Modelowanie "długotrwałej pamięci" szeregów zmienności

Krzysztof Piontek
Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpiecze
Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu
Modelowanie "długotrwałej pami ci" szeregów zmienno ci
Wst p
Cech charakterystyczn nowoczesnego zarz dzania ryzykiem stało si
wykorzystywanie coraz bardziej wyrafinowanych instrumentów pochodnych
oraz metod matematycznych, w tym przede wszystkim teorii procesów
stochastycznych. W procesie zarz dzania ryzykiem rynkowym, wynikaj cym ze
zmiany cen instrumentów finansowych, modelowaniu podlegaj b d to ceny
instrumentów finansowych, b d stopy zwrotu. Modele te wykorzystuje si
nast pnie mi dzy innymi w zagadnieniach zwi zanych z analiz portfelow ,
z wycen opcji oraz pomiarem ryzyka rynkowego metod Value at Risk [14].
Standardowe (najprostsze) modele zakładaj , e procesem kształtuj cym
zmiany cen akcji, walut i towarów jest geometryczny proces Browna ze stałymi
w czasie parametrami dryfu (trendu) i zmienno ci. Model ten zakłada, e rozkład
stóp zwrotu jest rozkładem normalnym, a poszczególne stopy zwrotu pochodz
z rozkładów identycznych i niezale nych. W wielu pracach [2,4,10,14,16]
przedstawiono badania empiryczne dla ró nych finansowych szeregów
czasowych. Badania te wykazały wyst powanie w szeregach stóp zwrotu:
•
efektu skupiania (gromadzenia) zmienno ci (volatility clustering), co
oznacza, e zarówno małe, jak i du e zmiany kursu nast puj seriami, a tym
samym oznacza niestało
•
wariancji1 stóp zwrotu w czasie,
efektu leptokurtozy i grubych ogonów rozkładów stóp zwrotu, co oznacza,
e prawdopodobie stwo wyst pienia du ych, nietypowych zmian kursu
1
W ogólno ci wariancja mo e w ogóle nie istnie .
(du e co do warto ci bezwzgl dnej stopy zwrotu) jest wi ksze ni gdyby
stopy zwrotu pochodziły z rozkładu normalnego,
•
efektu sko no ci rozkładów stóp zwrotu (najcz ciej obserwuje si rozkłady
prawostronnie sko ne, lecz nie jest to reguł ),
•
efektu autokorelacji stóp zwrotu, szczególnie w okresach o małej
zmienno ci,
•
"efektu d wigni" - efektu ujemnego skorelowania poziomu kursów i
poziomu zmienno ci stóp zwrotu, czyli asymetrycznego wpływu informacji
pozytywnych i negatywnych na poziom przyszłej wariancji,
•
efektu "długotrwałej pami ci" w szeregach zmienno ci (wariancji), czyli
istotnie znacz cych współczynników wysokich rz dów autokorelacji
kwadratów stóp zwrotu.
Rysunki 1-4 prezentuj niektóre opisywane własno ci na podstawie szeregu
dziennych, prostych stóp zwrotu z indeksu WIG z okresu od 03-10-1994 (dzie
wprowadzenie pi ciosesyjnego tygodnia na GPW w Warszawie) do 19-03-2003.
Niezb dne
skomplikowanych ni
stało
si
wi c
poszukiwanie
modeli
bardziej
model geometrycznego ruchu Browna, które lepiej
opisywałyby własno ci szeregów stóp zwrotu (uwzgl dniałyby przynajmniej
niektóre z wymienionych powy ej efektów). Najwi ksz popularno
zyskały
w tym obszarze modele z warunkow warto ci oczekiwan procesu opisywan
przez modele z klasy ARMA [4,14] oraz z warunkow wariancj opisywan
przez modele z klasy ARCH [10]. Rozwa a si równie modele z ró nymi
postaciami rozkładów g sto ci reszt modelu [14]. Wszystkie modele klasy
ARCH umo liwiaj opis grubych ogonów oraz efektu skupiania zmienno ci
[2,10]. Stosunkowo szeroko znane s równie modele opisuj ce asymetryczn
reakcj
na pojawianie si
informacji dobrych i złych, umo liwiaj ce
modelowanie efektu "d wigni" (GJR-GARCH, EGARCH, TARCH) [14,16].
