 4 , alors
= , d’où AD = ⋅ 4 , alors AD =

4
5
5
5
DE  
5

Réponse:
sin α =
3
4
; cos α =
5
5
Les cathètes dans le triangle ∆EDA s’élèvent à:
12 16
et
.
5
5
Proposition du pointage
Etapes de la solution
L.P.
1
Traduire en langue polonaise
2
Déterminer la longeur de la cathète AC
3
4
5
7
Calculer
sin α , cos α
POINTS
1
1
2
Déterminer la longeur de la cathète
AE
2
Déterminer la longeur de la cathète
AD
2
Ecrire la solution en langue étrangere
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
2
Strona 11
Propuesta de solución de ejercicios de iniciación
Ejercicio de iniciación - “DOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS”– (10 puntos) – esquema de solución
Datos:
Los triángulos rectángulos: ∆ABC y ∆EDA, en los cuales uno de ángulos agudos tiene la medida α
W ∆ABC:
AB = 3
BC = 4
W ∆EDA
Buscados:
sin α , cos α
Cateos ∆EDA, entonces:
AE = ? y AD = ?
Solución:
W ∆ABC:
1. Basándonos en el teorema de Pitágoras:
AC = AB + BC
2
2
2
Tomando los datos del dibujo en consideración obtenemos:
( AC
2
) (
)
= 3 2 + 4 2 ⇒ AC = 9 + 16 ⇒ AC = 25 , entonces AC = 5
2
2
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
Strona 12
2. De la definición trigonométrica obtenemos:
I.
II.
sin α =
cos α =
AB
AC
, stąd
BC
AC
sin α =
, stąd
3
5
4
5
cos α =
En ∆EDA:

AE 3
AE  
3
 sin α =
 ∧  sin α = 3  ∧ DE = 4 , así
= , se deduce que AE = ⋅ 4 , es decir


4
5
5
DE  
5

12
AE =
5

AD 4
AD  
4
 ∧  cos α = 4  ∧ DE = 4 , así
= , se deduce que AD = ⋅ 4 , es decir
II.  cos α =


4
5
5
DE  
5

16
AD =
5
I.
La respuesta:
sin α =
3
4
; cos α =
5
5
Los cateos en el triángulo ∆EDA tienen:
Propuesta de la puntuación :
NÚMERO DE LA ACTIVIDAD.
1
2
3
4
5
7
12 16
y
.
5 5
ETAPAS DE SOLUCIÓN DE LA TAREA
Traducción de la tarea al polaco
Marcar la longitud de la hipotenusa
Calcular
AC
sin α , cos α
NÚMERO DE PUNTOS
1
1
2
Marcar la longitud del cateo
AE
2
Marcar la longitud del cateo
AD
2
Marcar la solución en un idioma extranjero
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
2
Strona 13
Lösungsskizzen von Öffnungsaufgaben
Aufgabe zur Erwärmung - „ZWEI RECHTECKIGE DREIECKE” – (10 Punkte) – Lösungsskizze
Angaben:
Rechteckige Dreiecke: ∆ABC und ∆EDA, in denen einer von den spitzen Winkeln das Maß α hat
In ∆ABC:
AB = 3
BC = 4
In ∆EDA
Gesucht:
sin α , cos α
Katheten ∆EDA, also:
AE = ? und AD = ?
Lösung:
In ∆ABC:
1. Aufgrund des Pythagoräischen Lehrsatzes :
AC = AB + BC
2
2
2
Die Angaben aus der Zeichnung berücksichtigend, bekommen
wir:
( AC
2
) (
)
= 3 2 + 4 2 ⇒ AC = 9 + 16 ⇒ AC = 25 , also AC = 5
2
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
2
Strona 14
2. Aus Definitionen von trigonometrischen Funktionen bekommen wir:
I.
sin α =
cos α =
II.
AB
AC
, daher
BC
AC
sin α =
, daher
3
5
cos α =
4
5
In ∆EDA:

AE 3
AE  
3
12
 sin α =
 ∧  sin α = 3  ∧ DE = 4 , also
= , daher AE = ⋅ 4 , also AE =


4
5
5
5
DE  
5

I.
II.

AD  
AD 4
4
16
 cos α =
 ∧  cos α = 4  ∧ DE = 4 , also
= , daher AD = ⋅ 4 , also AD =

