Krzysztof Piontek Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń

Krzysztof Piontek
Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpiecze
Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu
Zastosowanie modeli klasy ARCH do opisu własno ci szeregu
stóp zwrotu indeksu WIG
Wst p
Spo ród ró nych rodzajów ryzyka wyst puj cego na rynkach finansowych, najwi cej
uwagi, jak do tej pory, po wi cono ryzyku rynkowemu zwi zanemu ze zmianami cen
instrumentów finansowych (por. Jajuga (1999)). Cech
charakterystyczn
nowoczesnego
zarz dzania tym ryzykiem stało si wykorzystywanie coraz bardziej wyrafinowanych metod
matematycznych, w tym przede wszystkim procesów stochastycznych, za pomoc których
opisuje si b d to zmiany cen instrumentów finansowych, b d ich stopy zwrotu. Modele te
wykorzystuje si
nast pnie mi dzy innymi w zagadnieniach zwi zanych z
analiz
portfelow , z wycen opcji, czy pomiarem ryzyka rynkowego metod Value at Risk (por.
Gourieroux (1997), Tsay (2002), Piontek (2002)). O potrzebie skutecznego modelowania
zmian cen lub stóp zwrotu
oraz wa ko ci zagadnienia wiadczy mo e przyznanie 8.
pa dziernika 2003 nagrody Nobla w zakresie ekonomii współtwórcom podstaw nowoczesnej
analizy szeregów czasowych Robertowi Engle'owi oraz Clivowi W. J. Grangerowi.
Celem pracy jest pokazanie jak wiele nowych pomysłów wniesiono do
zaproponowanego przez Engle'a w 1982 roku najprostszego modelu zmiennej w czasie
wariancji - modelu ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) - oraz
zaprezentowanie przydatno ci prezentowanych rozwi za do opisu własno ci szeregów stóp
zwrotu z indeksu WIG.
W dalszej cz ci pracy przedstawione zostały kolejno, najcz ciej rozpatrywane uogólnienia
klasycznego (najprostszego) modelu ARCH. Niniejsza praca w aden sposób nie pretenduje
do opisania całego bogactwa klasy modeli zapocz tkowanej przez Engle'a. Warto zaznaczy ,
e rozpatrywana b d jedynie jednorównaniowe modele opisuj ce warunkow wariancj
pojedynczego instrumentu, umo liwiaj ce opis charakterystycznych efektów obserwowanych
w szeregach stóp zwrotu. Kolejnym naturalnym rozszerzeniem tej koncepcji jest opis
warunkowej macierzy kowariancji dla wi kszej liczby analizowanych równocze nie
instrumentów (Multivariate GARCH Models) (por. Gourieroux (1997)). Prezentacja jednak,
cho by bardzo ogólna, rozwi za w tym zakresie wykracza poza ramy niniejszej pracy.
W cz ci empirycznej przedstawiono wykorzystanie modelu AR-FIAPARCH do opisu
własno ci szeregu stóp zwrotu z indeksu WIG. Wybrany został indeks cen akcji, gdy wła nie
w szeregach stóp zwrotu z akcji wyst puje najwi cej obserwowanych (koniecznych do
modelowania) efektów.
1. Własno ci finansowych szeregów czasowych stóp zwrotu
Standardowe (najprostsze) modele zakładaj , e procesem kształtuj cym zmiany cen
akcji, walut, czy towarów jest geometryczny proces Browna ze stałymi w czasie parametrami
dryfu (trendu) i zmienno ci (por. Piontek (2002)). Model ten zakłada, e rozkład stóp zwrotu
jest rozkładem normalnym, a poszczególne stopy zwrotu pochodz z rozkładów identycznych
i niezale nych. W wielu pracach (por. Box, Jenkins (1986), Bollerslev (1986), Tsay (2002),
Piontek (2002), Piontek (2003)) przedstawiono wyniki bada
empirycznych dla ró nych
finansowych szeregów czasowych, które przecz tym zało eniom. Badania te wykazały
wyst powanie w szeregach stóp zwrotu:
•
efektu skupiania (gromadzenia) zmienno ci (volatility clustering), co oznacza, e zarówno
małe, jak i du e zmiany kursu nast puj seriami, a tym samym oznacza niestało
wariancji1 stóp zwrotu w czasie,
•
efektu leptokurtozy i grubych ogonów rozkładów stóp zwrotu, co oznacza,
e
prawdopodobie stwo wyst pienia du ych, nietypowych zmian kursu (du e co do warto ci
bezwzgl dnej stopy zwrotu) jest wi ksze ni gdyby stopy zwrotu pochodziły z rozkładu
normalnego,
•
efektu sko no ci rozkładów stóp zwrotu (najcz ciej obserwuje si
rozkłady
prawostronnie sko ne, lecz nie jest to reguł ),
•
efektu autokorelacji stóp zwrotu, szczególnie w okresach o małej zmienno ci,
•
efektu d wigni - efektu ujemnego skorelowania poziomu kursów i poziomu zmienno ci
stóp zwrotu, czyli asymetrycznego wpływu informacji pozytywnych i negatywnych na
poziom przyszłej wariancji,
•
efektu długiej pami ci w szeregach zmienno ci (wariancji), czyli istotnie znacz cych
współczynników wysokich rz dów autokorelacji kwadratów stóp zwrotu.
