Wartość bieżąca renty

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
Czynniki wpływające na zmianę wartości pieniądza w czasie:
1. Spadek siły nabywczej.
2. Możliwość inwestowania.
3. Występowanie ryzyka.
4. Preferowanie bieżącej konsumpcji przez człowieka.
Wartość pieniądza w czasie odzwierciedlana jest przez stopę procentową.
Przy określaniu (i podawaniu) stopy procentowej istotne są pewne kwestie
formalno-metodyczne aspekty określania stopy procentowej:
Stopa procentowa w skali okresu - stopa procentowa podawana jest zwykle w
skali roku.
Stopa procentowa dotycząca okresu - stopa procentowa zawsze dotyczy jakiegoś
okresu. Jest on określony przez horyzont działalności inwestycyjnej lub
działalności finansowej.
1
Kapitalizacja i reinwestycja
Kapitalizacja (compounding). oznacza, że dochody pojawiające się w trakcie
okresu inwestowania są kapitalizowane (tzn. „dodawane do kapitału”).
Zjawisko reinwestowania to ponowne inwestowanie dochodów z inwestycji.
Wartość przyszła i wartość bieżąca
Wartość przyszła (Future Value) jest to wartość otrzymywana lub płacona w
przyszłości, lub wartość pieniężna rozpatrywana z punktu widzenia pewnego
momentu w przyszłości.
Wartość bieżąca (Present Value) jest to wartość otrzymywana lub płacona dziś,
lub wartość pieniężna rozpatrywana z punktu widzenia dnia dzisiejszego.
Cztery powiązane ze sobą wielkości zmiennej wartości pieniądza:
- wartość przyszła, oznaczona przez FV;
- wartość bieżąca, oznaczona przez PV;
- liczba lat (ogólnie: liczba okresów), oznaczona przez n;
- stopa procentowa, oznaczona przez r.
2
Cztery podstawowe schematy przepływów pieniężnych:
- pojedynczy przepływ pieniężny;
- renta płatna z dołu (inaczej: renta zwykła, lub po prostu renta);
- renta płatna z góry;
- wiele regularnych przepływów pieniężnych.
Schemat 1 – Pojedynczy przepływ pieniężny.
Rysunek 3.1A
3
Rysunek 3.1B
Schemat 2 – Renta płatna z dołu.
Rysunek 3.2A
Rysunek 3.2B
...
...
Rysunek 3.3A
Rysunek 3.3B
...
...
4
Schemat 3 – Renta płatna z góry.
Rysunek 3.4A
Rysunek 3.4B
...
...
Rysunek 3.5A
Rysunek 3.5B
...
...
5
Schemat 4 – Wiele regularnych przepływów pieniężnych.
Rysunek 3.6A
Rysunek 3.6B
...
...
Rysunek 3.7A
Rysunek 3.7B
...
...
6
Zagadnienie wartości przyszłej
Wzór 1 – Wartość przyszła – kapitalizacja prosta (okresowa)
FV = PV (1 + nr )
(3.1)
Wzór 2 – Wartość przyszła – kapitalizacja roczna
FV = PV (1 + r ) n
(3.2)
Wzór 3 – Wartość przyszła – kapitalizacja częstsza niż raz w roku
FV = PV (1 + r / m ) nm
(3.3)
gdzie:
m – oznacza liczbę kapitalizacji w ciągu roku, np. m=2 w wypadku kapitalizacji
półrocznej.
Wzór 4 – Wartość przyszła – kapitalizacja ciągła
FV = PVe nr
gdzie:
e – podstawa logarytmu naturalnego.
7
(3.4)
Z przedstawionych wzorów wynikają następujące właściwości (wszystkie ceteris
paribus):
- im wyższa stopa procentowa, tym wyższa wartość przyszła;
- im większa liczba okresów, tym wyższa wartość przyszła;
- im wyższa wartość bieżąca, tym wyższa wartość przyszła;
- im częstsza kapitalizacja, tym wyższa wartość przyszła
Rysunek 3.8. Wartość przyszła jako funkcja liczby okresów
Rysunek 8
FV
A
B
C
D
E
PV
1
8
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21 n
Przykład.
Kwota 1000 złotych jest zainwestowana w depozyt bankowy na okres dwóch lat.
