Przenoszenie niepewności - Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia:
prawo przenoszenia
niepewności
dr inż. Paweł Zalewski
Akademia Morska w Szczecinie
Terminologia:
„Niepewność” a „błąd” pomiaru:
W przypadku pojedynczych pomiarów stosujemy określenia:
Błąd bezwzględny:
  x  x0
(1)
Błąd względny:


x0
(2)
Gdzie x – wartość zmierzona, x0 – wartość rzeczywista. Wielkości
określone wzorami (1) i (2) są pojedynczą realizacją zmiennej losowej
i nie wchodzą do teorii niepewności. W praktyce nie znamy wartości
rzeczywistych wielkości mierzonych i szacujemy niepewności pomiarowe
wynikające ze statystycznych praw rozrzutu pomiarów. Istotny jest
również problem niepewności przypisywanej wielkości złożonej
(wyliczanej ze wzoru fizycznego):
y = f(x1,x2,...xn)
-2-
Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:
Błędy obserwacji powodują, że wszelkie funkcje tych obserwacji są
również obarczone błędami.
W przypadku funkcji liniowych ocena niepewności funkcji obserwacji nie
jest skomplikowana.
Niepewność standardową (nazywaną też błędem średnim) funkcji
nieliniowej F = y = f(x1, x2, x3, ...), może być obliczona dla przybliżonej
postaci tej funkcji, przy założeniu, że daje się ona rozwinąć
w szereg Taylora.
Funkcja F(x1, x2, x3) w postaci szeregu Taylora w otoczeniu punktu
P (x01, x02, x03):
F x1 , x2 , x3   F x01  dx1 , x02  dx2 , x03  dx3  
F
F
F
F x01 , x02 , x03  
dx1 
dx2 
dx3  ...
x01
x02
x03
-3-
Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:
Utożsamiając zmiany dx1, dx2, dx3 z błędami: x, y, z :
y  F x1 , x2 , x3   a  X 1  b  X 2  c  X 3 
 F0  a  dx1  b  dx2  c  dx3
Pomiędzy błędem funkcji F i błędami zmiennych X, Y, Z zachodzi związek:
 F  a x  b y  c z
-4-
Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:
Wobec czego niepewność standardowa
geometryczną różniczek cząstkowych:
2
2
funkcji
będzie
sumą
2
 F  2  F  2  F  2
 mx3  ... 
 mx1  
 mx2  
u F  mF   
 x1 
 x2 
 x3 
2
 F

mF    
mxi   
i 1  xi

n
 F x1 , x2 , x3 ,..., xn 


mxi  ; n  N

xi
i 1 

2
n
A niepewność względna:
u Fr 
uF
y
-5-
Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:
Przykład: Obliczyć pole prostokątnej działki o bokach a, b; błąd średni oraz
względny pola.
b
a
Z pomiaru długości boków figury:
a = 300 m, ma= 0,10 m, b = 20 m, mb= 0,01m
Pole: P = F(a,b) = a × b = 6000 m2= 60 a
Średni błąd funkcji P:
 P  2  P  2
mP    ma    mb
 a 
 b 
2
2
Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:
Pochodne cząstkowe:
P
 b,
a
mp 
P
a
b
b  ma 2  a  mb 2  20  0,12  300  0,012  3,6m2
P = 6000 m2 ± 4 m2
Błąd względny pola figury:
3,6m 2
1
P
P
2
6000m
1600
Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej:
10
2
n
S 2    yi  axi  b   min
9
i
8
y = 0.9399x + 1.5859
R² = 0.9913
7
6
5
4
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
-8-
Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej:
Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:
S 2
 0,
a
S 2
0
b
Otrzymuje się układ równań liniowych dla niewiadomych a i b:
a  xi2  b xi   xi yi
a  xi  bn   yi
Rozwiązując ten układ równań otrzymuje się wyrażenia na a i b:
n xi yi   xi  yi
a
W
2
x

i  yi   xi  xi yi
b
W
Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej:
W  n x   xi 
2
i
2
Odchylenia standardowe obu parametrów prostej:
n
S2
u (a) 
n2 W
2
x
u (b)  u (a)  i
n