FDM

Transkrypt

FDM

METRO
MEtalurgiczny TRening On-line
Modelowanie komputerowe
przemian fazowych w stanie stałym
stopów ze szczególnym
uwzględnieniem odlewów ADI
Wykład III: Metoda różnic skończonych
dla transportu ciepła i masy
Wojciech Kapturkiewicz
AGH
Edukacja i Kultura
Metoda różnic skończonych
Wstęp
Procesy wymiany ciepła i masy w technologii ADI opisują równania
paraboliczne, których rozwiązanie numeryczne przeprowadzić można
Metodą Różnic Skończonych (Finite Difference Method - FDM) lub
Metodą Elementów Skończonych (Finite Element Metod - FEM).
Równanie przewodnictwa ciepła (prawo Fouriera) ma identyczną formę
jak równanie transportu masy (prawo Ficka). W związku z powyższym
te obydwa procesy rozważyć można na przykładzie jednego z nich, np.
przewodzenia ciepła. Biorąc pod uwagę rozważania dotyczące
transportu masy, w miejsce dyfuzyjności cieplnej "a", wprowadzimy
dyfuzyjność masy "D", o tych samych jednostkach (m2/s). Pewne
różnice wystąpić mogą w przypadku warunków brzegowych, które są
zaprezentowane w Wykładzie III, równania 3 - 10.
W niniejszym wykładzie zaprezentowano uproszczoną wersję FDM
METRO – MEtalurgiczny TRening On-line
Copyright © 2005 W. Kapturkiewicz – AGH
2
(wersja uproszczona)
Rozwiązywanie równania różniczkowego o pochodnych cząstkowych
dokonuje się poprzez rozwiązywanie układu równań algebraicznych,
których liczba równa jest liczbie węzłów siatki dyskretyzacji.
Sposób przeprowadzenia dyskretyzacji zmiennych zostanie
przedstawiony na przykładzie równania różniczkowego przewodzenia
ciepła w jednowymiarowym płaskim stałym ciele, bez wewnętrznych
źródeł ciepła, przy stałej wartości dyfuzyjności cieplnej”a” :
∂T
∂ 2T
=a 2
∂τ
∂x
gdzie:
(1)
T – temperatura,
τ - czas,
x – współrzędna.
3
Lewą stronę równania możemy zastąpić pierwszym członem szeregu
Taylora :
k
k
Ti k +1 − Ti k
∆τ ⎛ ∂ 2T ⎞
⎛ ∂T ⎞ Ti − Ti
⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ... ≈
−
⎜
⎟ =
2! ⎝ ∂τ ⎠i
∆τ
∆τ
⎝ ∂τ ⎠i
k +1
k
i w zależności od sposobu rozwinięcia pochodną zastępuje się ilorazem
różnicowym
k
k +1
k
T
T
T
−
T
∂
⎛
⎞
i
i
przednim (rys.1):
(2)
⎜
⎟ =
∆τ
⎝ ∂τ ⎠i
k
wstecznym:
T −T
⎛ ∂T ⎞
⎜ ⎟ =
∆τ
⎝ ∂τ ⎠ i
k
lub centralnym :
k −1
i
k
i
k +1
⎛ ∂T ⎞ Ti − Ti
⎜
⎟ ≈
∂
τ
2 ∆τ
⎝
⎠i
gdzie ∆τ – krok czasowy
k −1
Tik+1
Tik
τk
∆τ
τk+1
τ
Rys.1. Funkcja temperatura – czas
4
Najczęściej stosowane i najbardziej dogodne w obliczeniach jest przybliżenie lewej
strony równania różniczkowego ilorazem różnicowym przednim.
Prawą stronę równania różniczkowego przewodzenia ciepła, czyli pochodną
