I.1 Przestrze« towarów

***
Teoria popytu konsumenta
***
I. Pole preferencji konsumenta
1. Przestrze« towarów
2. Relacja preferencji konsumenta
3. Optymalny koszyk towarów
I.1 Przestrze« towarów
Podstawowe poj¦cia
Rynek towarów konsumpcyjnych skªada si¦ z n
ró»nych towarów o numerach od 1 do n,
ilo±¢ i-tego towaru, mierzona w jednostkach
zycznych kg, m, l, mb, m2, szt.).
xi
Koszyk towarów x = (x1, x2, . . . , xn), xi > 0
Odlegªo±¢ mi¦dzy koszykami x = (x1, x2, . . . , xn)
i y = (y1, y2, . . . , yn)
d(x, y) = max{|xi − yi| : i = 1, 2, . . . , n}
Dla dowolnych x, y, z ∈ X :
1. d(x, y) > 0, przy czym d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
2. d(x, y) = d(y, x)
3. d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y)
n zbiór dost¦pnych
Przestrze« towarów: X ⊆ R+
na rynku koszyków towarów z odlegªo±ci¡ d. Jest
to przestrze« metryczna.
Otoczenie koszyka x o promeniu ε:
U(x) = {y ∈ X : d(x, y) < ε}.
Granica ci¡gu koszyków {xi}∞
i=1 : taki koszyk x,
»e lim d(xi, x) = 0.
i→∞
Zbiór M (∅ =
6 M ⊆ X ) nazywamy domkni¦tym,
je»eli granica ka»dego zbie»nego ci¡gu koszyków
nale»¡cych do zbioru M te» nale»y do M .
Koszyk x ∈ M (M ⊆ X ) nazywamy punktem
wewn¦trznym zbioru M , je±li
∃ε > 0
U(x) ⊆ M.
Wn¦trze zbioru M (ozn. int M ): zbiór wszystkich punktów wewn¦trznych tego zbioru.
Zbiór M ⊆ X nazywamy otwartym, je»eli ka»dy
koszyk x ∈ M jest jego punktem wewn¦trznym
(M = int M ).
Punkt brzegowy zbioru M ⊆ X : taki koszyk
x ∈ X , »e w dowolnym otoczeniu x znajduj¡ si¦
zarówno punkty nale»¡ce do M , jak i do M nienale»¡ce. Zbiór wszystkich punktów brzegowych
bnd M brzeg zbioru M .
Dopeªnienie zbioru M ⊆ X : X \ M .
Zbiór M ⊆ X nazywa si¦ ograniczonym, je±li
∃N > 0 ∀x, y ∈ M d(x, y) 6 N.
Zbiór M ⊆ X nazywa si¦ zwarty, je±li jest ograniczony i domkni¦ty.
n
Liniowa kombinacja wypukªa koszyków x, y ∈ R+
nazywamy koszyk z postaci x = αx + β y, gdzie
α, β s¡ nieujemnymi liczbami rzeczywistymi oraz
α + β = 1.
n:
Odcinek ª¡cz¡cy koszyki x i y w przestrzeni R+
n : ∃α, β > 0 : α+β = 1, z = αx+β y}.
[x, y] = {z ∈ R+
Zbiór M ⊆ X nazywa si¦ wypukªy je±li dla dowolnych x, y ∈ M , odcinek [x, y] jest zawarty w M .
I.2. Relacja preferencji konsumenta
Koszyki x i y s¡ indyferentne, je±li dla konsumenta
s¡ jednakowo dobre; piszemy x ∼ y
Koszyk x jest silnie preferowany nad koszyk y,
je±li dla konsumenta x jest lepszy od y; piszemy
x y. Symbol x % y oznacza alternatyw¦:
(x y ) ∨ (x ∼ y )
Relacja indyferencji konsumenta:
I = {(x, y) ∈ X × X : x ∼ y}
Zaªo»enie 1. Relacja indyferencji jest zwrotna i
symetryczna, tzn.
a) ∀x ∈ X x ∼ x,
b) ∀x, y ∈ X x ∼ y =⇒ y ∼ x.
Relacja silnej preferencji:
Ps = {(x, y) ∈ X × X : x y}
Relacja preferencji konsumenta:
P = {(x, y) ∈ X × X : x % y}
Zaªo»enie 2. Relacja preferencji konsumenta jest
zupeªna i przechodnia, tzn.
a) ∀x, y ∈ X (x % y) ∨ (y % x)
b) ∀x, y ∈ X (x % y) ∧ (y % z) ⇒ x % z.
Dla dowolnych koszyków x, y, z ∈ X :
a) (x y) ∨ (y x) ∨ (x ∼ y),
b) (x % y) ∧ (y % x) ⇔ (x ∼ y),
c) (x % y) ∧ ¬(y % x) ⇔ (x y),
d) (x % y) ∧ (y % z) ⇒ (x z).
Tw.1.
Wniosek.
Dla dowolnych koszyków x, y, z ∈ X :
a) (x y) ∧ (y z) ⇒ (x z),
b) (x ∼ y) ∧ (y z) ⇒ (x z).
Pole preferencji konsumenta: jest to przestrze«
towarów X (0 6= X ⊆ Rn+) ze zdeniowan¡ relacj¡
preferencji konsumenta P ; ozn. (X, P ).
Obszar (krzywa) oboj¦tno±ci wzgl¦dem danego
koszyka x0 ∈ X : zbiór wszystkich koszyków indyferentnych z x0, tzn.
Kx0 = {x ∈ X : x ∼ x0}.
