Laboratorium Mechaniki Płynów

Transkrypt

Politechnika Gdańska
Wydział Mechaniczny
Katedra EiAP
Zakład Mechaniki Płynów
Laboratorium Mechaniki Płynów
Praca zbiorowa pod redakcją Krzysztofa Tesch
Marzena Banaszek
Janusz Iwan
Andrzej Jakubek
Andrzej Ogonowski
Krzysztof Tesch
Kazimierz Żochowski
Wersja z 9 maja 2013
RECENZENT
??? ???
c Copyright by the authors
Gdańsk 2012
Utwór nie może być powielany i rozpowszechniany, w jakiejkolwiek formie
i w jakikolwiek sposób, bez pisemnej zgody wydawcy
ISBN ???–??–????–???–?
Spis treści
1. Wiadomości wstępne
1.1. Wiadomości podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Podstawy teorii błędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Podział błędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Błędy pojedynczych pomiarów . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Błędy wielokrotnych pomiarów . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3.1. Podstawowe informacje o zmiennych losowych
1.2.3.2. Wybrane rozkłady zmiennych losowych . . . .
1.2.3.3. Błąd jako zmienna losowa . . . . . . . . . . . .
1.2.3.4. Wielokrotne pomiary bezpośrednie . . . . . . .
1.2.3.5. Pomiary pośrednie . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3.6. Błędy instrumentalne . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3.7. Schemat postępowania . . . . . . . . . . . . .
1.3. Układ SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Regresja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Podstawowe informacje . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Sprowadzanie wybranych funkcji do postaci liniowej . .
1.5. Analiza wymiarowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Twierdzenie Buckinghama . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.1. Wzór Stokesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.2. Wiskozymetr Höpplera . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
8
9
11
11
12
15
16
19
19
20
22
22
22
24
25
25
25
26
26
26
27
2. Doświadczenie Reynoldsa
2.1. Cel ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Podstawowe informacje . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Liczba Reynoldsa . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Przepływy laminarne i turbulentne . . . . . .
2.2.3. Liczba Reynoldsa a równania Naviera-Stokesa
2.3. Doświadczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Opis stanowiska . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Przebieg eksperymentu . . . . . . . . . . . .
2.4. Opracowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Obliczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Pytania kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
28
28
28
29
30
30
30
30
31
31
32
32
33
Mariotte’a
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
35
35
35
35
37
3. Wyznaczanie współczynnika lepkości
3.1. Cel ćwiczenia . . . . . . . . . . . . .
3.2. Doświadczenie . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Opis stanowiska . . . . . . .
3.2.2. Przebieg eksperymentu . . .
za
. .
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
pomocą butli
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
Spis treści
3.3. Opracowanie wyników . . . . . . . .
3.3.1. Obliczenia . . . . . . . . . . .
3.3.1.1. Pojedyncze pomiary
3.3.1.2. Średnie . . . . . . .
3.3.1.3. Regresja liniowa . .
3.3.2. Sprawozdanie . . . . . . . . .
3.4. Pytania kontrolne . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
37
37
39
40
40
40
41
4. Wyznaczanie współczynnika lepkości za pomocą opadającej kulki
4.1. Cel ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Doświadczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Opis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Przebieg eksperymentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Opracowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Obliczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1.1. Wyznaczanie gęstości kulki i oleju . . . . . . . . . . .
4.3.1.2. Pomiary czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1.3. Wyznaczanie współczynnika lepkości . . . . . . . . . .
4.3.1.4. Wyznaczanie liczby Reynoldsa . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Pytania kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
43
43
43
45
45
45
45
46
47
48
48
49
50
5. Pomiar strat energii w rurociągu
5.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Przepływ cieczy w rurze prostoosiowej o stałej średnicy . . . . . . . .
5.2.1. Równanie Hagena-Poiseuille’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Przepływ burzliwy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Rozkład prędkości w rurach prostoosiowych o przekroju kołowym
5.3. Spadki ciśnień na odcinkach rurociągu. Straty miejscowe . . . . . . . .
5.3.1. Wartości wsp. strat dla typowych elementów rurociągów . . . .
5.4. Równanie zachowania energii (równanie Bernoulliego ze stratami) . . .
5.4.1. Współczynnik Coriolisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Linia piezometryczna. Linia spadku energii . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Opis ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1. Stanowisko pomiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2. Przebieg ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3. Opracowanie wyników pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
52
52
53
55
55
56
57
58
58
58
59
59
60
60
63
63
63
6. Pomiar rozkładu ciśnień na profilu kołowym
6.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Opis stanowiska pomiarowego i sposób przeprowadzenia pomiaru
6.3. Obliczenie oporu walca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Określenie współczynnika oporu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Tabela pomiarów i wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7. Pytania kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
64
64
67
70
70
70
71
71
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
Spis treści
7. Wypływ cieczy ze zbiornika przez mały
7.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Podstawy teoretyczne . . . . . . . . . .
7.2.1. Równanie Bernoulliego . . . . . .
7.2.2. Analiza założeń upraszczających
7.2.3. Wzór Torricellego . . . . . . . .
7.2.4. Współczynnik prędkości . . . . .
7.2.5. Współczynnik kontrakcji . . . . .
7.2.6. Współczynnik wypływu . . . . .
7.3. Opis ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Stanowisko pomiarowe . . . . . .
7.3.2. Przebieg ćwiczenia . . . . . . . .
7.4. Opracowanie wyników pomiarów . . . .
7.4.1. Sposób obliczeń . . . . . . . . . .
7.4.2. Błąd pomiaru . . . . . . . . . . .
7.4.3. Tabela pomiarów i wyników . . .
7.4.4. Sprawozdanie . . . . . . . . . . .
7.5. Pytania kontrolne . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
otwór
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
73
73
73
74
75
76
76
77
77
77
77
78
78
79
79
79
79
80
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
81
81
81
82
83
85
85
85
86
86
86
87
87
9. Wiskozymetr Höpplera
9.1. Cel ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Doświadczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1. Budowa wiskozymetru Höpplera . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2. Zależność na współczynnik lepkości . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3. Przebieg eksperymentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Opracowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1. Wyznaczanie gęstości w zależności od temperatury . . . . . . .
9.3.2. Wyznaczanie zależności współczynnika lepkości od temperatury
9.3.3. Przypadek kalibracji wiskozymetru . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.4. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
89
89
89
90
91
91
91
92
94
94
94
95
8. Pomiar natężenia przepływu w rurociągach
8.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Przepływomierze wirnikowe . . . . . . . . . .
8.2.1. Przepływomierz skrzydełkowy . . . . .
8.2.2. Przepływomierz śrubowy (turbinowy)
8.3. Przepływomierze pływakowe . . . . . . . . . .
8.4. Opis ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1. Stanowisko pomiarowe . . . . . . . . .
8.4.2. Przebieg ćwiczenia . . . . . . . . . . .
8.5. Opracowanie wyników pomiarów . . . . . . .
8.5.1. Sposób obliczeń . . . . . . . . . . . . .
8.5.2. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Pytania kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
Spis treści
10.Wiskozymetr Englera
10.1. Cel ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Doświadczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1. Budowa i zasada działania wiskozymetru Englera . . . . . .
10.2.2. Przebieg doświadczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Opracowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1. Czas referencyjny i bezwymiarowy . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2. Wyznaczanie gęstości cieczy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2.1. Pojedyncze pomiary w różnych temperaturach . .
10.3.2.2. Wielokrotne pomiary w tej samej temperaturze . .
10.3.3. Wyznaczanie współczynników lepkości . . . . . . . . . . . .
10.3.3.1. Pomiary w danej temperaturze . . . . . . . . . . .
10.3.3.2. Zależność współczynnika lepkości od temperatury
10.3.4. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4. Pytania kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
97
97
97
99
99
99
101
101
101
102
102
102
103
103
103
11.Analogia hydrogazodynamiczna
11.1. Cel ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2. Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2.1. Gazodynamika . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2.2. Płytka woda . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. Kształt obiektu o minimalnym oporze∗ . . . . . . . . . . . . .
11.3.1. Opór . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2. Funkcjonał i równanie Eulera . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3. Rozwiązanie przybliżone ze względu na funkcjonał . .
11.3.4. Rozwiązanie przybliżone ze względu na postać funkcji
11.4. Doświadczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1. Stanowisko pomiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.2. Przebieg eksperymentu . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5. Opracowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1. Obliczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1.1. Pomiary czasu . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1.2. Prędkość rozprzestrzeniania się zaburzeń . .
11.5.2. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6. Pytania kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
105
105
105
105
106
107
109
109
110
111
111
112
112
112
113
113
113
113
114
115
116
12.Czas opróżniania zbiornika
12.1. Cel ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2. Doświadczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1. Opis stanowiska . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2. Przebieg eksperymentu . . . . . . . . . . . . .
12.2.3. Czas opróżniania zbiornika . . . . . . . . . . .
12.2.3.1. Metoda oparta na prawie Poiseuille’a
12.2.3.2. Metoda oparta na wzorze Torricellego
12.2.3.3. Metoda empiryczna . . . . . . . . . .
12.3. Optymalny kształt zbiornika obrotowego∗ . . . . . . .
12.4. Opracowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1. Obliczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1.1. Błędy pomiarów . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
118
118
118
118
119
119
119
120
121
121
122
122
122
123
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
Spis treści
12.4.1.3. Metoda oparta na wzorze
12.4.1.4. Metoda empiryczna . . .
12.4.2. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . .
12.5. Pytania kontrolne . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Właściwości wody
Torricellego
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
123
125
125
125
126
128
Rozdział 1
Wiadomości wstępne
Krzysztof Tesch
1.1. Wiadomości podstawowe
Podstawą weryfikacji lub obalania praw i teorii fizycznych jest eksperyment.
Eksperymenty przeprowadza się w celu weryfikacji istniejących praw, bądź w
celu formułowania nowych. Eksperymentalne formułowanie praw może mieć
miejsce wtedy, gdy podejście teoretyczne jest zbyt skomplikowane lub niemożliwe.
Z eksperymentem związane są pomiary wielkości fizycznych. Niejednokrotnie
sposób pomiaru wielkości fizycznych podawany jest przy ich definiowaniu. Przez
wielkość fizyczną rozumie się każdą mierzalną własność zjawiska. Przez miarę
wielkości fizycznej rozumie się iloczyn liczby, będącej liczbową miarą wielkości
fizycznej, oraz jednostki miary tej wielkości.
Czynności prowadzące do ustalenia wartości liczbowej miary danej wielkości nazywane są pomiarami fizycznymi. Pomiary te wykonywane są zwykle za
pomocą przyrządów pomiarowych. Pomiary dzieli się na pomiary bezpośrednie
i pośrednie. Pomiary bezpośrednie wykonywane są za pomocą przyrządów pomiarowych. W przypadku pomiarów pośrednich wielkości y stosuje się zależności
funkcyjne od wielkości bezpośrednich xi w postaci np. y = f (x1 , . . . , xn ).
1.2. Podstawy teorii błędów
1.2.1. Podział błędów
Pomiary obarczone są zawsze błędami pomiarowymi, nawet przy poprawnym i starannym ich przeprowadzaniu. Pomiar bez podania błędu jest bezwartościowy. Różnicę pomiędzy wartością prawdziwą wielkości mierzonej x i wynikiem pomiaru x0 nazywa się bezwzględnym błędem pomiaru ∆x , co zapisuje się
jako
∆x := x − x0 .
(1.1)
Wzór (1.1) nie nadaje się do obliczania błędu bezwzględnego, gdyż wartość
prawdziwa x pozostaje nieznana. Wartość błędu bezwzględnego można szacować
różnymi metodami, które opisane są w kolejnych paragrafach.
9
Błąd względny δx definiowany jest jako stosunek błędu bezwzględnego do
wartości prawdziwej x. Ze względu na to, że wartość prawdziwa jest nieznana,
zastępuje się ją przez wynik pomiaru x0 , co zapisujemy jako
δx :=
∆x
∆x
≈
.
x
x0
(1.2)
Ze względu na charakter oddziaływań wpływających na błąd pomiaru, błędy
można podzielić na błędy przypadkowe, błędy systematyczne i błędy grube.
Błędy przypadkowe spowodowane są przypadkowym oddziaływaniem czynników zakłócających, których wpływ objawia się tym, że ich wartości są różne w
pomiarach przeprowadzanych w jednakowy sposób. Błędy przypadkowe mogą
być kontrolowane poprzez wielokrotne przeprowadzanie tych samych pomiarów
i uśrednianie wyników. Błędy systematyczne spowodowane są systematycznymi
oddziaływaniami czynników, które mają wpływ na pomiary. Wpływ taki objawia się tym, że błąd systematyczny jest stały przy pomiarach przeprowadzanych
w jednakowy sposób (w przeciwieństwie do błędów przypadkowych). Inną cechą błędu systematycznego jest to, że zmienia się on w określony sposób wraz
ze zmianą warunków pomiaru. Błędy grube są to błędy, które powstają przy
odczycie, zapisie pomiaru lub przy jego wykonywaniu na skutek np. pomylenia
jednostek.
f
f (x0 )
∆f
df
f (x0 +∆x)
x
x0
x0 +∆x
Rys. 1.1. Różniczka i przyrost
1.2.2. Błędy pojedynczych pomiarów
Załóżmy, że funkcja f , która opisuje pomiar pośredni, jest funkcją analityczną w pewnym otoczeniu punktu x0 (pomiaru). Przy tym założeniu funkcja
f jest rozwijalna w szereg Taylora1) wokół x0 , co zapisujemy
f (x) =
∞
X
dn f (x0 )
.
n!
n=0
(1.3)
Przez x (wartość prawdziwa) oznaczono tutaj x = x0 + ∆x. Wzór (1.3) słuszny
jest dla funkcji wielu zmiennych, gdzie x = (x1 , x2 , . . . , xm ). W przypadku funkcji jednej zmiennej niezależnej x mamy następujący wzór przybliżony z dokładnością do pierwszej różniczki f (x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ). Przyjmując następującą
definicję przyrostu funkcji ∆f := f (x) − f (x0 ), zapisuje się również ∆f ≈ df .
1)
Brook Taylor (1685-1731) – angielski matematyk
10
Rozdział 1. Wiadomości wstępne
Powyższy wzór przybliżony jest tym dokładniejszy, im mniejszy przyrost zmiennej niezależnej ∆x. Ilustracja graficzna, dla przypadku funkcji jednej zmiennej,
pokazana jest na rysunku 1.1.
Szereg Taylora (1.3) jest podstawą do wyznaczania zależności na błędy bezwzględne pojedynczych pomiarów, które mają cechę błędów systematycznych.
Dla funkcji m zmiennych, z dokładnością do pierwszej różniczki, mamy
f (x) − f (x0 ) ≈
lub prościej
∆f ≈
m
X
∂f (x0 )
i=1
∂xi
m
X
∂f (x0 )
i=1
∂xi
(xi − x0 )
∆xi .
(1.4)
(1.5)
Jeżeli błędy ∆xi bezwzględne pomiarów xi szacujemy za pomocą odpowiednich
przyrostów ∆xi w następujący sposób |∆xi | ¬ |∆xi |, to wzór (1.5) umożliwia
następujące szacowanie błędu bezwzględnego ∆f
m X
∂f (x0 )
|∆f | ¬
(1.6)
∂xi ∆xi .
i=1
Wykorzystano tu następującą własność |a + b| ¬ |a| + |b|. Relacja (1.6) podaje oszacowanie maksymalnego błędu bezwzględnego ∆f pomiaru pośredniego,
który popełniamy zastępując nieznaną wartość dokładną f w nieznanym dokładnie punkcie x0 + ∆x przez znaną wielkość mierzoną f w znanym punkcie
x0 . Jeżeli nierówność (1.6) zastąpimy równością, to mamy wzór na maksymalny
błąd bezwzględny. Zamiast relacji (1.6) stosuje się czasami następującą relację
v
um uX ∂f (x0 ) 2
t
(1.7)
∆2xi ,
|∆f | ¬
∂x
i
i=1
aby uniknąć przeszacowania błędu maksymalnego.
Jako przykład rozważmy problem pomiaru pośredniego wartości przyspieszenia ziemskiego g ze wzoru na okres drgań wahadła T o długości L, które
wyraża się znanym wzorem
s
L
T = 2π
.
(1.8)
g
Znane są błędy bezwzględne bezpośredniego pomiaru długości ∆L i okresu
∆T . Z powyższego wzoru można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie jako g =
4π 2 LT −2 . Zatem błąd bezwzględny pomiaru przyspieszenia g zależy od błędów pomiaru okresu T i długości L, co zapisujemy ∆g ≈ dg(T, L). Posługując
się relacją (1.6) można maksymalny błąd bezwzględny pomiaru przyspieszenia
ziemskiego szacować jako
∂g(T, L)
∂g(T, L)
(1.9)
∆T + ∆L .
∆g = ∂T
∂L
Obliczając odpowiednie pochodne, otrzymujemy po uproszczeniach następującą
zależność na błąd bezwzględny ∆g pomiaru przyspieszenia g
∆g =
8π 2 L
4π 2
|∆
|
+
|∆L |.
T
T3
T2
(1.10)
11
Błąd względny δg , na podstawie definicji (1.2), otrzymujemy, dzieląc powyższy
wzór obustronnie przez g
|∆T | |∆L |
∆g
=2
+
g
T
L
(1.11)
lub po prostu δg = 2 δT +δL . Jeżeli wzór na błąd względny ma prostszą postać niż
wzór określający błąd bezwzględny, to wygodniej najpierw liczyć błąd względny
i dopiero na jego podstawie błąd bezwzględny z zależności ∆g = g δg .
1.2.3. Błędy wielokrotnych pomiarów
Do analizy błędów przy wielokrotnych pomiarach stosuje się metody statystyczne, gdzie błąd traktowany jest jako zmienna losowa. Takie podejście oznacza, że metodami statystycznymi szacuje się błędy przypadkowe, a nie błędy
systematyczne. Przypadkowe oddziaływanie czynników zakłócających kompensowane jest poprzez wielokrotne wykonywanie pomiarów.
1.2.3.1. Podstawowe informacje o zmiennych losowych
Funkcję X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω o wartościach
rzeczywistych X : Ω → R oraz taką, że zbiór {ω ∈ Ω : X(ω) < x} jest
zdarzeniem (podzbiorem) Ω, czyli ∀x∈R {ω ∈ Ω : X(ω) < x} ⊆ Ω nazywamy
zmienną losową. Wartość zmiennej losowej dla konkretnego zdarzenia elementarnego nazywa się zazwyczaj jej realizacją. Zbiór wartości (realizacji) przyjmowanych przez zmienną losową X, tzn. zbiór X(Ω) := {X(ω) : ω ∈ Ω} nazywamy
zbiorem wartości zmiennej X.
Skoro zbiór {ω ∈ Ω : X(ω) < x} jest zdarzeniem, to możemy obliczyć prawdopodobieństwo tego zdarzenia P ({ω ∈ Ω : X(ω) < x}) albo w zapisie skróconym P(X < x).
Funkcję F : R → [0; 1] określoną wzorem F (x) := P(X < x) nazywamy
dystrybuantą zmiennej losowej X. Funkcja F jest dystrybuantą pewnej zmiennej
losowej wtedy i tylko wtedy, gdy: a) F jest niemalejąca, czyli ∀x<y∈R F (x) ¬
F (y), b) limx→−∞ F (x) = 0, limx→+∞ F (x) = 1, c) F jest lewostronnie ciągła,
czyli limx→x− F (x) = F (x0 ), albo w skrócie F (x− ) = F (x0 ).
0
Obliczanie prawdopodobieństwa z dystrybuanty: P(a ¬ X < b) = F (b) −
F (a), P(X = x) = F (x+ ) − F (x− ). Jeżeli x jest punktem ciągłości F , to
F (x− ) = F (x+ ) = F (x), więc P(X = x) = 0.
Pośród zmiennych losowych można ze względu na postać dystrybuanty wyróżnić dwa typy:
12
Zmienne losowe typu skokowego
(dyskretne), których dystrybuanta
jest przedziałami stała, a ponadto
ma skoki tylko w punktach xi . Dystrybuanta
X
F (x) =
pi ,
−∞<xi <x
gdzie pi := P(X
P = xi ). Warunek
unormowania
i pi = 1. Funkcja
prawdopodobieństwa (histogram):
xi x1 x2 . . .
pi p1 p2 . . .
Obliczanie prawdopodobieństwa z
funkcji prawdopodobieństwa:
X
P(a < X < b) =
pi .
Zmienne losowe typu ciągłego, których dystrybuantę F można przedstawić w postaci
wx
F (x) =
f (x) dx.
−∞
Wykresem dystrybuanty jest linia
ciągła. Funkcja f jest gęstością
zmiennej losowej. Zachodzi również
zależność między dystrybuantą a gęstością f (x) = F ′ (x). Funkcja f
jest gęstością zmiennej losowej (typu
ciągłego) wtedy i tylko wtedy, gdy
r +∞
a) f (x) 0, b) −∞ f (x) dx = 1
(warunek unormowania).
Obliczanie prawdopodobieństwa z
gęstości:
P(a < X < b) =
a<xi <b
wb
a
f (x) dx.
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej (lub rozkładu prawdopodobieństwa):
1. Wartość przeciętna (oczekiwana) E X, µ:
EX =
P
i
xi pi
EX =
r +∞
−∞
x f (x) dx
2. Wariancja D2 X, V X, σx2 , σ 2 : D2 X = E(X − α1 )2
D2 X =
P
i
(xi − α1 )2 pi
D2 X =
r +∞
−∞
(x − α1 )2 f (x) dx
3. Odchylenie standardowe (średnie) D X, σx , σ: D X =
√
D2 X.
4. Kwantyl rzędu p, gdzie p ∈]0; 1[. Jest to każda liczba xp spełniająca
+
F (x−
p ) ¬ p ¬ F (xp )
F (xp ) = p
Wyróżnia się trzy kwantyle x0.25 , x0.5 , x0.75 , które zwane są kwartylami.
Ponadto kwantyl x0.5 (kwartyl środkowy) zwany jest medianą.
1.2.3.2. Wybrane rozkłady zmiennych losowych
Dyskretny rozkład równomierny. Dyskretny rozkład równomierny dany
jest tabelą 1.1.
Oczywiście
według danych z tabeli 1.1 spełniony jest warunekPunormowaP
n
1
nia
p
=
n
i=1 xi pi =
i i
n = 1. Wartość oczekiwana E X wynosi E X =
13
0
1
2
3
4
5
-1
6
1.
0
1
2
3
4
5
1.
1.
1.
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.
0.
0.2
æ
æ
æ
æ
æ
1
2
3
4
5
0.
0
FH x L
0.8
pi
0.8
6
0.
-1
0
1
2
xi
3
4
5
x
Rys. 1.2. Funkcja prawdopodobieństwa
dyskretnego rozkładu równomiernego
dla n = 5
Rys. 1.3. Dystrybuanta F dyskretnego
rozkładu równomiernego dla n = 5
Tabela 1.1. Dyskretny rozkład równomierny
xi
pi
P
x1
1
n
...
...
xn
1
n
xi =: µ i jest po prostu średnią arytmetyczną. Wariancję D2 X znajPn
Pn
2
1
2
dujemy w następujący sposób D2 X =
i=1 (xi − µ) pi = n
i=1 (xi − µ) .
Rozkład funkcji prawdopodobieństwa dyskretnego rozkładu równomiernego
porx
kazany jest na wykresie 1.2, a dystrybuanta, według wzoru F (x) = −∞ f (x) dx,
na rysunku 1.3.
i
-6
-4
-2
0
2
4
6
0.6
a = - b =1
a =-b =2
a =-b =3
f H xL
0.45
-6
2
4
6
0.8
0.6
0.
0
4
0.6
0.15
-2
2
0.8
0.15
-4
0
0.45
0.3
-6
-2
1.
0.3
0.
-4
0.6
6
x
Rys. 1.4. Gęstości prawdopodobieństwa
f ciągłego rozkładu równomiernego
FH x L
1
n
1.
0.4
0.4
a = - b =1
a =-b =2
a =-b =3
0.2
0.2
0.
0.
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
Rys. 1.5. Dystrybuanta F ciągłego
rozkładu równomiernego
Ciągły rozkład równomierny. Zmienna losowa ma ciągły rozkład równomierny, jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa f dana jest wzorem
(
1
, a ¬ x ¬ b;
f (x) := b−a
(1.12)
0,
poza tym.
Rozkład taki znany jest również pod nazwą rozkładu prostokątnego lub skoncentrowanego na przedziale [a, b]. Dystrybuanta takiego rozkładu dana jest wzorem


x < a;
0,
x−a
F (x) := b−a , a ¬ x ¬ b;
(1.13)