Oprocentowanie depozytu wynosi 12%. Wartość przyszła zależy od rodzaju
kapitalizacji. Wynosi ona:
- przy kapitalizacji prostej (wzór (3.1)):
FV = 1000(1 + 2 × 0,12) = 1240
- przy kapitalizacji rocznej (wzór (3.2)):
FV = 1000(1 + 0,12) 2 = 1254,40
- przy kapitalizacji kwartalnej (wzór (3.3)):
FV = 1000(1 + 0,12 / 4) 2×4 = 1266,77
- przy kapitalizacji ciągłej (wzór (3.4)):
FV = 1000e 2×0 ,12 = 1271,25
9
Przykład.
Rozpatrzymy podobną sytuację, jak w poprzednim przykładzie, ale teraz
inwestycja trwa krócej niż rok, mianowicie pół roku. Pozostałe wartości, tzn.
zainwestowana kwota 1000 złotych i oprocentowanie depozytu 12%, pozostają te
same.
Wartość przyszła wynosi:
- przy kapitalizacji prostej, półrocznej (wzór (3.1)):
FV = 1000(1 + 0,5 × 0,12) = 1060
- przy kapitalizacji kwartalnej (wzór (3.3)):
FV = 1000(1 + 0,12 / 4) 0 ,5×4 = 1060,90
- przy kapitalizacji ciągłej (wzór (3.4)):
FV = 1000e 0,5×0 ,12 = 1061,84
10
s
n=
N
gdzie:
s – liczba dni trwania inwestycji;
N – liczba dni w roku.
Cztery możliwe konwencje:
- Actual/360,
- actual/365;
- 30/360;
- 30/365.
Przykład.
Inwestycja w depozyt bankowy rozpoczęła się 15 marca, zaś zakończyła 25
czerwca tego samego roku. Zainwestowana kwota to 1000 złotych, zaś
oprocentowanie depozytu 12%.
Zauważmy, że liczba dni trwania inwestycji wynosi:
- według konwencji „actual”: 102 dni (16 w marcu, 30 w kwietniu, 31 w maju
i 25 w czerwcu);
- według konwencji „30”: 100 dni (3 miesiące po 30 dni od 15 marca do 15
czerwca plus 10 dni od 16 czerwca do 25 czerwca).
11
Tabela 1 przedstawia wyniki w przypadku czterech możliwych konwencji.
Nazwa konwencji
Wartość n
Wartość przyszła
Actual/360
102/360 = 0,28333
1034,00
Actual 365
102/365 = 0,27945
1033,53
30/360
100/360 = 0,27778
1033,33
30/365
100/365 = 0,27397
1032,88
Wzór 5 – Wartość przyszła renty płatnej z dołu
(1 + r ) n - 1
FV = FVAn = PMT
r
(3.5)
PMT – wielkość renty.
Wzór 6 – Wartość przyszła renty płatnej z góry
(1 + r ) n - 1
FV = FVAn = PMT (1 + r )
r
12
(3.6)
Z powyższych wzorów wynikają następujące właściwości (wszystkie ceteris
paribus):
- im wyższa stopa procentowa, tym wyższa wartość przyszła renty;
- im wyższa wartość renty, tym wyższa wartość przyszła renty;
- im większa liczba rent, tym wyższa wartość przyszła renty.
Przykład.
Inwestycja polega na systematycznym wpłacaniu przez 2 lata co miesiąc kwoty 100
złotych na depozyt bankowy. Oprocentowanie depozytu wynosi 12%, kapitalizacja
jest miesięczna.
Wartość depozytu wynosi:
- w przypadku renty płatnej z dołu (wzór (3.5)):
(1 + 0,01) 24 - 1
FV = 100
= 2697,35
0,01
- w przypadku renty płatnej z góry (wzór (3.6)):
(1 + 0,01) 24 - 1
FV = 100(1 + 0,01)
= 2724,32
0,01
13
Wzór 7 – Wartość przyszła regularnych przepływów pieniężnych
n
FV = å Ct (1 + r ) n -t
(3.7)
t =1
gdzie:
Ct - przepływ pieniężny występujący w okresie t.
Przykład.
Inwestycja polega na wpłacaniu na depozyt bankowy kilku kwot co trzy miesiące
(pierwsza wpłata ma miejsce za trzy miesiące). Kapitalizacja jest kwartalna, zaś
oprocentowanie depozytu 8% (a zatem w skali kwartalnej wynosi 2%). Wpłacane
są kolejno następujące kwoty: 100 zł, 300 zł, 200 zł, 250 zł. Wyznaczymy wartość
po roku:
FV = 100(1,02)3 + 300(1,02) 2 + 200(1,02) + 250 = 872,24
Z powyższej kwoty 850 złotych pochodzi z wpłat, zaś 22,24 złote to odsetki.