temperatury względem przestrzeni, oblicza się za pomocą ilorazu różnicowego
centralnego drugiego rzędu (rys. 2):
Ti −k1 − Ti k Ti k − Ti +k1
−
⎛ ∂ 2T ⎞
Ti −k1 − 2Ti k + Ti +k1
x
x
∆
∆
⎜⎜ 2 ⎟⎟ ≈
=
∆x
∆x 2
⎝ ∂x ⎠i
k
gdzie ∆x
– krok przestrzenny
(3)
Tki+1
Tki
Tki-1
∆x
xi-1
∆x
xi
xi+1
Rys.2. Funkcja temperatura - odległość
5
Zestawiając (1), (2) i (5) otrzymuje się:
Ti k +1 − Ti k
Ti −k1 − 2Ti k + Ti +k1
=a
∆τ
∆x 2
Po przekształceniu względem niewiadomej, uzyskuje się równanie
różnicowe ze schematem jawnym, z przybliżeniem od dołu w stosunku do
rozwiązania dokładnego:
Ti k +1 = Ti k (1 − 2 F ) + (Ti −k1 + Ti +k1 ) F
gdzie: F =
a ∆τ
∆x 2
(4)
(Różnicowe kryterium Fouriera)
Adekwatnym kryterium dla transportu masy jest:
FD =
D ∆τ
∆x 2
gdzie D – dyfuzyjność masy, m2/s
6
Równanie (4) zachowuje sens fizyczny jeśli
wartość F
k +1
(z definicji dodatnia) nie ma wpływu naTikierunek zmiany temperatury
Jest to spełnione, gdy:
(1 − 2 F ) ≥ 0
i kryterium stabilności wówczas:
F ≤ 1/ 2
(5)
7
Metoda Cranka –Nicolsona
W metodzie Cranka-Nicolsona za przybliżoną wartość temperatury
względem czasu iloraz różnicowy symetryczny w chwili k+0,5; daje ona
wartości przybliżone oscylujące wokół wartości rozwiązania dokładnego.
Dla przybliżenia pochodnej temperatury przyjmuje się iloraz różnicowy
przedni:
k + 0,5
⎛ ∂T ⎞
⎜
⎟
⎝ ∂τ ⎠ i
Ti k +1 − Ti k
≈
∆τ
natomiast drugą pochodną temperatury względem współrzędnej
przestrzeni zastępuje się średnią arytmetyczną ilorazów różnicowych
symetrycznych drugiego rzędu w przedziałach czasu k+1 oraz k:
8
k + 0,5
⎛ ∂ 2T ⎞
⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ ∂x ⎠i
1 ⎛ Ti +k1+1 − Ti k +1 Ti k +1 − Ti −k1+1 Ti k +1 − Ti k Ti k − Ti −k1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
−
+
≈
−
∆x ⎠
∆x
∆x
∆x
2 ∆x ⎝
Podstawienie przybliżeń do (1) daje:
Ti k +1 − Ti k
a
k +1
k +1
k
k
k
=
T
−
2
T
+
T
−
2
T
+
T
i +1
i
i +1
i
i −1
2
∆τ
2 (∆x )
(
)
skąd po uwzględnieniu definicji liczby F otrzymuje się:
Ti k +1 =
F
1− F k
Ti +
Ti +k1+1 + Ti −k 2+1 + Ti +k1 + Ti −k1
1+ F
2(1 + F )
(
)
9
Ze względu na dużą dokładność aproksymacji pochodnej istnieje możliwość
zastosowania dużych kroków czasowych; z tej przyczyny metoda CrankaNicolsona uważana jest za najefektywniejszą metodę różnicową
nieustalonego przewodzenia ciepła (dla układu 1-wymiarowego - 1D).
10
Metoda bilansów elementarnych
Równanie (4) wyprowadzić można poprzez zbilansowanie ustalonych
strumieni cieplnych (lub strumieni masy). Sposób ten jest szczególnie
przydatny przy zestawianiu rów-nań dla siatki niejednorodnej, zawierającej