Najmniej znane s
nadal modele opisuj ce "długotrwał
pami " (istotne
autokorelacje wysokich rz dów kwadratów stóp zwrotu) w szeregach
zmienno ci. Najpopularniejszy taki model (FIGARCH) stanie si
obiektem
analizy w niniejszej pracy.
Rys. 1. przedstawia efekt gromadzenia
Rys. 2. przedstawia efekt grubych
zmienno ci dla indeksu WIG
ogonów rozkładu stóp zwrotu indeksu
WIG
Rys. 3. przedstawia autokorelacj stóp
Rys. 4. przedstawia autokorelacj
zwrotu dla indeksu WIG
kwadratów stóp zwrotu dla indeksu
WIG
ródło - obliczenia własne.
Rozpatrywany w dalszej cz ci pracy model w czasie dyskretnym opisuj cy
szereg czasowy prostych stóp zwrotu dany jest równaniem [14]:
rt =
X t − X t −1
= µt + ε t = µt + ht zt ,
X t −1
(1)
gdzie: X t - cena w chwili t, µt - warunkowa warto
oczekiwana stopy zwrotu
w chwili t, ht - warunkowa wariancja stopy zwrotu w chwili t, zt - niezale ne
reszty modelu o zerowej redniej i jednostkowej wariancji.
W dalszej cz ci pracy przyjmuje si najprostsze i najbardziej popularne
rozwi zanie, e bł d modelu zt ma rozkład normalny. Mo liwe jest oczywi cie
zastosowanie rozkładów o grubszych ogonach [14]. W pracach [14] i [15]
udowodniono wyst powanie istotnej autokorelacji rz du pierwszego w szeregu
stóp zwrotu z indeksu WIG. Efekt ten opisuje si
najcz ciej poprzez
zastosowanie modeli autoregresyjnych. W tym przypadku wystarczaj ce okazuje
si
wybranie modelu autoregresji rz du pierwszego - AR(1), co skutkuje
przyj ciem modelu:
µt = µ + ϕ rt −1 .
Udowodniono równie
(2)
wyst powanie
w
szeregu
stóp
zwrotu
efektu
heteroskedastyczno ci, a dokładniej efektu ARCH [14,15]. Na tym poziomie
rozwa a
pomini to opis "efektu d wigni". Mo liwe rozwi zania wraz
z wynikami bada empirycznych odno nie indeksu WIG znale
mo na w pracy
[14]. Podstawowe rozwi zania w zakresie modelowanie efektu gromadzenia
zmienno ci i "długotrwałej pami ci" szeregu zmienno ci przedstawiono
w dalszej cz ci pracy. Wcze niej niezb dnym jest zdefiniowanie poj cia
"pami ci modelu".
Pami
modelu
Samo poj cie "pami ci modelu" nie jest jednoznaczne, szczególnie w
odniesieniu do modeli warunkowej wariancji. Poj cia "pami
modelu" u ywa
si b d to kontek cie funkcji autokorelacji kwadratów reszt modelu ( ε t2 ), b d
w kontek cie wpływu zaburzenia z chwili t na prognozy warunkowej wariancji
w chwilach kolejnych [3,6,8,9,16]. Podej cia te bywaj rozbie ne i model o
"krótkotrwałej pami ci" w stosunku do autokorelacji kwadratów reszt modelu
mo e by
modelem o "długotrwałej", a wr cz niesko czonej "pami ci" w
kontek cie wpływu zaburzenia na prognoz
dowolno
okre le
warunkowej wariancji2. Du a
i nieprecyzyjne rozró nianie tych dwóch koncepcji
prowadzi do wielu niejasno ci i sprzeczno ci.
Nale y wyra nie zaznaczy , e tematem tej pracy jest "długotrwała pami
procesu" w znaczeniu istotnych współczynników autokorelacji wysokich rz dów
kwadratów reszt modelu. Wyst powanie tego efektu w szeregu stop zwrotu
z indeksu WIG obrazuje rysunek 4.
