Wprowadzenie do rachunku wyrównawczego

Sieć kątowo-liniowa – metoda spostrzeżeń
pośredniczących
Obserwujemy kąty i długości –
szukamy współrzędnych płaskich.
X
XK’
Obserwacje - długości
K’
dxK
Przyrosty współrzędnych
XK
AP-K K
XP
P
X = XK – XP
Y = YK – YP
Długość odcinka
' AB'  x  y
2
dyK
YK’
Y
2
YP
YK
Równanie obserwacyjne:
Lwi  Li  vi
Lwi  L0i  dli
Lwi  Lwi
ponieważ
Li  vi  L0i  dLi
dla długości – Di, otrzymujemy:
wi = dDi + Dprzybliżone - Dpomierzone
i korzystamy z formy :
dDi 
dxP
dyP
dxK
dyK
 cosA PK   sinA PK  cosA PK  sinA PK  2
Po rozpisaniu mamy ogólną postać równania poprawki dla długości:
wi=-cos(AP-K)*dxP -sin(AP-K)*dyP +cos(AP-K)*dxK+sin(AP-K)*dyK +D0i-Di
Gdzie
Spostrzeżenie pomierzone
Di
Poprawka długości
wi
Długość przybliżona
Di0 ' AB'  x 2  y 2
Azymut boku zmierzonego
AP-K
Przyrosty do współrzędnych punktów
dxp, dxk, dyp, dyk
1/12
Tworzymy równania obserwacyjne typu:
wi = dDi + Dprzybliżone - Dpomierzone
Do równań podstawiamy symboliczne oznaczenie współczynników ai,
bi itd, i otrzymamy część układu równań poprawek (dla długości)
wi = ai dx1 + bi dy1 +ci dx2 + di dy2 . . . . ui dyp.+ li
Gdzie współczynniki a, b, c będą miały wartości sin, lub cos, lub 0.
W każdym równaniu wystąpią 2 lub 4 wartości różne od zera
Mierzymy
D1, D2, D3
Dn
z wagami p1, p2, p3 ...
z wagami określonymi ogólnie jako
Niewiadome (współrzędne płaskie punktów)
X1=X10+dx1
Y1=Y10+dy1
X2=X20+dx2
Y2=Y20+dy2
Układ równań poprawek (URP)
dla „u” niewiadomych i „n” spostrzeżeń
w1=a1 dx1 + b1 dy1 +c1 dx2 + . . u1 dyp.+ l1
w2=a2 dx1 + b2 dy1 +c2 dx2 + . . u2 dyp.+ l2
w3=a3 dx1 + b3 dy1 +c3 dx2 + . . u3 dyp.+ l3
.......................................................................................................
wn=an dx1 + bn dy1 +cn dx2 + . . un dyp.+ ln
2/12
pi 
1
 i2
X
Obserwacje - kąty
XL
Przyrosty współrzędnych
Xdx
L' L
XL = XL – XC

P
XC
YL = YL – YC
YP = YP – YC
C
YL
Y dyL
YC '
Y
YP
L
Współczynniki kierunkowe
x
*
x 2  y 2
gdzie
L' L
XP
XP = XP – XC
A
d