Przestrze« towarów: X = {A, B, C, D}
Preferencje I-go konsumenta
Prz. 1.
A
B
C
A A∼A AB A∼C
B
B∼B
C C∼A CB C∼C
D
D
AD
BD
CD
D∼D
I = {(A, A)(B, B)(C, C)(D, D)(A, C)(C, A)};
relacja indyferencji jest zwrotna i symetryczna
Ps = {(A, B)(A, D)(B, D)(C, B)(C, D)}:
relacja s. pref. jest przechodnia
P = I ∪ Ps: relacja preferencji jest zupeªna i
przechodnia
KA = {A, C}
Preferencje II-go konsumenta
A
B
C
D
A A∼A AB AC
B
B∼B B∼C
C C∼A C∼B C∼C CD
D DA DB
D∼D
I = {(A, A)(B, B)(C, C)(D, D)(B, C)(C, B)};
relacja indyferencji jest zwrotna i symetryczna
Ps = {(A, B)(A, C)(C, D)(D, A)(D, B)}:
relacja s. pref. nie jest przechodnia
P = I ∪ Ps: relacja preferencji jest zupeªna, ale
nieprzechodnia
KA = {A}.
Prz. 2.
X = {x ∈ R1
+ : 0 6 x 6 a}
x ∼ y ⇔ x = y,
xy⇔x>y
I = {(x, y) ∈ R2
+ : x = y, 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 a}
Ps = {(x, y) ∈ R2
+ : x > y, 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 a}
P = {(x, y) ∈ R2
+ : x > y, 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 a}
X = R2
+
4
I = {(x, y ∈ R+ : x1 + x2 = y1 + y2}
Ps = {(x, y ∈ R4
+ : x1 + x2 > y1 + y2 }
P = {(x, y ∈ R4
+ : x1 + x2 > y 1 + y 2 }
Je±li x0 = (x01, x02), to
0 + x0 }
Kx0 = {x ∈ R2
:
x
+
x
=
x
1
2
1
2
+
Prz. 3
I.3.
Optymalny koszyk towarów i warunki
jego istnienia.
Koszyk x̄ ∈ M nazywamy optymalnym koszykiem
w zbiorze M , je»eli jest on nie gorszy od ka»dego
innego koszyka z tego zbioru
Relacja preferencji konsumenta P = {(x, y) : x y} jest ci¡gªa je±li istniej¡ takie otoczenia Uε(x)
i Uε(y), »e dla ka»dego x0 ∈ Uε(x) i dla ka»dego
y0 ∈ Uε(y) jest x0 y0.
Relacja preferencji konsumenta P jest
ci¡gªa na przestrzeni towarów X ⇐⇒ relacja silnej preferencji jest zbiorem otwartym w przestrzeni
X × X.
Tw.
2.
Relacja preferencji konsumenta P jest
ci¡gªa na przestrzeni towarów X ⇐⇒ dla dowolnych a, b ∈ X zbiory {x ∈ X : x a} i {x ∈ X :
b x} s¡ zbiorami otwartymi w X .
Tw.
3.
Relacja preferencji P jest wypukªa, je±li ∀α, β >
0: α + β = 1 ∀x, y ∈ X ,
x % y ⇒ αx + β y % y.
Prz. 4.
x=
1
5
l mleka , y =
l piwa
!
2
2
l mleka
l piwa
!
Relacja preferencji konsumenta jest wypukªa Longlef trightarrow dla ka»dego koszyka
a ∈ X zbiór F (a) = {x ∈ X : x % a} jest wypukªy.
Tw. 4.
Relacja preferencji P jest silnie wypukªa na X ,
je±li ∀α, β > 0: α + β = 1 ∀x, y ∈ X ,
x % y, x 6= y ⇒ αx + β y y.
Je»eli relacja preferencji konsumenta
jest wypukªa, to ∀α, β > 0: α + β = 1 zachodz¡
implikacje
(a) ∀x, y ∈ X (x y, x 6= y) ⇒ αx + β y y;
(b) ∀x, y ∈ X (x ∼ y, x 6= y) ⇒ αx + β y y;
(c) ∀x, y ∈ X (x ∼ y, x 6= y) ⇒ αx + β y x;
Tw.
5.
Niech (X, P ) oznacza pole preferencji
konsumenta i niech ∅ 6= M ⊆ X . Wówczas:
(a) je»eli relacja preferencji P jest ci¡gªa na przestrzeni towarów X , a M jest zbiorem zwartym,
to w zbiorze M istnieje przynajmniej jeden optymalny koszyk towarów, a wszystkie koszyki optymalne tworz¡ zwarty podzbiór zbioru M .
(b) Je»eli relacja preferencji P jest ci¡gªa i wypukªa na wypukªej przestrzeni towarów X , a zbiór
M jest zwarty i wypukªy, to w zbiorze M istnieje
przynajmniej jeden optymalny koszyk towarów,
a wszystkie koszyki optymalne tworz¡ zwarty i
wypukªy podzbiór zbioru M .
(c) Je»eli relacja preferencji P jest ci¡gªa i silnie wypukªa na wypukªej przestrzeni towarów X ,
a zbiór M jest zwarty i wypukªy, to w zbiorze
M istnieje dokªadnie jeden optymalny koszyk towarów.
Tw.
Prz.
nast.:
6.
5.
Relacja preferencji jest zdeniowana
x ∼ y ⇔ a 1 x 1 + a 2 x2 = a 1 y 1 + a 2 y 2
x y ⇔ a1x1 + a2x2 > a1y1 + a2y2