1,
x > b.
14
Wykres gęstości prawdopodobieństwa ciągłego rozkładu równomiernego dla różnych a i b pokazany jest na wykresie 1.4, a dystrybuanta na wykresie 1.5.
Ciągły rozkład równomierny spełnia oczywiście warunek unormowania
w +∞
w b dx
= 1.
(1.14)
f (x) dx =
−∞
a b−a
Wartość oczekiwana wynosi
w +∞
wb
EX =
x f (x) dx =
−∞
a
x
a+b
dx =
=: µ.
b−a
2
(1.15)
Wariancję wyliczamy ze wzoru
w +∞
w b (x − µ)2
1
2
dx =
(b − a) .
D2 X =
(x − µ)2 f (x) dx =
−∞
a
b−a
12
-4
-2
0
2
4
6
Σ = 0.75
Σ =1
Σ =2
f H xL
0.45
-6
2
4
6
0.8
0.6
0.
0
4
0.6
0.15
-2
2
0.45
0.15
-4
0
0.8
0.3
-6
-2
1.
0.3
0.
-4
0.6
6
FH x L
-6
0.6
(1.16)
1.
0.4
0.2
0.
0.
-6
-4
-2
x
f rozkładu normalnego (µ = 0)
0.4
Σ = 0.75
Σ =1
Σ =2
0.2
0
2
4
6
x
Rys. 1.7. Dystrybuanta F rozkładu
normalnego (µ = 0)
Rozkład Gaussa. Rozkład Gaussa2) zwany jest inaczej rozkładem normalnym. Zmienna losowa ma rozkład normalny, jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa f dana jest wzorem
x2
1
f (x) := √ e− 2 .
(1.17)
2π
Dystrybuanta rozkłada Gaussa dana jest zależnością
wx
1 w x − x2
(1.18)
F (x) :=
e 2 dx.
f (x) dx = √
−∞
2π −∞
Wykres gęstości dla różnych odchyleń standardowych σ pokazany jest na wykresie 1.6, a dystrybuanta na wykresie 1.7.
p
r +∞ x2
Wiedząc, że 0 e− 2 dx = π/2, można wykazać, że spełniony jest warunek unormowania
r w
w +∞
2 +∞ −x2
(1.19)
e 2 dx = 1.
f (x) dx =
−∞
π 0
Wartość oczekiwana E X może być znaleziona poprzez całkowanie przez części
w +∞
1 w +∞ − x2
x e 2 dx = 0 =: µ.
(1.20)
EX =
x f (x) dx = √
−∞
2π −∞
2)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) – niemiecki matematyk i fizyk
15
Podobnie jest z wariancją
w +∞
1 w +∞ 2 − x2
x e 2 dx = 1.
D2 X =
(x − µ)2 f (x) dx = √
−∞
2π −∞
(1.21)
Z powyższego wynika, że rozkład normalny dany gęstością (1.17) ma odchylenie
standardowe σ = 1. Dla rozkładu normalnego, który nie ma wartości oczekiwanej µ równej zero i daną wartość odchylenia standardowego σ, mamy następującą
gęstość rozkładu prawdopodobieństwa
(x−µ)2
1
e− 2σ2 .
f (x) := √
2πσ
(1.22)
Rozkład Studenta. Zmienna losowa ma rozkład Studenta3) z n stopniami
swobody, jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa f dana jest wzorem
− n+1
2
Γ n+1
x2
2
,
1+
f (x, n) := √
n
n
nπ Γ 2
(1.23)
gdzie Γ jest gammą Eulera4) . Przykładowe wykresy f dla różnych n pokazane
są na wykresie 1.8. Dystrybuanta F rozkładu Studenta, określona zależnością
wx
F (x, n) =
f (x, n) dx,
(1.24)
−∞
pokazana jest na wykresie 1.9 dla różnych n. Przy n → ∞ rozkład Studenta
dąży do unormowanego rozkładu normalnego (µ = 0, σ = 1).
-4
-2
0
2
4
6
n =1
n =2
n =10
f H xL
0.3
0.2
-6
0.6
0.
6
1.
0.4
0.2
4
6
0.8
0.
2
4
0.6
0.
0
2
0.8
0.1
-2
0
0.3
0.1
-4
-2
1.
0.2
-6
-4
0.4
FH x L
-6
0.4
0.2
0.
-6
-4
-2
x
f rozkładu Studenta
0.4
n =1
n =2
n =10
0
2
4
6
x
Studenta
Kwantyle t rozkładu Studenta są, według zależności F (t) = p, funkcją dwóch
zmiennych. Ich liczbowa wartość, dla n stopni swobody i przedziału ufności
p, oznaczana jest jako t(p, n). Przykładowe wykresy kwantyli t dla różnych p
pokazane są na wykresie 1.10. Stablicowane wartości t podaje tabela 1.2.
1.2.3.3. Błąd jako zmienna losowa
Pomiar traktowany jest jako zmienna losowa X, której wartość oczekiwana
równa jest wartości prawdziwej. Wprowadzając kolejną zmienną losową ∆X,
3)
4)
William Sealy Gosset (1876-1937) – angielski statystyk
Leonhard Euler (1707-1783) – szwajcarski matematyk i fizyk
16
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21
10
10
p = 0.90
p = 0.95
p = 0.99
tHp ,n L
8
6
8
6
4
4
2
2
0
0
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21
n
Rys. 1.10. Kwantyle t rozkładu Studenta
według wzoru ∆X := X − E X, traktujemy błąd również jako zmienną losową
o wartości oczekiwanej równej zero E(∆X) = 0. Zmienna losowa ∆X jest więc
zmienną centrowaną. W typowych zagadnieniach rozkład błędów traktuje się
jako rozkład normalny, który dany jest gęstością (1.22)
f (∆x) := √
(∆x)2
1
e− 2σ2 .
2πσ
(1.25)
Jak wcześniej zostało zauważone, wartość oczekiwana takiego rozkładu jest zerowa. Wariancja ma natomiast postać D2 (∆X) = σ 2 . Ze względu na wzór
∆X := X − E X widać, że zarówno pomiar jak i jego błąd opisywane są takimi samymi zmiennymi losowymi. Jedyną różnicą jest wartość oczekiwana.
Tabela 1.2. Kwantyle t(p, n) rozkładu Studenta
n\p
0.90
0.95
0.99
n\p
0.90
0.95
0.99
1
3.07768
6.31375
31.8205
11
1.36343
1.79588
2.71808
2
1.88562
2.91999
6.96456
12
1.35622
1.78229
2.68100
3
1.63774
2.35336
4.54070
13
1.35017
1.77093
2.65031
4
1.53321
2.13185
3.74695
14
1.34503
1.76131
2.62449
5
1.47588
2.01505
3.36493
15
1.34061
1.75305
2.60248
6
1.43976
1.94318
3.14267
16
1.33676
1.74588
2.58349
7
1.41492
1.89458
2.99795
17
1.33338
1.73961
2.56693
8
1.39682
1.85955
2.89646
18
1.33039
1.73406
2.55238
9
1.38303
1.83311
2.82144
19
1.32773
1.72913
2.53948
10
1.37218
1.81246
2.76377
20
1.32534
1.72472
2.52798
1.2.3.4. Wielokrotne pomiary bezpośrednie
Parametry rozkładu zmiennej losowej ∆X lub X szacowane są metodami statystyki matematycznej. Seria pomiarów, która przeprowadzana jest celem kompensacji oddziaływania czynników zakłócających, traktowana jest jako próba
w sensie statystycznym. Próba taka jest siłą rzeczy skończona i brana jest ze
zbioru wszystkich możliwych wyników pomiarów lub błędów.
Do estymacji wartości oczekiwanej zmiennej losowej X, którą odpowiada
17
wartości prawdziwej, służy wartość oczekiwana dyskretnego rozkładu równomiernego
n
1X
xi .
(1.26)
x̄ =
n i=1
Jest to po prostu średnia arytmetyczna. Estymowana wartość oczekiwana x̄
dąży do wartości oczekiwanej, jeżeli rozmiar próby (serii pomiarowej) n dąży do
nieskończoności.
Błędy poszczególnych pomiarów ∆xi liczy się w względem średniej arytmetycznej x̄
∆xi = xi − x̄.
(1.27)
Do estymacji wariancji służy wariancja dyskretnego rozkładu równomiernego
w postaci
n
1X
2
2
σx =
(∆xi ) .
(1.28)
n i=1
Podobnie jak w przypadku estymacji wartości oczekiwanej i w tym przypadku,
gdy rozmiar serii pomiarowej dąży do nieskończoności, to estymowana wariancja
dąży do wariancji.
Odchylenie standardowe σx poprzez estymowaną wariancję σx2 jest traktowana jako błąd średniokwadratowy pojedynczego pomiaru
p
(1.29)
σx = σx2 .
Błąd średniokwadratowy charakteryzuje dokładność pomiarów. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ∆X o rozkładzie normalnym, danym gęstością
(1.25), przyjmie wartości z przedziału [−σx , σx ] wynosi P(−σx ¬ ∆X ¬ σx ) =
0.682. Natomiast rozważają trzykrotnie szerszy przedział [−3σx , 3σx ], mamy
P(−3σx ¬ ∆X ¬ 3σx ) = 0.997. Interpretacja geometryczna błędu średniokwadratowego jest taka, że na osi ∆x lub x punkty ±σx lub µ ± σx znajdują się w
punktach przegięcia krzywej Gaussa.
f definiowany jest w nastęBłąd prawdopodobny pojedynczego pomiaru ∆x
pujący sposób
f
∆
wx
fx
−∆
f < ∆X < ∆x
f = 1.
f (∆x) ≡ P −∆x
2
(1.30)
f = 0.674σx . Interpretacja geometryczna poZachodzi następująca równość ∆x
f ∆x]
f
wyższej zależności jest taka, że pole pod krzywą Gaussa w przedziale [−∆x,
równa się połowie całego pola na przedziale ]−∞, ∞[. Innymi słowy w przedziale
f ∆x]
f zawarta jest połowa popełnianych błędów.
[−∆x,
Błąd przeciętny pojedynczego pomiaru h∆xi definiowany jest jako
n
1X
|∆xi |.
h∆xi =
n i=1
(1.31)
Mamy h∆xi ≈ 0.798σx . Interpretacja geometryczna błędu przeciętnego jest
taka, że błąd ten odpowiada położeniu środka ciężkości połowy pola pod krzywą
f < h∆xi < σx .
Gaussa. Zachodzą oczywiście następujące relacje ∆x
18
Dyskutowane powyżej błędy dotyczą pojedynczych pomiarów. Do określenia
błędu średniej potrzebne są kolejne definicje. Ze względu na losowość błędów, dla
każdej kolejnej serii pomiarowej otrzymalibyśmy inne średnie. Wynika z tego,
że średnia X̄ jest również zmienną losową o rozkładzie normalnym
X̄ =
X1 + . . . + Xn
.
n
(1.32)
Korzystając z następujących własności wartości oczekiwanej E(aX + bY ) =
a E X + b E Y i wariancij D2 (aX + bY ) = a2 D2 X + b2 D2 Y , można pokazać, że
wartość oczekiwana zmiennej X jest identyczna jak zmiennej losowej X̄
1
1
(E X1 + . . . + E Xn ) = (µ + . . . + µ) = µ.
n
n
µ̄ = E X̄ =
(1.33)
Dla wariancji σ̄x zmiennej X̄ otrzymujemy
σ̄x2 =
1
σx2
1 2
2
2
2
(σ
+
.
.
.
+
σ
)
=
.
D
X
+
.
.
.
+
D
X
=
1
n
x
x
n2
n2
n
(1.34)
Wynika stąd
√ odchylenie standardowe σ̄x zmiennej losowej X̄, które równa się
σ̄x = σx / n. Zatem rozkład normalny zmiennej X̄ różni się od X mniejszą
wariancją. Wykresy gęstości prawdopodobieństwa zmiennych X i X̄ pokazane
są na wykresie 1.11, a dystrybuanty na wykresie 1.12. Z rozkładem X̄ związane
jest centralne twierdzenie graniczne, które mówi, że dla dużej liczebności próby n
rozkład średniej X̄ jest w przybliżeniu
równy rozkładowi normalnemu o wartości
√
oczekiwanej µ i wariancji σx / n.
-6
-4
-2
0
2
4
6
Σ
0.8
f H xL , f H x L
-6
1.
Σ
0.8
n
0.6
Σ=
0.6
-4
-2
0
2
4
1.
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
Σ
0.2
0.2
0.2
Σ=
0.
0.
0.
-6
-4
-2
0
2
4
6
6
1.
FH x L , FH x L
1.
0.4
Σ
0.2
n
0.
-6
-4
-2
0
2
4
6
x,x
x,x
f rozkładu normalnego
normalnego
Błąd średniokwadratowy średniej σ̄x definiowany jest na podstawie zależności (1.34) i analogicznie do definicji błędu średniokwadratowego pojedynczych
pomiarów (1.29)
σx
σ̄x = √ .
(1.35)
n
Błąd rozszerzony ∆x definiowany jest na podstawie błędu średniokwadratowego średniej (1.35) poprzez tzw. współczynnik rozszerzenia w postaci t(p, n)
σx
∆x = √ t(p, n),
n
(1.36)
gdzie współczynnik rozszerzenia t(p, n) jest kwantylem rozkładu Studenta (1.23)
rzędu p (przedział ufności) przy n stopniach swobody (pomiarach). Wartości
19
t(p, n) odczytywane są z tabeli 1.2. Zwykle przyjmuje się przedział ufności p
na poziomie 95%, czyli p = 0.95. Współczynnik rozszerzenia uwzględnia skończoność serii pomiarowej n. Jego wartość rośnie dla krótkich serii n i wysokich
przedziałów ufności p, co oznacza że powiększamy błąd pomiarowy. Dla długich
serii i niskich przedziałów ufności wartość współczynnika zbliża się do jedności,
co oznacza, że nie ma on większego wpływu na błąd.
f definiuje się analogicznie do błędu prawBłąd prawdopodobny średniej ∆x̄
dopodobnego pojedynczych pomiarów (1.30)
f
∆x
f =√
∆x̄
.
n
(1.37)
Błąd przeciętny średniej h∆x̄i jest uogólnieniem definicji błędu przeciętnego
pojedynczych pomiarów (1.31)
h∆xi
h∆x̄i = √ .
n
(1.38)
1.2.3.5. Pomiary pośrednie
W przypadku pomiaru pośredniego wielkość mierzoną y wyznaczamy z zależności funkcyjnej f od pomiarów bezpośrednich xi w postaci y = f (x1 , . . . , xm ).
Analogicznie wyznacza się wielkość średnią ȳ pomiaru pośredniego z zależności funkcyjnej f , która zależy od średnich pomiarów bezpośrednich x̄i w postaci
ȳ = f (x̄1 , . . . , x̄m ). Odchylenie standardowe średniej wielkości mierzonej pośrednio estymuje się za pomocą wzoru analogicznego do (1.7)
v
um uX ∂f 2
σ̄y = t
(1.39)
σ̄x2i .
∂ x̄i
i=1
Wynika on z prawa przenoszenia odchyleń standardowych dla przypadku braku
korelacji zmiennych x̄i . Za pomocą odchylenia standardowego średniej wielkości
mierzonej pośrednio (1.39) definiuje się również błąd rozszerzony ∆ȳ w postaci
∆ȳ = σ̄y k, gdzie k jest współczynnikiem rozszerzenia. Właściwy dobór współczynnika k jest zadaniem trudnym. Jedną z metod, o charakterze przybliżonym,
jest przyjmowanie stałej jego wartości. Przykładowo dla wymaganego przedziału
ufności p = 0.95 przyjmuje się k = 2, o ile zmienne losowe pomiarów bezpośrednich mają rozkłady normalne. We wzorze (1.39) zamiast σ̄xi można stosować
również błąd rozszerzony ∆x lub błąd przeciętny średniej h∆x̄i.
1.2.3.6. Błędy instrumentalne
Zakłada się, że błędy instrumentów pomiarowych (np. suwmiarki) opisane są
ciągłym rozkładem równomiernym, którego gęstość w ogólnym przypadku określona jest wzorem (1.12) i pokazana jest na wykresie 1.4. Niech błąd graniczny
instrumentu oznaczony będzie przez ∆. Gęstość ciągłego rozkładu równomiernego o wartości oczekiwanej µ = 0 jest niezerowa na przedziale [−∆, ∆], co
zapisujemy
(
1
, −∆ ¬ x ¬ ∆;
(1.40)
f (x) := 2∆
0,
poza tym.
20
1
Odchylenie standardowe takiego rozkładu wyniesie σ = 3− 2 ∆ i jest estymatą
błędu instrumentu. Wprowadza się pojęcie błędu rozszerzonego w postaci σ k,
gdzie k jest współczynnikiem rozszerzenia. Wartość tego współczynnika można
przyjmować na podstawie unormowanego ciągłego rozkładu równomiernego,
czyli takiego, dla którego µ = 0 i σ = 1. Aby w rozkładzie
(1.40) odchylenie
√
standardowe σ było jednostkowe musi zachodzić ∆ = 3. Gęstość unormowanego ciągłego rozkładu równomiernego ma wtedy postać
(
√
√
1
√
,
−
3
¬
x
¬
3;
(1.41)
f (x) := 2 3
0,
poza tym.
Dla powyższego rozkładu najmniej korzystnym przypadkiem
√ jest ten, kiedy błąd
jest największy, czyli znajduje się na końcu przedziału ± 3. Dla takiego przypadku mamy k = 3, a więc błąd rozszerzony równa się σ k = ∆ i jest po prostu
błędem granicznym instrumentu.
1.2.3.7. Schemat postępowania
W przypadku pojedynczych pomiarów bezpośrednich, wielkość mierzoną
(wskazanie przyrządu pomiarowego) podajemy z błędem przyrządu. Gdy mamy
do czynienia z pojedynczym pomiarem pośrednim, to błąd pomiaru wielkości
pośredniej wyznaczamy za pomocą różniczki zupełnej wzorami (1.6) lub (1.7).
W przypadku pomiarów bezpośrednich wartość prawdziwą estymuje się średnią arytmetyczną (1.26). Określenie błędu średniej zależy od rozmiaru serii pomiarowej n. Dla niewielkich serii (n < 10) błąd oblicza się jako błąd przeciętny
(1.31) lub jako maksymalny błąd ∆xi,max pojedynczych pomiarów (1.27) według ∆xi,max = sup({∆xi }ni=1 ). Gdy n > 10 najpierw oblicza się błąd średniokwadratowy pojedynczego pomiaru σx według (1.28) i (1.29). Ponieważ z prawdopodobieństwem 99.7% wiadomo, że błąd znajduje się w przedziale [−3σx , 3σx ],
więc wszystkie pomiary o błędach spoza tego przedziału odrzuca się i wylicza
średnią ponownie. Błąd wyznaczenia średniej estymuje się błędem średniokwadratowym średniej σ̄x według (1.35) lub raczej błędem rozszerzonym ∆x według
(1.36).
Błędy pośrednich pomiarów wielkości f zależnych od pojedynczych pomiarów bezpośrednich obliczamy ze wzoru (1.6) lub (1.7). Dla pomiarów pośrednich
ȳ, zależnych od wielokrotnych pomiarów bezpośrednich x̄i , błąd wielkości złożonej liczymy ze wzoru (1.39) lub analogicznego do (1.7). We wzorze (1.39)
zamiast σ̄xi stosuje się również błędy rozszerzone i przeciętne średniej.
Jeżeli pomiar pośredni f zależy zarówno od pojedynczych pomiarów i serii pomiarów bezpośrednich, to posługujemy się zależnością (1.6) lub (1.7). Za
błędy ∆xi wstawiamy odpowiednio błędy przyrządu (pojedyncze pomiary) lub
błędy rozszerzone, średniokwadratowe średniej, przeciętne średniej (serie pomiarowe). Przypadek ten dotyczy sytuacji, gdy błędy systematyczne dominują nad
przypadkowymi.
Jako przykład rozważmy pomiary objętości i pola powierzchni kulki. Seria
danych pomiarowych średnic Di , mierzonych suwmiarką z błędem bezwzględnym ∆ = 0.05 mm, podana jest w tabeli 1.3. Mamy do czynienia z pomiarami
pośrednimi objętości i pola powierzchni zależnymi od wielokrotnych pomiarów
bezpośrednich średnicy (n = 33).
Do obliczenia średniej średnicy D̄, czyli estymaty wartości oczekiwanej µ,
wykorzystujemy wzór na średnią arytmetyczną (1.26). Otrzymujemy µ = D̄ =
21
31.52 mm. Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru σD , według (1.29),
wskazuje na błędy pojedynczych pomiarów. Otrzymujemy σD = 0.18 mm. Z
tabeli 1.3 odczytujemy najmniejszą Dmin = inf({Di }33
i=1 ) i największą średnicę
Dmax = sup({Di }33
)
w
postaci
D
=
31.10
mm,
Dmax = 31.80 mm. Przemin
i=1
dział o promieniu 3σD = 0.53 mm ma postać [µ−3σD , µ+3σD ] = [30.99, 32.06].
Na podstawie Dmin i Dmax widać, że wszystkie pomiary Di się w nim mieszczą i nie ma konieczności odrzucania niektórych z nich. Błąd pomiaru średniej
estymujemy błędem średniokwadratowym (1.35), co daje σ̄D = 0.031 mm ≈
0.04 mm. Ze względu na długość serii n = 33 nie obliczamy w tym przypadku
błędu rozszerzonego ∆x według (1.36), który dla przedziału ufności pomiędzy
90 a 95% wyniósłby ∆x ≈ 0.05 mm. Za wynik pomiaru średnicy przyjmujemy
ostatecznie D = 31.52 ± 0.04 mm. Wykres zrekonstruowanego histogramu dla
pomiarów z tabeli 1.3 pokazany jest na wykresie 1.13.
Tabela 1.3. Przykładowe pomiary
i
Di [mm]
1
31.20
12
31.50
23
31.70
2
31.50
13
31.65
24
31.70
3
31.50
14
31.60
25
31.70
4
31.50
15
31.60
26
31.50
5
31.50
16
31.55
27
31.60
6
31.20
17
31.80
28
31.60
7
31.25
18
31.70
29
31.70
8
31.25
19
31.70
30
31.20
9
31.50
20
31.60
31
31.10
10
31.60
21
31.55
32
31.50
11
31.60
22
31.70
33
31.40
i
Di [mm]
i
Di [mm]
Objętość i pole powierzchni są pomiarami pośrednimi, które zależą od bezpośrednich pomiarów wielokrotnych. Średnią objętość obliczamy ze wzoru |V̄ | =
6−1 π D̄3 jako |V̄ | = 16400.9 mm3 . Średnie pole powierzchni natomiast ze wzoru
|S̄| = π D̄2 jako |S̄| = 3121.74 mm2 . Błędy pomiarów pośrednich estymujemy za
pomocą odchylenia standardowego (1.39). Dla objętości mamy
σ̄|V | =
s
∂ V̄
∂ D̄
2
2 =
σ̄D
π 2
D̄ σ̄D ≈ 50 mm3 .
2
(1.42)
∂ S̄
∂ D̄
2
2 = 2π D̄σ̄ ≈ 10 mm2 .
σ̄D
D
(1.43)
Dla pola powierzchni
σ̄|S| =
s
Ostatecznie zmierzona objętość kulki, według wzoru |V | = |V̄ | + σ̄|V | wynosi
|V | = 16400 ± 50 mm3 . Pole powierzchni kulki, według wzoru |S| = |S̄| + σ̄|S| ,
wynosi |S| = 3120 ± 10 mm2 .
22
15.
16
11.
pi
12
8
5.
4
1.
1.
0
31
31.2
31.4
31.6
31.8
32
xi
Rys. 1.13. Histogram pomiarów średnicy
1.3. Układ SI
Układ SI5) jest międzynarodowym układem jednostek miar, który prawnie
obowiązuje w Polsce od 1966 roku. Stosowany jest powszechnie we wszystkich
dziedzinach nauki i techniki. Układ SI zawiera siedem jednostek podstawowych.
Cztery, zwykle wystarczające w zagadnieniach mechaniki płynów i termodynamiki, podane są w tabeli 1.5. Są to jednostka masy (kilogram), długości (metr),
czasu (sekunda) i temperatury (kelwin). Oprócz jednostek podstawowych wyróżnia się jednostki pochodne, które tworzone są w oparciu o jednostki podstawowe w postaci iloczynu jednostek podstawowych podniesionych do potęg
w postaci liczb całkowitych. Tabela 1.6 zawiera niektóre jednostki pochodne,
które posiadają własne nazwy. Istnieję ponadto jednostki pochodne, które nie
posiadają własnych nazw, których wybrany zestaw podany jest w tabeli 1.7.
Jako przykład można podać współczynnik lepkości dynamicznej µ, którego jednostką w układzie SI jest Pa · s, czyli kg m−1 s−1 . Należy pamiętać, że podział na
jednostki podstawowe i pochodne w ramach danego układu jest umowny i nie
ma związku z fizyką zjawiska, która opisywana jest przez dane wielkości o poszczególnych jednostkach. Co więcej, żadne prawo fizyczne nie może zależeć od
wyboru jednostek.
W układzie SI występują przedrostki przed jednostkami, które oznaczają
mnożnik dziesiętny jednostki. Przykładowo, zapis MW oznacza megawat i odpowiada 106 W. Zestaw wszystkich dwudziestu przedrostków układu SI zebrany
jest w tabeli 1.4. Na szczególną uwagę zasługuje kilogram, który mimo że stanowi jednostkę podstawową, to już zawiera prefiks kilo. Oznacza to, że inne
przedrostki odnosi się do grama, a nie do kilograma. Stąd mówi się np. o miligramie (10−3 grama), a nie ’mikrokilogramie’.
1.4. Regresja liniowa
1.4.1. Podstawowe informacje
Jeżeli dysponujemy serią pomiarów (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) i oczekujemy, że
zależność pomiędzy xi i yi jest liniowa, to mamy do czynienia z zagadnieniem
regresji liniowej. Jest to zagadnienie najlepszego doboru współczynników A i B
5)
franc. Le Système International d’unités
23
1.4. Regresja liniowa
Tabela 1.4. Przedrostki
Nazwa Symbol Mnożnik
Tabela 1.5. Wybrane jednostki podstawowe
Wielkość
jednostka
jotta
Y
1024
kilogram
kg
zeta
Z
1021
metr
m
eksa
E
1018
sekunda
s
P
15
kelwin
K
peta
10
12
tera
T
10
giga
G
109
mega
M
106
Wielkość
kilo
k
103
h
2
hekto
deka
Tabela 1.6. Wybrane jednostki pochodne
o nazwach własnych
10
1
da
10
0
10
decy
−1
d
10
jednostka
Siła
N
kg m s−2
Energia
J
kg m2 s−2
Moc
W
kg m2 s−3
Ciśnienie
Pa
kg m−1 s−2
Częstotliwość
Hz
s−1
−2
centy
c
10
mili
m
10−3
mikro
µ
10−6
nano
n
10−9
Tabela 1.7. Wybrane jednostki pochodne bez
nazw własnych
Wielkość
−12
piko
p
10
femto
f
10−15
atto
a
10−18
zepto
z
10−21
y
−24
jokto
symbol
10
jednostka
Powierzchnia
m2
Objętość
m3
Gęstość
kg m−3
Prędkość
m s−1
Przyspieszenie
m s−2
Lepkość dynamiczna
kg m−1 s−1
w równaniu
y = A + B x.
(1.44)
Najpierw sprawdzamy, czy pomiary (xi , yi ) są skorelowane. Do tego służy współczynnik korelacji r, który określany jest jako
r := q
nSxy − Sx Sy
(nSxx − Sx2 ) nSyy − Sy2
przy następujących definicjach
Sx :=
n
X
xi , Sy :=
n
X
i=i
i=i
yi , Sxx :=
n
X
x2i , Syy :=
n
X
yi2 , Sxy :=
i=i
i=i
(1.45)
,
n
X
xi yi .
i=i
(1.46)
Jeżeli współczynnik r ≈ ±1, to mamy do czynienia z korelacją liniową i uzasadnione jest poszukiwanie równania prostej (współczynników A i B) (1.44).
Współczynniki A i B w równaniu (1.44) wyznaczyć można metodą najmniejszych kwadratów
A=
Sxx Sy − Sx Sxy
,
D
B=
nSxy − Sx Sy
,
D
(1.47)
24
gdzie
D := nSxx − Sx2 .
(1.48)
Odchylenia standardowe wyliczonych współczynników A i B dane są następującymi zależnościami
r
r
Sxx
n
, σB = σ y
,
(1.49)
σA = σy
D
D
gdzie
n
σy2 =
1 X
2
(yi − A − Bxi ) .
n − 2 i=i
(1.50)
Na ich podstawie można szacować błędy bezwzględne określenia współczynników A i B
∆A = ±σA t(p, n − 2), ∆B = ±σB t(p, n − 2),
(1.51)
gdzie t(p, n − 2) przedstawia kwantyle rzędu p rozkładu Studenta przy n − 2
stopniach swobody (tabela 1.2). W przypadku n punktów pomiarowych mamy
n − 2 stopnie swobody ze względu na dwie stałe A i B. Zwykle przyjmuje się
przedział ufności na poziomie 95% (p = 0.95).
Tabela 1.8. Przykładowa seria pomiarowa
xi
108
149
185
yi
300
400
500
1.4.2. Przykład
Rozważmy następującą serię pomiarową z tabeli 1.8. Współczynnik korelacji (1.45) wynosi r = 0.999298, co oznacza, że pomiary są skorelowane liniowo.
Posługując się definicjami (1.46) i wzorami (1.47), możemy wyliczyć dla danych z tabeli 1.8 współczynniki A = 17.8531, B = 2.59376 równania (1.44).
Odchylenia standardowe współczynników A i B znajdujemy ze wzorów (1.49)
σA = 14.6497, σB = 0.0972407. Błąd bezwzględny określenia współczynnika B
znajdujemy ze wzoru (1.51) ∆B = ±0.613978, gdzie t(0.95, 1) = 6.31375. Błąd
względny współczynnika B dany jest zależnością δB = ∆BB ≈ 24% ze względu na
małą wartość liczby pomiarów n. Graficzne przedstawienie obliczeń i pomiarów
pokazane jest na wykresie 1.14.
y
100
120
140
160
180
200
550
550
475
475
400
400
325
325
250
250
100
120
140
160
180
200
x
Rys. 1.14. Przykładowa regresja liniowa
25
1.5. Analiza wymiarowa
1.4.3. Sprowadzanie wybranych funkcji do postaci liniowej
Przez odpowiednie podstawienia możne niektóre funkcje nieliniowe zapisać w
postaci liniowej Y := A + BX. W ten sposób możliwe jest wyznaczenie współczynników A i B z regresji liniowej. Typowe funkcje, wraz z podstawieniami,
zebrane są w tabeli 1.9.
Jako przykład można podać szczególną postać drugiej funkcji z tej tabeli,
dla b := e. Rozważana funkcja dana jest wzorem y := a ec x . Obustronne logarytmowanie daje ln y = ln a + ln ec x , czyli ln y = ln a + c x. Czyniąc następujące