14
Efektywna stopa procentowa jest to stopa uwzględniająca kapitalizację. ref efektywna stopa procentowa.
Wzór 8 – Efektywna stopa procentowa – kapitalizacja częstsza niż raz w roku
ref = (1 + r / m) m - 1
(3.8)
Wzór 9 – Efektywna stopa procentowa – kapitalizacja ciągła
ref = e r - 1
(3.9)
Przykład.
Wyznaczymy efektywne stopy procentowe dla trzech przypadków stóp
nominalnych: 20%, 8% i 2% oraz dla przypadków kapitalizacji rocznej, półrocznej,
kwartalnej, miesięcznej, dziennej (zakładając 365 dni w roku) i ciągłej.
Zastosowanie mają wzory (3.8) i (3.9). Wyniki przedstawia tabela 2.
Rodzaj kapitalizacji r = 20%
r = 8%
r = 2%
Roczna
20,00%
8,00%
2,00%
Półroczna
21,00%
8,16%
2,01%
Kwartalna
21,55%
8,24%
2,015%
Miesięczna
21,94%
8,30%
2,018%
Dzienna
22,13%
8,328%
2,02%
Ciągła
22,14%
8,329%
2,02%
15
Zagadnienie wartości bieżącej
Wzór 10 – Wartość bieżąca – kapitalizacja prosta (okresowa)
PV = FV /(1 + nr )
(3.10)
Wzór 11 – Wartość bieżąca – kapitalizacja roczna
PV = FV /(1 + r ) n
(3.11)
Wzór 12 – Wartość bieżąca – kapitalizacja częstsza niż raz w roku
PV = FV /(1 + r / m) nm
(3.12)
Wzór 13 – Wartość bieżąca – kapitalizacja ciągła
PV = FVe - nr
(3.13)
Z przedstawionych wzorów wynikają następujące właściwości (wszystkie ceteris
paribus):
- im wyższa stopa procentowa, tym niższa wartość bieżąca;
- im większa liczba okresów, tym niższa wartość bieżąca;
- im wyższa wartość przyszła, tym wyższa wartość bieżąca;
- im częstsza kapitalizacja, tym niższa wartość bieżąca.
16
Przykład.
Rozważana jest inwestycja, która za dwa lata daje wartość równą 10 000 złotych.
Należy wycenić, ile ta inwestycja jest warta dzisiaj. Stopa procentowa, będąca
wymaganą stopą zwrotu, jest równa 10%. Kolejno otrzymujemy:
- przy zastosowaniu kapitalizacji prostej (wzór (3.10)):
PV = 10000 /(1 + 2 × 0,1) = 8333,33
- przy zastosowaniu kapitalizacji rocznej (wzór (3.11)):
PV = 10000 /(1 + 0,1) 2 = 8264,46
- przy zastosowaniu kapitalizacji miesięcznej (wzór (3.12)):
PV = 10000 /(1 + 0,1 / 12) 2×12 = 8194,10
- przy zastosowaniu kapitalizacji ciągłej (wzór (3.13)):
PV = 10000e -2×0 ,1 = 8187,31
17
Konwencje przyjmowania okresu kapitalizacji:
- kapitalizacja zgodna z okresem inwestowania (czyli kapitalizacja
prosta);
- kapitalizacja zgodna z okresem otrzymywania przepływów pieniężnych;
- kapitalizacja roczna (często to założenie przyjmuje się np. w analizie
nieruchomości);
- kapitalizacja ciągła (przyjmuje się ją w teorii finansów).
Wzór 14 – Wartość bieżąca renty płatnej z dołu
1
1(1 + r ) n
PV = PVAn = PMT
r
(3.14)
Wzór 15 – Wartość bieżąca renty płatnej z góry
1PV = PVAn = PMT (1 + r )
18
1
(1 + r ) n
r
(3.15)
Z powyższych wzorów wynikają następujące właściwości (wszystkie ceteris
paribus):
- im wyższa stopa procentowa, tym niższa wartość bieżąca renty;
- im wyższa wartość renty, tym wyższa wartość bieżąca renty;
- im większa liczba rent, tym wyższa wartość bieżąca renty.
Przykład.
