Ćwiczenia 8 – teoria.

I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1
2014/2015
ĆWICZENIA 8 – TEORIA (Pochodne wyższych rzędów, przebieg zmienności funkcji)
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

Badanie przebiegu zmienności funkcji
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Dziedzina i zbiór wartości funkcji.
Punkty przecięcia z osiami układu, parzystość lub nieparzystość.
Granice funkcji, asymptoty wykresu funkcji.
Pierwsza pochodna – przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne.
Druga pochodna – przedziały wklęsłości i wypukłości, punkty przegięcia.
Tabelka
Szkic wykresu.
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI – PRZYKŁAD
1
f ( x)  x 2 
x
Ad 1.
Dziedzina funkcji
Mianowniki muszą być różne od zera, stąd: x  0 , a zatem D f   \ {0}  (;0)  (0; ) .
Zbiór wartości funkcji
Wf  
Ad 2.
Punkty przecięcia z osiami układu
Punkt leży na osi x , gdy: f ( x)  0 , stąd
1
x3  1
x  0
 0 ; ułamek jest równy 0 wówczas, gdy jego licznik jest równy 0, a
x
x
zatem: x 3  1  0  x  1 . Zatem do wykresu funkcji należy punkt (-1;0)
Punkt leży na osi y , gdy f (0) istnieje dla rozważanej funkcji. Ponieważ w naszym przypadku
0 nie należy do dziedziny funkcji, stąd f (0) - punkt przecięcia z osią y nie istnieje .
2
Parzystość lub nieparzystość
Warunek parzystości f ( x)  f ( x) nie jest spełniony, stąd funkcja nie jest parzysta.
Warunek nieparzystości f ( x)   f ( x) nie jest spełniony, stąd funkcja nie jest nieparzysta.
Ad 3.
Granice funkcji, asymptoty wykresu funkcji
Granice na końcach przedziałów określoności funkcji
1
lim x 2     0  
x 
x
1
lim x 2     0  
x 
x
Asymptota pionowa istnieje, gdy w punktach nieokreśloności granica funkcji jest równa   :
1
lim x 2   0    
x 0
x
-1-
I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1
2014/2015
ĆWICZENIA 8 – TEORIA (Pochodne wyższych rzędów, przebieg zmienności funkcji)
1
 0  
x 0
x
Czyli funkcja ma asymptotę pionową o równaniu x  0 .
Asymptota pozioma : Funkcja ma asymptotę poziomą y = a, gdy istnieje granica funkcji w
nieskończoności. Ponieważ lim f ( x)  lim f ( x)   , zatem asymptota pozioma nie istnieje.
lim x 2 
x 
x 
Asymptota ukośna : y  mx  n , gdzie m  lim
x  
f x 
i n  lim  f x   mx .
x 
x
1
x3  1
x
m  lim
 lim
  , stąd asymptota ukośna nie istnieje (analogicznie w
x  
x  
x
x2
przypadku granicy w   ).
Ad 4.
Pierwsza pochodna – przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne
Pierwsza pochodna:
x2 
'


'
1
1

f ' ( x)   x 2    x 2  x 1  2 x  x 2  2 x  2 ,
x
x

a dziedzina pochodnej pokrywa się z dziedziną funkcji, czyli D f '   \ {0}  (;0)  (0; )
Przedziały monotoniczności:
Funkcja jest rosnąca w przedziale, jeżeli f '(x) > 0 w tym przedziale:
1
2x 3  1
f ' ( x)  0  2 x  2  0 
 0 . Ponieważ znak ilorazu jest zawsze równy znakowi
x
x2
2x3  1
iloczynu, stąd
 0  x 2 2 x 3  1  0 . Ponieważ wielomian x 2 2 x 3  1 ma dwa
x2
miejsca zerowe: 0 i 3 0,5 (pamiętamy, że 0 nie należy do dziedziny pochodnej ani funkcji), a
jego wykres wygląda następująco:




1,5
1
0,5
0
-1,5
-1
-0,5
-0,5
0
0,5
1
1,5
-1
-1,5
-2
-2,5
stąd f ' ( x)  0  x  (3 0,5; )
Funkcja jest malejąca w przedziale, jeżeli f '(x) < 0 w tym przedziale:
1
2x 3  1
f ' ( x)  0  2 x  2  0 
 0  x 2 2 x 3  1  0 , czyli x  (;0)  (0, 3 0,5 ) .
2
x
x
Ekstremum lokalne:
Funkcja ma ekstremum lokalne lub punkt przegięcia w punkcie (x0 ;y0 ) , jeżeli pochodna
funkcji w tym punkcie równa się zero. Jeżeli ponadto w otoczeniu punktu (x0 ;y0 ) pochodna
zmienia znak (z dodatniego na ujemny lub odwrotnie), to w punkcie (x0 ;y0 )jest ekstremum.
Jeżeli znak zmienia się z dodatniego na ujemny to jest to MAXIMUM, a jeśli z ujemnego na
dodatnie, to MINIMUM.