podstawienia Y := ln y, A := ln a, B := c i X := x, otrzymujemy następującą
postać funkcji liniowej Y := A + BX. Z regresji liniowej wyznaczamy stałe A i
B, a następnie na ich podstawie znajdujemy stałe a := eA i c := B.
Tabela 1.9. Podstawienie dla Y := A + BX
Wzór
Y
X
A
B
y := a + b xn
y
xn
a
b
ln y
x
ln a
c ln b
ln y
ln x
ln a
b
y := a b
cx
y := a x
b
1.5. Analiza wymiarowa
1.5.1. Twierdzenie Buckinghama
Twierdzenie Buckinghama, oryginalnie podane przez [5] i sformalizowane
przez [2], mówi, że dowolną funkcję f w postaci
f (a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 , . . . , an ) = 0,
(1.52)
która zależy od n zmiennych wymiarowych, można sprowadzić do innej postaci
ak+2
an
ak+1
,
, . . . , r1 r2
= 0,
(1.53)
f
ap11 ap22 · . . . · apkk aq11 aq22 · . . . · aqkk
a1 a2 · . . . · arkk
która zależy od n − k zmiennych bezwymiarowych. Przez k oznaczono liczbę
zmiennych, wybranych z grupy n zmiennych podstawowych, których liczba równa
jest liczbie jednostek podstawowych. Powyższe równanie zapisuje się również
jako
f (Πk+1 , Πk+2 , . . . , Πn ) = 0.
(1.54)
Powyższe twierdzenie niesie dwojakie korzyści. Po pierwsze, ogranicza liczbę
zmiennych, między którymi należy szukać zależności w postaci funkcji f . Po
drugie, nowa funkcja f operuje na zmiennych bezwymiarowych, które nie zależą
od wyboru jednostek. Postaci poszczególnych zmiennych Πi nie są jednoznaczne,
co bierze się stąd, że zmienne z grupy podstawowej mogą być często wybierane
na wiele sposobów. Twierdzenie Buckinghama nie rozstrzyga więc o postaci
funkcji f . Nie podaje również sposobu jej poszukiwania.
W mechanice płynów mamy do czynienia z czterema jednostkami podstawowymi. Są to jednostka masy kg, długości m, czasu s i temperatury K. Pozostałe
26
jednostki są tzw. jednostkami pochodnymi. Jako jednostkę pochodną można podać przykładowo ciśnienie kg m−1 s−2 . Ogólnie każdą jednostkę pochodną można
zapisać w postaci kga1 ma2 sa3 Ka4 .
1.5.2. Przykłady
1.5.2.1. Wzór Stokesa
Eksperymentalnie stwierdzono, że siła oporu [F ] = kg m s−2 , która działa
na opadającą kulkę, zależy od średnicy kulki [Dk ] = m, współczynnika lepkości
[µ] = kg m−1 s−1 i prędkości [U ] = m s−1 . Mamy cztery zmienne wymiarowe
n = 4 i trzy jednostki podstawowe k = 3, tj. kg, m, s. Zgodnie z twierdzeniem
Buckinghama możemy funkcję f , w postaci uwikłanej f (F, Dk , µ, U ) = const,
zapisać w innej postaci f (Π) = const, która zależy od jednej zmiennej (n − k =
1). Do grupy zmiennych podstawowych wybrać można np. Dk , µ, U .
Postać zmiennej bezwymiarowej Π znajdujemy w ten sposób, że jednostki
F wyrażamy przez wybrane jednostki podstawowe, podniesione do nieznanych
potęg: [F ] = [Dk ]a1 [µ]a2 [U ]a3 . Zapis ten odpowiada następującemu kg m s−2 =
ma1 (kg m−1 s−1 )a2 (m s−1 )a3 . Ponieważ lewa strona równa się prawej, więc otrzymujemy następujący układ równań, odpowiednio dla kg, m, s
1 = a2 ,
1 = a1 − a2 + a3 ,
−2 = −a2 − a3 .
(1.55)
(1.56)
(1.57)
Rozwiązaniem powyższego układu są a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1, co daje [F ] =
[Dk ][µ][U ]. Zatem zmienna bezwymiarowa Π, która wyraża F przez trzy wybrane zmienne podstawowe ma postać Π = DkFµU , a funkcja f (Π) = const może
być zapisana jako
F
f
= const.
(1.58)
Dk µ U
Funkcja czterech zmiennych F , Dk , µ, U została zastąpiona jedną zmienną
bezwymiarową Π.
1.5.2.2. Wiskozymetr Höpplera
Doświadczalnie stwierdzono, że na współczynnik lepkości [µ] = kg m−1 s−1
w wiskozymetrze Höpplera wpływ ma czas opadania kulki [t] = s, gęstość kulki
i badanej cieczy [ρk ] = [ρ] = kg m−3 , średnica kulki i rurki [Dk ] = [D] = m, kąt
nachylenia rurki [α] = [−], przyspieszenie ziemskie [g] = m s−2 i wysokość opadania [H] = m, co zapisujemy f (µ, t, ρk , ρ, D, Dk , α, g, H) = 0. Funkcja F zależy
więc od dziewięciu zmiennych, ale osiem jest wymiarowych, więc n = 8. Mamy
trzy jednostki podstawowe kg, m, s, więc k = 3. Zgodnie z twierdzeniem Buckinghama możemy funkcję f zapisać w innej postaci f (Π1 , Π2 , Π3 , Π4 , Π5 , α) = 0,
która zależy od sześciu zmiennych bezwymiarowych, tj n − k = 5 i dodatkowo
bezwymiarowy kąt α. Do grupy zmiennych podstawowych wybrać można przykładowo t, ρ, Dk .
Postać zmiennej bezwymiarowej Π1 znajdujemy w ten sposób, że jednostki
µ wyrażamy przez wybrane jednostki podstawowe podniesione do nieznanych
potęg: [µ] = [t]a1 [ρ]a2 [Dk ]a3 . Zapis ten odpowiada następującemu kg m−1 s−1 =
Bibliografia
27
sa1 kga2 m−3a2 ma3 . Ponieważ lewa strona równa się prawej, więc otrzymujemy
następujący układ równań, odpowiednio dla kg, m, s
1 = a2 ,
−1 = −3a2 + a3 ,
−1 = a1 .
(1.59)
(1.60)
(1.61)
Rozwiązaniem powyższego układu są a1 = −1, a2 = 1, a3 = 2, co daje [µ] =
[t]−1 [ρ][Dk ]2 . Zatem zmienna bezwymiarowa Π1 , która wyraża µ przez trzy wybrane zmienne podstawowe ma postać Π1 = t−1µρD2 . Sytuacja jest jeszcze prostk
sza w przypadku zmiennych ρk , D i H. Postępując analogicznie, otrzymamy
Π2 = ρρk , Π3 = DDk , Π4 = DHk . Ostatnią zmienną jest przyspieszenie ziemskie g,
której jednostki można wyrazić w następujący sposób [g] = [t]a1 [ρ]a2 [Dk ]a3 , lub
m s−2 = sa1 kga2 m−3a2 ma3 . Odpowiada to następującemu układowi równań
0 = a2 ,
1 = −3a2 + a3 ,
−2 = a1 .
(1.62)
(1.63)
(1.64)
Rozwiązaniem powyższego układu są a1 = −2, a2 = 0, a3 = 1, co daje [g] =
[t]−2 [Dk ]. Ostatnia zmienna bezwymiarowa Π5 , która wyraża g przez trzy wybrane zmienne podstawowe ma postać Π5 = t−2gDk . Zatem funkcja dziewięciu
zmiennych zastąpiona została funkcją sześciu zmiennych bezwymiarowych
µt ρk D H gt2
f
, ,
,
,
, α = 0.
(1.65)
ρDk2 ρ Dk Dk Dk
Bibliografia
[1] I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, G. Musiol, H. Mühlig, Nowoczesne
kompendium matematyki, PWN, Warszawa, 2004
[2] E. Buckingham, On Physically Similar Systems; Illustrations of the Use of
Dimensional Equations, Physical Review, Vol. 4, No. 4, pp 345–376, 1914
[3] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, PWN,
Warszawa, 2003
[4] J. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa, 1995
[5] A. Vaschy, Sur les lois de similitude en physique, Annales Télégraphiques,
Vol 19, pp 25–28, 1892
Rozdział 2
Doświadczenie Reynoldsa
Krzysztof Tesch
2.1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest powtórzenie doświadczenia Reynoldsa, które umożliwia
obserwację różnych charakterów przepływów od laminarnych, przez przejściowe
do turbulentnych. Przepływy te charakteryzują się różnymi liczbami Reynoldsa,
które obliczane są na podstawie pomiarów.
2.2. Podstawowe informacje
2.2.1. Liczba Reynoldsa
Liczba Reynoldsa1) jest liczbą kryterialną (podobieństwa), która wyraża stosunek sił bezwładności ρU 2 L−1 do sił lepkości µU L−2
Re =
ρU 2
L
µU
L2
=
U Lρ
UL
=
,
µ
ν
(2.1)
gdzie zależność między współczynnikiem lepkości dynamicznej µ i kinematycznej ν dana jest wzorem µ = ρν. Liczba Reynoldsa jest podstawowym kryterium
określającym charakter przepływu. W definicji (2.1) przez L oznaczono wymiar
charakterystyczny, który ma bezpośredni związek z określaniem charakteru przepływu. Np. dla rur kołowych jest to ich średnica. Dla innych przekrojów wymiar charakterystyczny oblicza się jako stosunek czterech pól powierzchni do
obwodu. Przez U oznaczono prędkość charakterystyczną, która również związana jest określeniem charakteru przepływu. Dla rur kołowych jest to średnia
prędkość, gdzie średnia rozumiana jest tu jako średnia powierzchniowa. Z powyższych definicji wynika, że liczba Reynoldsa nie jest parametrem określonym
lokalnie.
Zależność (2.1) słuszna jest dla przepływów newtonowskich, do których zalicza się między innymi wodę i powietrze. Dla przepływów nienewtonowskich, tzn.
tych które nie spełniają hipotezy Newtona, lepkość nie musi być wielkością stałą
lub zależną tylko od temperatury. Dla wielu płynów nienewtonowskich lepkość
1)
Osborne Reynolds (1842-1912) – irlandzki inżynier
2.2. Podstawowe informacje
29
zależy od pochodnych prędkości, które przyjmują różne wartości, chociażby dla
różnych odległości od opływanych ścianek.
2.2.2. Przepływy laminarne i turbulentne
Z przepływem laminarnym2) mamy do czynienia, gdy odbywa się on przy
liczbie Reynoldsa mniejszej od krytycznej. Przepływ ten inaczej nazywa się przepływem uwarstwionym, gdyż poszczególne warstwy płynu nie mieszają się w
skali makro. Nie ma ruchu w kierunku prostopadłym do warstw. Przepływy
newtonowskie w rurach kołowych są laminarne dla liczb Reynoldsa poniżej wartości około 2300. Liczba Re = 2300 nazywana jest również dolną liczbą krytyczną. Wprowadzanie lokalnych zaburzeń do przepływu, poniżej dolnej krytycznej liczby Reynoldsa, spowoduje ich wygaśnięcie.
Ruch laminarny może się utrzymywać nawet po przekroczeniu dolnej krytycznej liczby Reynoldsa, jeżeli brak jest zaburzeń przepływu. Sytuacja taka
może mieć miejsce aż do momentu, gdzie osiągnięta zostanie tzw. górna krytyczna liczba Reynoldsa. Wtedy przepływ staje się turbulentny.3) Przepływ
można sturbulizować już przed osiągnięciem górnej krytycznej liczby Reynoldsa,
wprowadzając do przepływu zaburzenia. Pomiędzy przepływem laminarnym i
turbulentnym mamy do czynienia z tzw. przepływem przejściowym. Mamy z
nim do czynienia dla liczb Reynoldsa pomiędzy dolną i górną krytyczną wartością tej liczby. Powyżej górnej krytycznej liczby Reynoldsa przepływ jest zawsze
turbulentny, a poniżej dolnej krytycznej liczby Reynoldsa przepływ jest zawsze
laminarny. Górna krytyczna liczba Reynoldsa może przyjmować wartości rzędu
10000 i nawet więcej, choć jej wartości różnią się w zależności od danych eksperymentalnych.
Do chwili obecnej nie istnieje zadowalająca teoria turbulencji i dlatego trudno
definiować turbulencję i, co za tym idzie, ruch turbulentny. Można jednak podać
kilka cech takiego ruchu, do których zaliczyć można jego nieregularność, niestacjonarność, czy trójwymiarowość. Pole prędkości charakteryzować się będzie
fluktuacjami w przestrzeni i czasie. W przeciwieństwie do ruchu laminarnego w
rurze, gdzie nie ma mieszania między warstwami, dla przepływu turbulentnego
takie mieszanie występuje. Oznacza to, że jest ruch w kierunku prostopadłym
do osi rury. Wynika z tego, że np. zjawisko mieszania przepływu jest efektywniejsze w ruchu turbulentnym niż laminarnym. Przepływ turbulentny może być
podtrzymywany tylko wtedy, gdy dostarczana jest do niego energia. Gdy energia przestanie być dostarczana, to przepływ będzie się laminaryzował. Energia,
która jest dostarczana do przepływu, musi być dyssypowana, więc model płynu
opisującego przepływy turbulentne musi być modelem płynu lepkiego (równania Naviera-Stokesa). W technice mamy do czynienia głównie z przepływami
turbulentnymi.
Według Kołmogorowa przepływ turbulentny składa się z całego szeregu wirów o różnych skalach. Skale zaczynają się od tych, które są porównywalne z
wymiarami charakterystycznymi kanałów, w których przepływ ma miejsce. Skale
zmniejszają się stopniowo aż do rozmiarów najmniejszych, przy których następuje dyssypacja energii. Największa dyssypacja energii, czyli zamiana energii w
ciepło, ma miejsce wtedy, gdy siły bezwładności są porównywalne z siłami lep2)
3)
łac. lamina
łac. turbulentus
30
Rozdział 2. Doświadczenie Reynoldsa
kościowymi. Energia kinetyczna, związana z dużymi skalami, jest przejmowana
przez skale coraz mniejsze. Proces ten ma charakter kaskadowy. Najmniejsze
skale, przy których następuje większość procesu dyssypacji, zwane są skalami
Kołmogorowa. Liczba Reynoldsa na poziomie tych skał wynosi 1.
2.2.3. Liczba Reynoldsa a równania Naviera-Stokesa
Liczba Reynoldsa bierze się z zapisu równania Naviera-Stokesa w postaci
bezwymiarowej, które dla przypadku nieściśliwego ma następującą postać [2]
Sh
+
~+
~+
∂U
~ + · ∇+ U
~ + = f − Eu ∇+ p+ + ν ∇2+ U
~ +,
+
U
∂t+
Fr
ρ+
Re
(2.2)
gdzie przez Sh oznaczono liczbę Strouhala, F r liczbę Froude’a, Eu liczbę Eulera.
Jeżeli siły lepkościowe dominują nad bezwładnościowymi Re ≪ 1, to możliwa
jest linearyzacja równania Naviera-Stokesa. Linearyzacja ta polega na odrzuceniu wyrazów bezwładnościowych. Otrzymuje się wtedy równanie Stokesa
~.
ρ−1 ∇p = f~ + ν∇2 U
(2.3)
Jeżeli siły bezwładności są dużo większe od sił lepkościowych, to możliwe jest
inne uproszczenie równania Naviera-Stokesa, które polega na odrzuceniu wyrazów lepkościowych. Otrzymane równanie nosi nazwę równania Eulera
~
∂U
~ · ∇U
~ = f~ − ρ−1 ∇p.
+U
∂t
(2.4)
Równanie Eulera jest nadal równaniem nieliniowym (jak równanie NavieraStokesa), ale pierwszego rzędu. Związane jest to tym, że nie trzeba formułować dodatkowych warunków brzegowych. W tym wypadku chodzi o warunek
adhezji.
2.3. Doświadczenie
2.3.1. Opis stanowiska
Na rysunku 2.1 przedstawiono schemat stanowiska pomiarowego. Stanowisko
składa się ze zbiornika zasilającego cieczą. Poziom tego zbiornika utrzymywany
jest na stałym poziomie. Ze zbiornika wyprowadzona jest rura o średnicy 0.03 m.
Do rury tej wprowadzany jest barwnik, który umożliwia obserwację charakteru
przepływu. W dalszej części rury znajduje się zawór, który umożliwia regulację
masowego natężenia przepływu. Z rury woda wydostaje się do menzurki, która
umożliwia pomiar objętości |V |, który wypełni woda w czasie pomiaru t. Przeprowadzone doświadczenie w dużej mierze przypomina to, które przeprowadził
Reynolds około roku 1883 [1].
2.3.2. Przebieg eksperymentu
Ćwiczenie polega na obserwacji charakteru przepływu, którego zmiany otrzymuje się wraz z regulacją zaworu. Obserwując zachowanie barwnika, który wpusz-
31
2.4. Opracowanie wyników
czany jest w osi rury, można zauważyć, że dla przepływu laminarnego zabarwiona struga porusza się równolegle do osi i nie miesza się z niezabarwioną
wodą w skali makro. Stopniowo zwiększając masowe natężenie przepływu, widać, że zabarwiona struga nie porusza się równolegle do osi rury, ale wciąż nie
miesza się z niezabarwioną wodą w skali makro. Jest to typowa obserwacja dla
przepływu przejściowego. W przypadku, gdy odpowiednio zwiększymy natężenie przepływu, zaobserwujemy mieszanie się zabawionej strugi z wodą w sposób
chaotyczny. Jest to typowe dla przepływu turbulentnego.
Barwnik
Zawór
Menzurka
Rura φ30
Zbiornik
Rys. 2.1. Schemat stanowiska
W celu określenia liczby Reynoldsa, dokonuje się pomiaru czasu t w jakim
woda wypełni menzurkę do określonej objętości |V |. Znajomość tych dwóch
wielkości potrzebna jest do określenia średniej (charakterystycznej) prędkości
U . Pomiarów dokonuje się dla przepływu laminarnego, przejściowego i turbulentnego. Odczytane wielkości zamieszcza się w tabeli 2.1 pomiarów i obliczeń.
2.4.1. Obliczenia
Liczbę Reynoldsa obliczamy ze wzoru (2.1). Lepkość kinematyczną ν znajdujemy ze wzoru µ = ρν, gdzie zależność gęstości ρ od temperatury T dla wody
podana jest na wykresie A.1, a zależność na lepkość dynamiczną µ odczytujemy
z wykresu A.2. Wymiar charakterystyczny, czyli średnica wewnętrzna rurociągu,
wynosi L = 0.03 ± 0.001 m. Pozostaje obliczenie prędkości charakterystycznej
U . Z równania zachowania masy wiadomo, że ṁ = ρU |S|, gdzie |S| jest polem
powierzchni przekroju rurociągu. Z drugiej strony masowe natężenie przepływu
może być wyznaczone ze znajomości czasu t napełniania zbiornika o objętości
|V | w postaci ṁ = |V |ρt−1 . W ten sposób prędkość charakterystyczna (średnia)
dana jest wzorem
|V |
.
(2.5)
U=
|S|t
Wiedząc o tym, że pole powierzchni |S| = πL2 4−1 , można podać zależność na
liczbę Reynoldsa w postaci
4|V |
Re =
.
(2.6)
πνLt
32
Błąd pomiaru liczby Reynoldsa zależy od co najmniej trzech czynników.
Zaliczają się do nich błąd pomiaru średnicy rurociągu L, błąd pomiaru czasu
t i błąd pomiaru objętości |V |. Pomijamy tutaj błąd wyznaczania lepkości ν.
Maksymalny błąd bezwzględny z jakim wyliczana jest liczba Reynoldsa może
być oszacowany na podstawie różniczki zupełnej ∆Re ≈ dRe(L, t, |V |). Liczba
Reynoldsa traktowana jest tutaj jako funkcja trzech zmiennych. Mamy zatem
∂Re ∂Re
∂Re
∆L + ∆t + ∆|V | ,
(2.7)
∆Re = ∂L
∂t
∂|V |
gdzie przez ∆L , ∆t , ∆|V | oznaczono błędy bezwzględne wielkości mierzonych
L, t i |V |. Wartość ∆L wynosi ±0.001 m. Wartości ∆t i ∆|V | zostaną oszacowane podczas eksperymentu. Oprócz błędów bezwzględnych definiuje się błędy
1
względne. Dla średnicy mamy δL = ∆LL = 30
, dla czasu δt = ∆tt i objętości
∆|V |
δ|V | = |V | . Wyliczając odpowiednie pochodne z równania (2.6), dzieląc obustronnie zależność (2.7) przez Re i wykorzystując definicje błędów względnych,
możemy otrzymać wzór na błąd względny liczby Reynoldsa
δRe = δt + δL + δ|V | .
(2.8)
Tabela 2.1. Błędy bezwzględne
Przepływ
t [s]
|V | [m3 ]
Re
δRe [%]
laminarny
przejściowy
turbulentny
..
.
2.4.2. Sprawozdanie
Sprawozdanie powinno zawierać numer grupy laboratoryjnej, rok i kierunek
studiów, datę i nazwę przeprowadzenia ćwiczenia. Dalej powinien być podany
cel ćwiczenia, schemat stanowiska pomiarowego, tabelę pomiarów i obliczeń,
przykład obliczeniowy i wnioski. Sprawozdanie przygotowywane jest jedno na
grupę laboratoryjną.
2.5. Pytania kontrolne
i. Opisać górną i dolną krytyczną liczbę Reynoldsa.
ii. Omówić różnice między przepływem laminarnym i turbulentnym.
Bibliografia
33
Oznaczenia
Eu
f~
Fr
L
ṁ
p
Re
|S|
Sh
t
~
U
U
|V |
δ
∆
ρ
µ
ν
liczba Eulera
gęstość rozkładu sił objętościowych
liczba Froude’a
wymiar charakterystyczny
masowe natężenie przepływu
ciśnienie
liczba Reynoldsa
pole powierzchni
liczba Strouhala
czas
wektor prędkości
charakterystyczna prędkość
objętość
błąd względny
błąd bezwzględny
gęstość
współczynnik lepkości dynamicznej
współczynnik lepkości kinematycznej
Bibliografia
[1] O. Reynolds, An Experimental Investigation of the Circumstances which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of
the Law of Resistance in Parallel Channels, Philosophical Transactions of
the Royal Society, Vol. 174, pp. 935–982, 1883
[2] K. Tesch, Mechanika Płynów, Wydawnictwo PG, Gdańsk, 2008
34
Dodatek – tabele pomiarowe
Tabele pomiarowe z dnia:
∆L [m]
Tabela 2.3. Parametry wody
T [K]
±0.001
∆t [s]
ρ [kg m−3 ]
µ [kg m−1 s−1 ]
∆|V | [ml]
Tabela 2.4. Pomiary
Przepływ
0
10
20
5000
2000
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
70
1100
1100
1050
1050
1050
1000
1000
1000
950
950
800
600
1050
V ¤@ m lD
70
|V | [ml]
1100
1100
500
900
V ¤@ m lD
1100
t [s]
15
1000
950
900
900
850
850
800
800
950
7
900
420
850
800
0
10
20
30
40
50
60
t@ sD
Rys. 2.2. Wykres poglądowy
Re = f (t, |V |) dla T = 284 K
70
850
22
0
10
10
12
20
9
30
7.5
8
40
50
60
800
70
t@ sD
Rys. 2.3. Wykres poglądowy
δRe = f (t, |V |) [%] dla ∆L = 1 mm,
∆t = 1 s i ∆|V | = 20 ml
Rozdział 3
Wyznaczanie współczynnika
lepkości za pomocą butli
Mariotte’a
Krzysztof Tesch
3.1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości dynamicznej µ
wody za pomocą butli Mariott’a.1) Dodatkowo wyznaczana jest liczba Reynoldsa w kapilarze, którą woda wylewa się z butli.
3.2. Doświadczenie
Butla Mariotte’a pokazana jest na rysunku 3.1. Układ doświadczalny różni
się od oryginału z rysunku 3.2, gdyż ten drugi nie posiada tzw. syfonu, który
umożliwia opróżnianie butli przy stałym spadku ciśnienia, a więc ze stałą prędkością.
Butla (rys. 3.1) zamknięta jest od góry korkiem, przez który przechodzi
rurka. Z lewej strony butla po napełnieniu wodą zamykana jest szczenie kolejnym
korkiem, który nie posiada rurki. Z prawej strony, u dołu butli, znajduje się trzeci
korek, przez który przechodzi kapilara. Przez tę kapilarę ciecz może wypływać
z butli.
Kiedy po napełnieniu butli i zatkaniu korka bez rurki ciecz zaczyna wypływać, to można zaobserwować, że poziom lustra wody w butli i pionowej rurce są
na początku identyczne h = h0 . W miarę upływu czasu oba poziomy się obniżają. Zjawisko to przebiega znacznie szybciej w pionowej rurce, aż do momentu,
w którym lustro cieczy sięgnie końca rurki na wysokości h0 . Od tego momentu
obniża się wyłącznie poziom cieczy w butli. Trwa to do chwili, kiedy lustro wody
w butli obniży się do wysokości h0 .
Pisząc równanie Bernoulliego [3] dla poziomów obu luster względem dna
1)
Edme Mariotte (1620-1684) – francuski fizyk
36
Rozdział 3. Wyznaczanie współczynnika lepkości za pomocą butli Mariotte’a
butli i pomijając prędkość lustra wody w butli, możemy znaleźć zależność na
ciśnienia panujące w butli w postaci p = p0 − ρg(h − h0 ). Przez p0 oznaczono tu
ciśnienie atmosferyczne, które panuje nad lustrem wody w pionowej rurce. Ze
wzoru tego widać, że w butli panuje podciśnienie. Podciśnienie to zmniejsza się
w miarę spadku wysokości h − h0 , aż do momentu, kiedy oba lustra ponownie
się zrównają. Dopóki h > h0 , to prędkość wypływu cieczy z kapilary jest stała.
Jest tak, gdyż zarówno ciśnienie na wysokości h0 i na wylocie z kapilary równe
są ciśnieniu atmosferycznemu p0 , a ruch wymuszony jest wysokością słupa wody
h2 − h1 .
p
h2
p1
h1
h0
h
p0
p0
Rys. 3.2. Butla Mariotte’a [1]
Jeżeli napisać teraz równanie Bernoulliego dla wysokości h1 i h2 , dla poziomu
odniesienia ustalonego na końcu kapilary, to po zaniedbaniu prędkości wody
na wysokości h1 , mamy p1 = p0 + ρg(h2 − h1 ). Zatem różnica ciśnień między
wysokością h1 i wylotem z kapilary ∆p = p1 − p0 równa się ciśnieniu wysokości
słupa wody h2 − h1 , co zapisujemy ∆p = ρg(h2 − h1 ). Różnica ta wymusza
wypływ wody przez kapilarę.
O ile ruch w kapilarze jest laminarny, to składowa prędkości U wzdłuż osi
opisana jest równaniem [3]
U=
∆p −1 2
(4 D − r2 ).
4µh1
(3.1)
Objętościowe natężenie przepływu we współrzędnych biegunowych wyznaczamy
z zależności
V̇ = 2π
D/2
w
0
U r dr.
(3.2)
37
Po scałkowaniu, otrzymujemy prawo Poiseuille’a2) [2] w postaci
V̇ =
πD4
∆p.
128µh1
(3.3)
Ponieważ objętościowe natężenie przepływu V̇ może być zmierzone jako objętość
|V | menzurki (rys. 3.1) w czasie napełniania t, oraz spadek ciśnienia równy jest
∆p = ρg(h2 − h1 ), to ze wzoru (3.3) otrzymujemy następującą zależność
πρgD4 h2
|V | =
− 1 t,
(3.4)
128µ
h1
która umożliwia wyznaczenie współczynnika lepkości µ.
Po napełnieniu butli Mariotte’a i zatkaniu jej korkiem bez rurki, należy poczekać, aż lustro wody w rurce pionowej opadnie do wysokości h0 . Następnie
podstawia się pustą menzurkę pod wylot z kapilary i włącza się stoper. Dokonuje się kilku pomiarów czasu, np. co 100 cm3 . Dane zapisuje się w tabeli
pomiarowej 3.4. Dodatkowo należy zmierzyć temperaturę wody (tabela 3.3),
aby na tej podstawie ustalić gęstość i lepkość referencyjną wody z wykresów
A.1 i A.2. Lepkość referencyjna wody potrzebna jest do porównania, do wyliczenia liczby Reynoldsa w kapilarze oraz do kalibracji butli. Liczba Reynoldsa
powinna być niższa od dolnej krytycznej wartości tak, aby przepływ był laminarny, co jest zapewnione przez odpowiedni dobór średnicy kapilary i wysokości
h2 −h1 . Błędy bezwzględne pomiaru czasu ∆t i objętości ∆|V | ustala się podczas
eksperymentu i zapisuje się w tabeli 3.2.
3.3.1. Obliczenia
3.3.1.1. Pojedyncze pomiary
Wzór na współczynnik lepkości znajdujemy z zależności (3.4) i zapisujemy
jako
πρgD4 h2
− 1 t.
(3.5)
µ=
128|V | h1
