Piotr Furmański

Transkrypt

Piotr Furmański

METRO
MEtalurgiczny TRening On-line
Modelowanie matematyczne
procesów transportu w mikroskali
Piotr Furmański
ITC PW
Edukacja i Kultura
Modelowanie zarodkowania
Tempo zarodkowania
dN
= f (T ) N s N cr
dt
gdzie:
N - gęstość objętościowa aktywnych zarodków
N s - liczba cząsteczek na powierzchni zarodka
f - częstotliwość zderzeń cząsteczek z zarodkiem
N cr - objętościowe stężenie zarodków o krytycznym wymiarze
METRO – MEtalurgiczny TRening On-line
Copyright © 2005 Piotr Furmański – ITC, PW
2
Częstotliwość zderzeń cząsteczek z zarodkiem
⎛ ∆G f
f (T ) = f 0 exp⎜⎜ −
⎝ kT
⎞
⎟⎟
⎠
gdzie:
f 0 - częstotliwość przeskoku cząsteczek na powierzchnię zarodka
k
- stała Boltzmanna
∆G f - energia aktywacji dla przemieszczania się cząsteczek
na powierzchnię zarodka
3
Stężenie zarodków o krytycznym wymiarze
⎡ ∆G ∗ ⎤
N cr = ( N 0 − N cr ) exp⎢−
⎥
kT
⎦
⎣
gdzie:
N 0 - początkowa gęstość objętościowa aktywnych zarodków
3
∆G ∗ - zmiana objętościowej entalpii
πγ
16
∗
sl
∆
G
=
swobodnej dla zarodka o
2
3
∆
G
wymiarze krytycznym
v
∆Gv - zmiana objętościowej entalpii swobodnej związana z
przemianą ciała stałego w ciecz
4
Tempo zarodkowania jednorodnego
r
∗
⎡
⎤
∆
G
dN
∗
= f (T ) N 0 exp⎢−
⎥
dt
⎢⎣ kT ⎥⎦
gdzie:
16πγ sl ⎡ TmVm ⎤
16 πγ sl
∆G =
=
⎢
⎥
2
3 ∆Gv
3 ⎣ Lm (T − Tm ) ⎦
3
3
2
∗
Vm - objętość molowa
f ∗ - zmodyfikowana częstotliwość zderzeń,
f ∗ = f Ns
5
Tempo zarodkowania heterogenicznego
θ
⎡ ∆G ∗ ⎤
dN
= f (T ) N 0 exp⎢−
⎥
dt
kT
⎦
⎣
gdzie:
2
16πγ sl ⎡ TmVm ⎤
16 πγ sl
∆G =
=
⎢
⎥ F (θ )
2
3 ∆Gv
3 ⎣ Lm (T − Tm ) ⎦
3
3
∗
F (θ ) = (2 + cosθ )(1 − cosθ ) 2 / 4
θ
- kąt zwilżania przez zarodek
6
Tempo zarodkowania jako funkcja temperatury
T
Tm
DN
dt
7
Modelowanie procesów transportu
• Procesy prowadzące do powstawania
rozkładów temperatury i stężeń składników
w stopach
¾ Generacja ciepła na granicy ciecz/ciało stałe
¾ Usuwanie ciepła przez ściany otaczające formę
¾ Różne rozpuszczalności składników w fazach
• Podstawowe mechanizmy transportu energii
i składników stopów
¾ dyfuzja
¾ unoszenie (konwekcja)
8
Podstawowe zależności potrzebne do
modelowania matematycznego procesów
transportu przy krzepnięciu stopów
¾ Równania bilansu masy, pędu, energii i składników
w stopie
¾ Związki konstytutywne
¾ Równania bilansu masy, pędu, energii i składników
na granicy międzyfazowej ciecz/ciało stałe
¾ Warunki brzegowe i początkowe
¾ Związki termodynamiczne między zmiennymi
9
Równanie ciągłości w fazie ciekłej