Istotą analizowanej inwestycji jest otrzymywanie regularnie stałej kwoty równej
1000 złotych, co miesiąc przez trzy lata. Stopa procentowa, która jest wymaganą
stopa zwrotu inwestora, wynosi 12%. Obliczymy wartość tej inwestycji dziś (jest to
wartość bieżąca renty). Wartość inwestycji wynosi:
- w przypadku renty płatnej z dołu (wzór (3.14)):
1
1(1 + 0,01) 24
PV = 1000
= 21243,39
0,01
- w przypadku renty płatnej z góry (wzór (3.15)):
1PV = 1000(1 + 0,01)
19
1
(1 + 0,01) 24
= 21455,82
0,01
Wzór 16 – Wartość bieżąca renty wieczystej
PMT
PV = PVP =
r
(3.16)
Z powyższego wzoru wynikają następujące właściwości (ceteris paribus):
- im wyższa stopa procentowa, tym niższa wartość bieżąca renty
wieczystej;
- im wyższa wartość renty, tym wyższa wartość bieżąca renty wieczystej.
Przykład.
Rozważana jest inwestycja polegająca na otrzymywaniu bezterminowo kwoty 1000
złotych na koniec każdego miesiąca. Wymagana stopa zwrotu inwestora wynosi
12%. Wartość inwestycji wynosi:
1000
PV =
= 100000
0,01
20
Wzór 17 – Wartość bieżąca regularnych przepływów pieniężnych
n
Ct
PV = å
t
(
1
+
)
r
t =1
(3.17 )
Przykład.
W wyniku inwestycji spodziewamy się otrzymać trzy przepływy pieniężne: po
roku: 2000 złotych, po dwóch latach: 2500 złotych, po trzech latach: 2800 złotych.
Wymagana stopa zwrotu inwestora wynosi 8%. Wartość tej inwestycji dzisiaj
wynosi (po zastosowaniu wzoru (3.17)):
2000
2500
2800
PV =
+
+
= 6217,93
2
3
(1,08) (1,08)
(1,08)
21
Wzór 18 – Wartość bieżąca nieskończonej liczby przepływów pieniężnych
rosnących w stałym tempie
PMT1
PV =
r-g
(3.18)
gdzie:
PMT1 - pierwsza płatność;
g – stopa (tempo) wzrostu płatności.
Przy tym formalnie należy założyć, że r>g.
Przykład.
Rozpatrzymy przykład podobnej inwestycji, jak w przykładzie dotyczącym renty
wieczystej. Inwestycja polega na otrzymywaniu bezterminowo kwoty co miesiąc.
Przy tym pierwsza kwota (otrzymana za miesiąc) wynosi 100 złotych, a każda
następna rośnie w stosunku do poprzedniej o 0,5%. Wymagana stopa zwrotu
inwestora wynosi 12%. Obliczymy wartość tej inwestycji dziś. Wartość inwestycji
wynosi:
1000
PV =
= 200000
0,01 - 0,005
22
Wartość bieżąca netto - NPV (Net Present Value).
Wzór 19 – Wartość bieżąca netto
n
Ct
Ct
NPV = å
- I0 = å
t
t
(
1
+
r
)
(
1
+
)
r
t =0
t =1
n
(3.19)
gdzie: I 0 - tzw. nakład początkowy
Przykład.
Trzy przepływy pieniężne: po roku: 2000 złotych, po dwóch latach: 2500 złotych,
po trzech latach: 2800 złotych. Nakład początkowy 6000 złotych. Trzy różne
wymagane stopy zwrotu inwestora: 6%, 8% i 10%. Wartość bieżąca netto wynosi
(po zastosowaniu wzoru (19)):
- w przypadku wymaganej stopy zwrotu równej 6%:
2000
2500
2800
NPV =
+
+
- 6000 = 462,71
2
3
(1,06) (1,06)
(1,06)
- w przypadku wymaganej stopy zwrotu równej 8%:
NPV =
23
2000
2500
2800
+
+
- 6000 = 217,93
2
3
(1,08) (1,08)
(1,08)
- w przypadku wymaganej stopy zwrotu równej 10%:
2000 2500 2800
NPV =
+
+
- 6000 = -12,02
2
3
(1,1) (1,1)
(1,1)
Zagadnienie wielkości renty
Wzór 20 – Wielkość renty płatnej z dołu, gdy znana jest wartość przyszła
PMT = FV
r
(1 + r ) n - 1
(3.20)
Wzór 21 – Wielkość renty płatnej z góry, gdy znana jest wartość przyszła
1
r
PMT = FV
1 + r (1 + r ) n - 1
24
(3.21)
Przykład.