Ze wzoru tego można wyliczyć błędy bezwzględne i względne pomiaru współczynnika lepkości. Dla pojedynczych pomiarów można to zrobić za pomocą różniczki zupełnej ∆µ ≈ dµ(D, |V |, t, h1 , h2 ). Można zapisać, że
∂µ
∂µ
∂µ
∂µ ∂µ
(3.6)
∆µ = ∆D + ∆|V | + ∆t + ∆h1 + ∆h2 .
∂D
∂|V |
∂t
∂h1
∂h2
Przez ∆x oznaczono tutaj błędy bezwzględne wielkości x. Oprócz błędów bezwzględnych wygodnie porównywać się również błędami względnymi, które definiuje się jako δx = ∆xx . Dzieląc obie strony zależności (3.6) przez µ i porządkując,
2)
Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869) – francuski lekarz i fizyk
38
otrzymamy następującą zależność na błąd względny pomiaru lepkości
δµ = 4δD + δ|V | + δt +
1
(δh1 + δh2 ) .
1 − hh21
(3.7)
Z obliczonego błędu względnego mamy błąd bezwzględny ∆µ = µ δµ .
Liczbę Reynoldsa znajdujemy z zależności
Re =
4ρ|V |
,
πµr Dt
(3.8)
gdzie za współczynnik lepkości referencyjnej µr bierzemy wartość z wykresu
A.2 tak, aby nie propagować kolejnych błędów. Błąd pomiaru liczby Reynoldsa
znajdujemy metodą różniczki zupełnej. Dla wartości względnej tego błędu mamy
następującą zależność
δRe = δt + δD + δ|V | .
(3.9)
Dla wartości bezwzględnej ∆Re = Re δRe . Wyniki pomiarów i obliczeń zamieszczamy w tabeli 3.1.
Tabela 3.1. Pomiary i obliczenia
Nr
1
2
...
n
t [s]
|V | [m3 ]
µ [kg m−1 s−1 ]
∆µ [kg m−1 s−1 ]
δµ [%]
Re
∆Re
δRe [%]
χ
∆χ
δχ [%]
Poza błędami pomiarów, omówionymi powyżej, mamy jeszcze dodatkowe
przyczyny ich powstawania. Do błędów tych zaliczyć można błąd wynikający
ze stosowania równania Bernoulliego, które wyprowadzane jest przy założeniu
nielepkości płynu. Związane jest to z pominięciem strat, które mają miejsce w
przypadku opisywanego tu układu. Do strat tych zaliczyć można stratę wlotową do kapilary i straty liniowe w jej poziomym odcinku. Wynikiem tego jest
mniejsze ciśnienie na wysokości h1 tuż przed pionową częścią kapilary, niż na
jej wlocie. Kolejnym problemem jest to, że kapilara nie jest zagięta pod kątem
prostym tak, jak jest to pokazane na rysunku 3.1, a ma postać łagodnego łuku.
Powstaje zatem problem jednoznacznego określenia wysokości h1 . W przypadku
takim można rozważaną butlę podać kalibracji przy użyciu wartości współczynnika lepkości, który był wyznaczany innymi (dokładniejszymi) metodami. Należy jednak pamiętać, że dane tablicowe posiadają również swoje niepewności,
które zwykle są pomijane.
39
W celu kalibracji butli zdefiniujmy bezwymiarowy współczynnik butli χ w
postaci
h2
χ :=
− 1.
(3.10)
h1
Zawiera on w sobie stosunek obu wysokości h2 i h1 . O ile pomiar h2 jest dobrze
zdefiniowany, o tyle pomiar h1 jest kłopotliwy. Definicja (3.10) jest wygodna z
rachunkowego punktu widzenia przy określaniu błędów. Równanie (3.4) przyjmie następującą postać po wyznaczyniu χ
χ=
128µr |V |
.
πρgD4 t
(3.11)
Posłużono się tu lepkością referencyjną, w oparciu o którą kalibruje się butlę.
Wyliczając błąd bezwzględny metodą różniczki zupełnej, mamy
∂χ
∂χ
∂χ (3.12)
∆χ = ∆D + ∆|V | + ∆t .
∂D
∂|V |
∂t
Dzieląc obustronnie przez χ, można wyznaczyć wzór na błąd względny χ w
postaci
δχ = 4δD + δ|V | + δt ,
(3.13)
skąd można wyliczyć również błąd bezwzględny ∆χ = χ δχ . Wyniki obliczeń
na podstawie wzorów (3.11) i (3.13) umieszcza się w tabeli 3.1. Dodatkowo,
na podstawie wyliczonego współczynnika χ ze wzoru (3.11), można wyznaczyć
wysokość h1 i porównać ją z jej wartością zmierzoną. Powinna ona być niższa od
pomierzonej według schematu z rys. 3.1, gdyż tylko wtedy otrzymamy większą
różnicę wysokości h2 − h1 , która zrekompensuje stratę wlotową i liniową. Mając
w ten sposób wyznaczoną wysokość h1 , można otrzymać dużo lepszą zgodność
otrzymanych pomiarów w porównaniu z pomiarami z innych metod.
Tabela 3.3. Regresja liniowa
Tabela 3.2. Wartości średnie
µ̄ [kg m−1 s−1 ]
∆µ̄ [kg m
−1 −1
s
r
]
B
δµ̄ [%]
∆B
χ̄
δB [%]
∆χ̄
µ [kg m−1 s−1 ]
δχ̄ [%]
χ
3.3.1.2. Średnie
Na podstawie serii pojedynczych pomiarów z tabeli 3.1 można obliczyć średnią wartość lepkości µ̄ i współczynnika χ̄ w postaci średnich arytmetycznych
n
µ̄ =
1X
µi ,
n i=1
n
χ̄ =
1X
χi .
n i=1
(3.14)
Ze względu na małą liczbę pomiarów, błądy bezwzględne średnich wartości µ̄
i χ̄ przyjmujemy jako błędy przeciętne pojedynczych pomiarów z tabeli 3.1
n
∆µ̄ =
1X
|∆µ,i |,
n i=1
n
∆χ̄ =
1X
|∆χ,i |.
n i=1
(3.15)
40
Jest tak również dlatego, że błędy systematyczne (ze względu na przyjęte dokładności) dominują nad przypadkowymi. Błądy względne średnich obliczmy
∆
∆
jako δµ̄ = µ̄µ̄ i δχ̄ = χ̄χ̄ . Wyniki zamieszczamy w tabeli 3.2.
3.3.1.3. Regresja liniowa
Wór (3.4) przedstawia sobą liniową zależność na |V | w funkcji t w postaci
|V | = B t, gdzie współczynnikiem kierunkowym jest
πρgD4 χ
πρgD4 h2
−1 =
.
(3.16)
B :=
128µ
h1
128µr
Przy wykonaniu serii pomiarów istnieje możliwość zastosowania metody regresji
liniowej do wyznaczenia wartości współczynnika B (wzory (1.44)-(1.47), x := t,
y := |V |) i za jego pomocą określenia wartości µ i χ ze wzoru (3.16). Współczynnik korelacji liniowej r obliczamy ze wzoru (1.45). Błędy bezwzględne określenia
współczynnika ∆B można określić za pomocą zależności (1.51). Błąd ∆B przeliczamy na błąd względny δB = ∆BB . Wyniki obliczeń zamieszczamy w tabeli
3.3.
3.3.2. Sprawozdanie
cel ćwiczenia, schemat stanowiska pomiarowego, tabela 3.1 pomiarów i obliczeń,
wartości średnie (tabela 3.2), wyniki z regresji liniowej (tabela 3.3), przykład
obliczeniowy, wykres regresji liniowej z naniesionymi punktami pomiarowymi
i słupkami błędów, wnioski.
i. Na jakiej zasadzie działa butla Mariotte’a?
ii. Jaką postać ma równanie Bernoulliego dla poziomów luster wody?
iii. Jak można skalibrować butlę?
iv. Jaka powinna być konstrukcja butli, aby zminimalizować straty w kapilarze
i ujednoznacznić pomiar h1 ?
Bibliografia
41
Oznaczenia
B
D
g
h
n
p
r
Re
t
T
U
|V |
V̇
x
współczynnik kierunkowy
średnica
przyspieszenie ziemskie
wysokość
liczba pomiarów
ciśnienie
promień, współczynnik korelacji
liczba Reynoldsa
czas
temperatura
składowa prędkości wzdłuż osi kapilary
objętość
objętościowe natężenie przepływu
wielkość, zmienna
δ
∆
∆p
µ
ρ
χ
błąd względny
błąd bezwględny
spadek (różnica) ciśnienia
gęstość
współczynnik butli
Bibliografia
[1] E. Mariotte, Oeuvres de Mr. Mariotte, de l’Académie Royale des Sciences,
A. Leide, 1717
[2] J. L. M. Poiseuille, Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides
dans les tubes de très petits diamètres, Mémoires presentés par divers savants
à l’Académie Royale des Sciences de l’Institut de France, IX, pp. 433–544,
1846
42
T [K]
∆t [s]
ρ [kg m−3 ]
∆|V | [cm ]
3
µr [kg m−1 s−1 ]
Tabela 3.4. Pomiary
Nr
1
2
3
4
5
t [s]
Tabela 3.5. Wymiary
|V | [cm ]
3
D [mm]
h1 [mm]
h2 [mm]
2.57 ± 0.01
167 ± 5
206 ± 5
Rozdział 4
Wyznaczanie współczynnika
lepkości za pomocą opadającej
kulki
Krzysztof Tesch
4.1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości dynamicznej µ
oleju silikonowego za pomocą opadającej kulki w naczyniu wypełnionym badanym olejem. Do obliczeń współczynnika µ wykorzystany jest wzór Stokesa1)
i jego modyfikacja, która wynika z równania Oseena.2)
4.2. Doświadczenie
4.2.1. Opis
Stanowisko pomiarowe pokazane jest na rysunku 4.1. Składa się ono ze zbiornika wypełnionego olejem, którego lepkość ma być wyznaczona. Do zbiornika
wprowadza się kulkę, która opada swobodnie z prędkością U na skutek grawitacji. Na rysunku 4.1 pokazany jest również układ sił, które działają na kulkę.
Na poruszającą się kulkę działają siła ciężaru [5] G = 6−1 πDk3 ρk g, siła wyporu
N = 6−1 πDk3 ρg oraz siła oporu F . W najprostszym przypadku siła oporu F
jest funkcją średnicy kulki Dk , współczynnika lepkości dynamicznej µ i prędkości opadania U . Zapisać to można w następujący sposób f (Dk , µ, F, U ) = const.
Na podstawie analizy wymiarowej można pokazać (paragraf 1.5.2.1), że poszukiwana funkcja f musi mieć postać f (F Dk−1 µ−1 U −1 ) = const. Stokes [4], rozwiązując równania ruchu pełzającego, podał następującą zależność na siłę oporu,
która nazywana jest prawem Stokesa F = 3πµDk U . Jest więc to liniowa postać
funkcji f , gdzie stała const wynosi 3π.
Jeżeli kulkę potraktować jako punkt materialny o masie mk , to równanie
1)
2)
George Gabriel Stokes (1819-1903) – irlandzki fizyk i matematyk
Carl Wilhelm Oseen (1879-1944) – szwedzki fizyk
44
Rozdział 4. Wyznaczanie współczynnika lepkości za pomocą opadającej kulki
ruchu kulki w kierunku działania wektora grawitacji ~g można zapisać jako
mk
dU
= G − N − F.
dt
(4.1)
Podstawiając odpowiednie zależności na poszczególne siły i porządkując, otrzymamy następujące równanie różniczkowe na prędkość opadania kulki
18µ
ρ
dU
+ 2 U =g 1−
.
(4.2)
dt
Dk ρk
ρk
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne, liniowe, pierwszego rzędu, którego rozwiązanie analityczne ma postać
Dk2 g
18µt
U=
(ρk − ρ) 1 − exp − 2
.
(4.3)
18µ
Dk ρk
Rozwiązanie powyższe otrzymane zostało dla warunku początkowego U (0) = 0,
co oznacza, że kulka zaczyna opadać ze stanu spoczynku. Należy zdawać sobie
sprawę z tego, że powyższe rozwiązanie, które wynika z równania ruchu kulki
(4.1), opisuje prędkość z jaką porusza się kulka, a nie pole prędkości płynu.
Przechodząc z powyższym rozwiązaniem do granicy, dla t → ∞, otrzymujemy
lim U =
t→∞
Dk2 g
(ρk − ρ) .
18µ
(4.4)
Rozwiązanie (4.4) przedstawia prędkość, kiedy kulka zaczyna poruszać się ruchem jednostajną, tzn. kiedy ciężar równoważony jest wyporem i oporem. Rozwiązanie (4.4) można otrzymać z równania ruchu (4.1), jeżeli założy się równowagę G − N − F = 0. Jest to równanie algebraiczne i nie wymaga stawiania
warunku początkowego w przeciwieństwie do równania (4.1).
F~
~g
H
Dk
~
N
~
U
~
G
Rozwiązanie (4.3) przedstawia sobą prędkość, która zależy od czasu. Może
ona być powiązana z wysokością opadania H i czasem opadania t następującą
zależnością
H = Ū t, gdzie Ū jest prędkością średnią w myśl definicji Ū =
r
1 t
U
dt.
W
ten sposób rozwiązanie (4.3) można zapisać jako
t 0
18µt
D2 g
D2 ρk
exp − 2
H = k (ρk − ρ) t + k
−1
,
(4.5)
18µ
18µ
Dk ρk
45
lub dla ruchu jednostajnego
H=
Dk2 gt
(ρk − ρ) .
18µ
(4.6)
Eksperyment polega na kilkukrotnym pomiarze czasu t opadania kulki na
drodze H. Wielkości te potrzebne są do wyznaczenia współczynnika lepkości w
oparciu o wzór (4.6). Pomiary czasu opadania zapisujemy w tabeli 4.6. Wysokość
opadania H zapisywana jest w tabeli 4.7 wraz z pomierzonymi wysokościami
słupów wody i oleju jak na rysunku 4.2. Temperatura wody T zapisywana jest
w tabeli 4.5 i służy ona do wyznaczenia gęstości wody ρ1 .
Tabela 4.1. Obliczenia gęstości
ρ [kg m−3 ]
∆ρ [kg m−3 ]
δρ [%]
ρk [kg m−3 ]
∆ρk [kg m−3 ]
δρk [%]
4.3.1. Obliczenia
4.3.1.1. Wyznaczanie gęstości kulki i oleju
Gęstość ρk szklanej kulki o średnicy Dk i masie mk (tabela 4.7) wyznaczana
jest ze wzoru ρk = mk |Vk |−1 , co po podstawieniach daje
ρk =
6 mk
.
πDk3
(4.7)
Błąd bezwzględny określenia gęstości znajdujemy za pomocą różniczki zupełnej
∆ρk ≈ dρk (mk , Dk )
∂ρk
∂ρk
(4.8)
∆mk + ∆Dk .
∆ρk = ∂mk
∂Dk
Znając błędy względne pomiarów δx = ∆xx i dzieląc powyższą zależność obustronnie przez gęstość kulki, można wyznaczyć błąd względny pomiaru wyznaczania gęstości kulki w postaci
δρk = δmk + 3 δDk .
(4.9)
W ten sposób jesteśmy w stanie również określić błąd bezwzględny ∆ρk = ρk δρk .
Wyniki umieszczamy w tabeli 4.1.
ρ
ρ1
h1
h
46
Rys. 4.2. U-rurka
Do wyznaczenia gęstości oleju, w którym opada kulka, można posłużyć się
u-rurką, która pokazana jest na rysunku 4.2. U-rurka wypełniona jest badanym
olejem i drugą cieczą, której gęstość znamy. Może być to np. woda, której gęstość
w funkcji temperatury jest łatwa do określenia. Obie ciecze nie mieszają się i
tworzą wyraźną powierzchnię rozdziału. Równanie Bernoulliego dla przypadku
hydrostatycznego [5] ma postać p+ρgh = const. Przyjmując poziom odniesienia
na granicy rozdziału cieczy i pamiętając o tym, że na powierzchniach swobodnych mamy ciśnienie atmosferyczne, możemy zapisać, że ρh = ρ1 h1 . Z równania
tego wynika poszukiwana gęstość oleju
ρ = ρ1
h1
.
h
(4.10)
Błąd bezwzględny pomiaru gęstości wyznaczamy za pomocą różniczki zupełnej ∆ρ ≈ dρ(h, h1 ) w postaci
∂ρ
∂ρ
(4.11)
∆h1 .
∆ρ = ∆h + ∂h
∂h1
Dzieląc obustronnie powyższą zależność przez ρ, otrzymujemy zależność na
błądy względne
(4.12)
δρ = δh + δh1 .
Znając błędy względne δh = ∆hh , można z powyższej zależności określić błąd
bezwzględny pomiaru gęstości oleju ∆ρ = ρ δρ . Wyniki zamieszczamy w tabeli
4.1.
4.3.1.2. Pomiary czasu
Czas opadania kulki wyznaczamy na podstawie serii pomiarów z tabeli 4.6.
Średni czas t̄ rozumiany jest jako średnia arytmetyczna
n
t̄ =
1X
ti .
n i=1
(4.13)
Wariancję dla pojedynczego pomiaru σt2 wyznaczmy ze wzoru
n
σt2 =
1X
2
(ti − t̄) ,
n i=1
(4.14)
47
skąd można wyznaczyć odchylenie standardowe σt . Wielkość ta charakteryzuje
błąd pojedynczego pomiaru. Dla serii n pomiarów błąd bezwzględny wyznaczamy z zależności
σt
∆t = √ t(p, n).
(4.15)
n
W powyższej zależności przez t(p, n) oznaczono kwantyl rzędu p (przedział ufności) przy n stopniach swobody (pomiarach). Wartości t(p, n) odczytywane są
z tabeli 1.2. Należy przyjąć przedział ufności p na poziomie 95%, czyli p = 0.95.
Błąd względny pomiaru czasu δt wyliczamy z zależności δt = ∆t̄t . Wyniki zamieszczamy w tabeli 4.2.
Tabela 4.2. Obliczenia czasu
pomiaru
Tabela 4.3. Obliczenia współczynnika lepkości
µs χ [kg m−1 s−1 ]
t̄ [s]
µo χ [kg m−1 s−1 ]
∆t [s]
∆µ [kg m−1 s−1 ]
δt [%]
δµ [%]
4.3.1.3. Wyznaczanie współczynnika lepkości
Znając gęstości kulki ρk i oleju ρ, oraz średni czas pomiaru t̄, można wyznaczyć współczynnik lepkości na podstawie zależności (4.6). Dla przybliżenia
Stokesa otrzymujemy następującą zależność na współczynnik lepkości
µs =
Dk2 g t̄
(ρk − ρ) .
18H
(4.16)
Można również podać analogiczny wzór dla przybliżenia Oseena [3, 2] w postaci
D2 g t̄
27ρH 2
.
(4.17)
µo = k
(ρk − ρ) −
18H
8Dk g t̄2
Słuszność zależności (4.16) zachodzi dla liczby Reynoldsa Re < 0.5. Dla przybliżenia Oseena liczba Reynoldsa nieznacznie zwiększa się Re < 1. Błąd bezwzględny określenia współczynnika lepkości dla przybliżenia Oseena określamy
za pomocą różniczki zupełnej ∆µ ≈ dµs (Dk , t̄, H, ρk , ρ)
∂µ
∂µ
∂µ ∂µ
∂µ ∆µ = (4.18)
∆Dk + ∆t + ∆H + ∆ρk + ∆ρ .
∂Dk
∂ t̄
∂H
∂ρk
∂ρ
Z powyższego równania, po podzieleniu obustronnym przez µs , można określić
błąd względny pomiaru współczynnika lepkości
δµ = 2δDk + δt + δH +
δρk
+
1 − ρρk
ρk
ρ
δρ
.
−1
(4.19)
Dla małych liczb Reynoldsa wartości µs i µo są bardzo bliskie sobie.
Oprócz liczby Reynoldsa, która ma wpływ na wyniki, bardzo istotny wpływ
ma również obecność ścianek naczynia, w którym opada kulka. Wpływ jest tym
większy, im wyższa wartość stosunku średnic kulki i naczynia DDk . Wynika to
48
z tego, że Stokes [4] wyprowadził swój wzór na siłę oporu przy założeniu przepływu swobodnego, co oznacza brak ścianek. Wpływ ścianek może być określony
na kilka sposobów. Jednym z nich jest współczynnik poprawkowy na lepkość χ.
Współczynnik lepkości µ wyliczany jest wtedy z zależności µ = µs χ. Według [1]
współczynnik χ ma postać
3
5
Dk
Dk
Dk
− 0.94813
+ 2.08877
χ = 1 − 2.10443
D
D
D
6
8
10
Dk
Dk
Dk
− 1.372
+ 3.87
− 4.19
+ . . . . (4.20)
D
D
D
Wyniki obliczeń współczynników lepkości przemnożonych przez współczynnik
poprawkowy χ oraz błędów zapisujemy w tabeli 4.3.
Tabela 4.4. Obliczenia liczby Reynoldsa
Re
∆Re
δRe [%]
4.3.1.4. Wyznaczanie liczby Reynoldsa
Wzór na liczbę Reynoldsa może być zapisany w następującej postaci
Re =
U Dk ρ
HDk ρ
.
=
t̄µs χ
µ
(4.21)
Posługujemy się tutaj współczynnikiem lepkości po uwzględnieniu poprawki na
obecność ścianek naczynia µ = µs χ. Wyznaczona w sten sposób liczba Reynoldsa pozwoli zorientować się, czy założenie o słuszności wzoru Stokesa lub
Oseena Re < 1 jest spełnione. Błąd bezwzględny określenia liczby Reynoldsa
znajdujemy za pomocą różniczki zupełnej ∆Re ≈ dRe(Dk , t̄, H, ρk , ρ)
∂Re ∂Re ∂Re ∂Re
∂Re
∆Dk + ∆t + ∆H + ∆ρ + ∆µ .
∆Re = ∂Dk
∂ t̄
∂H
∂ρ
∂µ
(4.22)
Wynika stąd wzór na błąd względny
δRe = δDk + δt + δH + δρ + δµ .
(4.23)
Wyniki obliczeń zapisujemy w tabeli 4.4.
4.3.2. Sprawozdanie
cel ćwiczenia, schemat stanowiska pomiarowego, tabele pomiarów i obliczeń,
przykład obliczeniowy, wnioski.
i. Jakie siły działają na swobodnie opadającą kulkę?
ii. Jak można wyznaczyć gęstość oleju?
Oznaczenia
D
f
F
g
G
h, H
m
n
N
p
Re
t
t
T
U
|V |
x
δ
∆
µ
ρ
σ
σ2
χ
średnica
funkcja
siła oporu
siła ciężaru
wysokość
masa
liczba pomiarów
siła wyporu
przedział ufności
liczba Reynoldsa
czas
kwantyle rozkładu Studenta
temperatura
składowa prędkości wzdłuż kierunku wektora grawitacji
objętość
wielkość, zmienna
błąd względny
błąd bezwględny
gęstość
odchylenie standardowe
wariancja
współczynnik poprawkowy lepkości
49
50
Bibliografia
[1] T. Bohlin, On the Drag on Rigid Spheres, Moving in a Viscous Liquid inside Cylindrical Tubes, Transactions of the Royal Institute of Technology,
Stockholm, No. 155, pp 1–63, 1960
[2] H. Lamb, On the Uniform Motion of a Sphere in a Viscous Fluid, Philosophical Magazine Series 6, Vol. 21, No. 121, pp 112–119, 1911
[3] C. W. Oseen, Über die Stokes’sche Formel und über eine verwandte Aufgabe
in der Hydrodynamik, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Vol. 6,
No. 29, 1910
[4] G. G. Stokes, On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion
of Pendulums, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 9,
pp 8–106, 1851
51
Bibliografia
T [K]
ρ1 [kg m−3 ]
Tabela 4.6. Pomiary czasu
i
ti [s]
Tabela 4.7. Pomiary
H [mm]
1
h [mm]
2
h1 [mm]
3
D [mm]
4
Dk [mm]
5
mk [g]
6
7
8
9
10
14.15 ± 0.01
3.5678 ± 0.0002
Rozdział 5
Pomiar strat energii w rurociągu
Andrzej Ogonowski
5.1. Wstęp
Szerokie zastosowanie rurociągów do transportu cieczy, gazów i materiałów
stałych w postaci zawiesin wymaga od projektantów umiejętności poprawnego
ich konstruowania. Jednym z elementów, który bierze się pod uwagę przy konstruowaniu, jest oddziaływanie przepływu na rurociąg.
Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z tym zjawiskiem poprzez obserwację przepływu cieczy przez przewód o zmiennym przekroju.
2
u2
1
u1
z2
z1
Rys. 5.1. Rurociąg
5.2. Przepływ cieczy w rurze prostoosiowej
o stałej średnicy
Różne formy energii niesione przepływającym czynnikiem związane są następującą relacją, wynikającą z równania zachowania energii dla uśrednionych,
stacjonarnych parametrów w poprzecznych przekrojach rurociągu 2 − 2 i 1 − 1
(rys. 5.1):
2
2
Ū
p̄
p̄
Ū
−
± q = ē2 − ē1 ,
(5.1)
+ gz̄ +
+ gz̄ +
2
ρ 1
2
ρ 2
gdzie Ū – średnia prędkość, z̄ – średnia wysokość, p̄ – średnie ciśnienie, ē –
średnia energia wewnętrzna, q – ciepło doprowadzone (+) lub odprowadzone (−)
5.2. Przepływ cieczy w rurze prostoosiowej o stałej średnicy
53
z płaszcza rurociągu. Z równania bilansu entropii [4] wynika, że dla ρ = const
ē2 − ē1 =
1 w
T ṡm dτ ± q,
m τ
skąd otrzymujemy
2
2
1 w
p̄
Ū
p̄
Ū
−
=
T ṡm dτ ,
+ gz̄ +
+ gz̄ +
2
ρ 1
2
ρ 2
m τ
(5.2)
(5.3)
gdzie ṡm jest intensywnością objętościowych źródeł entropii wskutek procesów
dyssypacji energii mechanicznej. Równanie to przybiera zawsze wartości większe od zera. Tak więc zmianie prędkości płynu U , wywołanej zmianą przekroju
rurociągu, zmianie wysokości geometrycznej z w czasie przepływu, wynikającej
z geometrii ułożenia przewodu, oraz zmianie ciśnienia p wewnątrz przewodu,
odpowiadającej zmianom postaci energii płynu, towarzyszą zawsze procesy dyssypacyjne, w wyniku których powstaje ciepło, podwyższające temperaturę czynnika oraz przenikające na zewnątrz rurociągu.
5.2.1. Równanie Hagena-Poiseuille’a
W XIX wieku dwaj badacze: Hagen i Poiseuille, badając przepływy w rurkach o małej średnicy, sformułowali empiryczne prawo, które można wyprowadzić z równań Naviera-Stokesa, przyjmując następujące założenia:
1) przepływ jest stacjonarny,
2) przepływ odbywa się w kierunku osi x,
3) płyn jest nieściśliwy,
4) przewód ma stałą średnicę,
5) siły masowe w porównaniu z siłami stycznymi są pomijalnie małe.
Równanie Naviera-Stokesa
ρ
~
dU
~
= ρf~ − ∇p + µ∇2 U
dt
(5.4)
w układzie współrzędnych cylindrycznych r, φ, x daje się sprowadzić do postaci
∂Ux
1 dp
1 ∂
r
=
.
(5.5)
r ∂r
∂r
µ dx
Jeżeli Ux = Ux (r), a
postaci
dp
dx
jest stałe, to równanie powyższe można zapisać w
1 d
r dr
r
dUx
dr
=−
1 ∆p
,
µ L
(5.6)
gdzie ∆p – spadek ciśnienia statycznego na odcinku pomiarowym, L – długość
odcinka pomiarowego, µ – dynamiczny współczynnik lepkości, Ux – prędkość
miejscowa w kierunku osi x. Całką powyższego równania jest
Ux = −
∆p 2
r + C1 ln r + C2 ,
4µL
(5.7)
gdzie C1 , C2 – stałe całkowania, r – odległość od osi rury. Stałe całkowania
wyznacza się następująco:
54
Rozdział 5. Pomiar strat energii w rurociągu
1) dla r = 0 prędkość winna być ograniczona, co pociąga za sobą C1 = 0,
2) dla r = R (promień rury) winno być Ux = 0, co daje
C2 =
∆p 2
R .
4µL
(5.8)
Uwzględniając powyższe, otrzymuje się
∆p
R2 − r 2 .
4µL
Ux =
Wprowadzając prędkość średnią
2π R
1 w w ∆p
R2 − r2 r dr dφ,
Ū =
πR2
4µL
(5.9)
(5.10)
0 0
uzyskamy
Ū =
∆p R2
.
8µL
(5.11)
Jest to równanie Hagena-Poiseuille’a, które można także zapisać w innej postaci
∆p =
128µQL
,
πd4
(5.12)
gdzie Q – objętościowe natężenie przepływu, d – średnica rury. Równanie to jest
szczególną postacią równania (5.3), określającą dyssypację energii ciśnienia na
długości przewodu prostoosiowego o stałej średnicy d i długości L, przy danym
natężeniu przepływu.
Wprowadzając do wzoru zależności
Ū =
4Q
,
πd2
(5.13)
∆p
,
ρg
(5.14)
∆h =
gdzie ∆h – strata energii wyrażona w wysokości słupka cieczy, ρ - gęstość cieczy,
g – przyspieszenie ziemskie,
Ū d
,
(5.15)
Re =
ν
gdzie Re – liczba Reynoldsa, ν – kinematyczny współczynnik lepkości, otrzymamy
64 L Ū 2
.
(5.16)
∆h =
Re d 2g
Wyprowadzony wzór jest słuszny jedynie dla przepływów laminarnych, czyli
takich, dla których liczba Reynoldsa jest mniejsza niż 2300. Jest to dolna granica stabilności przepływu, tzn. zaburzenia wprowadzone do przepływu ulegają
samoczynnemu wygaszeniu. Powyżej liczby 2300 możemy mieć do czynienia z
przepływem zarówno laminarnym jak i burzliwym, przy czym im liczba Reynoldsa jest większa, tym większe prawdopodobieństwo, że przepływ jest burzliwy. Przyjęło się jednak dla uproszczenia uważać, że wartość 2300 rozgranicza
przepływ laminarny od burzliwego.
55
5.2. Przepływ cieczy w rurze prostoosiowej o stałej średnicy
5.2.2. Przepływ burzliwy
Wzór (5.16) jest wygodny w stosowaniu i, w celu ułatwienia obliczeń, wzór
wyrażający stratę energii w formie wysokości słupka cieczy dla przepływu burzliwego ma podobną postać
L Ū 2
,
(5.17)
∆h = λ
d 2g
gdzie λ – współczynnik strat tarcia. W przepływie laminarnym wartość współczynnika λ wynosi
64
λ=
.
(5.18)
Re
W przypadku przepływów burzliwych, wobec braku ścisłego rozwiązania teoretycznego, wartość współczynnika λ próbuje się przybliżyć wzorami empirycznymi, w których wartość λ uzależniona jest od kilku parametrów. Najczęściej
parametrem tym jest liczba Reynoldsa, a wzór Blasiusa w postaci
0.3164
λ= √
4
Re
(5.19)
należy do najczęściej stosowanych dla Re < 80000.