Bardziej precyzyjnie, mówi si o "długotrwałej pami ci" szeregów zmienno ci
(wariancji) w przypadku, gdy:
lim
n →∞
n
k =− n
ρk = ∞ ,
(3)
czyli gdy współczynniki autokorelacji kwadratów reszt modelu nie sumuj si
do sko czonej warto ci. W dalszej cz ci przedstawione zostan własno ci
teoretycznej funkcji autokorelacji kwadratów reszt modelu dla ró nych modeli.
Modele warunkowej wariancji i ich własno ci
Analizowany model stóp zwrotu zadany jest nast puj cym układem równa :
rt = µ + ϕ rt −1 + ε t ,
(4)
ε t | ℑt −1
(5)
N (0, ht ) ,
gdzie ℑt −1 to informacja dost pna w chwili (t-1) [16,14].
Do pełnego okre lenia modelu niezb dne jest jeszcze wprowadzenie trzeciego
równania okre laj cego posta modelu warunkowej wariancji.
2
Z przypadkiem takim mamy do czynienia w odniesieniu do modelu IGARCH
omówionego w dalszej cz ci pracy.
Najprostszym modelem opisuj cym zmiany ht jest model ARCH(q)
(Autoregressive Conditional Heteroskedastic Model) wprowadzony przez
Engle'a [10] w 1982 roku:
ht = ω +
q
i =1
α iε t2−i ≡ ω + α ( L)ε t2 ,
(6)
gdzie: ω ≥ 0 , α k ≥ 0 k = 1, 2,..., q − 1 , α q > 0 ,
α ( L) = α1 L + α 2 L2 + ... + α q Lq ,
a L to operator przesuni cia wstecz [4]: Lxt = xt −1 , Lm xt = xt − m .
Wykorzystanie w praktyce modelu ARCH wymaga
zastosowania modeli
o wysokich rz dach q, a tym samym estymacji wielu parametrów.
Rozwi zaniem pozbawionym tej niedogodno ci jest zaproponowany przez
Bollersleva [2] w 1986 roku model GARCH(p,q) (Generalized ARCH). Model
ten definiuje nast puj ce równanie warunkowej wariancji:
ht = ω +
q
αε
i =1
2
i t −i
+
p
j =1
β j ht − j = ω + α ( L)ε t2 + β ( L)ht ,
(7)
gdzie dodatkowo: β k ≥ 0 k = 1, 2,..., p − 1 , β p > 0 ,
β ( L) ≡ β 1 L + β 2 L2 + ... + β p L p .
Model GARCH (p,q) mo na przedstawi jako model ARCH(∞):
ht =
ω
α ( L)
+
ε t2 .
[1 − β (1)] [1 − β ( L)]
(8)
Z punktu widzenia niniejszej pracy, ciekawsz własno ci jest fakt, e model ten
mo na przedstawi
jako model ARMA(m,p), m=max(p,q) dla zmiennej
ν t = ε t2 − ht :
[1 − α ( L) − β ( L)]ε t2 = ω + [1 − β ( L)]ν t .
(9)
Zakłada si , e wszystkie pierwiastki wielomianów 1 − α ( L) − β ( L) = 0 oraz
1 − β ( L) = 0 znajduj si poza okr giem jednostkowym na płaszczy nie liczb
zespolonych.
Najpopularniejszy model GARCH(1,1) dany jest wi c równaniem:
[1 − (α1 + β1 ) L]ε t2 = ω + [1 − β1 L]ν t .
(10)
Bollerslev wykazał [9], e teoretyczna funkcja autokorelacji kwadratów
reszt takiego modelu dana jest równaniem:
corr[ε t2 , ε t2+ k ] = ρ k (ε t2 ) = ρ1 (ε t2 )(α1 + β1 )
k −1
,
(11)
gdzie:
ρ1 (ε t2 )
= α1 +
α 12 β 1
1 − 2α 1 β 1 − β 12
Jak łatwo zauwa y
.
(12)
funkcja autokorelacji maleje ( α1 + β1 < 1 ) w sposób
wykładniczy, co gwarantuje, e suma we wzorze (3) jest sko czona, czyli jest to
model z tzw. "krótkotrwała pami ci " w zakresie szeregu zmienno ci.
W wielu przypadkach, szczególnie dla szeregów stóp zwrotu o du ej
cz stotliwo ci, wyestymowane parametry modelu GARCH(p,q) cechuj
si
nast puj c własno ci :
q
i =1
αi +
p
j =1
β j ≈1.