Rysunki 1-4 prezentuj
niektóre opisywane własno ci na podstawie szeregu
dziennych, prostych stóp zwrotu z indeksu WIG z okresu od 03-10-1994 (dzie
wprowadzenie pi ciosesyjnego tygodnia na GPW) do 19-03-2003 (por. Piontek (2003)).
1
W ogólno ci wariancja mo e w ogóle nie istnie .
Niezb dne stało si wi c poszukiwanie modeli bardziej skomplikowanych ni model
geometrycznego ruchu Browna, które lepiej opisywałyby własno ci szeregów stóp zwrotu
(uwzgl dniałyby przynajmniej niektóre z wymienionych powy ej efektów).
Rys. 1. Efekt gromadzenia
Rys. 2. Efekt grubych ogonów
zmienno ci dla indeksu WIG
rozkładu stóp zwrotu indeksu WIG
Rys. 3. Autokorelacja stóp zwrotu
Rys. 4. Autokorelacj kwadratów
dla indeksu WIG
stóp zwrotu dla indeksu WIG
ródło : obliczenia własne.
2. Model ogólny
Rozpatrywany w dalszej cz ci pracy model w czasie dyskretnym opisuj cy szereg
czasowy prostych stóp zwrotu dany jest równaniem (por. Piontek (2002)):
rt =
X t − X t −1
= µt + ε t = µt + ht zt ,
X t −1
gdzie X t - cena w chwili t, µt - warunkowa warto
(1)
oczekiwana stopy zwrotu w chwili t
( µt = E [ rt | I t −1 ] ), ht - warunkowa wariancja stopy zwrotu w chwili t ( ht = var [ rt | I t −1 ] ),
zt - niezale ne reszty modelu o zerowej redniej i jednostkowej wariancji ( zt = iid D (0,1) ),
I t −1 - informacja dost pna w chwili t-1.
Model ten zapisuje si równie w postaci: rt | I t −1 ~ D ( µt , ht ) .
(2)
Reszt modelu ε t mo na uto samia z ł czna miar informacji docieraj cej do rynku
w chwili t. Dobre wiadomo ci ( ε t > 0 ) skutkuj potencjalnie wzrostem2 ceny instrumentu
(dodatnia warto c stopy zwrotu), natomiast złe wiadomo ci ( ε t < 0 ), to potencjalny spadek
ceny w kolejnym podokresie. Warto
ε t okre la wag informacji (por. Engle, Ng (1993)).
Zagadnienia zwi zane z modelowaniem szeregów stóp zwrotu ( rt ), podzieli mo na
na 3 obszary:
•
wybór postaci funkcji g sto ci standaryzowanych reszt modelu ( zt ),
•
modelowanie warunkowej warto ci oczekiwanej procesu ( µt ),
•
modelowanie warunkowej wariancji procesu ( ht ).
Wszystkie 3 zagadnienia nale y rozpatrywa ł cznie, gdy wzajemnie wpływaj na siebie i
wspólnie determinuj własno ci ostatecznego modelu.
2.1. Standaryzowane reszty modelu
W podstawowej wersji zaproponowanej przez Engle’a i Bollersleva (por. Bollerslev,
Engle, Nelson (1994)) modele heteroskedastyczne cechowały si normalnym warunkowym
rozkładem składnika losowego. Okazało si jednak, e rzeczywiste reszty modelu posiadaj
rozkład warunkowy o grubszych ogonach ni rozkład normalny. Zaproponowano wi c szereg
innowacji w tym zakresie. Najcz ciej wykorzystuje si nast puj ce rozkłady: normalny,
uogólniony rozkład bł du (General Error Distribution, GED), sko ny oraz symetryczny
rozkład t-Studenta oraz warto ci ekstremalnych. Rozkłady te maj t cech , i mo liwe jest
przeskalowanie ich do rozkładów o zerowej redniej i jednostkowej wariancji, co pozwala
interpretowa
µt jako warunkow warto
oczekiwan , a ht jako warunkow
wariancj .
Rozkład t-Studenta oraz rozkład GED s rozkładami, dla których w zale no ci od przyj tej
liczby stopni swobody mo liwe jest uzyskanie rozkładów o grubszych ogonach ni rozkład
normalny. Nale y zaznaczy , i w niniejszej pracy przyjmuje si , e liczba stopni swobody
jest stałym parametrem, którego warto
nale y wyestymowa . Rozwa a si jednak ju
propozycje, by liczba stopni swobody opisywana była dodatkowym procesem, co skutkuje
poj ciem warunkowej leptokurtozy rozkładów.
2
Oczywi cie nale y uwzgl dni równie wpływ parametru
µt .
W przykładzie empirycznym przedstawionym w dalszej cz ci wykorzystany zostanie
symetryczny rozkład t-Studenta oraz (zawieraj cy si w nim) rozkład normalny. Ze wzgl du
na ograniczone rozmiary pracy zrezygnowano z analizy wariantu ze sko nym rozkładem
t-Studenta. Potencjalny efekt asymetrii rozkładu stóp zwrotu opisany zostanie przez
uwzgl dnienie efektu d wigni w warunkowej wariancji.