Dla większych liczb Reynoldsa dobrą zgodność do Re = 1500000 daje wzór
λ = 0.0054 + 0.396 Re−0.3 .
(5.20)
Podane zależności dla przepływu laminarnego i burzliwego słuszne są jedynie
dla przepływów o w pełni uformowanym rozkładzie prędkości. Jeżeli w rurociągu
znajduje się element wprowadzający zaburzenia do przepływu, to uformowany
w pełni profil prędkości, charakterystyczny dla danego przepływu, ukształtuje
się dopiero po przebyciu pewnego odcinka przewodu. Długość tego odcinka wynosi w przybliżeniu dla przepływu laminarnego Lw = 0.065 Re d, dla przepływu
burzliwego Lw = 0.03 Re d. Jeżeli straty miejscowe będą liczone dla elementu
rurociągu, w którym rozkład prędkości jest zaburzony, otrzymamy wyniki niezgodne z rzeczywistością.
5.2.3. Rozkład prędkości w rurach prostoosiowych
o przekroju kołowym
W przepływie laminarnym rozkład prędkości w przewodzie okrągłym jest
paraboloidalny (rys. 5.2, wzór (5.9)).
ds
r
ux
R
r
ux
R
a
u
umax
Rys. 5.2. Przepływ laminarny
umax
Rys. 5.3. Przepływ turbulentny
Dla przepływu burzliwego obserwujemy inny rozkład prędkości (rys. 5.3).
Opierając się na wzorze Blasiusa, Prandtl wyprowadził zależność na rozkład
56
prędkości w przepływie burzliwym:
r n1
,
Ux = Umax 1 −
R
gdzie n jest liczbą zależną od liczby Reynoldsa i wynosi
– dla rur chropowatych
n = 6, Re > 2300,
(5.21)
(5.22)
– dla rur gładkich
n = 7,
n = 8,
n = 9,
n = 7,
Re ∈ [45000, 80000],
Re ∈ [80000, 200000],
Re ∈ [200000, 640000],
Re ∈ [640000, 2000000].
(5.23)
(5.24)
(5.25)
(5.26)
Grubość podwarstwy laminarnej δs można obliczyć ze wzoru [1]
δs =
µUδs
,
τ0
(5.27)
gdzie Uδs – prędkość na granicy podwarstwy laminarnej, τ0 – naprężenie styczne
na ściance przewodu. Powyższy wzór, dla przepływu burzliwego o Re = 60000,
można przekształcić do postaci:
δs =
123R
7
Re 8
.
(5.28)
Jeżeli nierówności powierzchni są schowane głęboko w podwarstwie laminarnej (wysokość nierówności jest około czterokrotnie mniejsza od grubości podwarstwy), to taką rurę możemy nazwać hydraulicznie gładką. Nierównomierności ścianek nie wprowadzają wtedy dodatkowych zaburzeń do przepływu i nie
zwiększają strat.
5.3. Spadki ciśnień na odcinkach rurociągu.
Straty miejscowe
Przez spadek ciśnienia na odcinku rurociągu (kolanko, zawór, itp.) rozumiemy różnicę ciśnień statycznych między przekrojami wlotowym a wylotowym
tego elementu.
Poza stratami, jakie występują na całej długości przewodów prostoosiowych
lub łagodnie zakrzywionych, występują także straty związane z miejscowym
zaburzeniem pola prędkości, powstałym wskutek nagłej zmiany kierunku przepływu, zwiększenia lub zmniejszenia przekroju rury, np. w wyniku przepływu
przez zawór.
Straty te zazwyczaj wyraża się wzorem o strukturze podobnej do wzoru
(5.16)
U2
U2
(5.29)
∆h = ζm1 1 = ζm2 2 ,
2g
2g
57
5.3. Spadki ciśnień na odcinkach rurociągu. Straty miejscowe
gdzie ∆hm – miejscowa strata energii, wyrażona jako wysokość słupka cieczy,
ζm – współczynnik straty miejscowej, U1 – średnia prędkość przed przeszkodą,
U2 – średnia prędkość za przeszkodą.
Jeżeli w miejscu stanowiącym źródło strat następuje zmiana średniej prędkości, to zazwyczaj współczynnik odnosi się do prędkości większej. W związku
z tym, że przyczyną powodującą wszelkie straty ciśnienia przy przepływach jest
lepkość płynu, wartości liczbowych współczynników strat zależne będą od liczb
kryterialnych, w których znajdują się wielkości określające lepkość płynu. Wartość współczynników strat zależy jednak przede wszystkim od liczby Reynoldsa.
5.3.1. Wartości współczynników strat dla typowych
elementów rurociągów
d
d
D
R
Rys. 5.4. Kolano 90◦
Rys. 5.5. Nagłe zwężenie rury
d
D
b
b
D
d
Rys. 5.6. Konfuzor ζk = 0.1 dla β ¬ 45◦
R/d
ζkol
β [◦ ]
k
β [◦ ]
k
(d/D)2
ζzw
–
–
–
–
0
0.30
0.1
0.29
Rys. 5.7. Dyfuzor ζd = k 1 −
Tabela 5.1. Kolano 90◦
0.75 1.00 1.25
1.50
0.50 0.25 0.20 0.175
2.5
0.18
25
0.62
Tabela
5
0.13
30
0.81
5.2. Dyfuzor
7.5
10
0.14 0.16
40
60
1.03 1.21
2
2.00
0.15
15
0.27
90
1.12
Tabela 5.3. Nagłe zwężenie rury
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.28 0.25 0.21 0.18 0.13
Zawory (całkowicie otwarte):
zwykły ζz = 4.6,
udoskonalony ζz = 2.7,
z ukośnym zamknięciem ζz = 2.6,
o przepływie prostoliniowym ζz = 0.6.
d2
D2
20
0.43
180
1.00
0.7
0.08
0.8
0.04
0.9
0.01
58
5.4. Równanie zachowania energii (równanie
Bernoulliego ze stratami)
Przekształcając równanie zachowania energii w postaci (5.1) dla q = 0,
można je sprowadzić do postaci
Ū12
p̄1
p̄2
Ū 2
+
+ z1 = 2 +
+ z2 + ∆h1−2 ,
2g
ρg
2g
ρg
(5.30)
2
p̄
odpowiada energii ciśnienia,
gdzie Ū2g odpowiada energii kinetycznej płynu, ρg
z odpowiada energii potencjalnej związanej z zewnętrznym polem sił masowych,
∆h1−2 odpowiada stratom energii w przepływie od punktu 1 do punktu 2.
5.4.1. Współczynnik Coriolisa
Sposób uśredniania prędkości w przekroju przewodu ma zasadnicze znaczenie przy określaniu pozornej energii kinetycznej Ep liczonej według prędkości
średniej. Stosunek energii rzeczywistej E do energii pozornej jest zawsze większy od jedności. Dla rozkładu prędkości właściwego przepływowi laminarnemu
αl =
E
= 2.
Ep
(5.31)
Dla rozkładu prędkości w przepływie burzliwym
αb =
E
= 1.06.
Ep
(5.32)
Iloraz ten nazywamy współczynnikiem Coriolisa. Wyraz reprezentujący energię
kinetyczną jest zwykle znikomo mały w porównaniu ze stratami energii zachodzącymi w czasie przepływu. Uwzględniając jednak różnicę energii kinetycznej,
wynikającą z obliczenia jej według prędkości średniej, musielibyśmy pisać uogólnione równanie Bernoulliego w postaci
α1
Ū 2
p̄1
p̄2
Ū12
+
+ z1 = α2 2 +
+ z2 + ∆h1−2 .
2g
ρg
2g
ρg
(5.33)
5.5. Linia piezometryczna. Linia spadku energii
Wykres obrazujący zmianę ciśnienia statycznego wzdłuż osi przewodu, nazywamy wykresem ciśnień lub wykresem piezometrycznym. Gdybyśmy w ściance
rury wykonali otworki o małej średnicy, prostopadłe do ścianki i podłączyli do
nich rurki piezometryczne, to poziom cieczy w rurkach zakreśliłby linię obrazującą zmienność ciśnień.
Zmiany ciśnienia zachodzą zgodnie z równaniem Bernoulliego ze stratami.
Wywołane są one zarówno zmianami wysokości poszczególnych przekrojów przewodu ponad poziomem odniesienia oraz zmianami prędkości, jak i stratami miejscowymi. Linie piezometryczne nie reprezentują całkowitej energii mechanicznej
płynu. Dopiero linia, która powstaje w wyniku podniesienia linii piezometrycznej o wartość energii kinetycznej płynu, reprezentuje energię całkowitą płynu
59
5.6. Opis ćwiczenia
i tę linię nazywamy linią spadku energii. Sposób konstruowania linii piezometrycznej i linii spadku energii najlepiej prześledzić na rysunku (rys. 5.8).
Oznaczone na rysunku różnice ciśnień, wyrażone w postaci poziomów cieczy
w rurkach piezometrycznych, odpowiadają kolejno niżej wymienionym wielkościom:
U2
– strata wlotowa: ζ1 2g1 ,
– spadek ciśnienia wywołany wzrostem prędkości – ciśnienie dynamiczne:
– strata ciśnienia na odcinku nr 1: λ1 Ld11
U12
2g ,
U12
2g
– spadek ciśnienia związany ze wzrostem prędkości:
U22 −U12
,
2g
U2
– strata ciśnienia na zmianie średnic z d1 na d2 : ζ2 2g2 ,
U22
2g ,
– spadek ciśnienia związany ze wzrostem prędkości:
U22 −U32
,
2g
U2
– strata ciśnienia na zmianie średnic z d2 na d3 : ζ3 2g2 ,
U32
2g ,
– ciśnienie dynamiczne na odcinkach 1, 2 i 3:
(z1+1)
l1
U12 U22 U32
2g , 2g , 2g .
u 12
2g
u12
2g
2
l 1 u1
d1 2g
u 22 - u 12
u2
+ z2 2
2g
2g
l2
u22
2g
2
l2 u2
d2 2g
u 22 - u 32
u2
- z3 2
2g
2g
u 32
2g
l3
l1, d1, u1, l1
z2
l2, d2, u2, l2
z3
z1
2
l3 u3
d2 2g
l3, d3, u3, l3
Rys. 5.8. Linia spadku energii
5.6.1. Stanowisko pomiarowe
Stanowisko pomiarowe (rys. 5.9) składa się ze zwężki pomiarowej – kryzy
ISA z pomiarem przytarczowym (1), rurociągu o zmiennym przekroju (2), rurek
piezometrycznych (3) oraz zaworu dławiącego przepływ (4), znajdującego się na
końcu, poza odcinkiem pomiarowym.
60
3
1
2
4
Rys. 5.9. Stanowisko pomiarowe
5.6.2. Przebieg ćwiczenia
Zaworem dławiącym ustawia się taki poziom wody w rurkach piezometrycznych, aby możliwe było odczytanie wysokości wszystkich słupków. Odczytuje się
ciśnienia statyczne w poszczególnych rurkach, odpowiadających punktom zaznaczonym na rurociągu oraz wysokości słupków wody w manometrze różnicowym
zwężki. Odczytów dokonuje się w mm słupa wody i zapisuje w tabeli pomiarów
(tabela 5.4). Natężenie przepływu przez rurociąg zmienia się, dławiąc przepływ
zaworem regulacyjnym.
Konieczny do wyznaczenia średnich prędkości przepływu w różnych miejscach przewodu schemat wymiarowy rurociągu pokazano na rys. 5.10.
5.6.3. Opracowanie wyników pomiarów
Wyniki ćwiczenia należy przedstawić w postaci dwóch linii piezometrycznych, wykreślonych nad szkicowo przedstawionym rurociągiem z zaznaczonymi
punktami pomiarowymi. Jedną linię należy wykreślić na podstawie odczytu wysokości słupków wody w rurkach piezometrycznych, drugą natomiast – na podstawie wyników obliczeń.
Podstawą do obliczeń są wymiary rurociągu (rys. 5.10) oraz różnica poziomów wody w manometrze różnicowym, służąca do obliczenia natężenia przepływu. Do obliczenia należy przyjąć następujące dane:
Rurociąg:
– stal węglowa,
– powierzchnia wewnętrzna zardzewiała,
– średnica w temperaturze 20 ◦ C dr = 52.5 mm.
Zwężka:
– kryza ISA z pomiarem przytarczowym – stal nierdzewna,
– średnica otworu w temperaturze 20 ◦ C dz = 23.24 mm,
– promień zaokrąglenia krawędzi wlotowej r = 0.05 mm.
Zmiany ciśnień na poszczególnych elementach rurociągu należy obliczyć posługując się wzorami podanymi wyżej.
13
12
14
15
16
17
18 19 20 21
22
23
24
f36
11
f36
10
f48
9
f65
8
f41
7
6
f36
5
f109
4
f24
3
f23
2
54
30
70
54
56
147
305
29
278
62
44
547
80
120
180
16
62
69
82
214
826
240
1170
135
280
Rys. 5.10. Schemat
1
f64
90
274
378
441
82
102
122
156
61
62
Tabela 5.4. Serie pomiarowe
Nr
zwężka
−
I
II
Punkty pomiaru ciśnienia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
63
5.6.4. Sprawozdanie
Sprawozdanie powinno zawierać: wyniki pomiarów, wyniki obliczeń, wykres
linii piezometrycznej i linii spadku energii (obie w jednostkach układu SI) nad
schematycznym rysunkiem rurociągu, wnioski.
i. Narysuj linię spadku ciśnienia statycznego oraz linię spadku energii całkowitej dla układu przepływowego przedstawionego na rysunku.
d
D
ii. Podaj wzory na stratę ciśnienia związaną z tarciem o ścianki rury prostej
oraz stratę lokalną.
Bibliografia
[1] J. Bukowski, Mechanika płynów, PWN, Warszawa, 1976
[2] R. A. Druckworth, Mechanika płynów, WNT, Warszawa, 1983
[3] W. Prosnak, Mechanika płynów, PWN, Warszawa, 1970
[4] R. Puzyrewski, J. Sawicki, Podstawy mechaniki płynów i hydrauliki, PWN,
Warszawa, 1987
[5] A. T. Troskolański, Hydromechanika techniczna. T. III, Pomiary wodne,
PWT, Warszawa, 1957
Rozdział 6
Pomiar rozkładu ciśnień
na profilu kołowym
Janusz Iwan
6.1. Wstęp
W hierarchii ważności różnorodnych badań, jakimi posługuje się aerodynamika przy badaniu przepływów wokół ciał stałych, zdecydowanie na pierwszym
miejscu postawić można badania rozkładu naprężeń na profilach. Wyniki tych
badań, odpowiednio opracowane, dostarczają bowiem podstawowego materiału
do wyciągania wniosków dotyczących zarówno własności badanych profili, jak
też (jeśli istnieje ku temu potrzeba) precyzowania kierunku działania przy projektowaniu profili nowych, o pożądanych własnościach. Rozpoznanie charakterystyk profili, daje możliwość ich racjonalnego wykorzystania w całym bogactwie
form w różnych dziedzinach techniki.
Zaprezentowanie tych badań, w ich uproszczonej z konieczności formie wśród
tematów ćwiczeń laboratoryjnych z hydromechaniki, jest podyktowane chęcią
przybliżenia studentom praktycznej strony zdobywania wiedzy o własnościach
profili. Jako obiekt badań wybrano profil kołowy. Jego powszechność występowania w otoczeniu, charakter geometrycznej budowy ułatwiający badania oraz
nieskomplikowany do analizy efekt opływu, wybór ten uzasadnia.
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie rozkładu ciśnień (naprężeń normalnych)
na profilu kołowym, wyznaczenie siły oraz współczynnika oporu tej części oporu
profilowego, która od tego rozkładu ciśnień pochodzi.
6.2. Opis stanowiska pomiarowego i sposób
przeprowadzenia pomiaru
Do realizacji postawionego celu posłuży stanowisko pomiarowe, którego schemat przedstawiono na rys. 6.1. Składa się ono z wentylatora (1) napędzanego
silnikiem elektrycznym prądu zmiennego, kanału prostokątnego (2) porządkującego strumień powietrza, profilu kołowego (5) umieszczonego w tym kanale oraz
odpowiednich przyrządów pomiarowych opisanych niżej. Profil kołowy (5) ma
6.2. Opis stanowiska pomiarowego i sposób przeprowadzenia pomiaru
65
kształt rury umieszczonej poziomo w poprzek kanału (2) w specjalnych prowadnicach pozwalających na obrót rury względem jej osi o kąt α = ±10◦ oraz jej
unieruchomienie. W jednym ze znajdujących się w pobliżu osi symetrii kanału,
przekrojów poprzecznych rury umieszczono wstawkę pomiarową (7).
1
2
3
4
5
6
7
A-A
A
o
-10o
0
10o
A
Dh
0
0
l
hL
hP
0
Wstawka, rys. 6.2 ma kształt kołowego pierścienia o średnicy φ58 mm, równej średnicy rury, z nawierconymi promieniowo na obwodzie małymi otworami.
Otwory rozmieszczono w podziałce co 30◦ i ponumerowano liczbami od 1 do
12. Od każdego otworu wyprowadzono wężyk elastyczny, którego koniec, również numerowany odpowiadającym otworowi numerem, połączono z ramieniem
manometru U-rurkowego. Drugie ramię manometru jest otwarte do atmosfery.
3
4
5
2
6
1
a
b
7
8
12
po
9
11
10
Dh
hP
hL
0
0
Rys. 6.2. Wstawka pomiarowa
Wskazania manometru dają różnicę ciśnień między ciśnieniem panującym
na profilu w wybranym punkcie określonym wielkością kątową β, a ciśnieniem
atmosferycznym, czyli wartości
∆p(β) = p(β) − p0
(6.1)
podciśnień i nadciśnień panujących na profilu. Ustalając dla manometru zerowy
66
Rozdział 6. Pomiar rozkładu ciśnień na profilu kołowym
poziom odniesienia i pisząc równanie stanu jego równowagi, otrzymamy
∆p(β) = p(β) − p0 = (hL − hP )γ,
(6.2)
gdzie hL , hP – wysokości słupków cieczy manometrycznej ponad poziom zerowy,
odpowiednio dla lewego i prawego ramienia manometru (wartości średnie z kilku
odczytów), γ – ciężar właściwy cieczy manometrycznej.
Należy przy tym pamiętać, że jeśli chcemy aby znak algebraiczny przy ∆p(β)
był adekwatny do relacji między ciśnieniem na profilu p(β) i ciśnieniem atmosferycznym, trzeba zadbać, by końcówka przewodu elastycznego była przez cały
czas pomiarów podłączona do tego samego ramienia manometru. Przy przyjęciu
konwencji, że znak ‘−’ mówi o podciśnieniu, a ‘+’ o nadciśnieniu, otrzymamy dla
skojarzenia matematycznego wielkości hL i hP w zależności (6.2), że przewód
winien by podłączony do prawego ramienia manometru.
Mierząc wysokości słupków cieczy w manometrach U-rurkowych, przyporządkowanych poszczególnym otworom na obwodzie wstawki pomiarowej, otrzymamy rozkład wartości różnic p(β) − p0 dla 12 punktów pomiarowych na obwodzie profilu, czyli wartości ∆p(β) w punktach, dla których β = 0◦ , 30◦ , 60◦ ,
. . ., 330◦ .
Korzystając z geometrycznej własności profilu kołowego (nie posiada wyróżnionej charakterystycznej cięciwy), możemy liczbę punktów pomiarowych zagęścić, obracając profil o ‘kąt natarcia’ α = ±10◦ , otrzymamy pomiary ∆p(β) w
punktach dla których β = 10◦ , 40◦ , 70◦ , . . ., 340◦ , a następnie o α = −10◦ ,
otrzymamy pomiary ∆p(β) w punktach dla których β = −10◦ (350◦ ), 20◦ , 50◦ ,
. . ., 320◦ . W ten sposób uzyskamy pomiary ∆p(β) w punktach położonych na
obwodzie profilu co 10◦ . Jest to wystarczająca liczba punktów pomiarowych dla
określenia rozkładu ciśnień.
Z uwagi na fakt, że na wielkości ciśnień w poszczególnych punktach profilu
wpływają takie wielkości jak, rodzaj otaczającego profil ośrodka – jego gęstość
i prędkość, przyjęło się w aerodynamice takie rozkłady przedstawiać w formie
bezwymiarowej, tzw. współczynników ciśnienia cp , gdzie wartości poszczególnych ciśnień są odniesione do wartości ciśnienia dynamicznego q panującego w
strumieniu w czasie pomiarów
cp =
p(β) − p0
.
q
(6.3)
Do pomiaru ciśnienia dynamicznego q zastosowano w ćwiczeniu rurkę Prandtla współpracującą z mikromanometrem z rurką pochyłą (3). Pochylenie rurki
wydłuża skalę odczytu, czyniąc go dokładniejszym. Wartość tego ciśnienia jest
równa
q = k γa l,
(6.4)
gdzie k – przełożenie manometru, określające pochylenie jego rurki ze skalą.
Wartość k należy odczytać z przyrządu, γa – ciężar właściwy cieczy manometrycznej (alkohol etylowy, określić z tablic), l – wskazanie manometru.
Odkładając na przekroju profilu, wzdłuż promienia, odcinki odpowiadające
(po uwzględnieniu podziałki) obliczonym w poszczególnych punktach wielkościom cp , w konwencji: nadciśnienie do środka okręgu, podciśnienie na zewnątrz,
otrzymamy graficzny obraz rozkładu cp (β) (rys. 6.3) równoznaczny z rozkładem
ciśnień rzeczywistych.
67
6.3. Obliczenie oporu walca
Analizę teoretyczną opływu profilu kołowego płynem idealnym zawiera literatura [2, 3]. Efekt tych rozważań jest taki, że przy założeniu braku cyrkulacji
wokół profilu, przebieg zmian współczynnika ciśnienia cpt w funkcji kąta położenia β analizowanego punktu wyraża się zależnością
cpt (β) = 1 − 4 sin2 β.
(6.5)
Przedstawiając tę funkcję w przyjętej wyżej konwencji dla pokazania przebiegu
cp zobaczymy, że przebieg cpt jest symetryczny względem obu charakterystycznych osi: pionowej i poziomej (rys. 6.3), nie sugeruje zatem powstania między
płynem a profilem jakiejkolwiek reakcji. Sugestia ta stoi w wyraźnej sprzeczności
z intuicyjnym wyczuwaniem rzeczywistości przez obserwatora, a po porównaniu
z doświadczeniem zwraca uwagę, jak istotny wpływ na kształtowanie obrazu
rozpatrywanego zjawiska mają siły lepkości, nie uwzględnione w analizie.
teoret. (przep³yw nielepki)
p(b) - po
q
dN
dNV
doœwiadczenie
(p/2) R
dNH
dr
r
ds
b
kierunek nap³ywu
+
-R
(-p/2)
Rys. 6.3. Rozkłady ciśnień
Rys. 6.4. Rozkład sił
Niesymetryczny rozkład ciśnień rzeczywistych względem osi walca prostopadłej do kierunku przepływu (rys. 6.3) jest przyczyną, że po zsumowaniu składowych poziomych naporów elementarnych otrzymamy niezerową wypadkową tych
naporów, równoległą do kierunku przepływu. Siłę na profilu działającą w tym
kierunku przyjęło się w aerodynamice nazywać siłą oporu ciśnienia. Z uwagi na
symetrię rozkładu ciśnienia względem osi poziomej profilu, nie wystąpi oczywiście reakcja prostopadła do kierunku przepływu – siła nośna, gdyż wypadkowa
elementarnych naporów rzutowanych na ten kierunek jest równa zero.
Przykładowo, do analizy weźmy lewą połówkę profilu walca z rys. 6.3. Rachunek przeprowadzimy zakładając, że rozpatrywany element walca posiada długość (w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku) równą jedności. Usytuowanie składowych elementarnych naporu oraz informacje dotyczące współrzędnych punktu ich przyłożenia podano na rys. 6.4. Otrzymamy elementarną
siłę parcia
dN = p(β) ds l,
(6.6)
68
gdzie l – długość profilu w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku.
Jeżeli przyjmiemy l = 1, to składowa pozioma elementarnej siły parcia
dNH = dN cos β = p(β) ds cos β.
(6.7)
Jeżeli przyjmiemy l = 1, to składowa pozioma elementarnej siły parcia
NHL =
π/2
w
p(β) ds cos β,
(6.8)
−π/2
gdzie ds = R dβ.
Układ współrzędnych, w którym wprowadzono powyższą zależność, jest o
tyle niewygodny, że wymaga całkowania wzdłuż łuku, komplikując obliczenie
całki. Możemy się jednak tej niedogodności pozbyć, zmieniając układ współrzędnych jak niżej. Z rys. 6.4 widać, że przyrost promienia dr jest równy rzutowi
łuku na kierunek promienia
dr = ds cos β.
(6.9)
Wprowadzając tę zmienną pod znak całki oraz zmieniając granice całkowania
odpowiednio −π/2 ≡ −R i π/2 ≡ R, otrzymamy
NHL =
wR
p(r) dr.
(6.10)
−R
Zapis jest równoważny poprzedniemu z tą różnicą, że pod znakiem całki występuje funkcja zmian ciśnienia w zależności od r, a nie, jak poprzednio, od β. Jest
ona łatwa, jak się później okaże, do określenia i całkowania.
Całkowita siła pozioma równa będzie algebraicznej sumie składowych dla
lewej i prawej połówki walca
NH = NHL + NHP .
(6.11)
Z uwagi na to, że wskutek obciążenia powierzchni walca ciśnieniem otoczenia
p0 , całkowite siły: pozioma i pionowa, pochodzące od stałego p0 , są równe zeru,
czyli
" R
#
" R
#
w
w
p0 (r) dr +
p0 (r) dr
= 0.
(6.12)
−R
L
−R
P
Łącząc (6.10), (6.11), (6.12) możemy napisać
" R
#
" R
#
w
w
NH =
(p(r) − p0 ) dr +
(p(r) − p0 ) dr
6= 0.
−R
L
−R
(6.13)
P
W ostatniej postaci równania, pod znakiem całki, mamy zależne od promienia r wartości różnic ciśnień mierzone na stanowisku przy pomocy manometrów (6) (rys. 6.1). Gdybyśmy mieli określony matematyczną funkcją przebieg p(r) − p0 w przedziale od −R do R dla obu połówek walca, to równanie
(6.13) pozwalałoby na obliczenie wypadkowej siły NH . Ponieważ określenie matematyczne takiej funkcji na podstawie pomiarów rozkładu p(r) − p0 jest, poza
69
skomplikowaniem, obarczone błędem przybliżeń, proponuje się dla określenia
NH prostszą, graficzną metodę całkowania.
Metoda ta sprowadza się do wyznaczenia graficznego przebiegu p(r) − p0
na podstawie pomierzonego i przedstawionego na wykresie (rys. 6.3) przebiegu
p(β)−p0 . Sposób postępowania podano na rys. 6.5. Rozkłady p(r)−p0 określono
oddzielnie dla obu połówek (rys. 6.5 b i c), odcinek −R, R oznacza średnicę
profilu (walca), wzdłuż której, odpowiednio, każdej wartości r równej R sin β
przyporządkowano odcinek obrazujący wartość
p(r) − p0 = p(β) − p0 ,
(6.14)
wzięty z wykresu rozkładu ciśnień pomierzonych w funkcji β (rys. 6.5 a). W myśl
geometrycznej interpretacji wartości całki, wartość NH z równania (6.13) jest
równa sumie pól zawartych między funkcją podcałkową a osią r w granicach −R
do R. Jeżeli oznaczymy to pole jak na rys. 6.5 literami A, B, C i D i przyjmiemy
kierunek napływu jako kierunek dodatni dla zwrotów składowych poziomych
naporów elementarnych, to otrzymamy:
– dla lewej połówki: pole A w obrębie nadciśnień, zwroty zgodne, znak ‘+’, pola
B i C w obrębie podciśnień, zwroty przeciwne (rys. 6.4), znak ‘−’,
– dla prawej połówki: pole D, znajdujące się w obrębie podciśnień, jak pola B i
C na połówce lewej, ale wskutek odmiennie zorientowanej powierzchni zwroty
składowych poziomych naporów elementarnych mają znak ‘+’.
p(r)-po= p(b)-po
p(b) - po
-
r
R
R
D
r
r
b
+
C
b1
0
A
-r1
0
+
+
p(r)-po= p(b)-po
-r1
p(b) - po
B
-R
po³ówka lewa
-R
po³ówka prawa
Rys. 6.5. Metoda graficzna
Otrzymamy więc
NH = ((A + D) − (B + C)) kR kP .
(6.15)
kR i kP są podziałkami, jakie uwzględniliśmy, przedstawiając wielkości p(r) − p0
oraz R w postaci graficznej. Przykładowo: 1 MPa w rzeczywistości jest równoważny 10 cm na wykresie, wówczas kp = (1 MPa)/(10 cm).
Planimetrując więc poszczególne pola, dodając według (6.15) do siebie i
uwzględniając podziałki, otrzymamy wartość jednostkowej siły poziomej NH ,
równoważnej jednostkowej sile oporu aerodynamicznego profilu Px , wymuszonej
rozkładem ciśnień. Równanie (6.13) możemy napisać również w nieco odmiennej
postaci, wprowadzając pod znak całki funkcję zmian współczynnika ciśnienia
70
cp (r)
NH
"
#
" R
# 