(13)
Doprowadziło to do wprowadzenia osobnej podklasy modeli IGARCH
(Integrated GARCH). Model IGARCH(p,q) dany jest równaniem:
[1 − φ ( L)](1 − L)ε t2 = ω + [1 − β ( L)]ν t ,
(14)
gdzie φ ( L) jest wielomianem rz du m-1 (m=max(p,q)). Bezwarunkowa
wariancja stóp zwrotu w modelu IGARCH nie istnieje, lecz sam model jest
stacjonarny w cisłym sensie.
Najprostszy model IGARCH(1,1) uzyskujemy przy warunku (α1 + β1 = 1)
(1 − L)ε t2 = ω + (1 − β1 L)ν t ,
co odpowiada cz ciej u ywanej postaci:
(15)
ht = ω + α1ε t2−1 + (1 − α1 )ht −1 .
(16)
Udowodniono [9], e w tym przypadku funkcja autokorelacji kwadratów reszt
modelu dana jest wzorem:
ρ k (ε t2 ) =
1
(1 + 2α1 ) 1 + 2α12
3
(
)
−k
2
.
(17)
Wynik ten pozostaje w sprzeczno ci z intuicj ,
e funkcja autokorelacji
kwadratów reszt modelu IGARCH powinna by stała, co sugerowałby wzór (11)
z warunkiem (α1 + β1 = 1) .
Co wa niejsze, nietrudno zauwa y , e funkcja autokorelacji maleje równie
wykładniczo, czyli zgodnie z przyj t
definicj
jest to równie
model z
"krótkotrwała pami ci " w szeregu zmienno ci.
Kolejnym, zdecydowanie najmniej poznanym i popularnym modelem
umo liwiaj cym w ko cu opis "długotrwałej pami ci" w szeregu zmienno ci
jest model FIGARCH(p,d,q) (Fractionally IGARCH) wprowadzony w 1996
roku przez Baillie'go, Bollersleva i Mikkelsena [1]. Model ten opisany jest
nast puj cym wzorem:
[1 − φ ( L)](1 − L) d ε t2 = ω + [1 − β ( L)]ν t ,
(18)
gdzie d ∈ (0,1) , a wszystkie pierwiastki 1 − φ ( L) = 0 oraz 1 − β ( L) = 0 le
poza okr giem jednostkowym. Tak e dla tego modelu bezwarunkowa wariancja
ε t , a tym samym wariancje bezwarunkowa rt pozostaje niesko czona.
Ułamkowy operator ró nicowy (1 − L ) zdefiniowany jest analogicznie jak dla
d
procesów ARFIMA [16,14]:
(1 − L) d =
∞
j =0
d
j
(−1) j Lj =
Γ( j − d )
Lj .
j = 0 Γ ( − d )Γ ( j + 1)
∞
(19)
W praktycznych zastosowaniach model FIGARCH(p,d,q) przedstawia si jako
model ARCH(∞):
ht =
ω
[1 − φ ( L)](1 − L) d 2
ω
εt ≡
+ 1−
+ λ ( L)ε t2 .
1 − β (1)
1 − β ( L)
1 − β (1)
(20)
Niestety intuicja, e model FIGARCH(p,0,q) redukuje si zawsze do modelu
GARCH(p,q) bywa zawodna. Na przykład model FIGARCH(1,0,0), to model:
ht = ω − β1ε t2−1 + β1ht −1 ,
czyli model nie mieszcz cy si w klasie modeli GARCH. Intuicja sugeruj ca, e
wynikiem powinien by model ARCH(1) jest zawodna.
Najcz ciej wykorzystywanym modelem jest model FIGARCH(1,d,1):
(1 − aL ) (1 − L)d ε t2 = ω + (1 − bL)ν t
(21)
Warunkiem istnienia dodatniej wariancji warunkowej jest w tym przypadku
spełnienie układu równa [1]:
b−d ≤ a ≤
2−d
1− d
oraz d a −
≤ b( d − b + a ) .
3
2
(22)
Współczynniki opisuj ce model FIGARCH(1,d,1) jako ARCH(∞) najpro ciej
wyznaczy z nast puj cych wzorów rekurencyjnych.