Warunkowy rozkład normalny oraz symetryczny t-Studenta zmiennej zt zadane s
nast puj cymi postaciami funkcji g sto ci rozkładu:
a) rozkład normalny - N(0,1):
f N (ε t , ht ;θ N ) =
ε2
1
exp − t
ht
2πht
b) rozkład t-Studenta – t-St(0,1, )
(3)
f S (ε t , ht ;θ S ) =
Γ
Γ
ν +1
ν
2
2
ht−1 / 2
(ν − 2)π
1+
ε t2
ν +1
−
2
(ν − 2)ht
(4)
gdzie θ - wektor parametrów modelu (dla rozkładów t-Studenta liczba stopni swobody jest
równie
parametrem modelu), ν - ilo
stopni swobody w rozkładzie t-Studenta,
∞
Γ(z ) - funkcja gamma dla parametru z; Γ( z ) = x z −1e − x dx .
0
Nale y wyra nie podkre li ,
e powy sze postaci rozkładów cechuj
si
zerow
rednia i jednostkow wariancj .
2.2. Modelowanie autokorelacji w szeregach stóp zwrotu
Efekt autokorelacji niskich rz dów szeregów stóp zwrotu obserwowany jest
szczególnie silnie dla indeksów cen akcji. Znak autokorelacji rz du pierwszego (w przypadku
szeregów stóp zwrotu dla indeksów i akcji) jest najcz ciej dodatni. Znacz ce autokorelacje
rz dów wy szych od pierwszego wyst puj rzadko i najcz ciej posiadaj znak ujemny (por.
Jajuga (2000), Tsay (2002)).
Do opisu obserwowanej autokorelacji szeregów stóp zwrotu wykorzystuje si znane procesy z
klasy liniowych procesów autoregresji i redniej ruchomej (ARMA). Metodologia ta jest na
tyle znana (por. Box, Jenkins (1986)), i potraktowana zostanie w sposób bardzo skrótowy. W
zagadnieniach zwi zanych z modelowaniem finansowych szeregów czasowych za pomoc
procesów klasy ARMA(p,q)3, rzadko kiedy stosuje si modele, dla których p+q>3. Rz d
modelu wyznacza si
na podstawie odpowiednich testów, b d
na podstawie analizy
przebiegu funkcji autokorelacji i autokorelacji cz stkowej. Zaznaczy nale y, i cz ciej
stosuje si modele AR(p). Posługiwanie si modelami autoregresji jest intuicyjnie znacznie
3
Przy zało eniu, e modeluje si równie zmienn w czasie wariancj procesu.
prostsze, gdy wykorzystuje si zmienne obserwowalne ( rt − k ), a nie jak w przypadku modeli
redniej ruchomej i mieszanych – zmienne nieobserwowalne ( ε t − k ). Rzadko u ywa si
równie do opisu własno ci szeregów stóp zwrotu modeli zintegrowanych (ARIMA) oraz
ułamkowo zintegrowanych (ARFIMA).
Najcz ciej wykorzystuje si
wi c proces AR(1), którego warunkowa warto
oczekiwana dana jest wzorem:
µt = E [ rt | I t −1 ] = µ0 + ϕ1rt −1 , gdzie µ0 , ϕ1 - parametry modelu.
2.3. Modelowanie szeregów zmienno ci
Z punktu widzenia niniejszej pracy zdecydowanie najwa niejsze pozostaj modele
warunkowej wariancji procesu. To wła nie to modele pozwalaj opisa najciekawsze efekty
obserwowane w szeregach stóp zwrotu.
Pierwszym modelem uwzgl dniaj cym zale no
warunkowej wariancji procesu od jego
poprzednich warto ci był model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedastic Model)
wprowadzony w 1982 roku przez Engla w celu modelowania poziomu inflacji w Wielkiej
Brytanii (por. Engle (1982)). Okazało si , e model ten i kolejne modele tej klasy mog by
szczególnie przydatne w opisie szeregów stóp zwrotu ró nych instrumentów finansowych.
Model stóp zwrotu uwzgl dniaj cy efekt ARCH(q) dany jest nast puj cym równaniem
warunkowej wariancji:
ht = ω +
q
i =1
α iε t2−i ≡ ω + α ( L)ε t2 ,
(6)
gdzie: ω ≥ 0 , α k ≥ 0 k = 1, 2,..., q − 1 , α q > 0 , α ( L) = α1 L + α 2 L2 + ... + α q Lq ,
a L to operator przesuni cia wstecz (por. np. Box, Jenkins (1986)): Lxt = xt −1 , Lm xt = xt − m .
Stacjonarno ci w szerszym sensie procesu ε t uzyskuje si , gdy
q
i =1
α i = α (1) < 1 .