 wR p(r) − p
w p(r) − p
0
0
= Px .
dr +
dr
=q


q
q
−R
L
−R
(6.16)
P
Zapis ten upoważnia nas, przy tworzeniu graficznym wykresów rozkładów ciśnień (rys. 6.5), do korzystania bezpośrednio z wykonanego wykresu rozkładów
cp (β) (rys. 6.3). Trzeba tylko pamiętać, że z operacji tej otrzymamy rozkład
cp (r) i zależność (6.15) przyjmie postać
NH = q ((A + D) − (B + C)) kR kCP = Px ,
(6.17)
gdzie kCP jest podziałką przyjętą dla współczynnika ciśnienia. Wybór sposobu
obliczenia NH pozostawia się do dyspozycji ćwiczącego.
6.4. Określenie współczynnika oporu
Znając wielkość siły Px , możemy określić współczynnik oporu (ciśnienia) dla
tego profilu. Jak wiadomo
ρU 2
Px = cx F
,
(6.18)
2
gdzie cx – współczynnik oporu (ciśnienia), F – powierzchnia profilu, w naszym
przypadku jednostkowa, równa 2R · 1, ρU 2 /2 – ciśnienie dynamiczne strumienia,
w naszym przypadku pomierzone rurką Prandtla i oznaczone przez q. Tak więc
współczynnik oporu będzie równy
cx =
NH
.
2R q
(6.19)
6.5. Tabela pomiarów i wyników
Wszystkie wielkości pomiarowe powinny być określone jako średnie wartości
z kilku pomiarów (co najmniej trzech). Pomiary te ćwiczący zapisują w tabeli
pomiarów 6.1.
6.6. Sprawozdanie
Sprawozdanie powinno zawierać:
1) szkic i kilkuzdaniowy opis stanowiska pomiarowego oraz celu ćwiczenia,
2) tabelę pomiarów i wyniki obliczeń,
3) wykres porównawczy rozkładów współczynników ciśnienia rzeczywistego i
teoretycznego,
4) wykresy pomocnicze do całkowania graficznego (dla znalezienia jednostkowej
Px ),
5) obliczenia wartości jednostkowej siły oporu Px ,
6) obliczenie wartości współczynnika oporu cx ,
7) wnioski.
i. Wyznacz prędkość średnią gdy znane jest ciśnienie dynamiczne.
ii. Omów metodę wykreślną wyznaczania siły oporu.
Bibliografia
[2] L. Prandtl, Dynamika przepływów, PWN, Warszawa, 1956
71
72
Tabela 6.1. Serie pomiarowe
β
−
◦
hL
h1
h2
mm
h3
hLsr
mm
hP
h1
h2
mm
h3
hP sr
∆h
p(β) − p0
L
q
mm
mm
Pa
mm
Pa
p(β)−p0
q
−
= cp
1 − 4 sin2 β = cpt
−
Nr
Rozdział 7
Wypływ cieczy ze zbiornika
przez mały otwór
Marzena Banaszek
Andrzej Jakubek
7.1. Wstęp
W celu określenia prędkości wypływu cieczy lub objętościowego natężenia
przepływu przez otwory w ścianach zbiorników, wykorzystuje się równanie Bernoulliego. Zadanie rozwiązuje się w oparciu o teorie jednowymiarowego przepływu. Nieadekwatność równania Bernoulliego i modelu jednowymiarowego do
rzeczywistości wymaga wprowadzenia współczynnika objętościowego natężenia
przepływu w celu uzyskania lepszej zgodności pomiędzy pomierzoną a obliczoną
objętością cieczy wypływającej ze zbiornika.
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości współczynnika objętościowego
natężenia przepływu przy wypływie cieczy przez mały otwór w ścianie zbiornika.
7.2. Podstawy teoretyczne
7.2.1. Równanie Bernoulliego
Równanie Bernoulliego w postaci
p
U2
+ + gz = const
2
ρ
(7.1)
zostało wyprowadzone z równania zachowania ilości ruchu przy następujących
założeniach:
1) płyn jest nielepki, tzn. dynamiczny współczynnik lepkości µ = 0,
2) przepływ jest stacjonarny, tzn. pochodna cząstkowa dowolnego parametru
∂
przepływu względem czasu jest równa zeru, tzn. ∂t
= 0,
3) przepływ odbywa się w jednowodnych polu sił grawitacyjnych, tzn. f~ = −∇Π
oraz Π = ±gz, gdzie Π – potencjał sił grawitacyjnych, g – przyspieszenie
ziemskie, z – wysokość nad poziomem odniesienia,
4) płyn jest nieściśliwy, tzn. gęstość ρ = const.
74
Rozdział 7. Wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór
7.2.2. Analiza założeń upraszczających
Założenie nielepkości płynu jest istotnym uproszczeniem rzeczywistości. Jest
to jedyna z przyczyn braku zgodności pomiędzy wielkościami liczonymi wzorem
(7.1) a wielkościami mierzonymi, nawet przy nie najwyższej klasy metodach
pomiarowych.
Założenie stacjonarności przepływu jest ściśle związane z położeniem poziomu cieczy w zbiorniku (rys. (7.1)). Jeżeli poziom ten jest podtrzymywany
mimo wypływu, to przepływ jest stacjonarny i założenie to jest uzasadnione.
Jeżeli natomiast poziom cieczy obniża się, to założenie stacjonarności może być
∂
(decydującym o
oceniane poprzez liczbę Strouhala Sh, stojącą przy wyrazie ∂t
niestacjonarności przepływu) w równaniach zachowania.
Rys. 7.1. Schemat
Zgodnie z zależnością wyprowadzoną [5] w postaci
Sh =
µf
Hp
=
,
2F
Tc Up
(7.2)
gdzie µ jest współczynnikiem objętościowego natężenia przepływu, f – pole
powierzchni otworu, F – pole przekroju zbiornika, Hp – początkowy poziom powierzchni swobodnej w zbiorniku (h na rys. 7.1), Tc – całkowity czas opróżnienia
zbiornika, Up – początkowa prędkość wypływu cieczy przez otwór, widać, że im
mniejsze jest pole powierzchni otworu f w stosunku do pola przekroju zbiornika F , tym mniejsza jest wartość liczby Strouhala i tym mniejsze znaczenie
odrzuconego, niestacjonarnego wyrazu równania zachowania ilości ruchu.
Założenie, które dotyczą potencjalności sił grawitacyjnych i nieściśliwości
czynnika jest w przypadku rozpatrywanego eksperymentu w pełni uzasadnione.
Mamy również stacjonarne pole grawitacji ziemskiej, a ciecz wypływająca ze
zbiornika podlega tak małym zmianom ciśnienia, że gęstość cieczy można uważać
za stałą.
Dodatkowego wyjaśnienia wymaga stała występująca po prawej stronie równania (7.1). Wiadomo, że dla przepływu jest to stała dla każdej linii prądu.
Jeżeli przez U będziemy rozumieli średnią prędkość w przekroju poprzecznego
strugi, to powstaje oczywiste pytanie, jak należy rozumieć tę stałą. Może być
ona określona stanem spoczynku elementów płynu. Stan taki może być określony z pewnym przybliżeniem (korygowanym eksperymentalnie wyznaczonym
współczynnikiem objętościowego natężenia przepływu) dla powierzchni swobodnej w zbiorniku. Przybliżenie wynika z faktu niestacjonarnego zachowania się
opadającej w zbiorniku powierzchni.
7.2. Podstawy teoretyczne
75
7.2.3. Wzór Torricellego
Zgodnie z [5], otwór w ścianie zbiornika może uznać za mały, gdy jego wymiary są znacznie mniejsze w porównaniu z wysokością lustra cieczy w zbiorniku. Wówczas prędkość wypływu cieczy przy górnej krawędzi otworu jest prawie
równa prędkości wypływu cieczy przy dolnej jego krawędzi i równa jest średniej
prędkości U .
Równanie Bernoulliego można wykorzystać do wyznaczenia tej prędkości. W
tym celu obieramy strugę cieczy płynącą od zwierciadła swobodnego w zbiorniku do otworu (rys. 7.1). Przekrój 2 − 2 obieramy tuż za płaszczyzną otworu.
Układając równanie Bernoullie’ego dla przekrojów 1 − 1 i 2 − 2, otrzymamy
p1
U2
p2
U12
+
+ gz1 = 2 +
+ gz2 .
2
ρ
2
ρ
(7.3)
Wysokości z1 i z2 odmierzane są od dowolnego poziomu odniesienia (poziomu
niwelacyjnego N − N ).
Wykorzystując równanie ciągłości napisane dla tych samych przekrojów
Q = F U1 = F U2 ,
(7.4)
można uzależnić prędkość U1 od prędkość U2 . W zależności (7.4) wielkość F
oznacza pole przekroju 1 − 1 (powierzchnia swobodna cieczy w zbiorniku), f –
pole przekroju wypływającej strugi, zaś Q – objętościowe natężenie przepływu.
Podstawiając prędkość U1 , wyznaczoną z (7.4) do zależności (7.3), otrzymamy
po przekształceniach
v
u p1 −p2
u
+ z1 − z2
ρg
(7.5)
U2 = u
2 .
t2g
1 − Ff
Nad zwierciadłem cieczy w zbiorniku i przy otworze wypływowym panują
ciśnienia p1 i p2 , równe ciśnieniom atmosferycznym na poziomie przekrojów
1 − 1 i 2 − 2. Ich różnica odniesiona do ciężaru właściwego płynu jest pomijalnie
mała w porównaniu z różnicą wysokości z1 − z2 . Podobnie, ponieważ f ≪ F ,
pomijalna jest wartość (f /F )2 . Uwzględniając powyższe, wzór (7.5) przyjmie
postać
p
(7.6)
U2 = 2gh.
Jest to tzw. Wzór Torricellego. Wynika z niego, że teoretyczna prędkość wypływu cieczy przez mały otwór w ścianie lub dnie zbiornika zależy tylko od
głębokości jego zanurzenia pod lustrem cieczy.
Korzystając z wyznaczonej ze wzoru Torricellego prędkości wypływu, można
obliczyć natężenie wypływu cieczy ze zbiornika
Q = f U2 .
(7.7)
Rzeczywistości natężenie przepływu cieczy jest mniejsze od obliczonego teoretycznie. Wynika to z istnienia sił masowych oraz sił stycznych (lepkości) występujących w płynach rzeczywistych.
76
7.2.4. Współczynnik prędkości
Rzeczywista prędkość wypływu cieczy ze zbiornika jest mniejsza od prędkości teoretycznej wyznaczonej worem Torricellego. Zmniejszenie prędkości wynika
przede wszystkim z lepkości cieczy (siły styczne występujące w płynie). Zależy
także od wielkości otworu i jego zanurzenia pod zwierciadłem cieczy zgodnie ze
wzorem (7.5). Zmniejszenie się prędkości uwzględnia, się wprowadzając współczynnik prędkości, równy stosunkowi rzeczywistej prędkości wypływu cieczy Ur
do prędkości teoretyczne U2
Ur
.
(7.8)
φ=
U2
Współczynnik ten przyjmuje zawsze wartości mniejsze od jedności.
7.2.5. Współczynnik kontrakcji
Obserwacje strumienia cieczy, która wypływa przez mały otwór pozwoliły
stwierdzić, że jego pole przekroju w pewnej odległości za płaszczyzną otworu
jest na ogół mniejsze od pola przekroju otworu (rys. 7.2). Jest to tzw. zjawisko
kontrakcji, wynikające z istnienia sił masowych w płynie. Płyn znajdujący się w
zbiorniku dopływa do otworu z małymi prędkościami ze wszystkich kierunków i
zostaje przyspieszony w pobliżu otworu. Strugi cieczy płynące w pobliżu ścianek
nie mogą gwałtownie zmienić zarówno modułu, jak i kierunku wektora prędkości. Pełne przewężenie ustala się w niewielkiej odległości za płaszczyzną otworu.
Dopiero w tym miejscu ustala się w całej strudze ciśnienie, prawdopodobnie z
dobrym przybliżeniem, równe ciśnieniu zewnętrznemu. Wektory prędkości cząstek wody są w całym przekroju równoległe.
Rys. 7.2. Kontrakcja
Istnienie zjawisko kontrakcji uwzględnia się, wprowadzając współczynnik
równy ilorazowi pola przekroju strumienia fs do pola przekroju otworu f
α=
fs
.
f
(7.9)
Wartość liczbowa współczynnika kontrakcji zależy od kształtu otworu, zaokrąglenia jego brzegów oraz od chropowatości. Zjawisko kontrakcji uwidacznia się
najbardziej w przypadku otworu ostrokrawędziowego. Dla otworu okrągłego o
łagodnie zaokrąglonej krawędzi i bardzo gładkiej powierzchni, wartość współczynnika kontrakcji może przyjąć jako równą jedności.
77
7.2.6. Współczynnik wypływu
Współczynnik objętościowego natężenia przepływu (wypływu) obejmuje oba
wyżej omówione zjawiska. Koryguje on fakt przyjęcia w obliczeniach jednowymiarowego modelu przepływu. Jego wartość wynika ze wzorów (7.7), (7.8), (7.9)
Qr = fr Ur = φαf U2 = φαQ,
(7.10)
skąd otrzymujemy
Qr
,
(7.11)
Q
gdzie Qr mierzone objętościowe natężenie przepływu. Rzeczywiste natężenie
przepływu można, zatem wyrazić w postaci
µw = φα =
Qr = µr Q.
(7.12)
W przypadku wypływu cieczy przez otwór ostrokrawędziowy, wartość współczynnika µw = 0.61 − 0.63. Widać stąd, że bez jego uwzględnienia, można przy
obliczeniu natężenia przepływu popełniać błąd rzędu 40%. Gdy pożądane jest
zwiększenie prędkości wypływu cieczy ze zbiornika, można stosować odpowiedni
kształt otworu lub specjalną przystawkę. Kształty przystawek oraz odpowiadające im wartości współczynnika wypływu µw podaje literatura [2, 3, 4].
Stanowisko pomiarowe (rys. 7.3) składa się ze zbiornika (1) z króćcem wylotowym zakończonym wymienną końcówka (2), w której znajduje się otwór wypływowy. Wypływ można zatrzymać zaworem (3). Pomiaru głębokości zanurzenia otwory wypływowego dokonuj się za pomocą rurki szklanej (4) umieszczonej
na tle podziałki milimetrowej. Kształty otworów wypływowych w używanych
w doświadczeniu końcówkach przedstawia rys 7.4. Napływ wody do otworu odbywa się zawsze z lewej strony otworu. Do pomiaru czasu wypływu służy stoper.
Po założeniu odpowiedniej końcówki (2) i zamknięciu zaworu (3) (rys. 7.3),
zbiornik zostaje napełniony wodą do kreślonej wysokości. Po otworzeniu zaworu,
78
woda zaczyna wypływać przez otwór. Pomiar polega na określeniu czasu opadania zwierciadła wody w zbiorniku o wielkości określone przez prowadzącego
ćwiczenie.
Pomiar powtarza się czterokrotne – dla czterech otworów wypływowych różniących się kształtem (rys. 7.4).
Rys. 7.4. Kształty otworów
7.4. Opracowanie wyników pomiarów
7.4.1. Sposób obliczeń
Obliczenia wartości współczynnika wypływu µw dokonamy korzystając ze
wzoru na chwilowe objętościowe natężenie przepływu
Q=
dV
,
dt
(7.13)
gdzie V – objętość cieczy.
Przekształcając (7.13) do postaci dV = Q dt i wstawiając dV = −F dh,
oraz wyrażając objętościowe natężenie przypływu Q za pomocą zależności (7.12),
po uprzednim wstawieniu (7.6) i (7.7), otrzymamy
p
(7.14)
− F dh = µw f 2gh dt.
W zależności tej F oznacza pole powierzchni lustra swobodnego cieczy w zbiorniku (stałe na całej wysokości), natomiast f – pole powierzchni otworu. W
zależności (7.14) znak ‘−’ bierze się stąd, że cieczy w zbiorniku ubywa (ujemna
wartość dh, rys. 7.5).
Rys. 7.5. Schemat pomocniczy
Po uporządkowaniu i scałkowaniu równania (7.14), otrzymamy wyrażenie,
pozwalające obliczyć wartość współczynnika wypływu µw
√
√
h1 − h2
2F
µw = √
,
(7.15)
∆t
f 2g
79
gdzie h1 – początkowa odległość lustra cieczy od osi otworu, h2 – końcowa
odległość lustra cieczy od osi otworu, ∆t – czas opadania zwierciadła cieczy od
wysokości h1 do h2 .
7.4.2. Błąd pomiaru
Po wykonaniu obliczeń należy dla każdego rodzaju otworu obliczyć błąd
wyznaczenia wartości współczynnika wypływu µw . Błąd wyznaczamy metodą
różniczki zupełnej, różniczkując wzór (7.15) względem h1 , h2 i ∆t i przyjmując
pozostałem wielkości jako stałe
√
r
2 h1 − h1 h2 ∆∆t + ∆h ∆t
F
,
(7.16)
∆µw =
f gh1
∆t2
gdzie ∆h jest błędem bezwzględnym odczytu h1 i h2 , a ∆∆t – błędem bezwzględnym pomiaru czasu ∆t.
7.4.3. Tabela pomiarów i wyników
Wyniki pomiarów i obliczeń dla wszystkich otworów należy umieścić w tabeli 7.1. Wartość wysokości h1 i h2 podaje prowadzący ćwiczenie. W rubryce
t1 należy wpisać czas przekroczenia przez lustro wody poziomu h1 , zaś w rubryce t2 – czas przekroczenia poziomu h2 . Dla każdego rodzaju otworu będzie
wykonanych kilka pomiarów czasu wypływu przy różnych h1 i h2 . W kolumnie
∆t należy wpisać różnicę czasów t1 − t2 . W kolumnie µw należy wpisać wartość współczynnika wypływu obliczoną wzorem (7.15). Po obliczeniu wszystkich
wartości µw dla danego otworu, należy obliczyć dla niego średnią wartość µw
i wpisać do tabeli w kolumnie µwsr , wraz z przeciętnym błędem pomiaru, obliczonym jako średnia arytmetyczna wszystkich błędów pomiarów cząstkowych
obliczonych metodą różniczki zupełnej.
Do obliczeń należy przyjąć średnicę zbiornika D = 0.25 m oraz średnicę
otworu d = 0.005 m.
7.4.4. Sprawozdanie
schemat stanowiska pomiarowego,
tabele pomiarów i obliczeń,
przykład obliczeniowy wraz z przykładem obliczenia błędu pomiaru,
wnioski.
Wnioski powinny zawierać omówienie wpływu kształtu otworu na wartość
współczynnika wypływu, próbę wyjaśnienia tego wpływu, oraz uwagi na temat
dokładności pomiaru.
1)
2)
3)
4)
i. Przedstaw założenia równania Bernoulliego.
ii. Omów współczynnik wypływu
80
Bibliografia
[2] J. Bukowski, P. Kijkowski, Kura mechaniki płynów, PWN, Warszawa, 1980
[3] C. Gołębiewski, E. Łuczywek, E. Walicki, Zbiór zadań z mechaniki płynów,
PWN, Warszawa, 1978
Warszawa, 1987
[6] J. Wysocki, Mechanika płynów, PWN, Warszawa, 1967
Tabela 7.1. Tabela pomiarów i obliczeń
Nr
h1
h2
t1
t2
∆t
µw
µwsr
∆µw
m
m
s
s
s
−
−
−
Rozdział 8
Pomiar natężenia przepływu
w rurociągach
Marzena Banaszek
Andrzej Jakubek
8.1. Wstęp
Rurociągi, przez które przetłaczane są różnego rodzaju ciecze i gazy, spotyka się na co dzień w wielu dziedzinach działalności człowieka. Bardzo często
zachodzi konieczność pomiaru natężenia przepływu czynnika płynącego przez
rurociąg.
Poniższe ćwiczenie ma na celu zapoznanie studentów z kilkoma wybranymi,
najczęściej stosowanymi metodami pomiaru natężania przepływu lub objętości
przepływającej przez rurociąg cieczy.
8.2. Przepływomierze wirnikowe
Zasada pomiaru natężania przepływu (lub objętości przepływającej cieczy)
za pomocą przepływomierzy wirnikowych opiera się na proporcjonalności prędkości obrotowej wirnika przepływomierza do prędkości przepływu cieczy, a tym
samym do natężenia przepływu. Mechanizmy zliczające przekształcają wynik
pomiaru na objętościowe natężenie przepływu lub objętość przepływającej cieczy. W chwili obecnej istnieje szereg rozwiązań konstrukcyjnych przepływomierzy wirnikowych. W omawianym ćwiczeniu wykorzystane są dwa ich typy: przepływomierz skrzydełkowy oraz śrubowy (turbinowy).
8.2.1. Przepływomierz skrzydełkowy
W ćwiczeniu wykorzystywany jest przepływomierz jednostrumieniowy z mechanicznym urządzeniem zliczającym. Cechą charakterystyczną tego typu przepływomierzy jest prostopadłe ustawienie osi wirnika w stosunku do kierunku
przepływu wody.
Woda dopływa do przepływomierza (rys. 8.1) kanałem dolotowym (1) poprzez filtr siatkowy (2) i napływa na wirnik (3) umieszczony w komorze wirniko-
82
Rozdział 8. Pomiar natężenia przepływu w rurociągach
wej (5), zaopatrzony w łopatki (4), a następnie wypływa kanałem wypływowym
(6). Jak widać na rysunku, wirnik przepływomierza zasilany jest niesymetrycznie, zatem napór hydrauliczny wody powoduje obrót wirnika. Obroty wirnika,
poprzez wałek (7), przenoszone są do urządzenia zliczającego, umieszczonego w
obudowie (8). Przepływomierz zaopatrzony jest w licznik wskazówkowy, wskazujący objętość przepływającej cieczy.
Rys. 8.1. Przepływomierz skrzydełkowy
Średnie objętościowe natężenie przepływu można określić mierząc czas, w
którym przez przepływomierz przepłynie określona ilość cieczy. Oprócz omówionej, istnieją inne odmiany konstrukcyjne przepływomierzy skrzydełkowych.
Ciecz dopływa do przepływomierza z prędkością proporcjonalną do chwilowego objętościowego natężenia przepływu. Ponieważ prędkość kątowa wirnika
jest proporcjonalna do prędkości przepływu cieczy, jest zatem także proporcjonalna do natężenia przepływu. Liczba obrotów wykonanych przez wirnik jest
więc proporcjonalna do objętości cieczy, która przepłynęła przez przepływomierz. Przekładnia mechaniczna uwzględnia wszystkie współczynniki proporcjonalności, umożliwiając wyskalowanie przyrządu w jednostkach objętości. Ponieważ wszystkie współczynniki proporcjonalności są stałe, charakterystyka przyrządu jest w zakresie pomiarowym linią prostą (rys. 8.2).
Rys. 8.2. Charakterystyka przyrządu
Przesunięcie charakterystyki w stosunku do linii do niej równoległej, wychodzącej z początku układu współrzędnych o wartości umin , spowodowane jest
wstępowaniem oporów mechanicznych w urządzeniu zliczającym i w dławnicy
uszczelniającej oś wirnika. W zakresie od umin do upmin charakterystyka jest
nieliniowa, zaś zakres pomiarowy zaczyna się od wartości upmin (początek zakresu proporcjonalności). Wartość ∆u jest miarą błędu systematycznego, wynikającego z przesunięcia charakterystyki (opory tarcia). Po przekroczeniu upmin ,
maksymalny błąd pomiaru zawiera się w granicach ±2%.
8.2.2. Przepływomierz śrubowy (turbinowy)
Cechą charakterystyczną tego typu przepływomierzy jest równoległe usytuowanie osi wirnika w stosunku do kierunku napływu cieczy. Zasada działania
jest podobna do zasady działania turbiny śmigłowej.
Ciecz, przepływając przez promieniową kierownicę (1) (rys. 8.3), napływa
na wirnik (2), łożyskowany w dwóch łożyskach ślizgowych umieszczonych w
opływce kierownicy (1) i wsporczej (3). Prędkość obrotowa wirnika, proporcjonalna do objętościowego natężenia przepływu, mierzona jest w urządzeniu
zliczającym (4). Charakterystyka przyrządu jest podobna do opisanej wcześniej
charakterystyki.
8.3. Przepływomierze pływakowe
1
2
4
83
3
Rys. 8.4. Charakterystyka miernika
Rys. 8.3. Przepływomierz śrubowy
W starszych modelach przepływomierzy urządzenie zliczające (4) wykonane
jest w postaci przekładni zębatej. W ćwiczeniu wykorzystywany jest przepływomierz śrubowy nowego typu, PMB-3000. Obudowa przyrządu wykonana jest
z niemagnetycznej stali stopowej, natomiast wirnik – z materiału magnetycznie miękkiego (permaloju). Wirnik ułożyskowany jest w tulejkach teflonowych.
Urządzenie zliczające (4) zbudowane jest w postaci cewki elektrycznej, nawiniętej na rdzeniu z magnesu trwałego. Obrót wirnika, wywołany przepływem
cieczy, powoduje okresowe zmiany indukcji magnetycznej w szczelinie pomiędzy
łopatkami wirnika a rdzeniem cewki. Dzięki temu, na zaciskach cewki generuje
się siła elektromotoryczna, której częstotliwość jest proporcjonalna do liczby
łopatek wirnika i jego prędkości kątowej. Ponieważ prędkość kątowa wirnika
jest proporcjonalna do natężenia przepływu cieczy, zatem częstotliwość sygnału
jest wprost proporcjonalna do natężenia przepływu. Impulsy zliczane są za pomocą miernika elektronicznego i wyświetlane w postaci częstotliwości sygnału,
natężenia przepływu lub objętości przepływającej w danym czasie cieczy. Charakterystykę miernika przedstawiono na rys. 8.4.
8.3. Przepływomierze pływakowe
Typowym przedstawicielem grupy przepływomierzy pływakowych jest rotametr. W przezroczystej rurce (1) (rys. 8.5) rozszerzającej się ku górze, unosi się
swobodnie pływak (2).
p2
F
f
1
2
p1
Rys. 8.5. Rotametr
W celu stabilizacji pływaka, nadaje mu się ruch obrotowy poprzez nacięcie na
jego górnej części skośnych rowków. Woda przepływa przez rotametr od dołu do
góry przez szczelinę między pływakiem a wewnętrzną powierzchnią rurki. Miarą
natężenia przepływu jest wysokość, na jaką unosi się pływak. Pływak, zanurzony
84
całkowicie w cieczy, utrzymuje się w równowadze pod działaniem siły ciężkości
działającej w dół oraz sił wyporu i naporu hydrodynamicznego – działających
do góry
(p1 − p2 )f + V γ = V γp ,
(8.1)
gdzie p1 – ciśnienie pod pływakiem, p2 – ciśnienie nad pływakiem, f – największe
pole przekroju poprzecznego pływaka, V – objętość pływaka, γ – ciężar właściwy
cieczy, γp – ciężar właściwy materiału, z którego wykonany jest pływak.
Zależność (8.1) można przedstawić w postaci:
∆p = p1 − p2 =
V
(γp − γ),
f
(8.2)
z której widać, że różnica ciśnień nad i pod pływakiem jest stała, niezależnie od
natężenia przepływu. Prędkość przepływu cieczy przez szczelinę między pływakiem a rurą można wyznaczyć z zależności
s
2∆p
.
(8.3)
U=
ρ
Objętościowe natężenie przepływu wyraża się zależnością
s
2V
Q = µF0 U = µF0
(γp − γ),
ρf
(8.4)
gdzie µ – współczynnik natężenia przepływu, F0 – pole przekroju szczeliny (F0 =
F − f ). Wartość współczynnika µ zależy od kształtu pływaka i wewnętrznej
powierzchni rury, ich chropowatości oraz od liczby Reynoldsa.
Ponieważ prędkość przepływu cieczy, wynikająca z różnicy ciśnień jest stała,
zatem aby umożliwić pomiar różnych natężeń przepływu, pole szczeliny F0 musi
się zmieniać. Uzyskuje się to poprzez odpowiednie ukształtowanie wewnętrznej powierzchni rury. Objętościowe natężenie przepływu jest proporcjonalne do
prędkości cieczy U , natomiast różnica ciśnień nad i pod pływakiem jest proporcjonalna do kwadratu prędkości (wzór (8.3)). Zatem aby podziałka naniesiona
na zewnętrznej powierzchni rury była proporcjonalna, powierzchni wewnętrznej nadaje się kształt paraboloidy obrotowej. Zwiększenie natężenia przepływu
cieczy przepływającej przez rotametr zmusza pływak do zwiększenia pola powierzchni szczeliny i powoduje jego uniesienie się ku górze. Zmniejszenie natężenia przepływu powoduje opadanie pływaka i zmniejszenie pola powierzchni
szczeliny.
Rotametry są bardzo wrażliwe na zanieczyszczenia, które osiadając na pływaku zmieniają jego masę oraz chropowatość powierzchni. Zmiana masy wpływa
na zmianę różnicy ciśnień ∆p, a zmiana chropowatości na zmianę współczynnika
µ, co prowadzi do błędów pomiarowych. Zmiana temperatury płynu powoduje
zmianę lepkości i gęstości, czyniąc podziałkę przyrządu bezużyteczną. Rotametry powinny być wzorcowano dla danego rodzaju płynu i dla temperatury,
w jakiej będą eksploatowane. Ze względu na zanieczyszczenia cieczy, rotametr
należy utrzymywać w czystości i po zakończeniu serii pomiarów powinno się wykonać wzorcowanie kontrolne. Dla zachowania symetrii przepływu oś rotametru
powinna być pionowa.
85
Mimo wielu wad, rotametry znalazły dość duże zastosowanie w pomiarach
natężenia przepływu, szczególnie tam, gdzie wymaga się jedynie określenia jego
orientacyjnej wartości. Dokładność pomiaru w przypadku ścisłego przestrzegania warunków pomiarów wynosi około ±1%, natomiast w przypadku pomiarów
technicznych (złagodzone warunki przeprowadzania pomiarów) wynosi ±2%.
Stanowisko pomiarowe składa się z następujących elementów zainstalowanych na wspólnym rurociągu (rys. 8.6): Z1 – zawór regulacyjny, P1 – przepływomierz skrzydełkowy, P2 – przepływomierz turbinowy (śrubowy), P3 – przepływomierz zwężkowy (kryza ISA z pomiarem przytarczowym), P4 – przepływomierz pływakowy (rotametr), P5 – zbiornik pomiarowy, Z5 – zawór odpływowy,
T – termometr, t1 , t5 – stoper. Zawór regulacyjny służy do regulacji natężenia
przepływu wody płynącej przez rurociąg. Zawór odpływowy służy do opróżniania zbiornika po zakończeniu pomiaru.
t5
z1
t1
z5
P5
P4
P3
P2
P1
Celem ćwiczenia jest wykonanie pomiaru natężenia przepływu kilkoma wybranymi metodami i porównanie dokładności różnego rodzaju przepływomierzy
oraz łatwości wykonywania pomiaru za ich pomocą. Pomiary wykonuje się niezależnie na poszczególnych stanowiskach pomiarowych.
Za pomocą przepływomierza skrzydełkowego P1 należy zmierzyć objętość
wody, która przepłynie przez przepływomierz w określonym czasie. W tym celu
uruchamia się stoper t1 , dokonując jednocześnie odczytu początkowego wskazania przyrządu. Po otrzymaniu sygnału zakończenia pomiaru, zatrzymuje się
stoper, odczytując jednocześnie końcowe wskazanie przepływomierza.
Przepływomierz turbinowy P2 podłączony jest do miernika elektronicznego,
pokazującego częstotliwość sygnału lub do miernika wskazującego od razu natężenie przepływu i ilość wody przepływającej przez przepływomierz w danym
czasie. W trakcie pomiaru należy odczytać średnie wskazanie przyrządu.
Przepływomierz zwężkowy P3 wskazuje na manometrze U-rurkowym różnicę
ciśnień przed i za zwężką. W czasie pomiaru należy odczytać średnią różnicę
ciśnień.
Posługując się rotametrem P4 należy odczytać średnie wskazanie przyrządu
86
w czasie trwania pomiaru. Odczytu dokonuje się na podziałce naniesionej na
zewnętrznej powierzchni rury, na wysokości górnej powierzchni pływaka.
Zbiornik pomiarowy P5 jest przyrządem służącym do wzorcowania przepływomierzy. W czasie pomiaru mierzy się za pomocą stopera czas napełniania
zbiornika, podając pozostałym uczestnikom ćwiczenia sygnał początku i końca
pomiaru.
W czasie ćwiczenia wykonuje się kilka pomiarów dla różnych natężeń przepływu, zmieniając je za pomocą zaworu regulacyjnego Z1.
8.5. Opracowanie wyników pomiarów
8.5.1. Sposób obliczeń
Zbiornik pomiarowy. Pomiar ten traktowany jest jako wzorcowy. Błędy pomiaru natężenia przepływu innymi przepływomierzami odnosimy do pomiaru
wykonanego przy użyciu zbiornika. Wysokości słupa wody w zbiorniku równej
0.01928 m odpowiada objętość 0.001 m3 . Natężenie przepływu wyznacza się z
zależności Q5 = tV5 .
Przepływomierz skrzydełkowy. Przepływomierz wyskalowany jest w m3 . Objętość cieczy, która przepłynęła przez przepływomierz w czasie t1 , jest równa
różnicy wskazań końcowego i początkowego, a natężenie przepływu Q1 = ∆V
t1 .
Zwężka pomiarowa. Sposób obliczania natężenia przepływu przy pomocy
zwężki podano w rozdziale ‘Pomiar natężenia przepływu za pomocą zwężek’. W
obliczeniach należy przyjąć średnicę rurociągu dr = 0.041 m, średnicę otworu
zwężki d0 = 0.024 m, promień zaokrąglenia krawędzi zwężki r = 5 · 10−5 m.
Rurociąg jest stalowy, o zardzewiałej powierzchni wewnętrznej. W ćwiczeniu
należy przyjąć pierwsze przybliżenie obliczenia wartości objętościowego natężenia przepływu.
Błąd pomiaru natężenia przepływu poszczególnymi metodami należy wyznaczyć z zależności
Q5 − Qi
100 [%].
(8.5)
∆Qi =
Q5
Wyniki pomiarów i obliczeń zapisywane są w tabeli 8.1.
8.5.2. Sprawozdanie
schemat stanowiska pomiarowego,
tabelę pomiarów i obliczeń,
przykład obliczeń,
wykres skalowania rotametru. Na osi odciętych należy nanieść działkę elementarną rotametru, na osi rzędnych – natężenie przepływu,
5) wnioski.
Wnioski powinny zawierać porównanie dokładności poszczególnych przyrządów pomiarowych oraz uwagi o łatwości posługiwania się i możliwości zastosowania poszczególnych przepływomierzy.
1)
2)
3)
4)
87
i. Omów zasadę działania rotametru.
ii. Omów sposób wyznaczania natężenia przepływu dowolną zwężką pomiarową.
Bibliografia
[1] L. Kołodziejczyk, M. Rubik, S. Mańkowski, Pomiary w inżynierii sanitarnej,
Arkady, Warszawa, 1974
[2] A. T. Troskolański, Hydromechanika techniczna. T. III, Pomiary wodne,
PWT, Warszawa, 1957
88
Tabela 8.1. Tabela pomiarów i obliczeń
P1
Nr
stan licz.
koń.
m
m
3
3
P3
P4
t1
Q1
∆Q1
Q2
∆Q2
∆h
Q3
∆Q3
s
m /s
%
m /s
%
mm H2 O
m /s
%
3
3
3
dz.el.
P5
poz. wody
pocz.
koń.
m
m
V
t5
Q5
m3 /s
s
m3 /s
t
◦
C
pocz.
P2
Rozdział 9
Wiskozymetr Höpplera
Krzysztof Tesch
9.1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenia zależności współczynnika lepkości dynamicznej od temperatury za pomocą wiskozymetru Höpplera.
5
1
2
a
6
7
3
8
b
4
Rys. 9.1. Woskozymetr Höpplera
9.2. Doświadczenie
9.2.1. Budowa wiskozymetru Höpplera
Wiskozymetr Höpplera1) pokazany jest na rysunku 9.1. Płaszcz wodny otoczony jest obudową (8). Wewnątrz obudowy znajduje się rurka (7) o średnicy
D. W rurce znajduje się badany olej o gęstości ρ i wyznaczanej lepkości µ. Po
wewnętrznej ściance rurki porusza się kulka (6) o średnicy Dk . Na rurce (7)
1)
Fritz Höppler (1897-1955) – niemiecki chemik i inżynier
90
Rozdział 9. Wiskozymetr Höpplera
znajdują się dwa znaczniki a i b, pomiędzy którymi mierzy się czas opadania t.
Znaczniki są dobrane tak, aby przed osiągnięciem położenia a kulka poruszała
się ruchem ustalonym. Oś rurki (7) odchylona jest od pionu o kąt α, który ustawia się za pomocą regulowanej nóżki (4). Do sprawdzania, czy wiskozymetr jest
wyregulowany, służy poziomnica (5). Temperaturę płaszcza wodnego (8) ustawia się za pomocą grzałki lub termostatu (2), których wyjście oznaczono przez
(3). Do pomiaru temperatury płaszcza wodnego służy termometr (1).
9.2.2. Zależność na współczynnik lepkości
Gdyby wiskozymetr był ustawiony w pionie i średnica kulki Dk byłaby dużo
mniejsza od średnicy rurki D, to na kulkę działałyby siły opisane w rozdziale 4,
a wzór na współczynnik lepkości µ dany byłby w postaci (4.16)
µ=
Dk2 g
t (ρk − ρ) .
18H
(9.1)
Ponieważ jednak w dyskutowanym wiskozymetrze kulka nie opada swobodnie,
a jej ruch jest bardziej złożony, to wzór (9.1) nie może być słuszny. Jest tak
dlatego, że średnica kulki porównywalna jest do średnicy rurki, w której się ona
porusza. Oprócz oddziaływania ścianek ze względu na porównywalne średnice,
mamy do czynienia ze złożonym ruchem kulki, na który składa się między innymi
ślizganie i toczenie po ściance. Zjawiska te nie zostały uwzględnione we wzorze
Stokesa, a więc i we wzorze (9.1). Średnica kulki Dk , która jest porównywalna
