Test kwalif

.......................................................................
...........
imie i nazwisko
klasa
................................
nr telef onu
Test kwalifikacyjny na V Warsztaty Matematyczne
Klasa pierwsza
Na pytania odpowiada się „tak” lub „nie” poprzez wpisanie odpowiednio „T” bądź „N”
w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja
odpowiedzi „tak” i „nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdką (gwiazdka wygląda tak: * )
prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnić.
Zasady punktacji:
Za pojedynczą poprawną odpowiedź: 1 punkt.
Za pojedynczą niepoprawną odpowiedź: –1 punkt.
Za brak odpowiedzi: 0 punktów.
Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punkty.
Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt.
Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi bądź brak takowego: 0 punktów.
Powodzenia!
1.
Liczba 20042004 − 2451134
jest podzielna przez 5.
jest podzielna przez 7.
jest podzielna przez 9.
2*. Dany jest trójkat
, nierównoramienny ABC. Na półprostych AB i AC zaznaczono punkty
D i E odpowiednio, takie, że |AD| = |AE| oraz odcinki DE i BC przecinaja, sie, w punkcie P ,
który jest środkiem odcinka BC. Wówczas:
punkt P jest też środkiem odcinka DE.
kat
, P DB może być prosty.
trójkaty
P BA i P CA maja, równe pola.
,
1
3.
Aby podzielić tabliczke, czekolady na pojedyncze kostki, wystarcza, 32 łamania, jeśli tabliczka ma wymiary:
5 × 7.
4 × 8.
3 × 11.
4.
Dziesieć
, kulek o promieniu 1 zmieści sie, w prostopadłościennym pudełku o wymiarach
6 × 6 × 3, 5.
6 × 7, 5 × 2.
4 × 4 × 6, 5.
5. Ślimak wchodzi na czterometrowy słup telegraficzny. Rusza o świcie dnia pierwszego, musi
dotrzeć na szczyt najpóźniej jedenastego dnia. W ciagu
dnia wchodzi o x centymetrów, zaś w
,
nocy śpi i zsuwa sie, o y centymetrów. Uda mu sie,
jeśli
,
x = 80, y = 40.
x = 110, y = 80.
x = 40, y = 4.
6. Kwadrat KLM N jest zawarty całkowicie wewnatrz
kwadratu ABCD, przy czym czwo,
rokaty
ABLK, BCM L, CDN M , DAKN sa, poprawnymi czworokatami.
Suma pól czwo,
,
rokatów
BCM
L
i
DAKN
jest
równa
sumie
pól
czworok
atów
ABLK
i
CDN
M
,
,
jeśli środki kwadratów ABCD i KLM N sie, pokrywaja.,
wtedy i tylko wtedy, jeśli środek kwadratu KLM N leży na przekatnej
kwadratu ABCD.
,
zawsze.
7. W Ksiestwie
Hofmańskim jest 541 miast, oraz pomiedzy
niektórymi z nich sa, drogi jedno,
,
kierunkowe. Na skutek dekretu Jaśnie Nam Panujacego
Hofmana,
z każdego miasta wychodzi
,
tyle samo dróg co do niego wchodzi.
raz.
Ksiaże
Hofman może objechać wszystkie drogi w ksiestwie,
każda, przejeżdżajac
,
, dokładnie
,
Jeśli Ksiaże
Hofman może dojechać ze stolicy do każdego miasta, to z każdego miasta
,
może wrócić do stolicy.
Każde miasto płaci podatek - 2 denary od każdej drogi, która ma w nim poczatek
lub
,
koniec. Wpływy kasy ksiestwa
z racji tego podatku moga, wynosić 31242 denary.
,
8.
Dane sa, funkcje f : R → R i g : R → R. Funkcja f jest nieparzysta. Wówczas
funkcja h(x) = g(f (x)) jest nieparzysta.
jeśli funkcja i(x) = f (g(x2 )) jest nieparzysta, to jest stała.
funkcja j(x) = f (x)g(x4 ) jest nieparzysta.
9.
Ustawiamy figury szachowe na szachownicy tak, aby sie, nie biły. Można umieścić tak 8
figur, jeśli szachownica ma kształt
prostokata
7 × 9, a ustawiamy wieże.
,
kwadratu 8 × 8 z wycietymi
w rogach kwadratami 2 × 2, a ustawiamy wieże.