4
5
5
5
DE  
5

Antwort:
sin α =
3
4
; cos α =
5
5
Die Katheten im Dreieck ∆EDA betragen:
Punktwertungsvorschlag :
NR.
12
16
und
.
5
5
LÖSUNGSPHASEN
PUNKTENZAHL
1
2
3
4
5
6
Übersetzung ins Polnische
Bestimmung der Kathetenlänge
Berechnung von
AC
sin α , cos α
1
1
2
Bestimmung der Kathetenlänge
AE
2
Bestimmung der Kathetenlänge
AD
2
Einschreibung von Lösung in einer fremden Sprache
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
2
Strona 15
Schizzi di risoluzione degli esercizi di apertura
L’esercizio per riscaldare - „DUE TRIANGOLI RETTANGOLI” – (10 punti) – schizzo di soluzione
Dati:
I triangoli rettangoli: ∆ABC e ∆EDA, nei quali uno degli angoli aguti ha la misura α
Nel ∆ABC:
AB = 3
BC = 4
nel ∆EDA
Ricercati:
sin α , cos α
Cateti ∆EDA, cioè :
AE = ? e AD = ?
Risoluzione:
nel ∆ABC:
AC = AB + BC
2
1. Applicando il teorema di Pitagora:
2
2
In considerazione dei dati del disegno otteniamo
( AC
2
) (
)
= 3 2 + 4 2 ⇒ AC = 9 + 16 ⇒ AC = 25 , per cui AC = 5
2
Pakiet V „Sinus, Cosinus, Daj BoŜe 3”
2
Strona 16
2. Dalla definizione delle funzioni trigonometriche otteniamo :
I.
sin α =
II.
AB
AC
cos α =
, per cui
BC
AC
sin α =
3
5
cos α =
, per cui
4
5
Nel ∆EDA:

AE  
AE 3
3
12
 sin α =
 ∧  sin α = 3  ∧ DE = 4 , allora
= , per cui AE = ⋅ 4 , cioè AE =


4
5
5
5
DE  
5

I.
II.

AD  
AD 4
4
16
 cos α =
 ∧  cos α = 4  ∧ DE = 4 , allora
= , per cui AD = ⋅ 4 , cioè AD =


4
5
5
5
DE  
5

Risposta:
sin α =
3
4
; cos α =
5
5
I cateti nel triangolo ∆EDA sono:
12 16
e
.
5
5
Proposta del punteggio
NO.
FASI DELLA SOLUZIONE
PUNTEGGI
O
1
2
3
4
5
6
Traduzione in lingua polacca
Definire la lunghezza dell’ipotenusa
Calcolo del
AC
sin α , cos α
1
1
2
Definire la lunghezza del cateto
AE
2
Definire la lunghezza del cateto
AD
2
Scrivere la soluzione in lingua straniera
Pakiet edukacyjny V – Sinus, Cosinus, Daj Boże 3”
2
Strona 17
Zadanie 1– „WYSOKI CZY NISKI?” – (8 punktów) - Szkic rozwiązania
Rozwiązanie:
W informacji: „Wysokość trójkąta równoramiennego jest dwa razy krótsza niŜ jego ramię” nie określono, która
wysokość (prostopadła do podstawy trójkąta, czy prostopadła do ramienia trójkąta) ma tę własność.
RozwaŜamy, więc dwa przypadki:
PRZYPADEK I:
Przyjmujemy, Ŝe wysokość opuszczona na podstawę trójkąta jest dwa razy krótsza niŜ jego ramię
OZNACZENIA:
CD = h - wysokość trójkąta
AD = DB - połowa podstawy
DANE:
∆ABC - równoramienny
AC = BC = a
1
h = a stąd a = 2h
2
SZUKANE:
Wyznacz miary kątów:
α =β =?
γ =?
Rozwiązanie:
W ∆ADC mamy:
CD jest wysokością ∆ABC, więc, miara
< ADC = 90° , zatem trójkąt ∆ADC jest prostokątny
Z definicji funkcji sinus otrzymujemy:
CD
h
1
⇒ sin α =
⇒ sin α = ⇒ < α = 30°
AC
2h
2
β = α = 30°
sin α =
γ
γ = 180° − (α + β ) = 180° − (30° + 30°) = 120°
Wyznaczanie miary kąta
Odpowiedź:
Miary kątów trójkąta wynoszą:
30°; 30°; 120°
PRZYPADEK II:
Przyjmujemy, Ŝe wysokość prowadzona do ramienia trójkąta jest
dwa razy krótsza niŜ to ramię
OZNACZENIA:
AD = BE = h - wysokość trójkąta
DANE:
∆ABC - równoramienny
AC = BC = a
1
h = a stąd a = 2h
2
SZUKANE:
Wyznacz miary kątów:
α =β =?
γ =?
Pakiet edukacyjny V – Sinus, Cosinus, Daj Boże 3”
Strona 18
Rozwiązanie:
RozwaŜam, ∆ADC (analogiczne rozumowanie moŜna przeprowadzić, dla ∆BEC)
W ∆ADC mamy:
AD jest wysokością ∆ABC, więc, miara
< ADC = 90° , zatem trójkąt ∆ADC jest prostokątny
Z definicji funkcji sinus otrzymujemy:
sin γ =
γ = 30°
AD
h
1
⇒ sin γ =
⇒ sin γ = ⇒ < γ = 30°
AC
2h
2
Wyznaczanie miary kąta
β =α
α + β + γ = 180° , po uwzględnieniu, Ŝe β = α i γ = 30°
Otrzymujemy: 2 ⋅ α + 30° = 180° , stąd 2 ⋅ α = 150° , czyli α = 75°
Odpowiedź:
Miary kątów trójkąta wynoszą: 30°; 75°; 75°
Odpowiedź:
Trójkąt równoramienny, w którym wysokość jest dwa razy krótsza niŜ jego ramię moŜe mieć kąty:
30°; 30°; 120° lub 30°; 75°; 75° .
Propozycja punktacji:
NR
ETAPY ROZWIĄZANIA
1
Przypadek: wysokość prostopadła do podstawy jest dwa razy krótsza niŜ ramię trójkąta,
wykonanie rysunku, zapisanie danych
2
Wyznaczenie sin α i wartości kąta α
PUNKTY
1
2
3
4
Wyznaczanie wartości kątów trójkąta
Przypadek: wysokość prostopadła do ramienia jest dwa razy krótsza niŜ ramię trójkąta,
wykonanie rysunku, zapisanie danych
1
1
5
Wyznaczenie sin γ i wartości kąta
γ
2
6
Wyznaczanie wartości kątów trójkąta
1
Pakiet edukacyjny V – Sinus, Cosinus, Daj Boże 3”
Strona 19
Zadanie 2 – „OD SUMY SINUSÓW, DO ILOCZYNU COSINUSÓW” (4 punkty) – Szkic rozwiązania
Dane:
α i β są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym
sin α + sin β =
5
2
Oblicz:
cos α ⋅ cos β
Rozwiązanie:
Wykorzystujemy związki między funkcjami trygonometrycznymi, które
zachodzą W ∆ABC:
a
= cos β
c
b
cos α = = sin β
c
sin α = cos β
sin α =
2