zróżnicowane kroki przestrzenne, cha-rakteryzujące się różnymi
parametrami termofizycznymi.
k+1
Ti
k+1
∆τ
k
Time
Wydzielimy w przestrzeni
jednowymiarowej trzy płaskie
elementy o wymiarze liniowym ∆x.
Środki tych elementów na
poziomie czasowym k mają
temperatury odpowiednio Ti-1, Ti
oraz Ti+1 (Rys. 3).
Tki-1
Tki
∆x
∆x
Tki+1
∆x
∆x
∆x
Distance
Rys. 3. Schemat bilansu elementarnego
11
Metoda bilansów
Zakładając w danym przedziale czasowym ∆τ ustalony przepływ ciepła i
stałe parametry termofizyczne λ, c i ρ, bilans cieplny dla środkowego
elementu o temperaturze Ti można przedstawić następująco:
λ
(
T
∆x
gdzie
k
i −1
)
− Ti k ∆τ +
λ
(
T
∆x
k
i +1
)
(
− Ti k ∆τ = cρ∆x Ti k +1 − Ti k
)
(6)
λ, c, ρ - dyfuzyjność cieplna, ciepło właściwe i gęstość
Powyższy bilans przekształca się do postaci równania (4):
Ti k +1 = Ti k (1 − 2 F ) + (Ti −k1 + Ti +k1 ) F
12
Bezwymiarowa postać równania różnicowego
W obliczeniach można stosować dowolną skalę temperatury, a więc i zapis
równania (4) w postaci:
Θ ik +1 = Θ ik (1 − 2 F ) + (Θ ik−1 + Θ ik+1 ) F
gdzie:
Θ ik−1 =
Ti −k1 − Tsrf
T0 − Tsrf
k
T
k
i −1 − Tamb
Θi −1 =
T0 − Tamb
Θ ik+1 =
Θ
k
i +1
Ti +k1 − Tsrf
T0 − Tsrf
Ti +k1 − Tamb
=
T0 − Tamb
Tsrf, Tamb – temperatura powierzchni i otoczenia
13
Równanie różnicowe dla warunku brzegowego
Warunek brzegowy 3-go rodzaju
Równanie różnicowe dla temperatury elementu przy powierzchni ciała
wyprowadzić można w oparciu o metodę bilansów elementarnych. Bilans
cieplny zestawiony dla elementu przy powierzchni ma postać (rys. 4):
λ
(
T
∆x
k
n −1
Tamb − Tnk
∆τ = cρ∆x Tnk +1 − Tnk
− T ∆τ +
∆x 1
+
2λ α
gdzie α
k
n
)
(
- współczynnik wymiany ciepła,
)
surface
(7)
Tkn-1
Tkn
Tamb
α
W/m2K
Rys. 4
14
⎛ ∆x 1 ⎞
+ ⎟
⎜
⎝ 2λ α ⎠
Wyrażenie
w równaniu (7) ma sens oporu cieplnego
pomiędzy środkiem elementu a otoczeniem.
Przekształcając równanie (7) otrzymujemy::
Ti k +1 = Ti k (1 − F − G ) + Ti −k1 F + Ti +k1G
lecz dla i = n
k
i +1
T
= Tamb
2 FN
G=
2+ N
(8)
α
N = ∆x
λ
Bezwymiarowy parametr N ma sens kryterium Biota, odniesionego do wymiaru
elementu różnicowego ∆x i można go nazwać różnicowym kryterium Biota.
Wielkość G można natomiast nazwać różnicowym kryterium warunku
brzegowego 3-go rodzaju.
15
Warunkiem stabilności obliczeń według równania (8) jest, aby:
1− F − G ≥ 0
skąd
1− F −
2 FN
≥0
2+ N
Z powyższej nierówności wynika, że:
N≥
2F − 2
1− 3F
Przy wcześniejszym założeniu, że F<1/3, warunek powyższy jest zawsze
spełniony, bowiem dla tej wartości F prawa strona nierówności przyjmuje
wartość ujemną, zaś lewa (kryterium N), z racji sensu fizycznego, jest
dodatnia.
16