,
wszystkich czarnych pól szachownicy 8 × 8, a ustawiamy hetmany.
2
10.
90◦ .
Dany jest sześciokat
, ABCDEF taki, że |F A| = |F C| = |F E| oraz |]CDE| = |]EAC| =
|]F CA| = |]ADE|.
|]CEA| + |]CDA| = |]CF A|.
Punkty D, F , A musza, być współliniowe.
11.
W sali jest 42 polityków, 17 kłamców i 25 złodziei, przy czym wiadomo, że jest 7
polityków, którzy jednoczeście kłamia, i kradna.,
Jest co najmniej siedmiu uczciwych polityków (nie kłamia, i nie kradna).
,
Jest co najwyżej dziesieciu
kłamliwych
złodziei.
,
Na sali może być 49 osób.
12. Ulubiona, zabawa, z liczbami Joasi jest sumowanka. Aby zabawić sie, w sumowanke, należy
wziać
zsumować jej cyfry, a nastepnie
zsumować
, jakas
, liczbe, całkowita, dodatnia.
, Nastepnie
,
,
cyfry otrzymanej sumy, itd., aż otrzymamy liczbe, jednocyfrowa., Ta liczba jest wynikiem sumowanki.
Dla każdej liczby całkowitej dodatniej sumowanka kiedyś sie, skończy.
Wynikiem sumowanki dla liczby 46764423342557623 jest 1.
Wynikiem sumowanki dla 20042004 jest 8.
13. Głównymi miastami Ksiestwa
Hofmańskiego sa:, stolica Hofmandria oraz Hofmanogród,
,
Hofenburg i Hofengard. Odległości wynosza, odpowiednio: Hofmandria - Hofmanogród: 60 km,
Hofmanogród - Hofenburg: 45km, Hofmanogród - Hofengard: 108km, Hofengard - Hofenburg:
117km, Hofengard - Hofmandria: 48km. Wówczas odległość miedzy
Hofmandria, a Hofenbur,
giem:
może być mniejsza niż 70km.
wynosi dokładnie 75km.
musi być wieksza
niż 73km.
,
14*.
W pewnym państwie jest n miast. Pomiedzy
niektórymi z nich sa, drogi, przy czym
,
dla dowolnie wybranych trzech miast istnieje dokładnie jedna lub dokładnie dwie z trzech
możliwych łacz
je dróg. Jest możliwe, aby
, acych
,
n = 4.
n = 5.
n = 6.
3
15*.
Joasia uwielbia robić super-pierogi. Aby zrobić super-pieroga Joasia potrzebuje kilogram ciasta, aczkolwiek po skończeniu pieroga zostaje jej 200 gramów ciasta, które może dalej
wykorzystać. Joasia ma 541 kilogramów ciasta, zaś Onufry jest syty, gdy zje dwa pierogi. Joasia
jest w stanie nakarmić
334 Onufrych.
336 Onufrych.
338 Onufrych.
16.
Przecinajac
, sześcian płaszczyzna, można otrzymać
trójkat
, rozwartokatny.
,
pieciok
at
, foremny.
,
sześciokat
, foremny.
17.
Ze zwykłego zegarka wskazówkowego zmazano wszystkie oznaczenia godzin i zostały
tylko wskazówki. Zegar leży w poziomie na ziemi. Joasia patrzy na zegarek przez bardzo długo
i zaznacza miejsca, w których możliwe jest, że wcześniej była godzina dwunasta (tj. wskazówki
sie, pokryły). Miejsc tych jest:
6.
12.
nieskończenie wiele.
18.
Suma czterech kolejnych liczb całkowitych
może być kwadratem liczby całkowitej.
musi być kwadratem liczby rzeczywistej.
może być podzielna przez 7.
19. Spośród wszystkich funkcji g : R → R funkcja f (x) = x jest jedyna, funkcja, dla której
dla dowolnych x, y ∈ R
f (x) + f (y + 1) = f (x + y) + 1 + f (0).
xyf (x)f (y) = f (x2 )f (y 2 ).
f (x + y)f (x2 − xy + y 2 ) = x3 − y 3 .
4
20*.
Czy na szachownicy 8 × 8 można położyć, by sie, nie biły:
33 skoczki?
4 wieże i 4 gońce?
8 hetmanów i skoczek?