Nietrudno wykaza , e w przypadku cho by najprostszego modelu ARCH(1), kurtoza ε t
(determinuj ca równie kurtoz rt ) dana jest wzorem:
kurt [ε t ] =
E ε t4
E ε t2
2
1 − α12
= 3+
,
1 − 3α12
(7)
co oznacza, e gdy tylko α1 <
3
, uzyskujemy kurtoz bezwarunkowego rozkładu stóp
3
zwrotu wi ksz od 3. Przyj cie modelu zmiennej w czasie warunkowej wariancji umo liwia
wi c równie modelowanie grubych ogonów rozkładów. Posta wzoru (6) ukazuje równie ,
e taki model posiada mo liwo
opisu efektu autokorelacji kwadratów stóp zwrotu, czyli
efektu skupiania (gromadzenia) zmienno ci. Wszystkie modele klasy ARCH (w tym tak e
prezentowane w dalszej cz ci pracy) umo liwiaj
odpowiednio
dobranych
parametrów
opis efektu skupiania danych oraz (dla
modelu)
efekt
grubych
ogonów
rozkładu
bezwarunkowego stóp zwrotu.
Odpowiednie dopasowanie modelu ARCH do danych wymaga cz sto uwzgl dnienia
wysokiej warto ci rz du q, co jest niew tpliwie wad
tego modelu. Niedogodno ci tej
pozbawiony jest niew tpliwie najpopularniejszy (w zakresie opisu warunkowej wariancji
procesu) model GARCH (Generalized ARCH Model) wprowadzony przez Bollersleva w 1986
roku. Równanie warunkowej wariancji w modelu GARCH(p,q) dane jest nast puj c
zale no ci :
ht = ω +
q
i =1
α iε t2−i +
p
j =1
β j ht − j = ω + α ( L)ε t2 + β ( L)ht ,
(8)
gdzie dodatkowo: β k ≥ 0 k = 1, 2,..., p − 1 , β p > 0 , β ( L) ≡ β 1 L + β 2 L2 + ... + β p L p .
z warunkiem na stacjonarno
procesu
q
i =1
αi +
p
j =1
β j = α (1) + β (1) < 1 .
Badania empiryczne dowodz , e model GARCH(p,q)4 znacznie lepiej dopasowuje si do
danych empirycznych ni
model ARCH(p). Nie jest to zaskoczeniem, mo na bowiem
wykaza , e model GARCH(p,q) mo na wyrazi jako ARCH(∞) :
ht =
ω
α ( L)
+
ε t2 = ω +
[1 − β (1)] [1 − β ( L)]
∞
i =1
α iε t2−i
Własno ci du ej grupy modeli warunkowej wariancji analizuje si wła nie poprzez wyra enie
ich jako modele ARCH(∞). W praktyce niezb dne jest zastosowanie du ego, ale sko czonego
rz du modelu ARCH.
Model GARCH mo na przedstawi równie jako model ARMA(m,p), m=max(p,q):
[1 − α ( L) − β ( L)]ε t2 = ω + [1 − β ( L)]ν t , gdzie
ν t = ε t2 − ht .
(9)
Zakłada si , e wszystkie pierwiastki wielomianów 1 − α ( L) − β ( L) = 0 oraz 1 − β ( L) = 0
znajduj si poza okr giem jednostkowym na płaszczy nie liczb zespolonych.
Najcz ciej rozpatrywany model GARCH(1,1) dany jest równaniem:
[1 − (α1 + β1 ) L]ε t2 = ω + [1 − β1 L]ν t .
(10)
Szczególnym przypadkiem, nie analizowanym w tej pracy jest model IGARCH (Integrated
GARCH), który uzyskuje si w przypadku, gdy α1 + β1 = 1 (por. Piontek (2003)).
Warunkowa wariancja modelu GARCH(1,1) w chwili t zale y od informacji (zaburzenia) z
ht = f ( ε t −1 ) = A + α1ε t2−1 , gdzie A = ω + β1ht −1 . Funkcja f ( ε t −1 )
chwili t-1 poprzez zale no
jest wygodnym narz dziem umo liwiaj cym opis własno ci modeli klasy ARCH. Metoda ta
wprowadzona została przez Pagana i Schwerta w 1990 roku (por. Pagan, Schwert (1990)), a
nast pnie spopularyzowana przez Engle’a i Ng pod nazw „krzywej wpływa informacji”
(News Impact Curve) (por. Engle, Ng (1993)). Zarówno dla modeli ARCH, jak i GARCH,
krzywa ta opisywana jest przez funkcj symetryczn wzgl dem ( ε t −1 = 0 ) o kształcie paraboli.
Kolejne uogólnienia modelu GARCH w zakresie opisu jedynie skupiania zmienno ci
sprowadzaj si do odmiennego zdefiniowania funkcji f ( ε t −1 ) , która nie musi by ju
funkcj paraboliczn , lecz nadal jest jednak symetryczna wzgl dem osi ε t −1 = 0 . Ciekawym
modelem o powy szych własno ciach funkcji wpływu informacji jest zaproponowany przez
Higinsa i Ber
w 1992 roku (por. Higgins, Bera, (1992)) model P(G)ARCH (Power
(G)ARCH) o postaci:
δ
ht = ω +
q
2
i =1
δ
α i ε t −i +
p
βh
δ
2
j t− j
j =1
δ
δ
= ω + α ( L) ε t + β ( L)ht2 ,
(11)
dla którego uzyskuje si nast puj c funkcj wpływu informacji:
(
ht = f ( ε t −1 ) = A + α1 ε t −1
δ
)
2
δ
(12)
A – stała zale na od rz du modelu.
