funkcja wymierna

1. Podstawowe wiadomości o wyrażeniach wymiernych
Wyrażenia wymierne to ułamki, które mają w liczniku i w mianowniku wielomiany.
W mianowniku takiego ułamka (będącego wyrażeniem wymiernym) musi znajdować się wyrażenie
z x-em.
Przykłady wyrażeń wymiernych:
1. Wyrażenie wymierne, które w mianowniku ma wielomian stopnia 1:
2. Wyrażenie wymierne, które w liczniku i w mianowniku ma wielomian stopnia 1:
3. Wyrażenie wymierne, które w liczniku ma wielomian stopnia 2, a w mianowniku wielomian
stopnia 1:
. Inny przykład tego typu:
4. Wyrażenie wymierne, które ma w liczniku i w mianowniku wielomian stopnia 2:
5. Wyrażenie wymierne, które w liczniku ma wielomian stopnia 3, a w mianowniku wielomian
stopnia 2:
2. Dziedzina wyrażenia wymiernego
Dla dowolnego wyrażenia wymiernego należy zrobić założenie, że mianownik jest różny od zera.
W ten sposób dajemy sobie gwarancję, że nie wykonamy dzielenia przez 0 (które jest w matematyce
działaniem niedozwolonym).
Robienie takich założeń to inaczej określanie dziedziny wyrażenia wymiernego.
Można zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych, z wyłączeniem tych liczb, które zerują mianownik.
Przykłady:
1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego:
Rozwiązanie:
Zakładamy, że mianownik jest różny od zera:
Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę 3.
Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem 3.
Zapisujemy to tak: D = R\{3}.
Można również zapisać po prostu: x ≠ 3.
2. Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego:
Rozwiązanie:
Zakładamy, że mianownik jest różny od zera:
Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę -1,5.
Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem -1,5.
Zapisujemy to tak: D = R\{-1,5}.
Można również zapisać po prostu: x ≠ -1,5.
3. Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego:
Rozwiązanie:
Sprawdzamy kiedy mianownik zeruje się:
Iloczyn dwóch nawiasów jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z tych nawiasów
jest równy zero. Zatem powyższe równanie jest spełnione jeżeli:
Czyli x = 5 zeruje mianownik oraz x = -7 zeruje mianownik.
Zatem z dziedziny musimy wykluczyć dwie liczby – liczbę 5 oraz liczbę -7.
Zapisujemy to tak: D = R\{-7, 5}.
Można również dziedzinę zapisać tak: x ≠ -7 i x ≠ 5.
Zadanie 1.
Dziedziną wyrażenia wymiernego
jest zbiór
Zadanie 2.
Zbiór R \ {-3, 0, 2} jest dziedziną wyrażenia
Zadanie 3.
Które liczby ze zbioru {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} nie należą do dziedziny poniższego wyrażenia
wymiernego:
3. Równania wymierne
Rozwiązując równania wymierne:
1. Wyznaczamy dziedzinę równania (mianownik nie może się zerować)
2. Obliczamy, dla jakich argumentów czyli iksów licznik równa się zero
3. Sprawdzamy, czy wyliczone iksy należą do dziedziny równania
Zadanie 1.
Równanie
ma
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie
.
Zadanie 3.
Równanie
Zadanie 4.
Wskaż liczbe rozwiązań równania
Zadanie 5.
Liczba rozwiązań równania
jest równa
Zadanie 6.
Liczba rozwiązań równania
jest równa
Zadanie 7.
Liczba rozwiązań równania
jest równa
Zadanie 8.
Liczba różnych rozwiązań równania
wynosi:
Zadanie 9.
Wspólnym pierwiastkiem równań (x2−1)(x−10)(x−5)=0 i
A. 10
4. Funkcja wymierna
B. 5
C. 1
= 0 jest liczba
D. - 1
Funkcja wymierna - to taka funkcja, której wzór można zapisać w postaci ułamka. Ponadto ułamek
ten musi mieć wielomian w liczniku i w mianowniku.
Przykłady funkcji wymiernych:
Funkcja wymierna - to funkcja, którą można zapisać w postaci:
gdzie:
w(x) - dowolny wielomian,
p(x) - wielomian niezerowy.
5. Dziedzina funkcji wymiernej
Dziedzinę funkcji wymiernej wyznaczamy tak samo jak dziedzinę wyrażenia wymiernego.
Dla funkcji wymiernej określonej wzorem:
wyznaczamy miejsca zerowe (pierwiastki)
wielomianu p(x), a następnie wyrzucamy je z dziedziny, czyli ze zbioru liczb rzeczywistych.
Przykłady:
Wyznacz dziedzinę funkcji
Rozwiązanie:
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażenia z mianownika:
x-5=0
x=5
Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{5}.
Wyznacz dziedzinę funkcji
Rozwiązanie:
Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika:
2x - 14 = 0
2x = 14
x=7
Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{7}.
Wyznacz dziedzinę funkcji
Rozwiązanie:
Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika:
(x + 1)(x + 3) = 0
x + 1 = 0 lub x + 3 = 0
x = -1 lub x = -3
Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{-3, -1}.
Wyznacz dziedzinę funkcji
Rozwiązanie:
Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika:
x(x2 - 2) = 0
x = 0 lub
x2 - 2 = 0
x2 = 2
x = √2 lub x = -√2
Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór: R\{-√2, 0, √2}.