Inwestor planuje systematycznie wpłacać stałą kwotę każdego miesiąca na depozyt
bankowy, tak, aby po roku uzyskać 10000 złotych. Oprocentowanie depozytu
wynosi 12%, kapitalizacja jest miesięczna. Wielkość renty wynosi:
- w przypadku renty płatnej z dołu (wzór (3.20)):
0,01
PMT = 10000
= 788,49
12
(1 + 0,01) - 1
- w przypadku renty płatnej z góry (wzór (3.21)):
PMT = 10000
25
1
0,01
= 780,68
12
(1 + 0,01) (1 + 0,01) - 1
Wzór 22 – Wielkość renty płatnej z dołu, gdy znana jest wartość bieżąca
r
PMT = PV
1-
1
(1 + r ) n
(3.22)
Wzór 23 – Wielkość renty płatnej z góry, gdy znana jest wartość bieżąca
1
r
PMT = PV
1+ r 1- 1
(1 + r ) n
26
(3.23)
Przykład.
Zaciągnięty został kredyt w wysokości 100000 złotych. Oprocentowanie kredytu
wynosi 12%, kapitalizacja jest miesięczna. Kredyt ma być spłacony w ciągu dwóch
lat, w równych miesięcznych ratach, z których każda zawiera zwrot kredytu i
odsetki. Otrzymujemy:
- w przypadku renty płatnej z dołu (wzór (3.22)):
0,01
PMT = 100000
= 4707,35
1
1(1 + 0,01) 24
- w przypadku renty płatnej z góry (wzór (3.23)):
1
0,01
= 4660,74
PMT = 100000
1
(1 + 0,01) 1 (1 + 0,01) 24
27
Zagadnienie liczby okresów
Wzór 24 – Liczba lat – kapitalizacja roczna
ln FV - ln PV
n=
ln(1 + r )
(3.24)
Wzór 25 – Liczba lat – kapitalizacja ciągła
n=
28
ln FV - ln PV
r
(3.25)
Przykład.
Pewna inwestycja, w której wartość bieżąca (początkowa) wynosiła 2000 złotych,
na końcu była warta 2500 złotych (wartość przyszła). Wiadomo, że stopa
procentowa wynosiła 5%. Określimy liczbę lat trwania tej inwestycji.
Otrzymujemy:
- przy założeniu kapitalizacji rocznej (wzór (3.24)):
ln 2500 - ln 2000
= 4,573
n=
ln(1 + 0,05)
- przy założeniu kapitalizacji ciągłej (wzór (3.25)):
n=
ln 2500 - ln 2000
= 4,463
0,05
FV = 2 PV
29
Wzór 26 – Liczba lat do podwojenia kapitału – kapitalizacja roczna
0,69315
n=
ln(1 + r )
(3.26)
Wzór 27 – Liczba lat do podwojenia kapitału – kapitalizacja roczna – reguła
72
n»
0,72
72
=
r
r ×100
(3.27 )
Wzór 28 – Liczba lat do podwojenia kapitału – kapitalizacja roczna – reguła
69
0,69
69
= 0,35 +
n » 0,35 +
r
r ×100
(3.28)
Wzór 29 – Liczba lat do podwojenia kapitału – kapitalizacja ciągła
n=
30
0,69315
r
(3.29)
Przykład.
Wyznaczymy liczbę lat do podwojenia kapitału stosując 4 wzory, dwa dokładne
(wzory (3.26) i (3.29)) oraz dwa przybliżone (wzory (3.27) i (3.28)), w odniesieniu
do kilku stóp procentowych. Wyniki przedstawia tabela 3.
Stosowany wzór
r=8%
r=2%
kapitalizacja 3,466
8,664
34,658
kapitalizacja 3,802
9,007
35,003
Reguła 69
3,800
8,975
34,850
Reguła 72
3,600
9,000
36,000
Dokładny,
r=20%
ciągła
Dokładny,
roczna
31
Zagadnienie wartości przyszłej i bieżącej – zmienna stopa procentowa
Wzór 30 – Wartość przyszła regularnych przepływów pieniężnych – zmienna
stopa procentowa
n
FV = å Ct (1 + rt +1 )(1 + rt + 2 )...(1 + rn )
(3.30)
t =1
gdzie:
ri - stopa procentowa w okresie i-tym, przy czym wyrażona jest ona w skali okresu
występowania płatności.