Równanie (8) korzystnie jest przedstawić w postaci bardziej uogólnionej:
Ti k +1 = Ti k (1 − Ai − Bi ) + Ti −k1 Ai + Ti +k1 Bi
(9)
Parametry Ai oraz Bi odzwierciedlają (dla przyjętego układu współrzędnych)
oddziaływanie cieplne na element „i” elementu leżącego odpowiednio z lewej i
prawej strony tego elementu (przy umownie przyjętym układzie współrzędnych).
Równanie (9) można traktować jako uogólniony zapis równania (4), przy czym
kryterium Ai oraz Bi przyjmują wartość zależną od położenia elementu „i” w
obszarze siatki 1D:
Kryterium/
Element nr
i=1
Ai
Bi
i ∈ (2, n − 1)
0
F
i=n
F
F
F
2F N
2+ N
17
Uwzględnienie przemiany fazowej
Ciepło krystalizacji, stała temperatura przemiany
Najistotniejszą przemianą fazową w odlewach jest przejście metalu ze stanu
ciekłego w stan stały, połączone z uwalnianiem utajonego ciepła przemiany, czyli
ciepła krystalizacji. Na ile jest istotna ta przemiana ilościowo, ocenić to można,
dzieląc wartość ciepła krystalizacji danego metalu lub stopu przez jego ciepło
wła-ściwe. Uzyskuje się wówczas liczbę H, wyrażoną w stopniach [K], którą można
traktować jako „zapas temperaturowy ciepła krystalizacji”.
Dla typowego żeliwa:
ciepło krystalizacji L = 270 J/g
ciepło właściwe c = (0.753 + 0.837)/2 = 0.795 J/g K (średnie ciepło właściwe dla
stanu ciekłego i stałego)
otrzymujemy: H = L/c = 270/0.795 ≈ 340 K.
18
Ciepło krystalizacji
Wartość H, po podzieleniu przez temperaturę przemiany, daje wskaźnik istot-ności
tego ciepła przemiany. Istotność ciepła przemiany SL, przy założeniu temperatury
krystalizacji dla żeliwa Tkr:
SL = H/Tkr ≈ 0.29
Można przyjąć, że od momentu osiągnięcia przez stygnący w stanie ciekłym metal
temperatury przemiany, metal ten posiada „zapas temperaturowy ciepła
krystalizacji”. Temperatura danego elementu nie spada poniżej temperatury
krystalizacji do momentu wyczerpania „zapasu” temperatury, to znaczy dopóki
będzie spełniony warunek:
k
∆
T
∑ i ≤H
(10)
k
gdzie
∆Ti k = Tkr − Ti k +1 - obniżenie temperatury w danym kroku czasowym
poniżej temperatury krystalizacji .
19
Jeśli będzie spełniony warunek (10), wówczas temperatura pozostaje na
stałym poziomie, czyli (Tik +1 = Tkr ). Czas zużywania zapasu temperatury H
będzie czasem krystalizacji metalu w obszarze danego elementu
różnicowego.
20
Krystalizacja w zakresie temperatury
Ciepło krystalizacji w zakresie temperatury ∆Tkr uwzględnić można poprzez
zastosowanie pojęcia efektywnego ciepła właściwego::
L
cef = c +
(11)
∆Tkr
gdzie
∆Tkr = Tlik − Tsol
Tlik i
Tsol
- temperatura liquidus i solidus dla stopu