do średnicy rurki, oraz pochylenie rurki, zapewniają dłuższy czas opadania kulki
t, co jest korzystne z punktu widzenia precyzji pomiaru.
Współczynnik lepkości µ badanej cieczy jest nieznaną funkcją F , która zależy
od następujących zmiennych
F (µ, t, ρk , ρ, D, Dk , α, g, H) = 0.
(9.2)
W zależności powyższej przez α oznaczono kąt nachylenia wiskozymetru. Na
podstawie analizy wymiarowej można pokazać (paragraf 1.5.2.2), że nieznana
funkcja F (9.2), która zależy od ośmiu zmiennych wymiarowych i jednej bezwymiarowej, może być zapisana jako inna funkcja uwikłana f , która zależy od
sześciu zmiennych bezwymiarowych
µt ρk D H gt2
, ,
,
,
, α = 0.
(9.3)
f
ρDk2 ρ Dk Dk Dk
Postać funkcji f jest nieznana i może być wyznaczana np. na drodze eksperymentalnej. Można zaproponować pewne proste postaci funkcji f , jeżeli zauważymy, że pewne wielkości zależą wyłącznie od budowy wiskozymetru i nie mają
wpływu na współczynnik lepkości badanej cieczy. Do takich bezwymiarowych
wielkości należą DDk , DHk , α. Ponadto można zauważyć, że są to wielkości związane wyłącznie z geometrią wiskozymetru. Mając powyższe na uwadze, można
zaproponować następującą zależność, która jest szczególną postacią funkcji uwikłanej f (9.3)
D H
ρk gt2
µt
ψ
.
(9.4)
= ϕ α,
,
,
ρDk2
Dk Dk
ρ Dk
Postać (9.4) składa się z iloczynu dwóch funkcji. Pierwsza z nich ϕ zależy wyłącznie od zmiennych związanych z geometrią wiskozymetru i jest dla danego
91
urządzenia stała. Druga z nich ψ zawiera między innymi zmienne zależne od
badanej cieczy. Zależność w postaci (9.4) jest nadal bardzo ogólna, ale przyjmując, że ϕ jest stałe, można poszukiwać zależności empirycznych dla pozostałych
trzech zmiennych bezwymiarowych. Można również zaproponować jawną postać
funkcji ψ. W najprostszym przypadku może ona wyglądać następująco
2
ρk
gt
ψ :=
−1
.
(9.5)
ρ
Dk
Nawias w definicji (9.5) jest o tyle sensowny, że zeruje się w przypadku, gdy
gęstość kulki ρk równa jest gęstości badanej cieczy ρ.
Przyjmując następującą definicję stałej E wiskozymetru Höpplera
D H
Dk g
(9.6)
,
E := ϕ α,
Dk Dk
i podstawiając (9.5) do (9.4), otrzymamy po przekształceniach
µ = E t (ρk − ρ) .
(9.7)
Stała E, podobnie jak ϕ, jest stała dla konkretnego wiskozymetru i nie zależy
ona od lepkości i gęstości badanej cieczy. Może ona być wyznaczona poprzez
kalibrację wiskozymetru. Kalibracja polega na badaniu cieczy o znanej lepkości. Zwykle stała E jest podawana przez producenta dla konkretnej kulki. W
przypadku, gdyby wiskozymetr był ustawiony pionowo i średnica kulki byłaby
dużo mniejsza niż średnica rurki, to słuszny byłby wzór (9.1), a wartość stałej E wyniosłaby E := 18−1 Dk2 gH −1 , co oznacza, że funkcja ϕ miałaby postać
ϕ := (18H/Dk )−1 . Jednostka stałej E wynosi [E] = m2 s−2 .
Eksperyment zaczyna się od napełnienia rurki (7) (rys. 9.1) badanym olejem.
Do rurki wprowadza się odpowiednią kulkę i rurkę zatyka się ją korkiem. Kulka
dobierana jest w zależności od lepkości oleju. Do dyspozycji są kulki szklane i
stalowe o różnych średnicach. Kryterium doboru stanowi czas opadania, który
powinien być wystarczająco długi, aby osiągnąć zamierzoną precyzję pomiaru.
Dla danej temperatury płaszcza wodnego, a więc i badanego oleju, mierzy się
czas opadania kulki między znacznikami a i b (rys. 9.1), a wyniki zapisuje się w
tabeli 9.3.
9.3.1. Wyznaczanie gęstości w zależności od temperatury
Gęstość kulki ρk w stałej temperaturze T0k wyznaczamy ze wzoru ρk =
mk |Vk |−1 . Jeżeli mamy do czynienia ze zmianami temperatury, należy uwzględnić rozszerzalność cieplną materiału kulki. Zmiany objętości, wywołane zmianą
temperatury, określane są zależnością |Vk (T )| = |Vk |(1 + βk ∆T ), gdzie βk jest
współczynnikiem rozszerzalności objętościowej materiału kulki (tabela 9.5), a
92
∆T przyrostem temperatury ∆T = T0k + T . Temperatura T0k = 293 K. W ten
sposób gęstość kulki, która zależy od temperatury, dana jest wzorem
ρk =
πDk3
6mk
.
(1 + βk ∆T )
(9.8)
Błąd bezwzględny pojedynczego pomiaru obliczamy za pomocą różniczki zupełnej ∆ρk ≈ dρk (mk , Dk , ∆T ). Wynika stąd, że
∂ρk
∂ρk
∂ρk
(9.9)
∆mk + ∆Dk + ∆∆T .
∆ρk = ∂mk
∂Dk
∂∆T
Dzieląc wzór (9.9) obustronnie przez gęstość (9.8) i wykorzystując zależności na
błędy względne δx = ∆x
x , otrzymujemy wzór na błąd względny gęstości kulki
δρk = δmk + 3δDk +
βk ∆T
δ∆T .
1 + βk ∆T
(9.10)
Błąd bezwzględny pomiaru różnicy temperatur szacujemy jako ∆∆T = 2∆T . Z
powyższego wzoru można wyliczać błąd bezwzględny ∆ρk = ρk δρk .
Gęstość badanej cieczy (gliceryny) można wyznaczać z poniższej zależności
empirycznej
ρ(T ) = 1404.88 − 0.6157 T kg m−3
(9.11)
z błędem względnym nie większym niż δρ = 1%. We wzorze powyższym temperatura gliceryny T podawana jest w skali Kelvina.2) Gęstości wraz z błędami
bezwzględnymi i względnymi zapisujemy w tabeli 9.1.
Nr
1
2
...
t [s]
r
A
T [K]
ρ [kg m
n
∆A
−3
∆ρ [kg m
δA [%]
]
−3
]
B
δρ [%]
ρk [kg m
1
−3
∆ρk [kg m
]
−3
∆B
δB [%]
]
δρk [%]
µ [kg m−1 s−1 ]
∆µ [kg m−1 s−1 ]
δµ [%]
9.3.2. Wyznaczanie zależności współczynnika lepkości od
temperatury
Lepkość w danej temperaturze wyznaczamy ze wzoru (9.7), gdzie stała E wiskozymetru podana jest w tabeli 9.5. Błąd bezwzględny pojedynczego pomiaru
2)
William Thomson (Lord Kelvin) (1824-1907) – brytyjski fizyk i matematyk
93
lepkości znajdujemy za pomocą różniczki zupełnej ∆µ ≈ dµ(E, t, ρk , ρ). Można
zapisać, że
∂µ ∂µ
∂µ
∂µ (9.12)
∆µ = ∆E + ∆t + ∆ρ +
∆ρ .
∂E
∂t
∂ρk k ∂ρ Błędy bezwzględne pomiaru lepkości określone zostały wcześniej. Błąd bezwzględny pomiaru czasu ∆t podaje tabela 9.4, błąd stałej wiskozymetru ∆E
znajdujemy w tabeli 9.5. Dzieląc obustronnie zależność (9.12) przez współczynnik lepkości (9.7), znajdujemy błąd względny pomiaru lepkości w postaci
δµ = δE + δt +
δρk
+
1 − ρρk
ρk
ρ
δρ
.
−1
(9.13)
Błędy ze wzorów (9.12) i (9.13) zapisujemy w tabeli 9.1.
305
310
315
320
325
0.1
0.07
0.07
0.04
0.04
Μ @ kg m
0.01
295
300
305
310
315
320
0.01
325
ln Μ
300
-1
s - 1D
295
0.1
1
12
61
62
63
64
1
325
3835
19 175
19 175
19 175
19 175
295
- 2.
- 2.
- 2.5
- 2.5
- 3.
- 3.
- 3.5
- 3.5
- 4.
- 4.
- 4.5
T@ KD
12
61
62
63
64
1
3835
19 175
19 175
19 175
19 175
295
T
Rys. 9.2. Wykres zależności lepkości od
temperatury dla gliceryny 86% we
współrzędnych T , µ
- 4.5
1
325
-1
Rys. 9.3. Wykres zależności lepkości od
temperatury dla gliceryny 86% we
współrzędnych T1 , ln µ
Pomiar lepkości w zależności od temperatury dla n punktów umożliwia określenie zależności lepkości od temperatury. Poszukiwana zależność może mieć
następujący, wykładniczy charakter
T0
µ
=eT ,
(9.14)
µ0
gdzie stałe µ0 i T0 wyznacza się eksperymentalnie. Mają one odpowiednio jednostki współczynnika lepkości i temperatury, choć krzywa (9.14) nie przechodzi
przez punkt (T0 , µ0 ). Zależność (9.14) jest o tyle wygodna, że można ją, poprzez odpowiednie podstawienia, sprowadzić do postaci liniowej. Obustronne
logarytmowanie (9.14) daje
1
.
(9.15)
T
Podstawiając y := ln µ, A := ln µ0 , B := T0 , x := T1 , otrzymujemy zależność
liniową y = A + Bx. Współczynniki A i B wyznaczamy z regresji liniowej (paragraf 1.4). Błędy bezwzględne ∆A , ∆B i względne δA = ∆AA , δB = ∆BB określenia
współczynników A i B znajdujemy ze wzorów (1.51) dla p = 0.95. Wyniki
zapisujemy w tabeli 9.2 wraz ze współczynnikiem korelacji r ze wzoru (1.45).
Na podstawie znajomości A i B jesteśmy w stanie wyznaczyć stałe T0 = B i
µ0 = eA . Umożliwia to wykreślenie zależności (9.14) we współrzędnych T, µ (wykres 9.2) i zależności liniowej ln µ = A + B T1 we współrzędnych T1 , ln µ (wykres
9.3).
ln µ = ln µ0 + T0
94
9.3.3. Przypadek kalibracji wiskozymetru
Kalibracja polega na wyznaczeniu stałej E ze wzoru (9.7), kiedy mamy do
czynienia z płynem o znanej lepkości
E=
µ
.
t̄ (ρk − ρ)
(9.16)
Przeprowadza się serię n pomiarów czasu opadania kulki ti w stałej temperaturze. Do wzoru (9.16) wstawia się
czas, gdzie średnia rozumiana jest tu w
Pśredni
n
sensie arytmetycznym t̄ = n−1 i=1 ti . Błąd bezwzględny pomiaru czasu wyli1
czamy z zależności
∆t = σt n− 2 t(p, n), gdzie σt jest odchyleniem standardowym
P
n
σt2 = n−1 i=1 (ti − t̄)2 , a t(p, n) oznacza kwantyl rzędu p (p = 0.95) przy n
stopniach swobody (pomiarach) do odczytania z tabeli 1.2. Błąd bezwzględny
kalibracji stałej E znajdujemy metodą różniczki zupełnej ∆E ≈ dE(µ, t, ρk , ρ).
Metoda postępowania jest analogiczna do tej, która rozważana była w przypadku określenia błędów pomiaru współczynnika lepkości (wzór (9.12) i (9.13)).
Dla błędu względnego kalibracji wiskozymetru mamy
δE = δµ + δt +
δρk
+
1 − ρρk
ρk
ρ
δρ
.
−1
(9.17)
Błąd względny δµ uwzględniamy w przypadku, gdy znany on jest wraz z lepkością płynu używanego do kalibracji.
Należy podkreślić, że dla danego wiskozymetru każda kulka wymaga osobnej
kalibracji. Opisana wyżej metoda została wykorzystana do określenia stałej E
z tabeli 9.5.
9.3.4. Sprawozdanie
przykład obliczeniowy, wykres zależności lepkości od temperatury ze słupkami
błędów w układzie T, µ oraz T1 , ln µ, wnioski.
i. Od jakich zmiennych zależy współczynnik lepkości w wiskozymetrze Höpplera?
ii. Jak można wyznaczyć wartość stałej wiskozymetru Höpplera?
iii. Dlaczego nie można stosować wzoru Stokesa w celu wyliczania lepkości w
wiskozymetrze Höpplera?
Bibliografia
Oznaczenia
A, B
D
E
f, F
g
H
m
n
p
r
t
T
|V |
x
współczynniki regresji liniowej
średnica
stała wiskozymetru Höpplera
funkcja
wysokość
masa
liczba pomiarów
przedział ufności
współczynnik korelacji
czas
temperatura
objętość
wielkość, zmienna
α
β
δ
∆
∆T
µ
ρ
ϕ, ψ
kąt nachylenia wiskozymetru
współczynnik rozszerzalności objętościowej
błąd względny
błąd bezwzględny
przyrost temperatury
gęstość
funkcja
Bibliografia
95
96
Tabela 9.3. Pomiary
Nr
t [s]
T [K]
∆t [s]
∆T [K]
1
2
3
Tabela 9.5. Dane dla kulki w
temperaturze T0k = 293 K
4
Dk [mm]
5
mk [g]
6
βk [K
7
E [m2 s−2 ]
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
−1
]
15.15 ± 0.01
4.3832 ± 0.0002
9.9 · 10−6
(1.30 ± 0.03) · 10−6
Rozdział 10
Wiskozymetr Englera
Krzysztof Tesch
10.1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie zależności współczynnika lepkości badanej
cieczy w funkcji temperatury za pomocą wiskozymetru Englera.
10.2. Doświadczenie
10.2.1. Budowa i zasada działania wiskozymetru Englera
Wiskozymetr Engleqra1) jest urządzeniem zaliczanym do klasy wiskozymetrów kapilarnych. Schemat wiskozymetru pokazany jest na rysunku 10.1. Obudowa (9) jest zarazem płaszczem wodnym, który służy do utrzymywania badanej cieczy (3) w określonej temperaturze za pomocą grzałki. Temperatura
wody w płaszczu mierzona jest termometrem (7), a temperatura badanej cieczy
– termometrem (2). Mieszadło (1) służy do wyrównywania temperatury płaszcza wodnego. Zatyczka (8) blokuje i otwiera kapilarę (10), przez którą badana
ciecz wypływa do zlewki pomiarowej (4). Do poziomowania urządzenia służą
regulowane nóżki (5). Wiskozymetr zamykany jest od góry przykrywką (6).
Zasada działania urządzenia polega na pomiarze czasu wypływu pewnej objętości badanej cieczy przez skalibrowany otwór. Do uproszczonego wyjaśnienie istoty metody można posłużyć się równaniem Bernoulliego. Przyjmując za
punkt odniesienia dno obudowy (dolną krawędź kapilary), można napisać równanie Bernouliego dla górnego poziomu kapilary na wysokości h1 i lustra badanej
cieczy na wysokości h2 w postaci ρg(h2 − h1 ) = p1 − p0 , gdyż ciśnienie p2 równe
jest ciśnieniu atmosferycznemu p2 = p0 . W równaniu powyższym zaniedbano
prędkości lustra badanej cieczy i jej prędkości na wysokości h1 . Wykorzystując
dalej prawo Poiseuille’a (3.3), gdzie ∆p = p1 − p0 , można współczynnik lepkości
dynamicznej µ wyrazić w następujący sposób
µ=
1)
πD4
128|V |
h2
− 1 ρ t.
h1
Carl Oswald Viktor Engler (1842-1925) – niemiecki chemik
(10.1)
98
Rozdział 10. Wiskozymetr Englera
Założono, że objętościowe natężenie przepływu zmienia się niewiele i słuszna
jest zależność |V | = V̇ t. Przez D oznaczono średnicę kapilary. Wprowadzając
następującą definicję stałej E wiskozymetru Englera
h2
πD4
−1 ,
(10.2)
E :=
128|V | h1
można zależność (10.1) zapisać jako
µ = Eρ t.
(10.3)
Stała E, według definicji (10.2), zależy od budowy wiskozymetru i nie zależy (w
uproszczeniu) od badanej cieczy.
6
1
2
h2
7
3
h1
8
4
9
5
10
Rys. 10.1. Wiskozymetr Englera
Należy zdawać sobie sprawę z uproszczeń, które równanie Bernoulliego wprowadza. Przede wszystkim zakłada się, że płyn jest nielepki. Dodatkowo prędkość
na wysokości h1 nie jest zerowa, a przepływ w kapilarze nie jest rozwiniętym
przepływem parabolicznym. Kolejnym uproszczeniem jest to, że lustro badanej
cieczy nie znajduje się w tym samym położeniu, a więc wysokość h2 zmienia się
z czasem. Związane jest to również z tym, że objętościowe natężenie przepływu
V̇ nie jest stałe.
Jeżeli przyjmiemy, że równanie (10.3) jest słuszne i stała E nie zależy od
badanej cieczy, to możemy napisać podobne równanie dla cieczy referencyjnej
(np. wody) w postaci µr = Eρr tr . Z powyższego równania i (10.3), ze względu
na równość E, otrzymamy następującą proporcję
ρ t
µ
=
.
µr
ρr tr
(10.4)
Wykorzystując zależność między współczynnikiem lepkości dynamicznej µ i kinematycznej µ w postaci µ = ρ ν, możemy proporcję (10.4) zapisać jako
ν
t
=
=: ǫ,
νr
tr
(10.5)
99
co tłumaczy istotę działania wiskozymetru Englera. Stosunek współczynników
lepkości kinematycznej cieczy referencyjnej i badanej ma się tak, jak stosunek
czasu wypływu obu cieczy. Stosunek czasów ǫ jest wielkością bezwymiarową i ma
postać bezwymiarowego czasu, który czasami nazywany jest stopniami Englera
(◦ E).
10.2.2. Przebieg doświadczenia
Zatykamy zatyczką (8) otwór pomiarowy (10) (rys. 10.1) i wlewamy badaną ciecz do zbiornika pomiarowego (3) wiskozymetru, aż lustro swobodne
pokryje się ze znacznikami na obudowie. Urządzenie poziomujemy za pomocą
pokręteł na nóżkach (5). Zamykamy obudowę (6) i wkładamy termometry (7) i
(2). Pod urządzenie podkładamy naczynie pomiarowe (4). Płaszcz wodny podgrzewamy do takiej temperatury, aby uzyskać pożądany poziom temperatura
badanej cieczy. Do wyrównania temperatury można posłużyć się mieszadłem
(1). Podnosimy zatyczkę (8), jednocześnie włączając stoper. Stoper wyłączamy,
gdy w naczyniu pomiarowym znajdzie się 200 ml badanej cieczy, jednocześnie
zatykając zatyczkę (8). Następnie ważymy naczynie (4) wraz z badaną cieczą.
Wyniki pomiarów czasu, temperatury badanej cieczy i łącznej masy cieczy i
naczynia zapisujemy w tabeli 10.4. W tabeli 10.6 zapisujemy wagę pustego i
suchego naczynia przez dokonaniem pomiarów.
Jeżeli wyliczamy współczynniki lepkości dla danej temperatury, to doświadczenie powtarzamy kilka razy. Jeżeli badamy zależność współczynników od temperatury, to za pomocą grzałki zmieniamy temperaturę (lub czekamy, aż ciecz
ostygnie) i powtarzamy pomiary określoną liczbę razy. Przed badaniem właściwej cieczy należy kilkakrotnie przeprowadzić badanie czasu dla wody destylowanej w temperaturze 293 K i wyniki zapisać w tabeli 10.7. Pomiary te mają
charakter referencyjny. Czas wypływu 200 ml wody destylowanej wynosi około
50 s.
10.3.1. Czas referencyjny i bezwymiarowy
Celem ustalenia czasu referencyjnego przeprowadza się n pomiarów czasu ti
(tab. 10.7) opróżniania wiskozymetru w stałej temperaturze 293 K. Średni czas
referencyjny rozumiany jest jako średnia arytmetycznym
n
t̄r =
1X
ti .
n i=1
(10.6)
Błąd bezwzględny pomiaru czasu referencyjnego wyliczamy z zależności
σt
∆tr = √ r t(p, n),
n
(10.7)
gdzie σtr jest odchyleniem standardowym
n
σt2r =
1X
(ti − t̄r )2 ,
n i=1
(10.8)
100
a t(p, n) oznacza kwantyl rzędu p (p = 0.95) przy n stopniach swobody (pomiarach) do odczytania z tabeli 1.2. Ostatecznie błąd bezwzględny pomiaru czasu
referencyjnego można zapisać jako
v
u n
X
t(p, n) u
t (ti − t̄r )2 .
(10.9)
∆tr =
n
i=1
Dla błędu względnego pomiaru czasu referencyjnego mamy następującą zależność
∆tr
δtr =
.
(10.10)
tr
Obliczone wartości t̄r , ∆tr , δtr zapisujemy w tabeli 10.3.
Nr
1
2
...
n
r
t [s]
A
T [K]
∆A
ǫ
δA [%]
∆ǫ
B
δǫ [%]
ρ [kg m
∆B
−3
∆ρ [kg m
δB [%]
]
−3
]
Tabela 10.3. Czas referencyjny
δρ [%]
t̄r [s]
µ [kg m−1 s−1 ]
∆tr [s]
∆µ [kg m−1 s−1 ]
δtr [%]
δµ [%]
Bezwymiarowy czas ǫ definiuje zależność (10.5), gdzie w mianowniku posługujemy się średnim czasem referencyjnym
ǫ=
t
.
t̄r
(10.11)
Błąd bezwzględny obliczamy za pomocą różniczki zupełnej ∆ǫ ≈ dǫ(t, t̄r )
∂ǫ ∂ǫ
(10.12)
∆t .
∆ǫ = ∆t + ∂t
∂tr r Obliczają pochodne i dzieląc obustronnie powyższą zależność przez ǫ można
zapisać, że błąd względny bezwymiarowego czasu wyraża się wzorem
δǫ = δt + δtr .
(10.13)
Błąd względny δt = ∆tt wyznaczamy na postawie błędów bezwzględnych ∆t z
tabeli 10.5 i pomiarów t z tabeli 10.4. Błąd względny δtr dany jest równaniem
(10.10) i zapisany jest w tabeli 10.3. Obliczone wartości ǫ, ∆ǫ i δǫ zapisujemy w
tabeli 10.1.
101
10.3.2. Wyznaczanie gęstości cieczy
10.3.2.1. Pojedyncze pomiary w różnych temperaturach
Gęstość ρ badanej cieczy równa się masie całkowitej mc (cieczy i naczynia)
pomniejszonej o masę naczynia mn i odniesioną do objętości naczynia |Vn |, co
zapisujemy jako
mc − m n
ρ=
.
(10.14)
|Vn |
Objętość i masę naczynia znajdujemy w tabeli 10.6, całkowitą masę w danej
temperaturze w tabeli 10.4. Błąd bezwzględny wyznaczania gęstości znajdujemy
metodą różniczki zupełnej ∆ρ ≈ dρ(mc , mn , |Vn |), co daje
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∆mc + ∆mn + ∆|Vn | .
∆ρ = (10.15)
∂mc
∂mn
∂|Vn |
Odpowiednie błędy bezwzględne ∆mc = ∆mn = ∆m znajdujemy w tabeli 10.5,
natomiast błąd ∆|Vn | w tabeli 10.6. Dzieląc obustronnie powyższe równanie
przez gęstość według zależności (10.14), mamy błąd względny wyznaczania lepkości
δ mn
δ mc
+ δ|Vn | ,
(10.16)
δρ =
mn + mc
1 − mc
mn − 1
−1
gdzie błędy względne definiowane są jako δmc = ∆mc m−1
c , δmn = ∆mn mn i
−1
δ|Vn | = ∆|Vn | |Vn | . Błąd bezwzględny gęstości znajdujemy z zależności ∆ρ =
ρ δρ . Obliczone wartości ρ, δρ i ∆ρ zapisujemy w tabeli 10.1.
10.3.2.2. Wielokrotne pomiary w tej samej temperaturze
W przypadku powtarzania pomiarów średnią wartość masy całkowitego naczynia wyliczamy analogicznym wzorem do (10.6)
n
1X
mc,i ,
mc =
n i=1
(10.17)
gdzie mc,i odczytujemy z tabeli 10.4. Gęstość wyliczamy ze wzoru (10.14), gdzie
w miejsce mc wstawiamy mc ze wzoru (10.17).
W przypadku gdy błąd bezwzględny wagi jest duży, przyjmujemy ∆mc =
m
∆m , a błąd względny oblicza się jako δmc = ∆
mc . Błąd względny wyznaczania
gęstości znajdujemy ze wzoru (10.16), a błąd bezwzględny jako ∆ρ = ρ δρ . W
przypadku gdy waga jest dokładna i błędy systematyczne nie dominują nad
przypadkowymi, można posłużyć się metodami statystycznymi. W takim przypadku korzystamy ze wzoru analogicznego do (10.9) i otrzymujemy
v
u n
X
t(p, n) u
t (mc,i − mc )2 .
(10.18)
∆mc =
n
i=1
∆
Błąd względny pomiaru masy całkowitej podaje wzór δmc = mmcc , gdzie błąd
∆mc wyznaczany jest ze wzoru (10.18). Mając w ten sposób wyliczony błąd
względny δmc , obliczamy błąd względny wyznaczania gęstości ze wzoru (10.16).
102
10.3.3. Wyznaczanie współczynników lepkości
10.3.3.1. Pomiary w danej temperaturze
Wartość współczynnika lepkości dynamicznej µ, lub kinematycznej ν, przy
znajomości czasu bezwymiarowego ǫ, wyznaczamy na podstawie [2]. Można również korzystać z następującej aproksymacji [1]
6.31
µ = ρ 7.319 ǫ −
10−6 m2 s−1 ,
(10.19)
ǫ
gdzie gęstość ρ badanej cieczy podawana jest w [kg m−3 ]. Wzór (10.19) słuszny
jest dla jednokrotnego pomiaru w danej temperaturze, gdzie od temperatury
zależy gęstość ρ i bezwymiarowy czas ǫ. W przypadku gdy mamy do czynienia
z wielokrotnym pomiarem lepkości w tej samej temperaturze, do wzoru (10.19)
wstawiamy gęstość ρ liczoną ze wzorów (10.14) i (10.17).
Błąd bezwzględny wyznaczania współczynnika lepkości znajdujemy za pomocą różniczki zupełnej ∆µ ≈ dµ(ρ, ǫ), co daje
∂µ ∂µ (10.20)
∆µ = ∆ρ + ∆ǫ .
∂ρ
∂ǫ
Dzieląc obustronnie powyższe równanie przez µ według wzoru (10.19), mamy
błąd względny wyznaczania współczynnika lepkości
δµ = δρ +
7.319 ǫ +
7.319 ǫ −
6.31
ǫ
6.31 δǫ .
ǫ
(10.21)
Wzór powyższy nie uwzględnia błędu aproksymacji funkcji (10.19). W przypadku pojedynczego pomiaru korzystamy ze wzoru (10.16) i δmc = ∆mc m−1
c ,
i
(10.17).
Oblidla wielokrotnych pomiarów ze wzorów (10.16), δmc = ∆m m−1
c
czone wartości µ, δµ i ∆µ = µ δµ zapisujemy w tabeli 10.1.
10.3.3.2. Zależność współczynnika lepkości od temperatury
Pomiar współczynnika lepkości w zależności od temperatury dla n punktów pozwala na wykreślenie zależności µ od T . Można posłużyć się zależnością
wykładniczą (9.14)
T0
µ
=eT ,
(10.22)
µ0
gdzie stałe µ0 i T0 wyznaczone zostaną za pomocą regresji liniowej. Obustronne
logarytmowanie (10.22) daje
ln µ = ln µ0 + T0
1
.
T
(10.23)
Wykorzystując następujące podstawienia y := ln µ, A := ln µ0 , B := T0 , x := T1 ,
otrzymujemy zależność liniową y = A+Bx. Współczynniki A i B wyznaczamy z
regresji liniowej (dodatek 1.4). Błędy bezwzględne ∆A , ∆B i względne δA = ∆AA ,
δB = ∆BB określenia współczynników A i B znajdujemy ze wzorów (1.51) dla
p = 0.95. Wyniki zapisujemy w tabeli 10.2 wraz ze współczynnikiem korelacji r
ze wzoru (1.45). Wyliczone współczynniki A i B pozwalają wyznaczyć stałe T0 =
B i µ0 = eA . Umożliwia to wykreślenie zależności (10.22) we współrzędnych T, µ
i zależności liniowej ln µ = A + B T1 we współrzędnych T1 , ln µ.
Bibliografia
103
10.3.4. Sprawozdanie
przykład obliczeniowy, wykres zależności lepkości od temperatury ze słupkami
błędów w układzie T, µ oraz T1 , ln µ, wnioski.
i. Na czym polega istota metody pomiaru lepkości za pomocą wiskozymetru
Englera?
ii. Jakie uproszczenia należy poczynić, aby wyjaśnić zasadę działania wiskozymetru Englera za pomocą równania Bernoulliego?
Oznaczenia
A, B
D
E
h
m
n
p
r
t
t
T
|V |
V̇
δ
∆
ǫ
µ
ν
ρ
σ
współczynniki regresji liniowej
średnica
stała wiskozymetru Englera
wysokość
masa
liczba pomiarów
ciśnienie, przedział ufności
współczynnik korelacji
czas
kwantyle rozkładu Studenta
temperatura
objętość
błąd względny
błąd bezwzględny
bezwymiarowy czas (stopnie Englera)
współczynnik lepkości kinematycznej
gęstość
odchylenie standardowe
Bibliografia
[1] L. Kołodziejczyk, M. Rubik, S. Mańkowski, Pomiary w Inżynierii Sanitarnej,
Arkady, Warszawa, 1974
[2] PN-77/C-04014
104
Tabela 10.4. Pomiary dla cieczy
Nr
t [s]
T [K]
mc [g]
∆t [s]
1
∆T [K]
2
∆m [g]
3
4
Tabela 10.6. Naczynie
pomiarowwe
5
mn [g]
6
|Vn | [ml]
7
8
200 ± 2
Tabela 10.7. Pomiary tr dla
wody przy 293 K
9
i
10
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
ti [s]
Rozdział 11
Analogia hydrogazodynamiczna
Krzysztof Tesch
Celem ćwiczenia jest prezentacja zjawisk zachodzących w przepływie płytkiej wody, które są analogiczne do zjawisk gazodynamicznych. Na podstawie
elementarnej jednowymiarowej teorii dyskutowane są analogiczne wielkości w
obu zjawiskach. Na stanowisku z płytką wodą weryfikowany jest eksperymentalnie teoretyczny wzór na prędkość rozchodzenia się małych zaburzeń.
11.2. Wprowadzenie
11.2.1. Wstęp
Równania, które opisują propagację zaburzeń zarówno w gazie jak i równania opisujące rozprzestrzenianie się zaburzeń na powierzchni płytkiej wody
mają identyczną postać [2, 3, 4]. Podobnie jest z warunkami brzegowymi i początkowymi, które są niezbędne do rozwiązywania tych równań. Wynikiem tego
jest tzw. analogia hydrogazodynamiczna, która pozwala przenosić obserwacje i
wnioski z jednego zjawiska na drugie, o ile ustalone zostaną odpowiedniki pomiędzy poszczególnymi wielkościami w obu zjawiskach. Można również w łatwiejszy
sposób przeprowadzać eksperymenty na płytkiej wodzie, niż przy przepływach
gazu. Umożliwia to między innymi łatwą wizualizację i obserwację takich zjawisk jak fala uderzeniowa, która w przypadku płytkiej wody ma postać odskoku
hydraulicznego.
11.2.2. Analogie
Elementarna teoria rozprzestrzeniania się zaburzeń wymaga znajomości warunków zgodności na powierzchni S, gdzie formuje się zaburzenie. Warunki zgodności wynikają z zapisu równań zachowania za pomocą twierdzenie Reynoldsa
o transporcie [4]. Warunek zgodności dla równania zachowania masy ma postać
x
S
h i
~ dS = 0,
n̂ · ρU
(11.1)
106
Rozdział 11. Analogia hydrogazodynamiczna
gdzie symbol [f ] oznacza [f ] := f1 − f2 . Indeksy 1 i 2 odnoszą się do poszczególnych stron powierzchni S. Warunek (11.1) mówi o tym, że strumień masy przez
powierzchnię S pozostaje niezmienny.
Dla równania zachowania pędu warunek zgodności zapisujemy w następującej postaci
h
i
x
~U
~ − σ dS = ~0.
n̂ · ρU
(11.2)
S
~U
~ · n̂ i wektoWarunek (11.2) mówi, że różnica pomiędzy strumieniem pędu ρU
rem naprężenia n̂ · σ przez powierzchnię S nie zmienia się. Zarówno w przypadku
gazodynamiki i zagadnienia płytkiej wody zakłada się, że mamy do czynienia z
płynem nielepkim µ = 0. Tensor naprężenia σ dla płynu nielepkiego ma postać
σ = −pδ, co znacznie upraszcza rozważania.
11.2.2.1. Gazodynamika
W przypadku propagacji małych zaburzeń w gazie mamy do czynienia z
niewielkimi zmianami ciśnienia i gęstości. Zaburzenia te w nieruchomym gazie
rozprzestrzeniają się z prędkością dźwięku a. Ponieważ zaburzenia są małe, więc
przy przejściu przez powierzchnię S zmieniają się w sposób ciągły i różnią się
niewielkimi przyrostami tak, jak na rysunku 11.1.
→
→
→
a
p
ρ
a + da
p + dp
ρ + dρ
→
→
→
Rys. 11.1. Małe zaburzenia w gazie
W przypadku jednowymiarowego ruchu gazu w cylindrze powierzchnia S nie
zmienia swojego kształtu, więc warunki zgodności (11.1) i (11.2) można rozważać w postaci wyłącznie funkcji podcałkowych. Warunek wynikający z równania
zachowania masy (11.1), przyjmie teraz postać [ρUn ] = 0. Dla Un = a i ρ z jednej strony powierzchni oraz Un = a + da i ρ + dρ z drugiej, otrzymamy z
warunku (11.1) następującą zależność ρ da = −a dρ. Pominięte tu zostały małe
wyższego rzędu typu dρ da. Warunek (11.2) wynikający z równania zachowania pędu, przy założenie nielepkości, sprowadzi się do postaci [ρUn2 + p] = 0.
Według rysunku 11.1 otrzymamy następującą zależność (po pominięciu małych
wyższego rzędu) dp = −2ρa da − a2 dρ, która umożliwia nam sformułowanie
zależności na prędkość dźwięku w postaci
dp
= a2 .
dρ
(11.3)
Powyższy wzór można przedstawić w prostszej postaci, jeżeli mamy do czynienia z założeniem izentropowości. Przez izentropowość rozumie się jednoczesne
założenie braku przewodnictwa cieplnego i braku wewnętrznych źródeł entropii
(dyssypacji). Dyssypacja w przypadku założenia nielepkości jest i tak zerowa,
więc jedynym nowym założeniem jest brak przewodnictwa. Założenie izentropwości związane jest również z odwracalnością procesu i słuszna jest wtedy zależność pρ−κ = const, zwana adiabatą Poissona. Adiabata Poissona umożliwia
zapisanie wzoru (11.3) w postaci
a2 = κRT.
(11.4)
11.2. Wprowadzenie
107
Z powyższego wzoru wynika, że prędkość rozprzestrzeniania się małych zaburzeń w gazie (prędkość dźwięku) zależy od własności gazu poprzez κR i jego
temperatury T . Dla warunków normalnych wynosi ona a ≈ 331 m s−1 .
W oparciu o prędkość dźwięku a definiuje się lokalną liczbę Macha w postaci
M a :=
U
,
a
(11.5)
gdzie U jest lokalną prędkością płynu, a przez a rozumie się lokalną prędkość
dźwięku. Oprócz lokalnej liczby Macha można mówić o globalnej (referencyjnej)
liczbie Macha, gdzie w definicji (11.5) znajdują się prędkości referencyjne. Alternatywnie przez U można rozumieć prędkość obiektu, który porusza się np. w
nieruchomym powietrzu. Dla M a < 1 mówimy o przepływach poddźwiękowych,
dla M a = 1 – dźwiękowych i dla M a > 1 – naddźwiękowych. Jeżeli M a ≈ 1,
często mówi się o przepływach okołodźwiękowych.
11.2.2.2. Płytka woda
W przypadku rozpatrywania propagacji małych zaburzeń w nieruchomej
płytkiej wodzie mamy do czynienia z niewielkimi zamianami prędkości c i wysokości powierzchni swobodnej y (rys. 11.2). Zakłada się, że woda jest nieściśliwa,
więc nie ma tutaj zmian gęstości. Poszukiwana jest zależność na prędkość c
propagacji zaburzeń.
→
→
→
c
y
ρ
c + dc
y + dy
ρ
→
→
→
Rys. 11.2. Małe zaburzenia w płytkiej wodzie
Podobnie jak w przypadku gazodynamiki zakłada się niewielkie zaburzenia,
więc rozważane wielkości przy przejściu przez powierzchnię S różnią się niewielkimi przyrostami. O ile powierzchnia S w przypadku gazodynamiki nie zmienia
się, o tyle w przypadku płytkiej wody zmienia się o dy tak, jak ma to postać
w przypadku grzbietu fali. Wynika z tego, że warunki zgodności (11.1) i (11.2)
muszą być rozważane w postaci całkowej, gdyż powierzchnia przed zaburzeniem
jest inna niż za zaburzeniem. Warunek wynikający z równania zachowania masy
(11.1), ze względu na założenie nieściśliwości, będzie miał postać
x
[Un ] dS = 0.
(11.6)
S
W powyższej zależności wystarczy rozważać całki pojedyncze wzdłuż wysokości
y, gdyż szerokość kanału jest stała. Przed zaburzeniem mamy prędkość Un = c
i granice całkowania od 0 do y, natomiast za zaburzeniem Un = c + dc i granice
całkowania od 0 do y + dy. Pomijając małe wyższego rzędu, mamy y dc = −c dy.
Podobnie jak poprzednio zakładamy, że mamy do czynienia z płynem nielepkim, co powoduje, że tensor naprężenia σ sprowadza się do postaci σ = −pδ.
Dodatkowym założeniem jest brak składowych prędkości w kierunku y prostopadłym do lustra niezaburzonej wody. W takim przypadku ciśnienie p można przybliżać wyłącznie ciśnieniem hydrostatycznym słupa wody p ≈ ρgy. Ostatecznie
108
warunek (11.2), wynikający z równania zachowania pędu, przyjmuje postać
x
Un2 + gy dS = 0.
(11.7)
S
Podobnie jak poprzednio przed zaburzeniem mamy Un = c i granice od 0 do
y oraz za zaburzeniem Un = c + dc i granice od 0 do y + dy. Pomijając małe
wyższego rzędu i wykorzystując pierwszy warunek, można otrzymać zależność
gy dy = −2yc dc − c2 dy, z której wynika, że
d
dy
gy 2
2
= c2 .
(11.8)
Zależność (11.8) jest odpowiednikiem wzoru (11.3). Widać stąd, że prędkości
dźwięku a odpowiada prędkość propagacji zaburzeń w płytkiej wodzie c. Odpowiednikiem gęstości ρ jest wysokość y, a ciśnieniu p odpowiada wielkość 2−1 gy 2 .
Te i kolejne analogie zebrane są w tabeli 11.1.
Bezpośrednio z równania (11.8) otrzymujemy następujący odpowiednik zależności (11.4), która określa w prosty sposób prędkość propagacji c, która zależy
od głębokości płytkiej wody h i wartości przyspieszenia ziemskiego g
c2 = gy.
(11.9)
Znając odpowiedniki ciśnienia p i gęstości ρ, z powyższego wzoru można pokazać, że wykładnikowi izentropy κ musi odpowiadać liczba 2. Posługując się
c
równaniem stanu gazu, wzorem na wykładnik izentropy κ = cvp i stałą gazową
R = cp − cv oraz zależnością (11.4), można wykazać dalsze analogie, ujęte w
tabeli 11.1.
Podobnie jak w przypadku liczby Macha można wprowadzić lokalną liczbę
Froude’a, która definiowana jest jako stosunek lokalnej prędkości wody, do lokalnej prędkości rozprzestrzeniania się małych zaburzeń na powierzchni płytkiej
wody
U
F r := .
(11.10)
c
Dla F r < 1 mówimy o przepływie podkrytycznym (ruch spokojny), a dla F r > 1
mówimy o przepływie nadkrytycznym (ruch rwący).
