Wykłady z matematyki

Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Andrzej Musielak
Rok akademicki 2016/17
UTP Bydgoszcz
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Granica funkcji
Otoczenie punktu x0 to przedział (x0 − , x0 + ) dla każdego
>0
Sąsiedztwo punktu x0 to jego otoczenie bez punktu x0 .
Jeżeli funkcja jest określona w sąsiedztwie punktu x0 to liczba
g jest granicą funkcji f (x) w punkcie x0 , gdy:
g − < f (x) < g + ⋀ ⋁
⋀
>0 σ>0 x∈(x0 −σ,x0 )∪(x0 ,x0 +σ)
Oznaczenie: lim f (x) = g
x→x0
Inne przykłady definicji granic to:
lim f (x) = g ⇔ ⋀ ⋁ ⋀ g − < f (x) < g + x→∞
>0 M x>M
lim+ f (x) = ∞ ⇔ ⋀ ⋁
x→x0
f (x) > M
⋀
M σ>0 x∈(x0 ,x0 +σ)
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Granica funkcji
Granica funkcji f (x) w punkcie x0 istnieje i jest równa g wtedy
i tylko wtedy gdy istnieją granice jednostronne i są sobie równe
czyli lim+ f (x) = lim− f (x) = g
x→x0
x→x0
Jeżeli istnieją granice: lim f1 (x) = g1 oraz lim f2 (x) = g2 to:
x→x0
x→x0
lim [f1 (x) + f2 (x)] = g1 + g2
lim [f1 (x) − f2 (x)] = g1 − g2
x→x0
x→x0
lim f1 (x) ⋅ f2 (x) = g1 g2
lim f1 (x)
x→x0 f2 (x)
x→x0
=
g1
g2
Analogicznie dla: x → x0+ , x → x0− , x → ∞, x → −∞.
Jeżeli istnieją granice: lim f1 (x) = c oraz lim f2 (x) = g to przy
x→x0
x→c
odpowiednich założeniach: lim f2 [f1 (x)] = g ◇
x→x0
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Granica funkcji
Wyrażenia nieoznaczone:
0
∞
0 [1]
]
[ 00 ] , [ ∞
∞ , [0 ⋅ ∞] , [∞ − ∞] , [0 ] , [1 ] , [∞ ] , 0 Jeśli w
jakiejkolwiek granicy po podstawieniu liczby do której dąży
zmienna (lub nieskończoności) pojawi się którekolwiek z
powyższych wyrażeń, oznacza to, że z policzeniem granicy
musimy poradzić sobie jakoś sprytniej.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Przykłady obliczania typowych granic - Typ 1
3
3x +x
limx→∞ 2+x
2 +x 3 W wypadku gdy zmienna dąży do ±∞ a
funkcja jest wymierna (czyli postaci ”wielomian przez
wielomian”), wystarczy wyłączyć przed nawias najwyższą
potęgę w liczniku i mianowniku lub też podzielić licznik i
mianownik przez najwyższą potęgę mianownika (w drugim
sposobie należy pamiętać, że granica wielomianu w
nieskończoności zależy wyłącznie od najwyższej potęgi tego
wielomianu). Ogólniejsza zasada ”podziel przez największy
kawałek mianownika” często sprawdza się też w przypadku
funkcji innych niż wymierne (uwaga: mowa tylko o granicy w
nieskończoności!) . . . = limx→∞
◇
Andrzej Musielak
3+ 12
x
2
+ 1 +1
x3 x
=
3
1
=3
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Przykłady obliczania typowych granic - Typ 2
3
−8
limx→2 x 2x−5x+6
W wypadku gdy liczymy granicę funkcji
wymiernej w punkcie a i wychodzi nam nieoznaczoność typu
[ 00 ] możemy wyłączyć z licznika i mianownika czynnik x − a
(co wynika z tw. Bezout) i skrócić
2 +2x+4)
2
12
. . . = limx→2 (x−2)(x
= limx→2 x +2x+4
= −1
= −12
(x−2)(x−3)
x−3
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Przykłady obliczania typowych granic - Typ 3
√
x+1−2
limx→3 4−√
Jeśli pojawiają się pierwiastki oraz
1+5x
nieoznaczoność typu [ 00 ], to najczęściej przydatne będzie
pomnożenie licznika i mianownika
√sprzężenie.
√ √ przez
√ tzw.