Jeżeli temperatura danego elementu różnicowego znajduje się w zakresie
∆Tkr, wówczas w miejsce F w równaniach różnicowych należy wprowadzić
(dla Tsol ≤ Tik ≤ Tlik ):
a ∆τ
Fef =
gdzie a ef =
λ
ef
∆x 2
(12)
c ef ρ
21
Krystalizacja w zakresie temperatury
W przypadku, gdy dysponujemy funkcją spektralnego ciepła krzepnięcia ηT
wówczas również można skorzystać z pojęcia efektywnego ciepła właściwego cef
(oraz odpowiednio Fef), obliczając jego wartości dla aktualnej temperatury metalu
(temperatury danego przedziału różnicowego), przy założeniu że:
c ef = c + η T
gdzie
(13)
η T = A 0 + A 1T + A 2 T 2
A0, A1, A2 – regression coefficients
Wprowadzenie kryterium Fef nie pogarsza stabilności obliczeń ze względu na jego mniejszą
wartość w porównaniu z F.
22
Uogólniona postać równania dla układu jednowymiarowego
Przyjmiemy, że elementy różnicowe mogą charakteryzować się odmiennymi
wymiarami i właściwościami termofizycznymi. Dla jednokierunkowego
przewodzenia ciepła (rys. 3) elementarny bilans ciepła można zapisać:
(Tik−1 − Tik )∆τ (Tik+1 − Tik )
+
= c i ρ i ∆x i (Tik +1 − Tik )
∆x i −1 ∆x i
∆x i ∆x i +1
+
+
2λ i −1 2λ i
2λ i 2λ i +1
gdzie
“i” –indeks parametru odniesionego do i-tego elementu
Po przekształceniu otrzymujemy postać równania (9):
Tik +1 = Tik (1 − A i − B i ) + Tik−1 A i + Tik+1 B i
(14)
23
Uogólniona postać równania dla układu 1D
gdzie
2Fi
Ai =
λ ∆x
1 + i i −1
λ i −1 ∆x i
2Fi
Bi =
λ ∆x
1 + i i +1
λ i +1 ∆x i
Fi =
a i ∆τ
∆x i2
ai =
λi
ciρi
(Ai + Bi) ≤ 1
a warunek stabilności:
Jeśli założymy równomierny podział różnicowy, wówczas stałe w równaniu (14) przyjmują
postać:
2Fi
2Fi
Bi =
Ai =
λ
λ
1+ i
1+ i
λ i +1
λ i −1
Jeśli elementy różnicowe będą dodatkowo charakteryzowały się jednakowymi
współczynnikami przewodzenia ciepła (układ jednorodny), wówczas:
A i = Bi = F
i równanie (15) przyjmie postać równania (4):
Ti k +1 = Ti k (1 − 2 F ) + (Ti −k1 + Ti +k1 ) F
24
Układ dwuwymiarowy (2D)
Dla układu dwuwymiarowego siatki równanie różnicowe
wyprowadzić można metodą elementarnych bilansów
(rys. 5):
Ti,j+1
Ti-1,j
(Tik−1, j − Tik, j )∆τ∆y j (Tik+1, j − Tik, j )∆τ∆y j (Tik, j−1 − Tik, j )∆τ∆x i
+
+
+
∆x i −1
∆x i
∆x i
∆x i +1
∆y j
∆y j−1
+
+
+
2λ i , j 2λ i +1, j
2λ i −1, j 2λ i , j
2λ i , j 2λ i , j−1
(T
+
)
(
Ti+1,j
Ti,j-1
∆xi-1
− Ti ,kj ∆τ ∆xi
= ci , j ρ i , j ∆xi ∆y j Ti ,kj+1 − Ti ,kj
∆y j ∆y j +1
+
2λi , j 2λi , j +1
k
i , j +1
Ti,j
∆yj+1
)
∆xi
∆yj
∆yj-1
∆xi+1
(Rys. 5)
25
Układ 2D
i po przekształceniach względem temperatury w nowym kroku czasowym:
Tik, j+1 = Tik, j (1 − A i , j − B i , j − C i , j − D i , j ) + A i , jTik−1, j + B i , jTik+1, j +