z
y
dV
ρ w x ( x + dx )
ρ w x (x )
x
dx
∂m
= [ ρwx ( x) − ρwx ( x + dx)]dydz +
∂t
+ [ ρw y ( y ) − ρwx ( y + dy )]dxdz + [ ρwz ( z ) − ρwx ( z + dz )]dxdy
gdzie:
m - masa, ρ - gęstość, w - prędkość cieczy
10
Równanie ciągłości
[ ρwx ( x) − ρwx ( x + dx)]dydz =
∂ρwx
∂ρwx
dx )dy dz = −
dV
= ρwx dy dz − ( ρwx +
∂x
∂x
∂ρ w x ∂ρ w y ∂ρ w z
∂ρ
+
) dV
+
dV = − (
∂z
∂x
∂y
∂t
∂ρ
= −∇ ⋅ ( ρw )
∂t
RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI
11
Równanie ciągłości
∂ρ
+ w ⋅ ∇ ρ = − ρ∇ ⋅ w
∂t
człon unoszenia przez ciecz
Uwaga: dla cieczy nieściśliwej
∇⋅w = 0
12
Bilans masy na ruchomej granicy ciecz / ciało stałe
interface
ρs ws
ρl wl
ρ s (w s − w i ) ⋅ n s + ρ l (w l − w i ) ⋅ n s = 0
13
Równanie pędu
∂Px
. = [ wx ρwx ( x) − wx ρwx ( x + dx)]dydz −
∂t
. − [σ xx ( x) − σ xx ( x + dx)]dydz + [ wx ρwy ( y ) − wx ρwy ( y + dy )]dxdz −
[
]
. − σ xy ( x) − σ xy ( x + dx) dxdz + [ wx ρwz ( z ) − wx ρwx ( z + dz )]dxdy −
. − [σ xz ( x) − σ xz ( x + dx)]dxdy + ρdVf x
gdzie:
Px = ρdVwx - x-składowa pędu elementarnej objętości dV
σ xx , σ xy , σ zx - x-składowe tensora naprężeń
f x - x-składowa siły masowej działającej na elementarną objętość cieczy
14
Równanie pędu
[ wx ρwx ( x) − wx ρwx ( x + dx)]dydz =
∂wx ρwx
∂wx ρwx
= wx ρwx dy dz − ( wx ρwx +
dx) dy dz = −
dV
∂x
∂x
[σ xx ( x) − σ xx ( x + dx)]dydz =
= σ xx dy dz − (σ xx
∂σ xx
∂σ xx
+
dx )dy dz = −
dV
∂x
∂x
15
Równanie pędu
∂ρwx
∂wx ρwx ∂wx ρw y ∂wx ρwz
dV = −(
+
+
) dV +
∂y
∂z
∂t
∂x
∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz
+
+(
+
) dV + ρdVf x
∂y
∂z
∂x
∂ρw
= −∇⋅ (wρw − σ) + ρf
∂t
RÓWNANIE PĘDU
16
Równanie pędu
∂ρ w
= −∇ ⋅ ( wρw − σ ) + ρf
∂t
∂ρ w
+ w ⋅ ∇ ρw = ∇ ⋅ σ + ρf
∂t
człon unoszenia
człon dyfuzji
17
Związek konstytutywny dla równania pędu
σ = − p1 + 2µ l e(w )
gdzie:
p - ciśnienie
µl
- lepkość cieczy
e = (∇w + ∇ T w ) - tensor prędkości deformacji
∇ T w - transponowany gradient prędkości
18
Równanie pędu dla cieczy
σ = − p1 + 2µ l e(w )
∂ρ w
= −∇ ⋅ ( wρw − σ ) + ρf
∂t
∂ρ w
+ ∇ ⋅ ( w ρw ) = −∇ p + µ l ∇ 2 w + ρf
∂t
∂w
ρ
+ ρw ⋅ ∇ ( w ) = −∇ p + µ l ∇ 2 ⋅ w + ρf
∂t
RÓWNANIE PĘDU
DLA FAZY CIEKŁEJ
19
Związki termodynamiczne - gęstość
⎡
⎤
ρ (T , [C j ]) = ρ O (Tr , [C j ] r ) ⎢1 + β T (T − Tr ) + ∑ β Cj (C j − C jr ) ⎥
j
⎣
⎦
gdzie:
βT
- współczynnik rozszerzalności termiczne
β Cj
- współczynnik rozszerzalności stężeniowej
Człony w równaniu pędu dla konwekcji swobodnej
− ∇p + ρf = ( ρ − ρ O ) f = β T (T − Tr ) + ∑ β Cj (C j − C jr )