-2-

I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1
2014/2015
ĆWICZENIA 8 – TEORIA (Pochodne wyższych rzędów, przebieg zmienności funkcji)
1
2x 3  1

0

 0  2 x 3  1  0  x  3 0,5 .
2
2
x
x
Dla rozważanej funkcji jest tylko jeden punkt w którym może być ekstremum, jest to
x  3 0,5 . Ponieważ na lewo od tego punktu, czyli dla x  (;0)  (0, 3 0,5 ) f ' ( x)  0 ,
f ' ( x)  0  2 x 
natomiast na prawo od niego, czyli dla x  (3 0,5; ) f ' ( x)  0 , czyli w otoczeniu punktu
następuje zmiana znaku pochodnej z ujemnego na dodatni. Tak więc dla x0  3 0,5 mamy
minimum lokalne funkcji. Dalej należy obliczyć wartość funkcji w tym punkcie, czyli:
2
1
y 0  f (3 0,5 )  3 0,5 
 1,9
3
0,5
Ad 5.
Druga pochodna – przedziały wklęsłości i wypukłości, punkty przegięcia
Druga pochodna:
'

 
 2 1  ' 
' '
'
2 2x3  2
f ' ' ( x)   x     x 2  x 1  2 x  x 2  2  2 x 3  2  3 
x  
x
x3

dziedzina drugiej pochodnej pokrywa się z dziedziną funkcji i z dziedziną pierwszej
pochodnej czyli D f ''   \ {0}  (;0)  (0; ) .

Przedziały wklęsłości:
Funkcja jest wklęsła jeżeli f '' (x) < 0
2x 3  2
f ' ' ( x)  0 
 0  x 3 2 x 3  2  0  2 x 3 x  1 x 2  x  1  0 . Wielomian
3
x
2 x3 x  1 x 2  x  1 o następującym wykresie:






4
3
2
1
0
-1,5
-1
-0,5
-1
0
0,5
1
1,5
-2
-3
-4
przyjmuje wartości ujemne dla x  (1;0) , czyli w tym przedziale funkcja jest wklęsła.
Funkcja jest wypukła jeżeli f '' (x) > 0
2x 3  2
f ' ' ( x)  0 
 0  x 3 2 x 3  2  0  2 x 3 x  1 x 2  x  1  0  x  (;1)  (0; ).
3
x
Punkty przegięcia:
Warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia w (x0 ;y0 ) jest istnienie drugiej
pochodnej funkcji równej zeru w tym punkcie (f '' (x) = 0), oraz zmiana znaku drugiej
pochodnej w otoczeniu tego punktu.
2x 3  2
f ' ' ( x)  0 
 0  2 x 3  2  0  2x  1x 2  x  1  0  x  1.
x3



-3-

I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1
2014/2015
ĆWICZENIA 8 – TEORIA (Pochodne wyższych rzędów, przebieg zmienności funkcji)
A zatem jedynie w punkcie x0 =-1 może istnieć punkt przegięcia funkcji. Ponieważ dla
x  (;1) f ' ' ( x)  0 , natomiast dla x  (1;0) f '' (x) < 0, stąd w otoczeniu x0 =-1 następuje
zmiana znaku drugiej pochodnej, a więc w tym punkcie funkcja ma punkt przegięcia.
Obliczamy wartość funkcji dla x0 =-1:
2
1
y 0  f (1)  3  1  3
 0.
1
Ad 6.
Tabela
W tabeli umieszczamy wszystkie wyznaczone we wcześniej punkty i przedziały między
nimi:
x
(;1)
-1
(1;0)
0
(0; 3 0,5 )
f(x)
+
0
-
nie
istnieje
+



(f. malejąca)
(f. wklęsła)
Malejąca i
wklęsła
punkt
przegięcia

 1,9
+
+
nie
istnieje
(f. malejąca)
0
(3 0,5; )

f ’(x)
(f. malejąca)
+
f ’’(x)
(f. wypukła)
uwagi malejąca i
wypukła
0,5
3
0
(f. malejąca)
+
+
(f. wypukła) (f. wypukła)
malejąca i minimum
wypukła
lokalne
nie
istnieje
asymptota
pionowa
x=0

(f. rosnąca)
+
(f.wypukła)
rosnąca i
wypukła


Ad 7.
Wykres
20
15
10
5
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-5
-10
-4-
1
2
3
4
5
6