Rys. 5. Krzywa wpływu informacji modelu P(G)ARCH
ródło: opracowanie własne.
4
Jest to prawd nawet dla niskich warto ci p i q. Wyj tkowo rzadko rozwa
si modele, dla których p+q>3.
Model P(G)ARCH umo liwia modelowanie zarówno warunkowej wariancji (model GARCH,
δ = 2 ), jak i warunkowego odchylenia standardowego (model Taylora i Schwerta, δ = 1 )
oraz wszystkich rozwi za po rednich. W modelu tym niezb dna jest estymacja parametru
δ . W zale no ci od warto ci parametru δ obserwuje si
informacji na warto
ró n
sił
wpływu nowych
warunkowej wariancji.
2.4. Modelowanie efektu d wigni i sko no ci
W modelach warunkowej wariancji efekty d wigni i sko no ci uzyskuje si poprzez
odpowiedni modyfikacj kształtu lub poło enia funkcji wpływu informacji.
Warto zaznaczy , i asymetria w strukturze zmienno ci generuje tak e sko no
stóp zwrotu. Istnieje wiele uogólnie
modelu GARCH, które pozwalaj
rozkładu
uwzgl dni
asymetryczny wpływ dobrych i złych wiadomo ci (por. Bollerslev, Engle, Nelson (1994)).
Poni ej zaprezentowane zostan najpopularniejsze propozycje. Tak e w tym przypadku,
rozró nienia własno ci modeli najpro ciej dokona
poprzez analiz
funkcji wpływu
informacji. Efekt asymetrycznego wpływu informacji mo na uzyska poprzez:
•
przesuni cie symetrycznej krzywej wpływu informacji tak, by minimum funkcji nie
wypadało dla ε t −1 = 0 ,
•
zagwarantowanie minimum funkcji f ( ε t −1 ) dla ε t −1 = 0 , ale wprowadzenie asymetrii w
nachyleniu obu ramion krzywej.
Podstawowym modelem, w którym opis efekt dzwigni uzyskuje si poprzez przesuni cie
symetrycznej krzywej wpływu informacji jest model AGARCH(p,q) (Asymmetric GARCH)
okre lony jako:
ht = ω +
q
i =1
p
2
α i ε t −i − κ i +
j =1
2
β j ht − j
= ω + α ( L) ε t − κ i + β ( L)ht
(13)
κi ≤ 1
Rys. 6. Krzywe wpływu informacji dla modelu AGARCH
ródło: opracowanie własne.
Dla κ1 > 0 uzyskuje si model, w którym krzywa wpływu informacji przesuni ta jest w
prawo, co pozwala uchwyci silniejszy wpływ informacji złych ni dobrych (o tej samej
wa no ci) na kolejn warto
warunkowej wariancji.
Odmiennym podej ciem jest wykorzystanie asymetrycznej krzywej wpływu
informacji, która jednak posiada swoje minimum dla ε t −1 = 0 . W podej ciu tym narzuca si
warunek, e lewe rami krzywej ma rosn
szybciej ni prawe, czyli f (− x) > f ( x) dla x > 0.
Najpopularniejszymi rozwi zaniami w tym zakresie s modele GJR-GARCH oraz EGARCH
(Exponential GARCH) (por. Bollerslev, Engle, Nelson (1994), Piontek (2002)).
W modelu GJR-GARCH ka de z ramion jest opisane przez połówk paraboli o ró nym
nachyleniu, a w modelu EGARCH ramiona opisuj funkcje wykładnicze. Praktycznie nie
wykorzystuje si innych postaci modeli ni dla p=q=1.
Poni ej przedstawione zostały postaci modeli oraz przykładowe kształty funkcji
wpływu informacji:
Model EGARCH(1,1)5
Model GJR-GARCH(1,1)
(
)
ht = ω + α1 + α1− I (ε t −1 <0) ε t2−1 + β1ht −1
I( p) =
1; gdy p = prawda
0; gdy p = falsz
(14) ln ht = ω + α1 g ( zt −1 ) + β1 ln ht −1
g ( zt ) =
zt
(
+ ξ zt − E zt
efekt znaku
(15)
)
efekt warto ci bezwzgl dnej
Rys. 7. Krzywe wpływu informacji dla
Rys. 8. Krzywe wpływu informacji dla
modelu GJR-GARCH
modelu EGARCH
ródło: opracowanie własne.
ródło: opracowanie własne.
Nie ma jednoznacznej konkluzji, który z modeli w sposób najlepszy opisuje efekt
d wigni w szeregach stóp zwrotu. Wydaje si jednak, e modele GJR-GARCH jest modelem
5
Model EGARCH jest modelem, którego posta zale y od przyj tego rozkładu warunkowego
bł du modelu, czyli rozkładu zt .
najcz ciej wykorzystywanym, ze wzgl du na jego wi ksz intuicyjno
AGARCH) oraz znacznie łatwiejsz
aplikacj
(od np. modelu
w zagadnieniach finansowych od modelu
EGARCH.