j
20
Bilans pędu na granicy międzyfazowej
ciecz / ciało stałe
interface
ws ρs ws − σs
wl ρ l wl − σ l
[ρ s w s (w s − w i ) − σ s ] ⋅ n s + [ρ l w l (w l − w i ) − σ l ] ⋅ nl
gdzie:
κ
= 2κγ ls n s − ∇ γ ls ⋅ t
- krzywizna granicy międzyfazowej
21
Bilans pędu na ruchomej granicy międzyfazowej
interface
Z bilansu masy na granicy międzyfazowej
ws ρs ws − σs
wl ρ l wl − σ l
ρ l (w l − w i ) ⋅ n l = − ρ s (w s − w i ) ⋅ n s
(σ s − σ l ) ⋅ n s = ρ s (w s − w l )(w s − w i ) ⋅ nl − 2κγ ls n s − ∇γ ls ⋅ t
gdzie:
n - jednostkowy wektor normalny do powierzchni
t - Jednostkowy wektor styczny do powierzchni
22
Związki termodynamiczne – napięcie
powierzchniowe
γ sl = γ sl (T , [C j ])
gdzie:
C j - Stężenie składnika j -tego (udział masowy)
∂γ sl
∂γ sl
∇ γ ls ⋅ t =
∇T ⋅ t + ∑
∇C j ⋅ t
∂T
j ∂C j
23
Równanie energii
z
y
ρw x h ( x ) + q x ( x )
ρ w x h ( x + dx ) + q x ( x + dx )
x
dx
gdzie:
h - entalpia właściwa
q - gęstość strumienia ciepła
24
Równanie energii
∂ ( ρdVh)
= [(wx ρh( x) + q x ( x) ) − (wx ρh( x + dx) + q x ( x + dx )]dydz +
∂t
+ [(wy ρh( y ) + q y ( y ) ) − (wy ρh( y + dy ) + q x ( y + dy )]dxdz +
+ [(wz ρh( z ) + q z ( z ) ) − (wz ρh( z + dz ) + q z ( z + dz )]dxdy
[(wx ρh( x) + q x ( x) ) − (wx ρh( x + dx) + q x ( x + dx) )]dydz =
∂ ( wx ρh + q x ) ⎤
⎡
dx ⎥ dy dz =
= (wx ρh + q x ) dy dz − ⎢(wx ρh + q x ) +
∂x
⎣
⎦
∂ (wx ρh + q x )
=−
dV
∂x
25
Równanie energii
⎡ ∂ ( w x ρh + q x ) ∂ ( w y ρh + q y ) ∂ ( w z ρh + q z ) ⎤
∂ρ h
dV = − ⎢
+
+
⎥ dV
∂t
∂x
∂y
∂z
⎣
⎦
∂ρ h
= −∇ ⋅ ( wρh + q )
∂t
RÓWNANIE ENERGII
∂ρ h
+ w ⋅ ∇ ( ρh) = −∇ ⋅ q
∂t
człon unoszenia
człon dyfuzji
26
Związek konstytutywny dla gęstości strumienia
ciepła
q = −λ∇T
PRAWO FOURIERA
gdzie:
λ
- współczynnik przewodzenia ciepła
Współczynniki przewodzenia ciepła fazy ciekłej i stałej
są różne i zależą od rodzaju substancji, temperatury,
kierunku, składu i mikrostruktury fazy stałej
27
Bilans energii dla ruchomej
granicy ciecz / ciało stałe
interface
w s ρ s hs + q s
w l ρ l hl + q l
Ti
[ρ s hs (w s − w i ) + q s ] ⋅ n s + [ρ l hl (w l − w i ) + q l ] ⋅ nl
=0
RT 2 wi 2γ lsVa Tm
Ti = Tm + ml ( wi )C l −
−
κ
Lm w s
Lm
28
Bilans energii dla ruchomej granicy
Z bilansu masy dla granicy międzyfazowej
interface
w s ρ s hs + q s
ρ l (w l − w i ) ⋅ nl = − ρ s (w s − w i ) ⋅ n s
w l ρ l hl + ql
(q s − q l ) ⋅ n s = ρ s (hl − hs )(w s − w i ) ⋅ nl
ENTALPIA WŁAŚCIWA
h = h(T , [C j ])
29
Związki termodynamiczne – entalpia właściwa