Przykład.
Inwestycja polega na wpłacaniu na depozyt bankowy kilku kwot co trzy miesiące
(pierwsza wpłata ma miejsce za trzy miesiące). Kapitalizacja jest kwartalna, zaś
oprocentowanie depozytu zmienia się co kwartał i w kolejnych kwartałach wynosi:
8%, 8,2%, 8,4%, 7,8%. Wpłacane są kolejno następujące kwoty: 100 zł, 300 zł, 200
zł, 250 zł. Wyznaczymy wartość przyszłą po roku, czyli po wpłaceniu ostatniej
kwoty. Po zastosowaniu wzoru (3.30) otrzymujemy:
FV = 100(1,0205)(1,021)(1,0195) + 300(1,021)(1,0195) +
200(1,095) + 250 = 891,49
32
Wzór 31 – Wartość bieżąca regularnych przepływów pieniężnych – zmienna
stopa procentowa
n
Ct
PV = å
t =1 (1 + r1 )...(1 + rt )
(3.31)
Przykład.
W wyniku inwestycji spodziewamy się otrzymać trzy przepływy pieniężne: po
roku – 2000 złotych, po dwóch latach – 2500 złotych, po trzech latach – 2800
złotych. Wymagana stopa zwrotu jest zmienna i w kolejnych latach wynosi: 8%,
8,5%, 9%. Wartość tej inwestycji dzisiaj wynosi (po zastosowaniu wzoru (3.31)):
2000
2500
+
+
(1,08) (1,08)(1,085)
2800
= 6177,51
(1,08)(1,085)(1,09)
PV =
33
Stopa procentowa i stopa zwrotu – wprowadzenie
Stopa zwrotu (rate of return) określa (procentowo) dochód uzyskany w wyniku
inwestycji.
Stopę zwrotu (dochodu) można określić jako iloraz uzyskanego dochodu do
zainwestowanego kapitału.
Stopa zwrotu – skończony okres inwestycji
Przypadek A1. Stopy zwrotu – brak przepływów pieniężnych w okresie
trwania inwestycji.
Wzór 32 – Prosta stopa zwrotu
1 æ FV
ö
r= ç
- 1÷
n è PV
ø
(3.32)
Wzór 33 – Efektywna stopa zwrotu
1/ n
æ FV ö
r =ç
÷
è PV ø
34
-1
(3.33)
Wzór 34 – Logarytmiczna stopa zwrotu
1
r = (ln FV - ln PV )
n
(3.34)
relacja między logarytmiczną stopą zwrotu a efektywną stopą zwrotu:
rl = ln(1 + re)
gdzie, dla rozróżnienia:
rl – logarytmiczna stopa zwrotu;
re – efektywna stopa zwrotu.
35
Przykład.
Rozpatrzymy dwuletnią inwestycję. Zainwestowana kwota wynosiła 10000 złotych
i dała w efekcie po dwóch latach wartość końcową równą 12000 złotych.
Obliczymy stopę zwrotu tej inwestycji. Podstawiając do wzorów (3.32)-(3.34)
otrzymujemy wartości stóp zwrotu:
- prosta stopa zwrotu:
r=
1 æ 12000 ö
- 1÷ = 10%
ç
2 è 10000 ø
- efektywna stopa zwrotu:
1/ 2
æ 12000 ö
r =ç
÷
è 10000 ø
- 1 = 9,55%
- logarytmiczna stopa zwrotu:
r=
36
1
(ln 12000 - ln 10000 ) = 9,12%
2
Przykład.
Teraz z kolei rozpatrzymy półroczną inwestycję. Zainwestowana kwota wynosiła
10000 złotych i dała w efekcie wartość końcową równą 10800 złotych. Obliczymy
stopę zwrotu tej inwestycji. Podstawiając do wzorów (3.32)-(3.34) otrzymujemy:
- prosta stopa zwrotu:
r=
1 æ 10800 ö
- 1÷ = 16%
ç
0,5 è 10000 ø
- efektywna stopa zwrotu:
1/ 0 ,5
æ 10800 ö
r =ç
÷
è 10000 ø
- 1 = 16,64%
- logarytmiczna stopa zwrotu:
r=
37
1
(ln 10800 - ln 10000 ) = 15,39%
0,5
Przykład.