B
y
*
x 2  y 2
 - odpowiedni przelicznik na miarę kątową
Obliczenie kata ze współrzędnych
tg ( )  f 0 
X L
X P
YL
f
 1
YP
f2
Równanie obserwacyjne:
Lwi  Li  vi
Lwi  L0i  dli
ponieważ
Lwi  Lwi
Li  vi  L0i  dLi
dla kąta – αi, otrzymujemy: vi = dαi + αprzybliżone - αpomierzone
i korzystamy z formy :
dxL dyL dxP
dαi 
AL BL  AP
dyP
dxC
dyC
 BP  (AL  AP )  (BL  BP ) 1
Po rozpisaniu mamy ogólna postać równania poprawki:
vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*dxP +AP*dyP-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i -i
3/12
Gdzie
Spostrzeżenie pomierzone
αi
Poprawka kąta
vi
Kąt przybliżony
 i0
Współczynniki kierunkowe
AL, BL, AK, BK
Przyrosty do współrzędnych punktów
dxL, dxC, dxp, dyL, dyC, dyP
vi = di + przybliżone - pomierzone
vi 
dxL
AL
dyL dxP
BL  AP
dyP
dxC
dyC
 αi0  αi
 BP  (AL  AP )  (BL  BP ) 1
vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*dxP+AP*dyP-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i
Do równań podstawiamy symboliczne oznaczenie współczynników ai,
bi, ci itd, i otrzymamy część układu równań poprawek (dla katów)
vi = ai dx1 + bi dy1 +ci dx2 + di dy2 . . . . ui dyp.+ li
Gdzie współczynniki a, b, c będą miały wartości odpowiedniego
współczynnika kierunkowego lub 0.
W każdym równaniu wystąpią 2 lub 4 lub 6 wartości różnych od zera.
Mierzymy
α1, α2, α3 . . . . . . αn
z wagami p1, p2, p3 ...
wagi ogólnie jako
pi 
1
mi2
Niewiadome (współrzędne płaskie punktów)
X1=X10+dx1
Y1=Y10+dy1
X2=X20+dx2
Y2=Y20+dy2
. . . .itd . .
Ilość niewiadomych U = 2*P („p” ilość punktów wyznaczanych)
4/12
Tworzymy równania obserwacyjne i przekształcamy równania w
układ równań poprawek
Układ równań poprawek – część dotycząca kątów
vn+1 = a n+1*dx1 + b n+1*dy1 +c n+1*dx2 + d n+1*dy2. . . .u n+1*dyp+ l n+1
vn+2 = a n+2*dx1 + b n+2*dy1 +c n+2*dx2 + d n+2*dy2. . . .u n+2*dyp + l n+2
vn+3 = a n+3*dx1 + b n+3*dy1 +c n+3*dx2 + d n+3*dy2. . . .u n+3*dyp + l n+3
.................................................................................................................................
vn+m= an+m*dx1 + bn+m*dy1 +cn+m*dz + dn+m*dy2. . . .un+m*dyp + ln+m
Łączymy obydwie części URP i uwzględniamy (MNK):
F = [VV] = [pww] + [pvv] => minimum funkcji
(F’=0 i F’’>0)
[VV]= p1*w1*w1 + p2*w2*w2 + p3*w3*w3 . . . . . .+pn * wn * wn+
p1+n*v1=n*v1=n+p2+n*v2+n*v2+n+ . . .+pm+n * vm+n * vm+n+
Wstawiamy równania poprawek vi i wj i po obliczeniu i
uporządkowaniu otrzymujemy układ równań normalnych
zrównoważonych.
{zawierający „u” niewiadomych w „u” równaniach}
[paa]*dx1+[pab]*dy1+[pac]*dx2+ ... [pau]*dyp +[pal]=0
[pab]*dx1+[pbb]*dy1+[pbc]*dx2+ ... [pbu]*dyp +[pbl]=0
[pac]*dx1+[pbc]*dy1+[pcc]*dx2+ ... [pcu]*dyp +[pcl]=0
.............................................. .
[pau]*dx1+[pbu]*dy1+[pcu]*dx2+ ... [puu]*dyp +[pul]=0
Rozwiązanie układu daje nam niewiadome
(a właściwie przyrosty do niewiadomych)
dx1, dy1, dx2, dy2, dx3, dy3 . . . . . .
a z równań
X1=X10+dx1
Y1=Y10+dy1
5/12
X2=X20+dx2
Y2=Y20+dy2
. . . . itd.. . . . . .
.
wyliczamy właściwe niewiadome, co było naszym celem.
Rozwiązanie układu równań normalnych przeprowadzamy w
dowolny sposób, np. metodą macierzową.
Sieć kątowo-liniowa – metoda spostrzeżeń
pośredniczących
Zapis macierzowy - spostrzeżenia niejednakowo dokładne
Pomierzone „n” długości i „m” katów
(wi – poprawki do długości, vi – poprawki do katów).
 a1
 w1 

w 
 a2
2


 ...
 ... 

 wn 
a
v  v  A   n
a
 1 n 
 1 n
v 2  n 
a 2  n


...
... 

v 
 mn 
a n  m
b1
b2
...
bn
b1 n
b2  n
c1
c2
...
cn
c1 n
c 2 n
d1
d2
...
dn
d 1 n
d 2 n
...
bn  m
...
cnm
...
d nm
......
......
......
......
......
.....
.....
.....
u1 
u 2 
... 

un 
u1 n 

u 2 n 
... 

u n  m 
 dx1 
 dy 
 1
 dx 
x   2
dy
 2
.... 
dy 
 p
 L1 
 L 
 2 
 ... 
 Ln 
L  L 
 1 n 
 Ln  2 .