- dla fazy stałej
hs (T , [C j ]) = hr (Tr ,0) + ∑ ∫ h ∗js (Tr , [C j ]) dC j +
Cj
j
0
T
+ ∫ c s (T , [C j ]) dT
Tr
gdzie:
hr - entalpia właściwa odniesienia
c s - ciepło właściwe dla fazy stałej
h ∗js - entalpia cząstkowa dla fazy stałej
30
- dla fazy ciekłej
Tm
hl (T , [C j ]) = hr (Tr ,0) + ∫ cs (T ,0) dT + L f +
Tr
+ ∑ ∫ h (T , [C j ]) dC j + ∫ cl (T , [C j ]) dT
Cj
j
gdzie:
0
∗
jl
T
Tm
cl - ciepło właściwe cieczy
L f - ciepło krzepnięcia dla przeważającego składnika
h ∗jl - entalpia cząstkowa dla cieczy
31
Dla czystych substancji
hl
Lf
hs
32
Dla stałych wartości ciepła właściwego i pomijalnego
wpływu stężeń składników na entalpię właściwą (stopy
o małej ilości dodatków)
- dla fazy stałej
hs (T , [C j ]) = hr (Tr ) + cs (T − Tr )
- dla fazy ciekłej
hl (T , [C j ]) = hr (Tr ) + cs (Tm − Tr ) + L f + cl (T − Tm )
33
Bilans energii na
ruchomej granicy
Dla nieruchomej fazy stałej, stałych
wartości ciepła właściwego faz i przy
pomijalnym wpływie stężenia
składników na entalpię właściwą
(mała ilość dodatków stopowych)
interface
w s ρ s hs + q s
w l ρ l hl + ql
gdzie:
∂Tl
∂Ts
λs
= ρ s (hl − hs )wi
− λl
∂n s
∂n s
hl − hs = (c s − c l )(Tm − Ti ) + L f
Ti - temperatura granicy międzyfazowej
34
Bilans masy poszczególnych dodatków stopowych
z
y
ρ w x C j ( x + dx ) + j jx ( x + dx )
ρ w x C j ( x ) + j jx ( x )
x
gdzie:
dx
C j - stężenie j –tego składnika (udział masowy)
j jx - x-składowa wektora gęstości strumienia masy j –tego składnika
35
Bilans masy dodatków stopowych
∂ρC j
∂t
= [(wx ρC j ( x) + j jx ( x) ) − (wx ρC j ( x + dx) + j jx ( x + dx )]dydz +
+ [(wy ρC j ( y ) + j jy ( y ) ) − (wy ρC j ( y + dy ) + j jx ( y + dy )]dxdz +
+ [(wz ρC j ( z ) + j jz ( z ) ) − (wz ρC j ( z + dz ) + j jz ( z + dz )]dxdy
[(wx ρC j ( x) + j jx ( x) ) − (wx ρC j ( x + dx) + j jx ( x + dx) )]dydz =
∂ ( wx ρC j + j jx ) ⎤
⎡
dx ⎥ dy dz =
= (wx ρC j + j jx ) dy dz − ⎢(wx ρC j + j jx ) +
∂x
⎣
⎦
∂ (wx ρC j + j jx )
dV
=−
∂x
36
Bilans masy dodatków stopowych
∂ρ C j
⎡ ∂ ( wx ρC j + j jx ) ∂ ( w y ρC j + j jy ) ∂ ( wz ρC j + j jz ) ⎤
dV = − ⎢
+
+
⎥ dV
∂t
∂x
∂y
∂z
⎣
⎦
∂ρ C j
∂t
= −∇ ⋅ ( wρC j + j j )
∂ρ C j
∂t
RÓWNANIE BILANSU
DODATKÓW STOPOWYCH
+ w∇ ( ρC j ) = −∇ ⋅ j j
człon unoszenia
człon dyfuzji
37
Związek konstytutywny na gęstość strumienia
masy j-tego dodatku stopowego
j j = − D j ∇C j
PRAWO FICKA
gdzie:
D j - współczynnik dyfuzji j-tego dodatku stopowego
Współczynniki dyfuzji w fazie ciekłej i stałej znacznie