 5
5
 ⇒ (sin α + sin β )2 = 

Z danych wynika:  sin α + sin β =


 2  .
2




Stosujemy wzór na kwadrat sumy
5  2
5
 2
2
2
 sin α + 2 ⋅ sin α ⋅ sin β + sin β =  ⇒  sin α + sin β + 2 ⋅ sin α ⋅ sin β =  (*)
4 
4

ZauwaŜamy:
sin β = cos α , to sin 2 α + sin 2 β = sin 2 α + cos 2 α = 1
sin β = cos α i sin α = cos β zatem sin α ⋅ sin β = cos β ⋅ cos α
PoniewaŜ
Wobec powyŜszych związków równość (*) przybiera postać:
1 + 2 ⋅ cos α ⋅ cos β =
5
, więc
4
5
−1
4
1
2 ⋅ cos α ⋅ cos β = : 2
4
2 ⋅ cos α ⋅ cos β =
Odpowiedź:
α,β
są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i
W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych
kątów jest równy
α
i
β

5
1
 sin α + sin β =
 ⇒ cos α ⋅ cos β =


2 
8

takich, Ŝe
sin α + sin β =
5
iloczyn cosinusów tych
2
1
8
Pakiet edukacyjny V – Sinus, Cosinus, Daj Boże 3”
Strona 20
Propozycja punktacji
NR
ETAPY ROZWIĄZANIA
1
Zapisanie danych, rysunek. Podanie związków między sinusami i cosinusami kątów ostrych
w trójkącie prostokątnym
2
Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy oraz związków między funkcjami
trygonometrycznymi kątów ostrych w trójkącie prostokątnymi Obliczenie
3
Podanie odpowiedzi
Zadanie 3 – „ŁUK PODKOWIASTY” - (4 punkty) - Propozycja rozwiązania
Dane:
PUNKTY
1
2
cos α ⋅ cos β
1
PR = 3 m
∠RST = 30°
SU = ST = SR = r
Wyznacz:
h
d
Rozwiązanie:
ZauwaŜmy, Ŝe
h = SU + OS , natomiast d = 2 ⋅ ST , więc tak naprawdę wystarczy wyliczyć boki trójkąta
prostokątnego ∆SOR .
1
1
⋅ PR = ⋅ 3 = 1,5 oraz
2
2
p OSR = 90° − p RST = 90° − 30° = 60°
Znamy jeden z jego boków
W takim razie w
oraz
OR =
∆SOR mamy:
3
 OR
 