Modelem zyskuj cym jednak ostatnio na popularno ci jest model APGARCH6 (Asymmetric
Power GARCH) (por. Ding, Granger, Engle (1993)):
δ
ht2 = ω +
q
i =1
δ
α i ε t −i − κ i +
p
j =1
δ
δ
δ
β j ht2− j = ω + α ( L) ε t − κ i + β ( L)ht2 ,
(16)
który ł czy w sobie cechy modeli PGARCH i AGARCH. Docenion zalet tego modelu jest
stosunkowo prosta mo liwo
uogólnienia go w zakresie opisu długiej pami ci w szeregu
zmienno ci.
2.5. Modelowanie długiej pami ci w szeregach zmienno ci
Samo poj cie "pami ci modelu" nie jest jednoznaczne, szczególnie w odniesieniu do
modeli warunkowej wariancji. Poj cia "pami
modelu" u ywa si b d to kontek cie funkcji
autokorelacji kwadratów7 reszt modelu ( ε t2 ), b d w kontek cie wpływu zaburzenia z chwili t
na prognozy warunkowej wariancji w chwilach kolejnych (por. Baillie, Bollerslev, Mikkelsen
(1996), Ding, Granger (1996), Piontek (2003)). Podej cia te bywaj rozbie ne i model o
krótkiej pami ci w stosunku do autokorelacji kwadratów reszt modelu mo e by modelem o
długiej, lub wr cz niesko czonej pami ci w kontek cie wpływu zaburzenia na prognoz
warunkowej wariancji (por. Piontek (2003)). Du a dowolno
okre le
i nieprecyzyjne
rozró nianie tych dwóch koncepcji prowadzi do wielu niejasno ci i sprzeczno ci. Nale y
wyra nie zaznaczy , e tematem tej pracy jest długa pami
procesu w znaczeniu istotnych
współczynników autokorelacji wysokich rz dów kwadratów reszt modelu.
Wyst powanie tego efektu w szeregu stóp zwrotu z indeksu WIG obrazuje Rys. 4.
Bardziej precyzyjnie, mówi si o "długiej pami ci" szeregów zmienno ci (wariancji) w
przypadku, gdy:
lim
n →∞
n
k =− n
ρk = ∞ ,
(
)
gdzie ρ k = corr ε t2 , ε t2− k .
(17)
Modelem umo liwiaj cym w opis długiej pami ci w szeregu zmienno ci jest model
FIGARCH(p,d,q) (Fractionally Integrated GARCH) wprowadzony w 1996 roku przez
Baillie'go, Bollersleva i Mikkelsena.
6
Model ten cz sto okre lany jest równie (troch mylnie) skrótem APARCH.
7
Czy ogólnie autokorelacji szeregu
{ ε } , gdzie 1 ≤ c ≤ 2.
c
t
Model FIGARCH opisany jest nast puj cym wzorem:
[1 − φ ( L)](1 − L) d ε t2 = ω + [1 − β ( L)]ν t ,
(18)
gdzie d ∈ (0,1) , φ ( L) ≡ φ1 L + φ2 L2 + ... + φk Lk , a wszystkie pierwiastki 1 − φ ( L) = 0 oraz
1 − β ( L) = 0 le
poza okr giem jednostkowym. Dla tego modelu bezwarunkowa wariancja
ε t , a tym samym wariancje bezwarunkowa rt jest niesko czona. Ide pomysłu Baillie'go,
Bollersleva i Mikkelsena najłatwiej prze ledzi poprzez porównanie wzorów (18) i (9).
Szerzej na temat modelu FIGARCH i jego zwi zku z modelem GARCH i IGARCH oraz
szczegółowo na temat własno ci funkcji autokorelacji kwadratów reszt modelu w kontek cie
modelowania własno ci szeregu stóp zwrotu z indeksu WIG znale
mo na w pracy Piontka
(por. Piontek (2003)). Funkcja autokorelacji kwadratów reszt modelu FIGARCH maleje
w sposób hiperboliczny, czyli dla niewielkich rz dów funkcja autokorelacji maleje w sposób
szybszy ni dla przypadku wykładniczego, a dla wysokich rz dów maleje bardzo powoli.
Takie zachowanie funkcji autokorelacji prowadzi do spełnienia warunku (17) i umo liwia
nazwanie modelu FIGARCH modelem o długiej pami ci (w kontek cie funkcji autokorelacji
kwadratów reszt modelu). Intuicyjne traktowanie modelu FIGARCH jako modelu o
własno ciach po rednich mi dzy modelem GARCH i IGARCH jest zawodne. Zarówno model
GARCH, jak i IGARCH s modelami o krótkiej pami ci, a model FIGARCH jest modelem o
długiej pami ci w sensie definicji danej wzorem (17).