się różnią i zależą od rodzaju substancji, temperatury,
kierunku, składu i mikrostruktury fazy stałej
38
Bilans masy j-tego dodatku stopowego na
ruchomej granicy ciecz / ciało stałe
interface
w s ρ s C js + j js
[ρ C (w
s
js
s
]
w l ρ l C jl + j jl
[
]
− w i ) + j js ⋅ n s + ρ l C jl (w l − w i ) + j jl ⋅ nl = 0
39
interface
w s ρ s C js + j js
Z równania bilansu masy
na granicy międzyfazowej
w l ρ l C jl + j jl
(j
ρ l (w l − w i ) ⋅ nl = − ρ s (w s − w i ) ⋅ n s
js
− j jl ) ⋅ n s = ρ s (C js − C jl )(w s − w i ) ⋅ nl
40
Dla nieruchomej fazy stałej, stopu
dwuskładnikowego i niewielkiej
ilości dodatku stopowego
interface
w s ρ s hs + q s
w l ρ l hl + ql
gdzie:
∂C l
∂C s
Dl
− Ds
= ρ s (C l − C s )wi
∂n s
∂n s
C l − C s = (1 − κ p )C l
κp
- współczynnik rozdziału
41
Równanie transportu masy j-tego dodatku
stopowego na swobodnej powierzchni
cieczy lub granicy ciecz - forma
∂ρC sj
∂t
= −∇ s ⋅ ( wρC sj + j sj ) + S j
gdzie:
C sj - powierzchniowe stężenie (udział masowy) j -tego
dodatku stopowego
- operator dywergencji we współrzędnych powierzchniowych
- powierzchniowa gęstość strumienia masy j –tego dodatku
∇s
j sj
S j - wymiana netto masy j –tego dodatku spowodowana adsorpcją
42
Związki dla transportu masy j –tego dodatku
stopowego na swobodnej powierzchni
cieczy lub granicy ciecz - forma
j sj = − D sj ∇ s C sj
adsorpcja
desorpcja
S j = j j ⋅ nl = β sj C j (C sj∞ − C sj ) − α sj C sj
gdzie:
D sj - powierzchniowy współczynnik dyfuzji j –tego dodatku
β sj , α sj - kinetyczne współczynniki adsorpcji i desorpcji
C sj∞ - górne ograniczenie na stężenie j –tego dodatku stopowego
dla przypadku adsorpcji w monowarstwie powierzchniowej
43
Wymiana ciepła na granicy faza ciekła lub stała /
powierzchnia formy
NOMINALNA GRANICA
STOP - FORMA
44
Wymiana ciepła na granicy faza ciekła
lub stała / powierzchnia formy
STOP W FAZIE CIEKŁEJ LUB STAŁEJ
NOMINALNA
GRANICA
rA
FORMA
q A ( rA ) = q ⋅ nl = α T ( rA )(T − Tw )
gdzie:
αT
-
lokalna termiczna konduktancja powierzchniowa
Tw - temperatura powierzchni formy
45
Podsumowanie
Podstawowe równania opisujące krzepnięcie
stopów zawierają:
¾ Modele zarodkowania
¾ Modele transportu energii i dodatków
stopowych i ruchu faz
46

Piotr Furmański

Transkrypt

Podobne dokumenty

napięcie powierzchniowe

deklaracja zawodnicza

Pobierz ofertę w formacie PDF

Zadania psychologa w Domu Dziecka w

modelowanie 3D

TABLICA FRSE nowa.indd

TRENING OBWODOWY 18 czerwca wtorek

więcej informacji