Tabela 11.1. Analogie
gaz
woda
a
c
T, ρ
y
p
gy 2
2
κ
2
cp
g
cv , R
g
2
Ma
Fr
11.3. Kształt obiektu o minimalnym oporze∗
109
Z przepływami płynu nielepkiego, a więc typowymi dla problemów gazodynamiki, związane jest interesujące zagadnienie, które polega na wyznaczeniu
kształtu obiektu minimalizującego opór. Sytuacja pokazana jest na rysunku
11.3, który przedstawia obiekt poruszający się w nieruchomym, nieściśliwym
i nielepkim płynie (np. gazie) ze stałą prędkością U . Rozważany będzie opór
wyłącznie na pobocznicy poruszającego się obiektu, gdyż inaczej, zgodnie z paradoksem d’Alemberta, nie byłoby żadnej reakcji. Rozważane będzie przypadek
trójwymiarowy, gdzie mamy do czynienia z osiową symetrią również względem
osi odciętych.
y
y0
Un
y (x) :=
?
(x0 , y0 )
α
α
x0
U
x
Rys. 11.3. Schemat
11.3.1. Opór
Opór jest jedną ze składowych wektora reakcji, która definiowana jest za
pomocą całki powierzchniowej z wektora naprężenia po rozważanym fragmencie
powierzchni S, co zapisuje się jako [4]
x
x
~ :=
R
~σn dS = −
pn̂ dS.
(11.11)
S
S
W przypadku płynu nielepkiego mamy ~σn = −pn̂.
Do dalszych rozważań niezbędne jest określenie wersora normalnego n̂ do powierzchni S, która może być dana w postaci jawnej S := {(x, y, z) : z = f (x, y)}
lub uwikłanej S := {(x, y, z) : F (x, y, z) := f (x, y) − z = 0}. Poszukiwana zależność wynika z własności gradientu i zapisana może być w następujący sposób
n̂ = −
∇F
(−zx , −zy , 1)
=q
.
|∇F |
1 + zx2 + zy2
(11.12)
Powyższy wzór przyjmuje prostszą postać w przypadku osiowosymetrycznym.
Wtedy można zapisać, że
(−y ′ , 1)
,
(11.13)
n̂ = p
1 + y ′2
gdzie wersor normalny n̂ dotyczy krzywej L danej w następujący sposób L :=
{(x, y) : y = f (x)} lub L := {(x, y) : F (x, y) := f (x) − y = 0}.
110
Do wyznaczenia oporu niezbędna jest znajomość rozkładu ciśnienia p. Ciśnienie może być wyznaczone, gdy na przykład znany jest rozkład współczynnika
ciśnienia cp , który dla przypadku nieściśliwego definiuje się jako
cp :=
p − p∞
.
1
2
2 ρU∞
(11.14)
Aproksymacja Newtona współczynnika ciśnienia ma postać cp = 2 sin2 α, co
2
sin2 α. W dalszym ciągu posługiwać
wraz z definicją (11.14) daje p = p∞ + ρU∞
2
się można wyłącznie ciśnieniem względem p∞ i pisać p = ρU∞
sin2 α.
11.3.2. Funkcjonał i równanie Eulera
Wektor reakcji (11.11) w przypadku trójwymiarowym dla powierzchni osiowosymetrycznej S, której pobocznicą jest krzywa L, może być zapisany jako
w
~ := −2π pn̂y dL.
R
(11.15)
L
Krzywa L zaczyna się w punkcie (0, 0) i kończy w (x0 , y0 ), jak na rysunku 11.3.
Z tego samego rysunku wynikają zależności geometryczne pomiędzy sinusem
kąta a styczną do krzywej L w postaci
sin α = p
dy
dx2 + dy 2
=p
y′
1 + y ′2
.
(11.16)
p
Różniczka łuku wyraża się zależnością dL = 1 + y ′2 dx, która jest niezbędna
do zamiany całki krzywoliniowej na pojedynczą. Składowa reakcji wzdłuż osi x
jest oporem i oznaczana jest jako Rx . Z zależności (11.15) i (11.16) wynika
2
Rx := 2πρU∞
wx0 y ′3 y
dx.
1 + y ′2
(11.17)
0
2
, mamy
Pomijając stały mnożnik 2πρU∞
J[y] :=
wx0 y ′3 y
dx.
1 + y ′2
(11.18)
0
Równanie Eulera [1] dla funkcjonału (11.18), gdzie funkcja F jest funkcją podcałkową (11.18), ma postać
Fy −
d
Fy ′ = 0
dx
(11.19)
i daje w wyniku następujące równanie różniczkowe zwyczajne y ′ (y y ′′ (y ′2 − 3) −
y ′2 − y ′4 ) = 0. Równanie to rozwiązuje się z warunkami brzegowymi w postaci
y(0) = 0, y(x0 ) = y0 . Trywialne rozwiązanie w postaci y = C1 nie spełnia warunków brzegowych. W szczególnym przypadku, gdy C1 = 0 i y(x) := 0 można
otrzymać rozwiązanie, które będzie się charakteryzowało zerowym oporem.
111
11.3.3. Rozwiązanie przybliżone ze względu na funkcjonał
Równanie różniczkowe dla funkcjonału (11.18) ma skomplikowaną postać.
Oznacza to, że niezwykle trudno jest podać jego rozwiązanie w postaci jawnej. Klasycznym podejściem do tego problemu jest próba uproszczenia postaci
funkcjonału (11.18). Zakłada się, że y ′2 ≪ 1, co skutkuje tym, że y ′2 + 1 ≈ 1.
Powyższe założenie nie jest prawdziwe w pobliżu punktu spiętrzenia, gdzie ze
względu na gładkość rozwiązania osiowosymetrycznego dla x → 0 można oczekiwać y ′ (x) → ∞. Jednak w miarę oddalania się od punktu spiętrzenia dyskutowane uproszczenie jest uzasadnione. Jeżeli tak, to postać funkcjonału (11.18)
może być teraz zapisana jako
J[y] :=
wx0
y ′3 y dx.
(11.20)
0
Równanie Eulera dla funkcjonału (11.20) przyjmuje teraz prostszą postać y ′ (y ′2 +
3y y ′′ ) = 0. Równanie to ma dwa rozwiązania. Pierwszym z nich jest rozwiązanie trywialne y(x) := C1 , które nie spełnia warunków brzegowych. Podobnie jak
poprzednio, tak i tu można mówić o minimalnym oporze dla krzywej w postaci
3
y(x) := 0. Rozwiązanie drugie ma postać y(x) := C2 (4x − 3C1 ) 4 . Warunki brzegowe y(0) = 0, y(x0 ) = y0 pozwalają na wyznaczenie stałych w postaci C1 = 0,
C2 = y0 (4x0 )−3/4 . Otrzymuje się następujące rozwiązanie
34
x
y
=
.
(11.21)
y0
x0
Rozwiązanie (11.21) ma postać paraboli, co w przełożeniu na powierzchnię obrotową daje paraboloidę. Znamienny jest tu wykładnik 43 , które wartość będzie
dyskutowana w dalszej części. Paraboloida pokazana jest na wykresie 11.4.
0.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
1.
0.5
0.
1
0.
0.46
- 0.5
- 0.5
- 1.
- 1.
0.
0.2
0.4
0.6
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
0.4
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.75
0.8
1.
+
x
x
x
J
+
0.5
y
0.
1.
0.2
0.2
0.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
+
Rys. 11.4. Optymalne kształty
n
Rys. 11.5. Wartość funkcjonału J + w
funkcji wykładnika n
11.3.4. Rozwiązanie przybliżone ze względu na postać
funkcji
Zamiast upraszczać postać funkcjonału (11.18), można poszukiwać rozwiązania optymalnego w pewnej klasie funkcji. Rozwiązanie (11.21) sugeruje właśnie
taką klasę w postaci
n
y
x
=
.
(11.22)
y0
x0
112
Na wykładnik n nakłada się następujące ograniczenia n ∈]0, +∞[. Wbrew pozorom jest to dość szeroka gama rozwiązań, które mogą przyjmować postaci od
cienkiego szpica do niemalże walca. Rodzina krzywych (11.22) spełnia oczywiście warunki brzegowe w postaci y(0) = 0, y(x0 ) = y0 . Wprowadzając następu−1
+
jące definicje współrzędnych bezwymiarowych x+ := x−1
0 x i y := y0 y, można
+
+n
krzywe (11.22) zapisać w prostszej postaci y = x . Korzyść ze współrzędnych
bezwymiarowych jest taka, że teraz 0 ¬ x+ ¬ 1 i 0 ¬ y + ¬ 1, co umożliwia
całkowanie bez faktycznej znajomości konkretnych wartości x0 i y0 .
Znana postać funkcji (11.22) pozwala zamienić zagadnienie wariacyjne na
klasyczne zagadnienie optymalizacji funkcji, gdzie poszukiwana jest optymalna
wartość wykładnika n. Dyskutowana tu przybliżonego metoda rozwiązywania
zagadnienia wariacyjnego może być sklasyfikowana jako metoda Ritza. Jej przybliżony charakter polega na tym, że założona rodzina funkcji (11.22) nie musi
zawierać w sobie tej funkcji, która jest rozwiązaniem dokładnym funkcjonału
(11.18). Funkcjonał ten przyjmuje teraz następującą postać
J + :=
w1
0
n3 (x+ )4n−3
dx+ .
1 + n2 (x+ )2n−2
(11.23)
Nie jest on całkowalny analitycznie, ale ze względu na granice całkowania 0 ¬
x+ ¬ 1 można go całkować numerycznie. Wykres 11.5 pokazuje wartość funkcjonału J + według równania (11.23) jako funkcję wykładnika n. Widać z niego,
że wykładnik 43 , który jest rozwiązaniem dla uproszczonego funkcjonału (11.20),
nie jest wcale rozwiązaniem najlepszym w przypadku właściwego funkcjonału
(11.18). Można podać wartość wykładnika n ≈ 0.46, który cechuje się mniejszą
reakcją niż rozwiązanie (11.21). Parabola dla wykładnika n ≈ 0.46 pokazana
jest na wykresie 11.4.
11.4. Doświadczenie
Stanowisko pomiarowe składa się z kanału, który w rzucie z góry ma kształt
prostokąta. Ruch płytkiej wody wymuszany jest pompą. W kanale ustawiać
można różne przedmioty i obserwować zjawiska, które są analogiczne do zjawisk
znanych z gazodynamiki. Dystans pomiarowy L przyjmowany jest wzdłuż kanału. Dystans ten zaburzenia pokonują w czasie ti . Zaburzenia generowane są
na wlocie do kanału i śledzony jest dystans L, który pokonuje czoło fali.
Eksperyment polega na pomiarze wielkości potrzebnych do porównania teoretycznej prędkości c rozprzestrzeniania się zaburzeń na powierzchni płytkiej
wody (11.9) i średniej prędkości c̄ generowanych na stanowisku pomiarowym
zaburzeń, na podstawie zależności c̄ = L t̄−1 , gdzie t̄ jest średnim czasem przemieszczania się zaburzenia na dystansie L (pomiary w tabeli 11.5). Średni czas
t̄ obliczany jest na podstawie serii pomiarów czasów ti , które zapisywane są w
tabeli 11.6. Do obliczenia prędkości teoretycznej potrzebna jest znajomość po-
113
ziomu płytkiej wody, którą mierzy się podczas eksperymentu i zapisuje w tabeli
11.5.
11.5.1. Obliczenia
11.5.1.1. Pomiary czasu
Czas w jakim zaburzenia pokonują dystans L wyznaczamy na podstawie serii
pomiarów z tabeli 11.6. Jako średni czas t̄ przyjmuje się średnią arytmetyczną
n
t̄ =
1X
ti .
n i=1
(11.24)
Wariancję dla pojedynczego pomiaru σt2 wyznaczmy ze wzoru
n
σt2 =
1X
2
(ti − t̄) ,
n i=1
(11.25)
skąd dalej wyznacza się odchylenie standardowe σt . Wielkość ta charakteryzuje
błąd pojedynczego pomiaru. Dla serii n pomiarów błąd bezwzględny wyznaczamy z zależności
σt
∆t = √ t(p, n).
(11.26)
n
W powyższej zależności przez t(p, n) oznaczono kwantyl rzędu p (przedział ufności) przy n stopniach swobody (pomiarach). Wartości t(p, n) odczytywane są
z tabeli 1.2. Przedział ufności p przyjmuje się na poziomie 95%, czyli p = 0.95.
Błąd względny pomiaru czasu δt wyliczamy z zależności δt = ∆t̄t . Wyniki zamieszczamy w tabeli 11.2.
Tabela 11.2. Obliczenia czasu pomiaru
t̄ [s]
∆t [s]
δt [%]
11.5.1.2. Prędkość rozprzestrzeniania się zaburzeń
Teoretyczna prędkość zaburzeń określona jest zależnością (11.9)
p
c = gH,
(11.27)
gdzie przez H oznaczono wysokość warstwy cieczy (płytkiej wody), której pomiar zapisany jest w tabeli 11.5. Wartość przyspieszenia ziemskiego g z błędem
bezwzględnym ∆g odczytujemy również z tabeli 11.5.
Błąd bezwzględny określenia teoretycznej prędkości c rozprzestrzeniania się
zaburzeń określamy za pomocą różniczki zupełnej ∆c ≈ dc(g, H)
∂c ∂c
∆c = ∆g + ∆H .
(11.28)
∂g
∂H
114
Z powyższego równania, po podzieleniu obustronnym przez c, można wyznaczyć
błąd względny pomiaru teoretycznej prędkości c
δc =
1
(δg + δH ) .
2
(11.29)
Znając błąd względny δc = ∆cc , można z powyższej zależności określić błąd bezwzględny pomiaru prędkości ∆c = c δc . Na podstawie zależności (11.27) można
sporządzić wykres 11.6.
0.
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
c @ m s - 1D
1.
1.
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.
0.
0.
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
H@mD
Rys. 11.6. Teoretyczna prędkość c rozprzestrzeniania się zaburzeń
dla ∆H = ±0.005 m i ∆g = ±0.01 m s−2
Eksperymentalną (średnią) prędkość c̄ rozprzestrzeniania się zaburzeń znajdujemy na podstawie pomiaru czasu t̄ z zależności (11.24) (tabela 11.2) i dystansu L (tabela 11.5) na podstawie wzoru
c̄ =
L
.
t̄
(11.30)
Błąd bezwzględny określenia eksperymentalnej prędkości c̄ rozprzestrzeniania
się zaburzeń określamy za pomocą różniczki zupełnej ∆c̄ ≈ dc̄(L, t̄)
∂c̄
∂c̄ ∆c̄ = ∆L + ∆t̄ .
(11.31)
∂L
∂ t̄
Dzieląc obustronnie powyższe równanie przez c̄, można wyznaczyć błąd względny
pomiaru eksperymentalnej prędkości rozprzestrzeniania się zaburzeń
δc̄ = δL + δt .
(11.32)
Powyższa zależność umożliwia obliczenie błędu bezwzględnego ∆c̄ pomiaru eksperymentalnej prędkości w postaci ∆c̄ = c̄ δc̄ . Wyniki zamieszczamy w tabeli
11.3.
studiów, datę i nazwę przeprowadzenia ćwiczenia. Dalej powinien być podany cel
ćwiczenia, schemat stanowiska pomiarowego, tabele pomiarów i obliczeń, przykład obliczeniowy, wnioski. Dodatkowo należy sporządzić wykres 11.6 i nanieść
obie obliczone prędkości c i c̄ wraz ze słupkami błędów.
115
Tabela 11.3. Obliczenia prędkości zaburzeń
c [m s−1 ]
∆c [m s−1 ]
δc [%]
c̄ [m s−1 ]
∆c̄ [m s−1 ]
δc̄ [%]
i. Przy jakich założeniach otrzymuje się wzór na prędkość rozchodzenia się
małych zaburzeń w gazie (a), a przy jakich w cieczy (c)?
ii. Pomiędzy jakimi wielkościami zachodzą analogie i jaką one maję postać?
iii. Ile wynosi prędkość dźwięku dla warunków normalnych?
116
Oznaczenia
a
c
C
ci
cp
F
Fr
g
H
n̂
J
L
Ma
n
p
R
~
R
Ri
S
t
T
U
~
U
Un
y
α
δ
δ
∆
κ
µ
ρ
σ
~σn
prędkość dźwięku
prędkość propagacji małych zaburzeń na powierzchni płytkiej wody
stała
ciepła właściwe
współczynnik ciśnienia
funkcja
liczba Froude’a
wysokość warstwy cieczy
wersor normalny
funkcjonał
dystans, krzywa
liczba Macha
wykładnik
ciśnienie
stała gazowa
opór
składowa oporu wzdłuż osi i
powierzchnia
czas
temperatura
prędkość, moduł prędkości
wektor prędkości
składowa normalna prędkości
wysokość, zmienna
kąt
błąd względny
delta Kroneckera
błąd bezwzględny
wykładnik izentropy
gęstość
tensor naprężenia
wektor naprężenia
Bibliografia
[1] L. D. Elsgolc, Calculus of Variations, Dover Publications Inc., New York,
2007
[2] E. Krause, Fluid Mechanics, Springer, Berlin, 2005
Warszawa, 1987
117
Bibliografia
Tabela 11.5. Pomiary
∆L [m]
L [m]
∆t [s]
H [m]
∆H [m]
g [m s−2 ]
Tabela 11.6. Pomiary czasu
Nr
1
2
3
4
5
ti [s]
9.81 ± 0.01
Rozdział 12
Czas opróżniania zbiornika
Krzysztof Tesch
Celem ćwiczenia jest pomiar czasu opróżniania zbiornika i porównanie otrzymanych wyników z rozwiązaniami teoretycznymi. Dyskutowane są dwa rozwiązania teoretyczne, które różnią się założeniami. Dodatkowo, wprowadzony jest
model empiryczny.
12.2. Doświadczenia
Zbiornik o promieniu R0 pokazany jest na rysunku 12.1. Zbiornik ten opróżnia się w czasie t0 przez kapilarę o promieniu R i długości L. Przez h0 oznaczono
wysokość słupa wody w zbiorniku dla czasu początkowego t = 0. Poziom bieżący
lustra wody oznaczony jest symbolem h. Na powierzchni swobodnej i na wylocie z kapilary panuje ciśnienie atmosferyczne p0 . Na wlocie do kapilary panuje
ciśnienie atmosferyczne powiększone o wysokość słupa woda p = p0 + ρgh.
h
p0
p0 + ρgh
L
h0
p0
p0
12.2. Doświadczenia
119
Eksperyment polega na pomiarze czasów ti na wysokości hi , na jakiej znajduje się lustro wody. Skala na której można odczytywać wysokości hi zamocowana jest na zbiorniku (rys. 12.1). Wyniki pomiarów zapisuje się w tabeli 12.4.
Pozostałe wielkości geometryczne zapisywane są w tabeli 12.6 wraz z błędami
bezwzględnymi 12.5. Temperatura wody T mierzona jest termometrem i zapisywana w tabeli 12.7. W oparciu o tę temperaturę i dodatek A wyznacza się
współczynnik lepkości µ i gęstość ρ wody.
12.2.3. Czas opróżniania zbiornika
Opróżnianie zbiornika jest zjawiskiem niestacjonarnym. Ponieważ przebiega
ono zwykle wolno, o ile promień wylotowy jest dużo mniejszy od promienia
zbiornika R ≪ R0 , więc zwykle traktuje się je jako zjawisko quasi-stacjonarne.
Do obliczanie objętościowego natężenia przepływu w kapilarze stosuje się prawo
Poiseuille’a (3.3) przy założeniu, że spadek ciśnienia zależy od wysokości słupa
wody ∆p = ρgh. Wysokość h słupa wody zmniejsza się stopniowo z czasem.
Prawo Poiseuille’a przyjmuje zatem postać
V̇ =
πρgh 4
R .
8µL
(12.1)
Do ustalenia czasu opróżniania zbiornika wykorzystywana jest zależność na
d
|V |. Elementarna objęobjętościowe natężenie przepływu w kapilarze V̇ = dt
tość d|V | równa jest iloczynowi pola powierzchni |S0 | zbiornika cylindrycznego
i elementarnej wysokości dh. Zapisuje się to jako
V̇ dt = −|S0 | dh.
(12.2)
Zależność powyższa jest słuszna w przypadku płynów nieściśliwych. Jeżeli pole
powierzchni zbiornika cylindrycznego dane jest wzorem |S0 | = πR02 , to z równań (12.1) i (12.2) otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych
rozdzielonych
ρgR4
dh
dt.
(12.3)
=−
h
8µLR02
Całkując je z lewej strony od 0 do tP , a z prawej od h0 do h, mamy następujące
rozwiązanie
h
8µLR02
ln ,
(12.4)
tP = −
ρgR4
h0
które opisuje czas tP opróżniania zbiornika według modelu Poiseuille’a. Rozwiązanie (12.4) nie pozwala na wyliczenie czasu opróżnienia zbiornika w całości dla
h = 0, gdyż wtedy tP → ∞. Jest to największa ułomność dyskutowanego modelu. Można natomiast z tej zależności obliczać czasy częściowego opróżnienia.
Porównanie przykładowych danych eksperymentalnych z czasami tP pokazane
jest na wykresie 12.2. Widać słabą zgodność rozwiązania (12.4) z pomiarami.
Niemniej istnieje taka wysokość h ≈ 0.1h0 , dla której można wyliczyć czas tP
dokładnie. Metoda oparta na prawie Poiseuille’a dotyczy wyłącznie zbiorników
120
Rozdział 12. Czas opróżniania zbiornika
cylindrycznych. Do zalet dyskutowanej metody zaliczyć można to, że nie wymaga ona kalibrowania, tj. wprowadzania współczynników eksperymentalnych.
Należy zaznaczyć, że dyskutowany tu model nie uwzględnia wszystkich zjawisk,
które mają miejsce na stanowisku z rysunku 12.1. Nie uwzględnianie są chociażby straty w poziomej części kapilary i na wlocie do niej.
W metodzie opartej na wzorze Torricellego1) wykorzystuje się zależność analogiczną do wzoru (12.2), z tą różnicą, że stałe pole powierzchni |S0 | zastępowane
jest polem |Sh |, które może się zmieniać z wysokością h
dt = −
|Sh |
dh.
V̇
(12.5)
Możliwość uwzględnienia zmiennej geometrii zbiornika jest przewagą tej metody
w porównaniu do metody opartej na prawie Poisuille’a.
Całkując lewą stronę równania (12.5) od 0 do tT i prawą od h0 do h otrzymujemy
wh0 |S (h)|
h
tT =
dh.
(12.6)
V̇ (h)
h
Dalsza postać wzoru (12.6) zależy od kształtu zbiornika, poprzez zmiany jego
pola powierzchni wzdłuż wysokości |Sh (h)| i od sposobu wyznaczania objętościowego natężenia przepływu V̇ = |S|Ū . Zgodnie
√ z nazwą metody wykorzystywany
jest tu wzór Torricellego w postaci Ū = ϕ 2gh, gdzie ϕ jest współczynnikiem
wypływu ϕ ¬ 1. Dla ϕ = 1 mamy przypadek płynu nielepkiego
tT =
wh0 |S (h)|
1
h
√
√
dh.
ϕ|S| 2g
h
h
(12.7)
W przypadku zbiornika cylindrycznego wzór (12.7) przyjmuje następującą
postać
s
r !
2h0
h
R02
tT =
1−
,
(12.8)
ϕR2
g
h0
która może być jeszcze bardzie uproszczona dla przypadku całkowitego opróżnienia zbiornika h = 0. Współczynnik przed nawiasem po prawej stronie wzoru
(12.8) jest czasem całkowitego opróżnienia zbiornika.
Metoda oparta na wzorze Torricellego daje lepszą zgodność z eksperymentem w porównaniu z metodą opartą na prawie Poiseuille’a. Jest tak, o ile znana
jest wartość współczynnika wypływu ϕ. Jego wartość zależy od zbiornika, cieczy i temperatury (poprzez współczynnik lepkości dynamicznej). Bez kalibracji
współczynnika (ϕ = 1) metoda daje gorsze rezultaty niż metoda oparta na prawie Poiseuille’a. Możliwe jest dokładne wyznaczenie czasu całkowitego opróżniania zbiornika, gdyż rozwiązanie to nie ma osobliwości dla h → 0. Porównanie
z eksperymentem pokazane jest na wykresie 12.2. Do największych wad metody
opartej na wzorze Torricellego zalicza się konieczność kalibracji współczynnika
wypływu dla różnych cieczy i warunków.
1)
Evangelista Torricelli (1608-1647) – włoski fizyk i matematyk
121
12.3. Optymalny kształt zbiornika obrotowego∗
12.2.3.3. Metoda empiryczna
Zarówno rozwiązanie wynikające z prawa Poiseuille’a (12.4), jak i rozwiązanie wynikające ze wzoru Torricellego (12.8) nie dają satysfakcjonującej dokładności. Z wykresu 12.2 wynika, że oba modele nie oddają dobrze zmian czasu
opróżniania t na skutek zmian wysokości h. Lepszy pod tym względem jest model (12.8), gdyż przynajmniej pozwala dobrze określić czas całkowitego opróżnienia zbiornika.
Postać tego rozwiązania (wzór (12.8)) może sugerować następującą zależność
empiryczną na czas opróżniania zbiornika
m
h
te
=1−
,
(12.9)
t0
h0
gdzie m jest wykładnikiem odpowiedzialnym za dynamikę zmian czasu opróżniania na skutek zmian wysokości, a t0 jest czasem całkowitego opróżniania
zbiornika.
Rozwiązanie (12.9) wymaga również kalibracji współczynnika m, który dla
przypadku modelu opartego na wzorze Torricellego (12.8) wynosi 12 . Z porównania danych eksperymentalnych z teoretycznymi (wykres 12.2) można wnioskować, że 21 < m < 1. Dokładna wartość m może być wyznaczona metodą regresji
liniowej. Porównanie modelu empirycznego (12.9) z danymi eksperymentalnymi
pokazane jest na wykresie 12.3. Widać bardzo dobrą zgodność czasów w całym
zakresie wysokości h.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
Pom iar
Poiseu ille
Torricelli
tt0
0.8
0.
1.
1.2
1.2
1.
1.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
1.2
1.
Pom iar
Em p iryczn y
0.8
0.8
tt0
0.
1.2
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.2
0.
0.
0.
0.6
0.6
0.4
0.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
h h0
Rys. 12.2. Modele teoretyczne
0.
0.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
h h0
Rys. 12.3. Model empiryczny
12.3. Optymalny kształt zbiornika obrotowego∗
Wzór (12.6) sugeruje, że może istnieć taki kształt zbiornika o znanym przekroju wlotowym i wylotowym, dla którego można uzyskać minimalny czas wypływu. Problem taki mógłby mieć zastosowanie techniczne. Rozważania ograniczymy do przypadku osiowosymetrycznego. Sytuacja pokazana jest na rysunku
12.4. Pole powierzchni |Sh | = πr2 (h) jest funkcją promienia r, który to może
zmieniać się z wysokością h.
Wzór (12.6) jest więc pewnym funkcjonałem, który dla sytuacji z rysunku
12.4 można zapisać jako
wh0 r2
(12.10)
J[r] = √ dh.
h
0
122
Poszukiwana jest taka krzywa r, która zależy od wysokości h i minimalizuje
rozważany funkcjonał J. Równanie Eulera [1] ma postać
Fr −
d
Fr′ = 0.
dh
(12.11)
1
Funkcja F dla rozważanego przypadku dana jest wzorem F (h, r, r′ ) := r2 h− 2 .
Ponieważ nie zależy ona od pochodnych promienia, więc Fr′ = 0. Równanie
1
Eulera redukuje się do postaci Fr = 0, co po obliczeniu pochodnych da 2rh− 2 =
0. Wynika z tego trywialne rozwiązanie r(h) := 0, pokazane na wykresie 12.5.
Oczywistym jest, że czas wypływu będzie równy zero. Co więcej, otrzymane
rozwiązanie nie jest ciągłe, gdyż r(h) := 0 nie spełnia warunków brzegowych w
postaci r(0) = 0 i r(h0 ) = R0 .
h
h
(h0 , R0 )
(h0 , R0 )
h0
r(h
) :=
?
r(h) := 0
h0
r
Rys. 12.4. Kształt zbiornika
r
Rys. 12.5. Rozwiązanie optymalne
12.4.1. Obliczenia
12.4.1.1. Błędy pomiarów
Dane pomiarowe z tabeli 12.4 nanosimy na wykres 12.2. Na osi odciętych
znajdują się współrzędne bieżącej wysokości h odniesionej do wysokości początkowej h0 . Błędy bezwzględne tak zdefiniowanej współrzędnej liczymy w
każdym punkcie z różniczki zupełnej, jak dla błędów pojedynczych pomiarów
∆h/h0 ≈ dh/h0 , czyli
∂ h
∂ h
h
h
∆h + ∆h0 = δh/h0
= (δh + δh0 ) ,
(12.12)
∆h/h0 = ∂h h0
∂h0 h0
h0
h0
∆
gdzie δh = ∆hh i δh0 = hh00 . Błędy bezwzględne pomiarów h i h0 są sobie równe
∆h = ∆h0 i zamieszczone w tabeli 12.5.
Na osi rzędnych zapisywany jest czas bezwymiarowy tt0 , gdzie t jest czasem
bieżącym dla danej wysokości h, a t0 jest całkowitym czasem opróżniania zbiornika. Błędy bezwzględne tak zdefiniowanej współrzędnej liczone są w każdym
punkcie z różniczki zupełnej ∆t/t0 ≈ dt/t0
∂ t
∂ t
t
t
∆t + ∆t = δt/t0 = (δt + δt0 ) ,
(12.13)
∆t/t0 = ∂t t0
∂t0 t0
t0
t0
123
gdzie δt = ∆tt i δt0 =
tabeli 12.5.
∆t
t0 .
Błąd bezwzględny pomiaru czasu zamieszczony jest w
Do obliczenia błędu bezwzględnego czasu opróżniania zbiornika wykorzystuje się metody typowe dla błędów pojedynczych pomiarów. Z metody różniczki
zupełnej mamy ∆tP ≈ dtP (L, R, R0 , h0 , h). Można więc zapisać na podstawie
wzoru (12.4), że
∂tP
∂tP
∂tP
∂tP
∂tP
∆L + ∆R + ∆R0 + ∆h0 + ∆h . (12.14)
∆tP = ∂L
∂R
∂R0
∂h0
∂h
Obliczając poszczególne pochodne i dzieląc obustronnie przez tP w postaci
(12.4), otrzymujemy wzór na błąd względny pomiaru czasu opróżniania zbiornika δtP na podstawie wzoru Poiseuille’a
δtP = δL + 4δR + 2δR0 +
δh0 + δh
.
ln hh0
(12.15)
Błędy względne wielkości x liczymy jako δx = ∆xx . Poszczególne błędy bezwzględne odczytywane są z tabeli 12.5 i 12.6, gdzie ∆h = ∆h0 . Błąd bezwzględny
z zależności (12.15) może być wyliczony jako ∆tP = δtP tP . Wyniki obliczeń tP ,
∆tP i δtP zapisujemy w tabeli 12.1. Czas bezwymiarowy ttP naniesiony zostaje
na wykres 12.2. Błąd bezwzględny na osi odciętych liczony jest ze wzoru (12.12),
natomiast błąd bezwzględny na osi rzędnych ze wzoru analogicznego do (12.13)
w postaci
tP
∆tP /t0 = (δtP + δt0 ) .
(12.16)
t0
i
1
2
...
n
Tabela 12.2. Regresja liniowa – Torricelli
r
ti [s]
B
hi [m]
∆B
tP [s]
δB [%]
∆tP [s]
ϕ
δtP [%]
tT [s]
Tabela 12.3. Regresja liniowa –
empiryczny
∆tT [s]
r
δtT [%]
B
te [s]
∆B
∆te [s]
δB [%]
δte [%]
m
Podobnie jak poprzednio wykorzystuje się metodę różniczki zupełnej do szacowania błędu bezwzględnego pojedynczych pomiarów ∆tT ≈ dtT (R, R0 , h, h0 ).
124
Po wykonaniu obliczeń i podzieleniu obustronnie przez tT według wzoru (12.8),
mamy następującą zależność na błąd względny czasu opróżniania zbiornika metodą opartą na wzorze Torricellego
δtT = 2δR + 2δR0 +
1 δh0
δ
1
q .
q h
+
2 h0 − 1 2 1 −
h
h0
h
(12.17)
Poszczególne błędy względne wielkości x liczymy jako δx = ∆xx , błędy bezwzględne odczytywane są z tabeli 12.5 i 12.6. Tak jak poprzednio ∆h = ∆h0 .
Błąd bezwzględny z zależności (12.17) wyliczony jako jako ∆tT = δtT tT . Wyniki
obliczeń tT , ∆tT i δtT zapisujemy w tabeli 12.1. Czas bezwymiarowy ttT nanosimy na wykres 12.2. Błąd bezwzględny na osi odciętych liczony jest ze wzoru
(12.12), natomiast błąd bezwzględny na osi rzędnych ze wzoru
∆tT /t0 = (δtT + δt0 )
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
-4
2.
1.6
1.6
1.2
1.2
0.8
0.8
0.4
0.4
t
+
2.
0.
0.2
0.4
0.6
1 - H h h 0 L 1
0.8
-3
-2
-1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
0.
0.
(12.18)
0
ln H 1 - t t 0 L
0.
tT
.
t0
1.
-3
-4
2
-3
-2
-1
0
ln h h 0
Rys. 12.6. Regresja liniowa – Torricelli
Rys. 12.7. Regresja liniowa – empiryczny
Współczynnik wypływu ϕ we wzorze (12.8) może być kalibrowany za pomocą
regresji liniowej. Jeżeli bezwymiarowy czas t+ zdefiniujemy jako
y ≡ t+ :=
R02
R2
t
q
2h0
g
(12.19)
p
i wykorzystamy następujące podstawienia x := 1 − h/h0 , B := ϕ−1 , to wzór
(12.8) zostaje sprowadzony do postaci liniowej y = Bx. Stosując metodę regresji
liniowej do wyznaczenia wartości współczynnika B (wzory (1.44)-(1.47)), można
określić wartość współczynnika wypływu ϕ jako
ϕ=
1
.
B
(12.20)
Współczynnik korelacji liniowej r obliczamy ze wzoru (1.45). Błędy bezwzględne
określenia współczynnika ∆B można określić za pomocą zależności (1.51). Błąd
∆B przeliczamy na błąd względny δB = ∆BB . Wyniki obliczeń zamieszczamy
w tabeli 12.2. Przykładowe graficzne przedstawienie wyników pokazane jest na
wykresie 12.6. Ponieważ wzór (12.8) nie opisuje dokładnie zjawiska, więc przy
omawianej transformacji wzoru do postaci liniowej y = Bx nie otrzymujemy
idealnie liniowego rozkładu punktów pomiarowych. Wynika to z wykładnika 12
we wzorze (12.8).
125
12.4.1.4. Metoda empiryczna
Wykorzystując metodę różniczki zupełnej do szacowania błędu bezwzględnego pojedynczych pomiarów, mamy ∆te ≈ dte (t0 , h, h0 ), gdzie błąd wyznaczania wykładnika m jest pomijany. Po wykonaniu obliczeń i podzieleniu obustronnie przez te według wzoru (12.9), mamy następującą zależność na błąd względny
czasu opróżniania zbiornika metodą empiryczną
δte = δt0 +
m
h0 m
h
−1
(δh + δh0 ) .
(12.21)
Poszczególne błędy względne wielkości x liczone są jako δx = ∆xx , a błędy bezwzględne odczytywane są z tabeli 12.5. Tak jak poprzednio ∆h = ∆h0 . Błąd
bezwzględny z zależności (12.21) wyliczamy jako jako ∆te = δte te . Wyniki obliczeń te , ∆te i δte zapisujemy w tabeli 12.1. Czas bezwymiarowy tte nanosimy na
wykres 12.2. Błąd bezwzględny na osi odciętych liczony jest ze wzoru (12.12),
natomiast błąd bezwzględny na osi rzędnych ze wzoru
∆te /t0 = (δte + δt0 )
te
.
t0
(12.22)
Wartość wykładnika m może być skalibrowana na podstawie pomiarów metodą regresji linowej. W tym celu zapisuje się wzór (12.9) w następującej postaci
m
t
h
(12.23)
=1− .
h0
t0
Po wykorzystaniu następujących podstawień x := ln hh0 , y := ln(1 − t/t0 ) i
B := m, otrzymujemy zależność liniową y = Bx. Współczynnik korelacji liniowej r obliczany jest ze wzoru (1.45). Błędy bezwzględne określenia współczynnika ∆B można wyznaczyć za pomocą zależności (1.51). Błąd ∆B przeliczany
jest na błąd względny δB = ∆BB . Wyniki obliczeń zamieszczamy w tabeli 12.2.
Graficzne przedstawienie wyników pokazane jest na wykresie 12.7. Widać dużo
większą liniowość rozkładu pomiarów w porównaniu z wykresem 12.6. Wynika
to z tego, że na ogół m 6= 12 tak, jak miało to miejsce w przypadku rozwiązania
wynikającego ze wzoru Torricellego (12.8).
cel ćwiczenia, schemat stanowiska pomiarowego, tabele 12.1, 12.2, 12.3, 12.5,
12.6, 12.7 pomiarów i obliczeń, przykład obliczeniowy, wykresy 12.2, 12.3 ze
słupkami błędów, wykresy regresji liniowej 12.6 i 12.7, wnioski.
i. Jakie są zalety i wady metody opartej na prawie Poiseuille’a?
ii. Jakie są zalety i wady metody opartej na wzorze Torricellego w porównaniu
z metodą opartą na prawie Poiseuille’a?
126
Oznaczenia
B
g
h
L
m
n
p
R
|S|
t
U
|V |
V̇
x
δ
∆
µ
ρ
ϕ
współczynnik kierunkowy
wysokość
długość
wykładnik
liczba pomiarów
ciśnienie
promień
pole powierzchni
czas
prędkość
objętość
zmienna niezależna
błąd względny
błąd bezwzględny
gęstość
współczynnik wypływu
Bibliografia
[1] L. D. Elsgolc, Calculus of Variations, Dover Publications Inc., New York,
2007
127
Bibliografia
Tabela 12.4. Pomiary wysokości i czasu
i
ti [s]
hi [mm]
∆R0 [mm]
1
∆h [mm]
2
∆t [s]
3
Tabela 12.6. Pomiary
4
L [mm]
5
R0 [mm]
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
R [mm]
h0 [mm]
170 ± 5
1.285 ± 0.005
T [K]
ρ [kg m−3 ]
µ [kg m−1 s−1 ]
Dodatek A
Właściwości wody
315
330
345
360
1000
990
990
980
980
970
970
Ρ @ kg m
-3
D
1000
960
960
950
270
285
300
315
330
345
360
270
2.
375
1010
950
375
s - 1D
300
-1
285
Μ ×10 - 3 @ kg m
270
1010
285
300
315
330
345
360
1.75
1.75
1.5
1.5
1.25
1.25
1.
1.
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
0.
270
285
300
315
T@ KD
330
345
360
Rys. A.2. Współczynnik lepkości
dynamicznej wody w funkcji
temperatury
Tabela A.1. Właściwości wody
278
279
280
281
282
µ [kg m−1 s−1 ]
−3
1.518 · 10
−3
1.471 · 10
−3
1.427 · 10
−3
1.385 · 10
−3
1.345 · 10
ρ [kg m−3 ]
999.96
999.94
999.90
999.85
999.78
T [K]
291
292
293
294
295
µ [kg m−1 s−1 ]
ρ [kg m−3 ]
−3
998.60
−3
998.41
−3
998.21
−3
997.99
−3
997.77
−3
1.055 · 10
1.029 · 10
1.004 · 10
0.980 · 10
0.958 · 10
283
−3
1.307 · 10
999.70
296
0.936 · 10
997.54
284
1.271 · 10−3
999.61
297
0.915 · 10−3
997.30
285
−3
298
−3
997.05
−3
996.79
−3
996.52
−3
996.24
−3
286
287
288
0.
375
T@ KD
Rys. A.1. Gęstość wody w funkcji
temperatury
T [K]
375
2.
1.236 · 10
−3
1.202 · 10
−3
1.170 · 10
−3
1.140 · 10
999.50
999.38
999.25
999.10
299
300
301
0.895 · 10
0.875 · 10
0.856 · 10
0.838 · 10
289
−3
1.110 · 10
998.95
302
0.820 · 10
995.95
290
1.082 · 10−3
998.78
303
0.803 · 10−3
995.65

Laboratorium Mechaniki Płynów

Transkrypt

Podobne dokumenty

WK 496 290 Zawór dławiący typ MG

Kubek wypływowy typ Forda 4mm

napór cieczy na powierzchnię

ZADANIA Z MECHANIKI CIECZY

hydrol premium hvlpd 46

Ćwiczenie 13. Współczynnik lepkości