W ko cowej implementacji model FIGARCH(p,d,q) przybli a si
jako model
ARCH(q) bardzo wysokiego rz du (q zazwyczaj jest wi ksze ni 500):
ht =
ω
[1 − φ ( L)](1 − L) d 2
ω
+ 1−
+ λ ( L)ε t2 .
εt ≈
1 − β (1)
1 − β ( L)
1 − β (1)
(19)
W praktyce nie wykorzystuje si bardziej skomplikowanego modelu ni FIGARCH(1,d,1).
Model FIGARCH umo liwia opis skupiania zmienno ci, grubych ogonów bezwarunkowego
rozkładu stóp zwrotu oraz długiej pami ci w szeregu zmienno ci, nie ma jednak mo liwo ci
modelowania efektu d wigni oraz w sposób narzucony opisuje zmiany warunkowej wariancji
procesu. Niedogodno ci tych mo na pozby
si
przez poł czenie własno ci modelu
APGARCH oraz FIGARCH. Dodatkowo mo na uwzgl dni efektu autokorelacji w szeregu rt
oraz warunkowy rozkład o grubych ogonach. Prowadzi to do modelu AR-FIAPGARCH-(t-St).
Model ten jest modelem ł cz cym własno ci wcze niej prezentowanych modeli AR, ARCH,
GARCH, PARCH, AGARCH, APGARCH, FIGARCH.
3. Przekład empiryczny
Celem przykładu empirycznego jest zobrazowanie mo liwo ci wykorzystania modeli
z warunkow warto ci oczekiwan oraz warunkow wariancj do opisu własno ci szeregu
stóp zwrotu z indeksu WIG. Prób do bada stanowił szereg prostych, dziennych stóp zwrotu
z indeksu WIG liczonych według cen zamkni cia rynku w kolejnych dniach sesyjnych.
Ł czna długo
szeregu to 2203 obserwacji (od 04.01.1995 r. do 28.10.2003 r.). Estymacji
parametrów analizowanych procesów dokonano za pomoc
pakietu Laurenta i Petersa
G@RCH 3.0. napisanego w j zyku Ox Doornika i Oomsa (por. www.egss.ulg.ac.be/garch).
Do wyboru optymalnej postaci modelu wykorzystano kryterium Akaike’a:
AIC =
−2 LLF + 2(liczba parametrów modelu)
(20)
liczba obserwacji
oraz ze wzgl du na fakt, e niektóre rozpatrywane modele zawieraj si w sobie, zastosowano
(w pewnych przypadkach) test oparty na warto ciach funkcji wiarygodno ci (Likelihood Ratio
Test) dany nast puj c statystyk :
LRT = 2( LLF1 − LLF0 ) ,
gdzie: LLF1 - warto
(21)
logarytmu funkcji najwi kszej wiarygodno ci dla modelu z mniejsz
liczb restrykcji, LLF0 - warto
logarytmu funkcji najwi kszej wiarygodno ci dla modelu z
wi ksz liczb restrykcji. Statystyka LRT ma rozkład χ 2 z ilo ci stopni swobody równ
ró nicy w liczbie restrykcji modeli.
Rozpatrywano (przede wszystkim) modele zagnie dzone w omówionym we wcze niejszej
cz ci pracy modelu AR(1)-FIAPGARCH(1,d,1) z warunkowym symetrycznym rozkładem
t-Studenta. Model taki dany jest nast puj cym zestawem równa :
rt = µ0 + ϕ1rt −1 + ht zt
δ
{
ht2 = ω + 1 − [1 − β1 L ]
−1
d
(1 − φ1L )(1 − L ) } ( ε t − κ1ε t )
δ
.
(22)
zt ~ iid t-St(0,1,ν )
Jest to ogólny model, który potencjalnie umo liwia opis wszystkich zaprezentowanych
wcze niej efektów wyst puj cych w szeregach stóp zwrotu. Modele ułamkowe (z dług
pami ci w szeregach zmienno ci) przybli ane były modelem ARCH rz du q=500.
Tabela 1 prezentuje warto ci logarytmu funkcji najwi kszej wiarygodno ci, liczb
parametrów modelu oraz warto
zwrotu indeksu WIG.
kryterium AIC dla rozpatrywanych modeli dla szeregu stóp
Nietrudno zauwa y , i uwzgl dnienie autoregresji rz du pierwszego oraz efektu
GARCH znacznie wpływa na poprawienie jako ci modelu. Modele klasy Power GARCH nie
powoduj poprawy własno ci modelu w stosunku do prostych modeli GARCH. Korzystne jest
natomiast uwzgl dnienie efektu d wigni (modele klasy AGARCH) oraz długiej pami ci
(FIGARCH). Ze wzgl du na kryterium Akaike’a model najbardziej ogólny (ARFIAPGARCH(1,d,1)) w minimalny sposób przewy sza model AR-FIAGARCH(1,d,1).
Kryterium wykorzystuj ce jednak test LRT w jednoznaczny sposób (dla warunkowego
rozkładu normalnego: LRT=2,64, natomiast warto
krytyczna testu dla poziomu istotno ci
0,05 wynosi 3,841) preferuje model prostszy. Ka dorazowo odpowiedni model z
warunkowym rozkładem t-Studenta (o grubszych ogonach ni dla rozkładu normalnego)
przewy sza model z warunkowym rozkładem normalnym (zakłada si ,
warunkowym rozkładem normalnym zawieraj
si
w analogicznych modelach z
warunkowym rozkładem t-Studenta, a ró nica w liczbie restrykcji wynosi 1).