... 
L 
 nm 
V=A*x+L
{URP}
( AT * p * A ) * x + ( AT * p* L ) = 0
{URN}
- x = ( AT * p *A )-1 * ( AT * p * L )
6/12
rozwiązanie układu
gdzie
 p1
0

 ...

0
p
0

0
 ...

 0
0
p2
...
0
0
0
...
0
... 0
... 0
... ...
... p n
... 0
... 0
... ...
... 0
0
0
...
0
p n 1
0
...
0
0
0
...
0
0
pn2
...
0
7/12
...
0 
...
0 
... ... 

...
0 
...
0 

...
0 
... ... 

... p n  m 
Przy okazji równoważenia równań poprawek za pomocą wag
dokonujemy ujednolicenia jednostek (dla łącznego URP)
Wagi przyjmujemy odpowiednio:
dla długości
pD 
czyli jednostką równoważącą będzie
I dla kątów
p 
1
 D2
pD 
,
1
[ metr 2 ]
1
,
m2
czyli jednostka równoważąca to p 
1
[ grad 2 ]
dodatkowo wybranie odpowiednio jednostki [metr] lub [centymetr] i
analogicznie dla kątów [grad] lub [cc] pozwoli na ustalenia w miarę
jednakowego rzędu wartości dla współczynników w układzie równań
poprawek zrównoważonych (kątowych i długościowych)
8/12
Obliczenie poprawek: z URP:
V=A*x+L
Obliczenie wyrównanych spostrzeżeń:
Dwi = Di + wi
(w ilości „n”)
αwi = αi + vi
(w ilości „m”)
Kontrola wyrównania
Wyliczone wyrównane wartości spostrzeżeń pozwalają na kontrolę
wyrównania. Obliczamy ze współrzędnych wyrównanych i
współrzędnych nawiązania wartości odpowiadające kolejnym katom.
Powinniśmy dostać takie same wartości (z dokładnością liczenia), jak
kąty wyrównane. Odstępstwa oznaczają błędne wyrównanie,
najprawdopodobniej błędnie sporządzony układ równań poprawek
(URP).
9/12
Analiza dokładności
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
Błąd średni jednostkowy
(estymator wariancji resztowej)
m0  
pv v  pww  pv v
NU
(n  m)  u
Błąd wyliczony zostanie jako wartość bezwymiarowa m0 [.]
Błędy średnie niewiadomych
mdxi   Cov(x)i,i
Macierz kowariancyjna niewiadomych
Cov(x)u,u  m20 * (AT * p * A) u,1u
Cov(x)u,u na przekątnej zawiera odpowiednio
Cov( x) (u ,u )
mdx2 1

 ..
  ..

 ...
 ..

..
mdy2 1
..
...
..
..
..
mdx2 2
...
..
... .. 

... .. 
... .. 

... ... 
... mdy2 p 
10/12
2
mdx
i
Błędy średnie funkcji niewiadomych
mLi  mfi   Cov(L)i,i
Macierz kowariancyjna wyrównanych spostrzeżeń
Cov (L)(n,n) = A(n,u) * Cov (x)(u,u) * AT(u,n)
Cov(L)(n,n) na przekątnej zawiera odpowiednio
Cov( L) ( n  m,n  m )
mD2 1

 ...
 ...

  ...
 ...

 ...
 ...

...
mD2 2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
... ...
... ...
... ...
... m2n1
... ...
... ...
11/12
...
...
...
...
...
m2n2
...
...

...
...

...
...

...
...
mL2i
Ostatnią czynnością jest sporządzenie zestawień wyrównanych
wartości, obejmujące:
Wyrównane współrzędne
Lp
X
[m]
Y
[m]
mx
[m]
Wyrównane spostrzeżenia
Kąty
Lp
αi [grady]
mα [grady]
Lp
Di [m]
MD [m]
Długości
12/12
my
[m]