Inwestycja została przeprowadzona między 10 maja a 25 lipca. Zainwestowana
kwota wynosiła 1000 złotych i dała w efekcie wartość końcową równą 1020
złotych, co oznacza powiększenie kapitału początkowego w ciągu tego okresu o
2%. Obliczymy stopę zwrotu przy zastosowaniu trzech sposobów jej obliczania i
czterech możliwych konwencji określania dni. Zauważmy, że:
- przy zastosowaniu konwencji „actual” liczba dni trwania inwestycji wynosi 76;
- przy zastosowaniu konwencji „30” liczba dni trwania inwestycji wynosi 75.
Wyniki przedstawia tabela 4.
Tabela 4. Stopy zwrotu (w %) przy zastosowaniu różnych sposobów liczenia.
Prosta
Efektywna
Logarytmiczna
Actual/365
9,605
9,977
9,510
Actual/360
9,474
9,834
9,380
30/365
9,733
10,117
9,637
30/360
9,600
9,972
9,505
38
Przypadek A2. Stopy zwrotu – występujące przepływy pieniężne w okresie
trwania inwestycji.
Wzór 35 – Wewnętrzna stopa zwrotu (okres kapitalizacji zgodny z okresem
otrzymywania przepływów)
n
Ct
= I0
å
t
t =1 (1 + IRR )
(3.35)
lub równoważnie (jeśli oznaczymy nakład początkowy jako przepływ pieniężny w
okresie zerowym):
n
Ct
=0
å
t
t = 0 (1 + IRR )
39
(3.35a )
Wzór 36 – Wewnętrzna stopa zwrotu (kapitalizacja ciągła)
n
-t × IRR
= I0
C
e
å t
(3.36)
t =1
lub równoważnie (jeśli oznaczymy nakład początkowy jako przepływ pieniężny w
okresie zerowym):
n
- t × IRR
=0
C
e
å t
(3.36a )
t =0
Można dowieść, że między obu wersjami wewnętrznej stopy zwrotu zachodzi
następująca relacja:
IRRc = ln(1 + IRR )
gdzie, dla odróżnienia, IRRc oznacza wewnętrzną stopę zwrotu wyrażoną wzorem
(3.36).
40
Okazuje się, że po przekształceniu wzoru (3.35) otrzymujemy:
n
n -t
n
C
(
1
+
IRR
)
=
I
(
1
+
IRR
)
å t
0
t =1
Upraszczając nieco notację, możemy zapisać:
FV = PV (1 + IRR ) n
czyli:
1/ n
æ FV ö
IRR = ç
÷
è PV ø
41
-1
Przykład.
Inwestycja trzyletnia. Nakład początkowy 1000 złotych, zaś przepływy pieniężne
na zakończenie każdego z kolejnych trzech lat wynoszą odpowiednio: 200, 400 i
700 złotych. Wyznaczymy wewnętrzną stopę zwrotu. Wzór (3.35):
200
400
700
+
+
= 1000
2
3
1 + IRR (1 + IRR )
(1 + IRR )
Za pomocą kalkulatora finansowego otrzymujemy:
IRR = 11,79%
Dla zilustrowania tego faktu zauważmy, że:
- reinwestując przepływy pieniężne po stopie IRR, otrzymujemy wartość
przyszłą (po 3 latach):
200(1 + 0,1179) 2 + 400(1 + 0,1179) + 700 = 1397
- inwestując nakład początkowy po stopie IRR, otrzymujemy wartość przyszłą
(po 3 latach):
1000(1 + 0,1179)3 = 1397
42
Teraz z kolei wyznaczymy wewnętrzną stopę zwrotu przy założeniu kapitalizacji
ciągłej. Po podstawieniu do wzoru (3.36) otrzymujemy:
200e - IRR + 400e -2× IRR + 700e -3×IRR = 1000
Korzystając bezpośrednio z relacji między obu wersjami wewnętrznej stopy zwrotu
otrzymujemy (warto sprawdzić, że ta wartość jest jednocześnie rozwiązaniem
powyższego równania):
IRR = 11,15%
Występują tutaj następujące prawidłowości:
- jeśli stopa reinwestowania jest równa IRR, wtedy zrealizowana stopa
zwrotu równa jest IRR;
- jeśli stopa reinwestowania jest wyższa niż IRR, wtedy zrealizowana
stopa zwrotu jest wyższa niż IRR;
- jeśli stopa reinwestowania jest niższa niż IRR, wtedy zrealizowana stopa
zwrotu jest niższa niż IRR.