Sprzężeniem wyrażenia a − b jest a + b. Dzięki temu
po przekształceniu zerujące się wyrażenia
nie√ będą już√
√
( x+1−2)( x+1+2)(4+ 1+5x)
zawierały pierwiastka: . . . = limx→3 (4−√1+5x)(4+√1+5x)(√x+1+2)
√
√
(x−3)(4+ 1+5x)
4+√ 1+5x
√
= limx→3 (15−5x)(
= limx→3 −5(
= − 52
x+1+2)
x+1+2)
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Przykłady obliczania typowych granic - Typ 4
Ważną granicą, którą trzeba zapamiętać jest:
limt→0 sint t = limt→0 sint t = 1 W miejsce t może stać dowolne
wyrażenie, byle było zbieżne do zera.
sin 4x
Przykładowe zadanie: limx→0 sin
3x Najpierw do każdego sinusa
”dorzucamy” argument tego sinusa, a potem korygujemy
wszystko, by wartość wyrażenia się nie zmieniła:
4
4
. . . = limx→0 sin4x4x ⋅ sin3x3x ⋅ 4x
3x = 1 ⋅ 1 ⋅ 3 = 3
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Przykłady obliczania typowych granic - Typ 5
W sytuacji gdy mamy do czynienia z nieoznaczonością typu
1∞ , będziemy mieć do czynienia z liczbą e. Najczęściej należy
wówczas skorzystać z którejś z granic:
t
t
limt→±∞ (1 + 1t ) = e limt→±∞ (1 − 1t ) = e1
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Przykłady obliczania typowych granic - Typ 5
3x
x+3
) Wyrażenie w nawiasie dąży do
Na przykład: limx→∞ ( x+1
jedynki (dlaczego?), a wykładnik do nieskończoności. Stąd
wniosek, że zapewne gdzieś tu się czai e i trzeba przekształcić
naszą funkcję do postaci takiej jak w którejś z dwóch
powyższych podstawowych granic:
3x
2
)
. . . = limx→∞ (1 + x+1
= limx→∞ (1 +
1
x+1
2
3x
= limx→∞ (1 +
x+1 2
⋅
⋅3x
2 x+1
)
1
x+1 )
=
2
= limx→∞ [(1 +
1
x+1
2
6x
x+1
x+1
2
)
]
Wyrażenie w nawiasie kwadratowym dąży do e, natomiast
wykładnik do 6, dlatego ostatecznie ta granica jest równa e 6
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Przykłady obliczania typowych granic
Nieoznaczoność typu [ 10 ] jest nieco innego typu niż pozostałe.
W przypadku takiej nieoznaczoności należy policzyć granice
lewo- i prawostronną: jeśli istnieją, to równe są +∞ lub −∞.
Granica funkcji będzie istniała wyłącznie, jeśli granice
jednostronne będą istniały i będą równe.
Przykładowo, jeśli chcemy policzyć: limx→2 x1−x
2 −4 to z uwagi na
pojawiającą się nieoznaczoność [ 10 ] badamy granice
jednostronne:
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Przykłady obliczania typowych granic
1−x
−1
−1
limx→2− x1−x
2 −4 = limx→2− (x−2)(x+2) = [ (−0)⋅4 ] = [ −0 ] = +∞ Skoro
dążymy do dwójki z lewej strony, czyli po iksach mniejszych od
dwóch, to x − 2 < 0, czyli x − 2 dąży do zera, ale jest stale
ujemne. Ten fakt zapisuje się właśnie w powyższy sposób,
stawiając znak minus przed zerem. Analogicznie:
−1
1−x
−1
limx→2+ x1−x
2 −4 = limx→2+ (x−2)(x+2) = [ (+0)⋅4 ] = [ +0 ] = −∞ Skoro
granica lewo- i prawostronna są inne, to znaczy, że wyjściowa
granica nie istnieje. ◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Ciągłość funkcji
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 jeśli:
Istnieje wartość w tym punkcie, czyli f (x0 )
Istnieje granica w tym punkcie, czyli lim f (x)
x→x0
Granica jest równa wartości, czyli lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Ponadto, jeśli funkcja jest ciągła w każdym punkcie dziedziny,
wtedy mówimy że funkcja jest ciągła.
⎧
⎪
⎪ sin x dla x ≠ 0
Przykładowo funkcja: f (x) = ⎨ x
nie jest ciągła
⎪
3
dla
x
=
0
⎪
⎩
w zerze, bo co prawda ma tam wartość f (0) = 3 oraz granicę
sin x
lim f (x) = lim
= 1, ale granica nie jest równa wartości.
x→0
x→0 x
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Asymptoty funkcji
Granice funkcji są też przydatne do wyznaczania asymptot
funkcji, czyli takich prostych, do których wykres funkcji zbliża
się w nieskończoności (to znaczy gdy do nieskończoności dążą
wartości lub argumenty funkcji).