21. Wewnatrz
trójkata
ostrokatnego
ABC obrano punkt P , zaś na boku BC punkt D. Okrag
,
,
,
,
opisany na trójkacie
BP
D
przecina
bok
AB
w
punkcie
F
,
zaś
okr
ag
opisany
na
trójk
acie
CP
D
,
,
,
przecina bok AC w punkcie E.
Punkty B, P i E sa, współliniowe.
Punkt C jest spodkiem wysokości trójkata
ABC.
,
Na czworokacie
AEP
F
da
si
e
opisać
okr
ag.
,
,
,
22*.
Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych
musi być liczba, pierwsza.,
może być liczba, pierwsza.,
musi być podzielny przez 3.
5
1
jest liczba, całkowita., Wówczas
x2
x + x1 musi być liczba, całkowita.,
x6 + x16 musi być liczba, całkowita.,
x2 + x12 > π2 .
23.
x2 +
24.
Czy istnieje koło, gdzie wymiernymi sa,
obwód i długość promienia.
obwód i pole.
pole.
25*. Ciagiem
Fibonacciego nazywamy ciag
warunki: F1 = 1, F2 = 2 oraz Fn+2 =
,
, spełniajacy
,
Fn+1 + Fn dla każdego n całkowitego dodatniego.
Istnieje wyraz ciagu
Fibonacciego podzielny przez 7.
,
Dla każdego n > 1 zachodzi F1 + F2 + . . . Fn = Fn+2 − 2.
Istnieje wyraz ciagu
Fibonacciego bed
kwadratem liczby całkowitej.
,
,
, acy
26.
Sfera może mieć z krawedziami
czworościanu foremnego
,
4 punkty wspólne.
5 punktów wspólnych.
12 punktów wspólnych.
27.
n różnymi prostymi można podzielić płaszczyzne, na dokładnie
2n cześci.
,
n(n+1)
+ 1 cześci.
2
n cześci.
,
28.
Czy istnieje trójkat
o bokach, których długości sa,
, prostokatny
,
liczbami nieparzystymi.
kolejnymi wyrazami ciagu
geometrycznego.
,
całkowite i sa, kolejnymi wyrazami ciagu
arytmetycznego.
,
6
29*.
Muzeum ma kształt n-kata,
którego pilnuje k strażników. Strażnik widzi wszystko
,
wokół niego, ale nie może patrzeć przez ściany (ale widzi wzdłuż ściany - same punkty ściany
i wierzchołki muzeum sa, jeszcze przeźroczyste). Muzeum jest upilnowane, jeśli każdy punkt
muzeum jest widziany przez przynajmniej jednego strażnika.
Jeśli n = 901, to możemy potrzebować aż 300 strażników, by upilnować muzeum.
Jeśli n = 2004, to istnieje muzeum, gdzie potrzeba dokładnie dwóch strażników, by je
upilnować.
Dla n = 2004 na pewno wystarczy 2004 strażników do upilnowania muzeum.
30.
Na ulicy Szkolnej są po kolei ustawione cztery budynki z numerami kolejno 1, 2, 3, 4.
Mieszka tam czwórka przyjaciół: Marysia, Albercik, Piotruś i Karolek (po jednym w każdym
domu, oczywiście). Każdy z nich lubi jeden z przedmiotów w szkole: WOS, język polski, język
hiszpański i przedsiębiorczość (każdy lubi inny). Każdy z nich maniakalnie gra również w jedną
z gier komputerowych: AvP, The Sims, Król Lew i Wolf3D (każdy w inną). Przy tym wiadomo,
że:
1. Osoba mieszkająca w budynku numer 2 lubi język polski.
2. Albercik jest sąsiadem Marysi.
3. Piotruś mieszka na skraju ulicy (czyli w 1 lub 4).
4. Osoba grająca w AvP nie mieszka obok osoby grającej w The Sims.
5. Zarówno osoba lubiąca hiszpański jak i ta lubiąca WOS nie gra w The Sims.
6. Osoba grająca w Wolf3D mieszka pod numerem 4.
7. Piotruś nie lubi hiszpańskiego.
8. Marysia nie lubi języka polskiego.
9. Albercik lubi przedsiębiorczość.
Wówczas:
Piotruś mieszka pod numerem 4.
Piotruś gra w The Sims.
Marysia lubi język hiszpański.
7