+ Ci , jTi ,kj −1 + Di , jTi ,kj +1
gdzie
Ai, j =
1+
Fx i , j =
2Fx i , j
λ i , j∆x i −1
Bi , j =
λ i −1, j∆x i
a i , j∆τ
(∆x i )2
Fyi , j =
1+
2Fx i , j
λ i , j ∆x i + 1
Ci , j =
λ i +1, j∆x i
a i , j∆τ
(∆y )
2
j
a i, j =
1+
2Fy i , j
λ i , j ∆ y j −1
λ i , j−1∆y j
Di, j =
1+
(15)
2Fyi , j
λ i , j∆y j+1
λ i , j+1∆y j
λ i, j
c i, j ⋅ ρ i, j
26
Układ 2D
Warunkiem stabilności rozwiązania równania (15) jest, aby:
A i, j + B i, j + C i, j + D i, j ≤ 1
Dla regularnej siatki różnicowej ( A i , j = B i , j = C i , j = D i , j = F ), gdzie F jest
kryterium wyznaczone równaniem (4), warunek stabilności wynosi:
F ≤ 0.25
27
Układ trójwymiarowy (3D)
Równanie różnicowe dla układu 3D uzyskać można poszerzając elementarny
bilans cieplny, w porównaniu do układu 2D, o bilans w kierunku osi „z” (rys. 6).
Równanie różnicowe przyjmuje wówczas postać
z(m)
∆z
∆x
(Rys. 6)
∆y
y(j)
x(i)
28
Układ 3D
Dla układu 3D równanie można zapisać:
Ti ,kj+,1m = Ti ,kj ,m (1 − Ai , j ,m − Bi , j ,m − Ci , j ,m − Di , j ,m − Ei , j ,m − Gi , j ,m ) +
+ Ai , j , m Ti −k 1, j , m + B i , j , m T i +k 1, j , m + C i , j , m Ti ,kj −1, m + D i , j , m T i ,kj +1, m +
+ E i , j , m Ti ,kj , m −1 + G i , j , m Ti ,kj , m +1
gdzie
Ai , j ,m =
E i , j, m =
2 Fxi , j ,m
2 Fxi , j ,m
Bi , j ,m =
λi , j ,m ∆xi +1
λi , j ,m ∆xi −1
1
+
1+
λi +1, j ,m ∆xi
λi −1, j ,m ∆xi
1+
2Fz i , j, m
λ i , j, m ∆z m −1
λ i , j, m −1∆z m
G i , j,m =
1+
(16)
Ci , j , m =
1+
2 Fyi , j ,m
λi , j ,m ∆y j −1
λi , j −1,m ∆y j
D i , j,m =
1+
2Fy i , j,m
λ i , j,m ∆y j+1
λ i , j+1,m ∆y j
2Fz i , j,m
λ i , j,m ∆z m+1
λ i , j,m+1∆z m
29
Układ 3D
Warunkiem stabilności równania (16) jest:
Ai , j , m + Bi , j , m + Ci , j , m + Di , j , m + Ei , j , m + Gi , j , m ≤ 1
Dla układu jednorodnego (elementy sześcienne z takim samym współczynnikiem
przewodzenia ciepła) równanie (16) przyjmuje postać:
Tik, j+,m1 = Tik, j,m (1 − 6F) +
+ F (Ti −k 1, j , m + Ti +k 1, j , m + Ti ,kj −1, m + Ti ,kj +1, m + Ti , j , m + Ti ,kj , m −1 + Ti ,kj , m +1 )
(17)
gdzie F – kryterium różnicowe Fouriera związane z siatką jednorodną.
Warunkiem stabilności rozwiązania powyższego równania jest, aby F ≤ 1 / 6 czyli otrzymuje
się 3-krotnie ostrzejszy warunek niż w przypadku rozwiązania 1D.
30

FDM

Transkrypt

Podobne dokumenty

austenityzacja

żeliwo

Konwersja energii w procesach przeniesienia ładunku

więcej informacji

Zegar i czas - Nasz Elementarz

Ecole des Mines de Nantes (Nantes, Francja)

Matematyka - scientix.pl

Wniosek o dofinansowanie imprezy naukowej, dydaktycznej lub

Andrzejki z ZNP

Świat