OR 
3

 ⇒ SR = 2 =
sin 60°  ⇒  SR =
= 3

 SR =

sin 60° 
3
3

 
2
 OS


 ⇒ ( OS = SR ⋅ cos 60°) ⇒ OS = 3 ⋅ 1 = 3
=
cos
60
°
 SR

2
2


Zatem:
d = 2 ⋅ SR = 2 3
h = SU + SO = 3 +
3 3 3
=
2
2
Odpowiedź:
Wysokość okna wynosi:
h=
3 3
, natomiast prześwit d = 2 3 .
2
Pakiet edukacyjny V – Sinus, Cosinus, Daj Boże 3”
Strona 21
Propozycja punktacji
NR
ETAPY ROZWIĄZANIA
1
Zapisanie danych
2
Wyznaczenie długości boków ∆SOR
3
Wyznaczenie d i h
4
Podanie odpowiedzi
PUNKTY
1
1
1
1
Zadanie 4 – „ELEKTROWNIA WIATROWA” (6 punktów) – szkic rozwiązania:
3 ≈ 1,75 .
W rachunkach przyjmij, Ŝe
AB = 20 km
Dane:
∠BAE = 30°
∠CBE = 60°
Rozwiązanie:
Ad a) PoniewaŜ
∠ABE = 180° − 60° = 120° ,
mamy
∠AEB = 180° − ∠BAE − ∠ABE = 180° − 30° − 120° = 30°
Ponadto w trójkącie ∇BCE mamy
∠BEC = 180° − 90° − 30° = 30°
Odpowiedź:
∠AEB = 30°,
∠BEC = 30°
Ad b)ZauwaŜamy, Ŝe
zatem trójkąt
∠AEB = ∠BAE = 30° ,
∇ABE jest równoramienny, stąd BE = AB = 20
Ponadto w
∇BCE mamy:
BC
BE
= cos 60° =
1
.
2
BC
Stąd, uwzględniając wcześniejsze dane otrzymujemy:
Odpowiedź: Długość odcinka
20
=
1
, zatem BC = 10
2
BC wynosi 10 km .
Ad c)
Sposób I: W
∇BCE : mamy:
Sposób II: Skoro wiemy, Ŝe
długość
EC
BE
= sin 60° =
EC
3
3
, zatem
=
, czyli EC = 10 3 ≈ 17,5
20
2
2
∇BCE jest trójkątem prostokątnym, w którym BE = 20 i BC = 10 , moŜemy
EC wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
Pakiet edukacyjny V – Sinus, Cosinus, Daj Boże 3”
Strona 22
EC =
2
BE − BC
2
= 20 2 − 10 2 = 400 − 100 = 300 = 10 3 ≈ 17,5
Odpowiedź: Oblicz odległość elektrowni od drogi wynosi
Propozycja punktacji
NR
1
Wyznaczenie miar kątów
2
Wyznaczenie długości BC
3
17,5 km
ETAPY ROZWIĄZANIA
Wyznaczenie odległości elektrowni od drogi
PUNKTY
2
2
2
Bibliografia:
[1] „Zbiór zadań dla klasy 1. Matematyka w otaczającym nas świecie. Kształcenie w zakresie podstawowym i
rozszerzonym.”; Praca zbiorowa pod redakcją Cewe A., Nahorska H. Wydawnictwo Podkowa Bis; Gdańsk,
2004
[2] Cewe A., Krawczyń, M., Kruk M., Nahorska H., Pancer I., Ropela R., „Matematyka w otaczającym nas
świecie. Podręcznik dla klasy 1 kształcenie w zakresie podstawowym”, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk,
2008
[3] Zespół Redakcyjny: Masłowska D., Masłowski T., Makowski A., Nodzyński P., Słowińska E., Strzelczyń A.
„Zbiór zadań i testów maturalnych do obowiązkowej matur z matematyki” (zgodnych ze standardami
obowiązującymi od 2010 roku); Wydawnictwo Aksjomat; Toruń 2009
[4] http://www.zadania.info
Pakiet edukacyjny V – Sinus, Cosinus, Daj Boże 3”
Strona 23