(1 − L) d = 1 −
∞
j =1
π j Lj
(1 − aL)(1 − L) d = 1 −
π1 = d
∞
j =1
(1 − aL)(1 − L)d
= 1−
1 − bL
πj =
j − d −1
π j −1
j
ψ j Lj
ψ1 = d + a
ψ j = π j − φπ j −1
λ j Lj
λ1 = d + a − b
λj =ψ j − b j +
∞
j =1
(23)
j −1
k =1
b j − kψ k
j≥2
Wyznaczenie funkcji autokorelacji kwadratów reszt modelu w przypadku
modelu FIGARCH jest zdecydowanie trudniejsze ni w przypadku wcze niej
analizowanych propozycji. Dokonuje si
tego metodami numerycznymi.
Odpowiednia procedura opisana została w pracy [12]. Polega ona na zapisaniu
modelu FIGARCH(1,d,1) w postaci:
ε t2 = ω +
(1 − bL)
νt = ω +
(1 − aL)(1 − L) d
−d
ωj =
j
−d
j
(−1) +
j
k =1
j−k
∞
j =0
ω jν t − j
(
(24)
(−1) j − k a k − a k −1b
)
(25)
W praktyce jednak wygodniej skorzysta
z odpowiednio zmodyfikowanych
wzorów rekurencyjnych, co pozwala unikn
problemów numerycznych.
Współczynniki autokorelacji kwadratów reszt modelu uzyskuje si z wzoru:
∞
ρ n (ε
2
t
)=
j =0
ω jω j + n
∞
j =0
.
ω
(26)
2
j
Podej cie to jest ogólne i umo liwia szacowanie współczynników autokorelacji
kwadratów reszt tak e dla modeli GARCH i IGARCH, wygodniej jednak w tych
przypadkach korzysta z istniej cych wzorów analitycznych.
Funkcja autokorelacji kwadratów reszt modelu FIGARCH maleje
w sposób hiperboliczny, czyli dla niewielkich rz dów funkcja autokorelacji
maleje w sposób szybszy ni dla przypadku wykładniczego, a dla wysokich
rz dów maleje bardzo powoli. Takie zachowanie funkcji autokorelacji prowadzi
do spełnienia warunku (3) i umo liwia nazwanie modelu FIGARCH modelem
o "długotrwałej pami ci" (w kontek cie funkcji autokorelacji kwadratów reszt
modelu).
Intuicyjne traktowanie modelu FIGARCH jako modelu o własno ciach
po rednich mi dzy modelem GARCH a IGARCH jest zawodne. Zarówno model
GARCH, jak i IGARCH s modelami o "krótkotrwałej pami ci", a model
FIGARCH jest modelem o "długotrwałej pami ci" w sensie definicji danej
wzorem (3).
Im ni sza warto
parametru d, tym funkcja autokorelacji maleje szybciej dla
niewielkich rz dów opó nie . Odpowiedni efekt przedstawia rysunek 5.
Rys. 5. przedstawia wpływ zmian
warto ci d na funkcj
autokorelacji
kwadratów reszt modelu.
ródło: obliczenia własne.
Parametry modeli GARCH, IGARCH i FIGARCH estymowane s
zazwyczaj metod najwi kszej wiarygodno ci poprzez taki dobór parametrów,
by zmaksymalizowa warto
(
funkcji3:
)
n
1
LLFN θˆN ; ε t , ht = − ln(2π ) −
2
2
n
t =1
ln(ht ) −
1
2
n
ε t2
t =1
ht
,
(27)
gdzie : n- liczba obserwacji pomniejszona o liczb warto ci pocz tkowych
procedury, θˆN - wektor parametrów modelu.
Aby wyestymowa
parametry modelu FIGARCH nale y oczywi cie model
ARCH(∞) z wzoru (20) przybli y modelem ARCH(q) dostatecznie wysokiego
rz du. Wybór rz du modelu jest subiektywny. Najcz ciej stosuje si warto ci
q=1000 lub q=750, co odpowiada w przybli eniu zale no ci o długo ci 4 lub 3
lat kalendarzowych.