Tabela 1. Uzyskane statystyki poszczególnych modeli
rozkład
N(0,1)
t-St(0,1,v)
rozkład normalny
t-Studenta
symetr. rozkł.
liczba
model
LLF
AR(0)-GARCH(0,0)
5819,14
2
-5,2811
AR(1)-GARCH(0,0)
5839,83
3
-5,2990
AR(2)-GARCH(0,0)
5839,43
4
-5,2982
AR(1)-GARCH(0,1)
5959,24
4
-5,4065
AR(1)-GARCH(0,5)
6049,23
8
-5,4845
AR(1)-GARCH(1,1)
6060,29
5
-5,4973
AR(1)-PGARCH(1,1)
6060,42
6
-5,4965
AR(1)-AGARCH(1,1)
6063,14
6
-5,4990
AR(1)-APGARCH(1,1)
6063,26
7
-5,4982
AR(1)-FIGARCH(1,d,1)
6062,66
6
-5,4985
AR(1)-FIPGARCH(1,d,1)
6064,11
7
-5,4989
AR(1)-FIAGARCH(1,d,1)
6065,76
7
-5,5005
AR(1)-FIAPGARCH(1,d,1)
6067,08
8
-5,5007
AR(1)-FIGARCH(1,d,1)
6090,27
7
-5,5227
AR(1)-FIPGARCH(1,d,1)
6091,42
8
-5,5228
AR(1)-FIAGARCH(1,d,1)
6091,60
8
-5,5230
AR(1)-FIAPGARCH(1,d,1)
6092,94
9
-5,5233
warunkowy
ródło: obliczenia własne.
e modele z
parametr.
AIC
Ostatecznie mo na przyj ,
e najlepszym modelem (spo ród rozpatrywanych)
opisuj cym szereg stóp zwrotu z indeksu WIG jest model AR(1)-FIAGARCH(1,d,1) z
warunkowym rozkładem t-Studenta, który umo liwia uwzgl dnienie wszystkich opisywanych
efektów wyst puj cych w szeregach stóp zwrotu. Parametr δ w modelu tym nie jest
estymowany i wynosi 2, co oznacza, e dla indeksu WIG najlepszym modelem jest model
opisuj cy warunkowe wariancje. Dla innych instrumentów obserwuje si , i
warto
optymalna
parametru δ zawiera si w przedziale od około 1,3 do 1,75 (por. Higgins, Bera
(1992), Ding, Granger, Engle (1993), Tse (1998)) i nie mo na wtedy mówi wprost ani o
warunkowym odchyleniu standardowym, ani o warunkowych wariancjach.
Wybrany model, po wyestymowaniu parametrów mo e by
przydatny w
prognozowaniu zmienno ci, wycenie opcji, czy pomiarze ryzyka metod Value at Risk
Literatura
Baillie R., Bollerslev T., Mikkelsen H. (1996). Fractionally Integrated Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 74, s. 3-30.
Bollerslev T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of
Econometrics, 31, s. 307-327.
Bollerslev T., Engle R., Nelson D. (1994). ARCH models (w: Engle, MacFadden, Handbook
of econometrics). North-Holland, Amsterdam
Box G., Jenkins J. (1986). Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i sterowanie.
Pa stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.
Ding Z., Granger C. (1996). Modeling volatility persistence of speculative returns: A new
approach. Journal of Econometrics, 73, s. 185-215.
Ding Z., Granger C., R. Engle. (1993). A long memory property of stock market returns a
new model. Journal of Empirical Finance, 1, str. 88-106
Engle R. (1982). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance
of UK inflation. Econometrica, 50, s. 987-1008.
Engle R., Ng V. (1993). Measuring and testing the impact of news on volatility. Journal of
Finance, 48, str. 1749-1778
Gourieroux C. (1997). ARCH Models and Financial Applications, Springer Verlag, New
York
Higins M., Bera A. (1992). A class of nonlinear ARCH models. International Economic
Review, 33, str. 71-104
Jajuga K. (1999). Nowe tendencje w zarz dzaniu ryzykiem finansowym, Rynek Terminowy,
3, Penetrator, Kraków
Jajuga K. (2000). Metody ekonometryczne i statystyczne a analizie rynku kapitałowego.
Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław (pod red.)
Piontek K. (2002) Modelowanie i prognozowanie zmienno ci instrumentów finansowych.
Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu. Wrocław (rozprawa doktorska)
Piontek K. (2003). Modelowanie długiej pami ci w szeregach zmienno ci stóp zwrotu.
Konferencja Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Ustro , (w druku)
Tsay R. (2002). Analysis of Financial Time Series. Wiley and Sons. Chicago
Tse Y. (1998). The conditional heteroskedasticity of the yen-dolar exchange rate. Journal of
Applied Econometrics, 13, str. 49-55