43
Wzór (3.35) określający wewnętrzną stopę zwrotu:
n
n -t
n
C
(
1
+
IRR
)
=
I
(
1
+
IRR
)
å t
0
t =1
Wzór 37 – Zewnętrzna stopa zwrotu (okres kapitalizacji zgodny z okresem
otrzymywania przepływów)
æ
ç å Ct (1 + r ) n -t
ERR = ç t =1
ç
I0
ç
è
n
1/ n
ö
÷
÷
÷
÷
ø
-1
(3.37)
Wzór 38 – Zewnętrzna stopa zwrotu (kapitalizacja ciągła)
ö
1æ æ n
r ( n -t ) ö
ERR = çç lnç å Ct e
÷ - ln I 0 ÷÷
n è è t =1
ø
ø
44
(3.38)
Przykład.
Rozważamy tę samą inwestycję, co w poprzednim przykładzie – jest to inwestycja
trzyletnia. Nakład początkowy wynosi 1000 złotych, zaś przepływy pieniężne na
zakończenie każdego z kolejnych trzech lat wynoszą odpowiednio: 200, 400 i 700
złotych. Wewnętrzna stopa zwrotu wyznaczona uprzednio wynosi 11,79%. Po
podstawieniu do wzoru (3.37) otrzymujemy:
1/ 3
æ 200(1,1) + 400(1,1) + 700 ö
÷÷
ERR = çç
1000
è
ø
2
- 1 = 11,39%
Dla porównania podamy jeszcze dwie inne wartości zewnętrznej stopy zwrotu:
- gdy stopa reinwestowania wynosi 0% (brak reinwestowania), wtedy ERR =
9,14%;
- gdy stopa reinwestowania wynosi 20% (znacznie więcej niż IRR), wtedy
ERR = 13,65%.
45
Stopa zwrotu – nieskończony okres inwestycji
Wzór 39 – Stopa zwrotu – nieskończony okres, renta wieczysta
PMT
r=
PV
(3.39)
Wzór 40 – Stopa zwrotu – nieskończony okres, przepływy rosnące w stałym
tempie
r=
46
PMT1
+g
PV
(3.40)
Przykład.
Dwie inwestycje o nieskończonym okresie trwania. Nakład początkowy 1000 zł.
Inwestycja A o stałych przepływach pieniężnych - 100 złotych co rok, zaś
inwestycja B o pierwszym przepływie 100 złotych za rok, ale w każdym następnym
roku przepływy wzrastają o 4%. Wyznaczymy stopy zwrotu:
- dla inwestycji A – po podstawieniu do wzoru (3.39) otrzymujemy:
100
r=
= 10%
1000
- dla inwestycji B – po podstawieniu do wzoru (3.40) otrzymujemy:
r=
100
+ 0,04 = 14%
1000
Można wykazać, iż musi występować następująca relacja:
PMT = PMT1 + gPV
Wynika z tego, że jeśli w inwestycji B z powyższego przykładu pozostawimy te
same dane, to inwestycja A przy nakładzie początkowym równym 1000 złotych
musiałaby dawać efekt w postaci renty wieczystej równej:
PMT = 100 + 0,04 ×1000 = 140
47
1. Koncepcja stopy procentowej (rozumianej zazwyczaj jako stopa zwrotu) jest
umowna, zależy od pewnych założeń, w szczególności:
- przyjętego umownie okresu inwestycji (skończony lub nieskończony);
- przyjętej struktury przepływów pieniężnych;
- przyjętego umownie okresu kapitalizacji;
- przyjętej umownie stopy reinwestowania;
- przyjętych konwencji określania liczby dni w roku i w okresie trwania
inwestycji.
2. Najczęściej stosowane w praktyce są efektywna stopa zwrotu, prosta stopa
zwrotu i standardowa wersja wewnętrznej stopy zwrotu.
3. W sytuacji krótkich horyzontów inwestowania, najczęściej stosowana jest prosta
stopa zwrotu.
4. Prawidłowe porównanie stóp zwrotu z różnych inwestycji ma miejsce jedynie
wtedy, gdy te stopy wyznaczane są z zastosowaniem tego samego sposobu..
5. W przypadku typowych rodzajów inwestycji istnieją uzgodnione zwyczaje
stosowane na rynku, określające rodzaj stosowanej stopy zwrotu.
48