W literaturze prezentowane s
równie
ró ne testy efektu "długotrwałej
pami ci" w szeregach zmienno ci [5]. Ograniczenie wielko ci pracy
3
Oczywi cie przy zało eniu, e
zt
N (0,1).
uniemo liwia
prezentacj
szczegółowych
rozwi za
w
tym
zakresie.
W przedstawionym poni ej przykładzie istnienie efektu długotrwałej pami ci
"potwierdzone" b dzie poprzez wykazanie statystycznie ró nej od zera warto ci
parametru d.
Przykład empiryczny
Prób do bada
stanowił szereg prostych, dziennych stóp zwrotu z
indeksu WIG z okresu od 03-10-1994 (dzie wprowadzenie pi ciosesyjnego
tygodnia na GPW) do dnia 19-03-2003. Ł czna długo
szeregu wynosi 2110
obserwacji. W szeregu stóp zwrotu stwierdzono wyst powanie autokorelacji
rz du pierwszego. Współczynnik ϕ = 0,15 (11,08)4 . Po usuni ciu z szeregu
efektu autokorelacji dla uzyskanego szeregu ε t wyestymowano parametry
modeli GARCH(1,1), IGARCH(1,1) oraz FIGARCH(1,d,1). Zaprezentowano
jedynie parametry maj ce wpływ na przebieg funkcji autokorelacji kwadratów
reszt modelu. Tabela 1 prezentuje uzyskane wyniki.
Tabela 1. Parametry modeli dla szeregu stóp zwrotu z indeksu WIG.
Model
Parametry
GARCH(1,1)
IGARCH(1,1)
FIGARCH(1,d,1)
ródło: obliczenia własne6.
4
5
6
α1=0,1313 (10,5)
β1=0,8199 (47,5)
α1=0,1524 (47,5)
a=0,9481 (38,9)
b=0,9014 (20,08)
d=0,1404 (2,98)
Kryterium Akaike'a5
(AIC)
-5,4217
-5,4142
-5,4304
W nawiasach podano warto ci statystyki t dla poziomu istotno ci 0,05.
AIC =
−2 LLF + 2(liczba parametrów modelu)
liczba obserwacji
Do estymacji parametrów modelu GARCH i IGARCH wykorzystano autorskie funkcje
napisane w pakiecie MATLAB. Parametry modelu FIGARCH(1,d,1) uzyskano za
pomoc programu dost pnego na stronie http://www.ds.unifi.it/~mjl.
Rysunek 6 przedstawia warto ci współczynników z rozwini cia modeli
GARCH i FIGARCH w model ARCH(∞) z uwzgl dnieniem wyestymowanych
dla szeregu WIG parametrów. Model GARCH jest modelem ARCH(∞), w
którym kolejne współczynniki αi malej w sposób wykładniczy, natomiast w
modelu FIGARCH współczynniki te malej
w sposób hiperboliczny, co
umo liwia opis efektu "długotrwałej pami ci" w szeregu zmienno ci.
Najni sza warto
kryterium Akaike'a dla modelu FIGARCH informuje,
e model ten najlepiej dopasował si
do danych empirycznych. Najgorsze
dopasowanie uzyskano dla modelu IGARCH. Wynik ten potwierdza rysunek 7,
na którym zaprezentowana została empiryczna funkcja autokorelacji kwadratu
reszt modelu oraz funkcje teoretyczne wynikaj ce z dopasowanych modeli
GARCH, IGARCH oraz FIGARCH. Najlepiej dopasowana jest funkcja
wynikaj ca z modelu FIGARCH. Tylko ona spełnia obserwowane własno ci, e
funkcja autokorelacji maleje szybko dla niskich rz dów opó nie , a nast pnie
maleje powoli dla rz dów wysokich.
Rys. 6. przedstawia warto ci współ- Rys. 7. przedstawia empiryczn
czynników
GARCH
z
i
rozwini cia
FIGARCH
ARCH(∞)
ródło: obliczenia własne.
w
modeli i dopasowane analityczne funkcj automodel korelacji kwadratów reszt modeli.
Podsumowanie
Przedstawiony przykład potwierdza przydatno
modeli o "długotrwałej
pami ci" w przypadku opisywania szeregu stóp zwrotu z indeksu WIG. Warto
zaznaczy , e
zaproponowano ju modele bardziej skomplikowane b d ce
rozszerzeniem modelu FIGARCH o mo liwo
opisu m. in. "efektu d wigni".