By znaleźć asymptoty funkcji, należy wyznaczyć najpierw
dziedzinę funkcji i zapisać ją jako sumę przedziałów, następnie
policzyć granice na wszystkich końcach tych przedziałów, a
następnie na tej podstawie rozpoznać asymptoty:
Jeśli w jakimś punkcie granica funkcji to nieskończoność,
czyli: lim± f (x) = ±∞ to funkcja ma w tym punkcie
x→a
asymptotę pionową x = a
Jeśli w którejś nieskończoności granica funkcji jest liczbą,
czyli: lim f (x) = a to funkcja ma w tym punkcie
x→±∞
asymptotę poziomą y = a
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Asymptoty funkcji
Jeśli funkcja nie ma w którejś nieskończoności asymptoty
poziomej, to można sprawdzić czy istnieją asymptoty
ukośne. Jeśli poniższa granica jest niezerową liczbą:
limx→±∞ f (x)
x = a ≠ 0 oraz istnieje granica:
b = limx→±∞ (f (x) − ax) to wówczas asymptotą ukośną
jest prosta y = ax + b
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Asymptoty funkcji
Prześledźmy to na przykładzie. Załóżmy, że chcemy znaleźć
2 +1
asymptoty funkcji: f (x) = xx−1
Oczywiście dziedziną funkcji
jest Df = (−∞, 1) ∪ (1, +∞). Policzmy więc granice na
wszystkich końcach przedziałów określoności:
x + x1
x2 + 1
x2 + 1
2
lim
=
−∞
lim
= lim
= [ ] = −∞
x→−∞ x − 1
x→−∞ 1 − 1
x→1− x − 1
−0
x
2
2
x + x1
x +1
2
x +1
lim
= [ ] = +∞
lim
= lim
= +∞
x→+∞ x − 1
x→+∞ 1 − 1
x→1+ x − 1
+0
x
Możemy stąd wywnioskować, że funkcja ma asymptotę
pionową x = 1, ale nie ma asymptot poziomych.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Asymptoty funkcji
Skoro nie ma asymptot poziomych, to sprawdźmy czy są
ukośne:
1 + x12
f (x)
x2 + 1
=1
lim
= lim 2
= lim
x→±∞ x
x→±∞ x − x
x→±∞ 1 − 1
x
oraz:
x +1
x2 + 1
b = lim (
− x) = lim
=1
x→±∞ x − 1
x→±∞ x − 1
skąd wniosek, że asymptotą ukośną jest y = x + 1 ◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Ćwiczenia
Oblicz granice:
x4 + x2 + 1
x2 + 1
a) lim
b)
lim
x→∞ x + 100x 3 + 2x 4
x→∞ x 3 + 2
x 6 + x 3 + 2x + 1
x 2 + 5x + 2
√
c) lim 3
d)
lim
x→−∞ x + x 2 + 5x + 3
x→−∞
4x 4 + 3x + 1 + x 2
Oblicz granice:
x 2 − 5x + 6
x3 − 8
a) lim
b)
lim
x→3
x→2 x 2 − 10x + 16
x2 − 9
x5 − 1
x 3 − 2x 2 + 1
c) lim 3
d)
lim
x→1 x − 4x 2 − 2x + 5
x→1 x 4 − 1
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Ćwiczenia
Oblicz granice:
√
√
2x + 7 − 3
x +3−2
a) lim 2
b) lim 2
x→1 √
x→1
x + 4x − 5
x√+ 4x − 5
3x + 7 − x − 1
2x + 8 + x
c) lim √
d) lim
x→3
x→−2
x2 − 4
x +1−2
Oblicz granice:
sin 2x
tg 3x
a) lim
b) lim
x→0 sin 3x
x→0 sin x
4
sin2 2x
c) lim ctg 5x ⋅ tg 2x d)* lim
x→0
x→0 cos2 3x − 4 cos 3x + 3
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Ćwiczenia
Oblicz granice:
4x − 1 x−1
x + 3 2x+1
)
b) lim (
)
a) lim (
x→−∞ 4x + 5
x→∞ x − 3
x
2x − 3 2x+1
x 2 + 3x
) d) lim (
)
c) lim ( 2
x→∞ 3x − 1
x→∞ x + x + 1
Znajdź asymptoty funkcji:
2
∣x∣
a) f (x) = x 2x−4
b) f (x) = √
x+3
2
c) f (x) = x +2x−3
d) f (x) = x 2 + 1 − x
x+4
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Ćwiczenia
a) Sprawdź czy następująca funkcja jest ciągła:
2
⎧
⎪
dla x ≠ 1
⎪ x +2x−3
f (x) = ⎨ x−1
⎪
⎪
⎩1 dla x = 1
b) Wyznacz wartości parametru a dla którego funkcja jest
ciągła w jedynce:
⎧
sin(x 2 −1)
⎪
⎪ x−1 dla x ≠ 1
f (x) = ⎨ 2
⎪a + a dla x = 1
⎪
⎩
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Granica funkcji