Przykładem takiego modelu jest model FIAPARCH (p,d,q) : (Fractionally
Integrated Asymmetric Power GARCH Process) o postaci [11]:
[1 − φ ( L)](1 − L) d ( ε t − γ k ε t ) = ω + [1 − β ( L)]ηt ,
(28)
ηt = ( ε t − γ k ε t ) − htδ 2 .
(29)
δ
δ
Je li zało y si γ k = 0 oraz δ = 2 , to uzyskuje si analizowany powy ej model
FIGARCH(p,d,q).
Przy pomocy modelu FIAPARCH dla warunkowej wariancji oraz
odpowiedniego modelu ARMA dla warunkowej warto ci oczekiwanej stóp
zwrotu mo liwe jest ju uwzgl dnienie wszystkich prezentowanych we wst pie
efektów obserwowanych w szeregach stóp zwrotu. Warto dodatkowo zaznaczy ,
i
szeregi stóp zwrotu opisanych przy pomocy modelu FIGARCH i jego
uogólnie
nie posiadaj
rozkładu bezwarunkowego o sko czonym drugim
momencie, co tak e jest cz sto obserwowan
własno ci
w empirycznych
szeregach stóp zwrotu. Uwzgl dnienie powy szych efektów nie oznacza
bynajmniej wcale ko ca poszukiwa modeli coraz to lepiej dopasowywuj cych
si do danych.
Literatura
[1] R. Baillie, T. Bollerslev, H. Mikkelsen, Fractionally Integrated Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Journal of Econometrics, 74,
1996, str. 3-30
[2] T. Bollerslev, Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,
Journal of Econometrics, 31, 1986
[3] T. Bollerslev , H. Mikkelsen, Modelling and pricing long-memory in stock
market volatility, Journal of Econometrics, 73, 1996, str. 151-184
[4] G. Box, J. Jenkins, Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie
i sterowanie, Pa stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1983
[ 5] J. Breidt, N. Crato, P. de Lima On the detection and estimation of long
memory in stochastic volatility, Journal of Econometrics, 83, 1998,
str. 325-348
[6] M. Caporin, FIGARCH models: stationarity, estimation methods and the
identification problem, 2002, www.greta.it/italiano/pagine/PdfFile/02.02.PDF
[7] Ch. Chung, Estimating the Fractionally Integrated GARCH Model, 2002,
www.sinica.edu.tw/~metrics/Pdf_Papers/Figarch.pdf
[8] J. Davidson, Moment and Memory Properties of Linear Coditional
Heteroskedasticity Models, Cardiff University, 2002
www.cf.ac.uk/carbs/econ/davidsonje/hygarch4.pdf
[9] Z. Ding, C. Granger, Modeling volatility persistence of speculative returns:
A new approach, Journal of Econometrics, 73, 1996, str. 185-215
[10] R. Engle, Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of
the variance of UK inflation, Econometrica, 50, 1982
[11] T. Grau, Modelling Daily Value at Risk using FIGARCH type models,
University of Alicante, 2002,
merlin.fae.ua.es/nuevaweb/qed/ candidatos/niguez%20paper.pdf
[12] M. Karanasos, Z. Psaradakis, M. Sola, On the Autocorrelation Properties of
Long Memory GARCH Processes, 2002,
www.utdt.edu/departamentos/economia/pdf-wp/WP025.pdf
[13] J. Maheu, Can GARCH Models Capture the Long-Range Dependence in
Financial Market Volatility?, University of Toronto, 2002
www.chass.utoronto.ca/~jmaheu/cgarch.pdf
[14] K. Piontek, Modelowanie i prognozowanie zmienno ci instrumentów
finansowych, rozprawa doktorska, Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu.
Wrocław, 2002
[15] K. Piontek, Heteroskedastyczno rozkładu stóp zwrotu a koncepcja
pomiaru ryzyka metod VaR, Konferencja – Modelowanie preferencji
a ryzyko, Ustro , 2001, str. 339-350
[16] R. Tsay, Analysis of Financial Time Series, Wiley & Sons, Chicago, 2002