plik Adobe PDF / Get full paper - Adobe PDF file

plik Adobe PDF / Get full paper - Adobe PDF file

KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN – ODDZIAŁ W POZNANIU
Vol. 27 nr 2
Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji
2007
LESZEK SKOCZYLAS ∗
PRĘDKOŚĆ POŚLIZGU
W ZAZĘBIENIU PRZEKŁADNI ŚLIMAKOWEJ
W artykule przedstawiono sposób obliczenia prędkości poślizgu międzyzębnego przekładni
ślimakowych w dowolnym punkcie na boku zęba. Obliczenia są oparte na współrzędnych linii
styku zębów przekładni. Artykuł zawiera również przykładowe rozkłady prędkości poślizgu na
boku zwoju w przekroju czołowym ślimaka dla wybranych parametrów przekładni ślimakowej.
Słowa kluczowe: przekładnie ślimakowe, zazębienie, prędkość poślizgu
1. WSTĘP
Poślizg pomiędzy współpracującymi zębami kół jest zjawiskiem nieodłącznym w przekładniach zębatych. W decydujący sposób wpływa na warunki smarowania zębów kół, sprawność i obciążalność przekładni. W odniesieniu do
przekładni ślimakowych jest zjawiskiem niekorzystnym, a jego minimalizacji
sprzyja prostopadłe ułożenie kierunku prędkości poślizgu i linii styku zębów.
W przekładniach ślimakowych, z uwagi na ich specyficzną budowę, zjawisko
poślizgu odgrywa istotną rolę. Powszechnie przyjmuje się, że poślizg pomiędzy
zębami przekładni ślimakowej wynika tylko z obrotu ślimaka. Pomijany jest
poślizg pochodzący od wzajemnego odtaczania ślimaka i ślimacznicy jako bardzo mały. W literaturze można znaleźć zależności opisujące rzeczywistą wartość
poślizgu międzyzębnego w przekładni ślimakowej. Brak jest jednakże przykładów pokazujących rzeczywiste wartości poślizgu i jego kierunek na boku zęba.
Nie są przedstawiane relacje prędkości poślizgu pochodzącej od obrotu ślimaka
do prędkości poślizgu pochodzącej od odtaczania ślimacznicy i ślimaka.
W szczegółowej analizie zazębienia przekładni tego typu informacje mogą być
jednak przydatne. Ich znajomość może być pomocna w doborze parametrów
∗
Dr inż. – Katedra Technologii Maszyn i Organizacji Produkcji Politechniki Rzeszowskiej.
144
L. Skoczylas
przekładni ślimakowej oraz zarysu zwojów ślimaka, od których zależy wzajemne ustawienie linii styku zębów i kierunek wektora prędkości poślizgu.
2. OBLICZENIA PRĘDKOŚCI POŚLIZGU
Prędkość poślizgu w przekładniach ślimakowych należy rozpatrywać jako
sumę prędkości pochodzącej od obrotu ślimaka oraz prędkości wzajemnego
odtaczania ślimaka i ślimacznicy. W literaturze prędkość poślizgu najczęściej
rozpatrywana jest w takich przekrojach, jak styczny i normalny do linii styku
zębów przekładni czy styczny do linii zwoju ślimaka oraz podłużny ślimaka
[1, 2]. Przekrojem często wykorzystywanym do prezentacji linii styku zębów
przekładni ślimakowej jest przekrój czołowy ślimaka. Z tego względu w niniejszym opracowaniu zarówno wartości, jak i kierunek poślizgu międzyzębnego
będą obliczone w tym przekroju oraz w przekroju podłużnym ślimaka. Takie
podejście pozwoli zarazem na określenie składowych wektora prędkości poślizgu w trzech kierunkach układu kartezjańskiego. Obliczenia prędkości poślizgu
będą się odnosić do współrzędnych linii styku zębów przekładni, które są określone w układzie stałym (x0y0z0) przedstawionym na rys. 1.
Rys. 1. Układ kinematyczny zazębienia ślimaka
i ślimacznicy
Fig. 1. Kinematic system of worm and wormwheel
gearing
Rys. 2. Składowe poślizgu w przekroju
czołowym ślimaka
Fig. 2. Rubbing components in worm frontal
section
Prędkość poślizgu w zazębieniu przekładni ślimakowej
145
Układy współrzędnych (x1y1z1) i (x2y2z2) to układy ruchome, odpowiednio,
ślimacznicy i ślimaka. Zgodnie z rysunkiem, układ ślimaka jest odsunięty od
układu stałego i od ślimacznicy o odległość osi przekładni oraz skręcony o kąt
90o. Sposób obliczeń linii styku zębów takiej przekładni został przedstawiony w
pracach [4, 5]. Prędkość dowolnego punktu A(xyz) wzdłuż zwoju ślimaka jest
opisana zależnością:
VS 2 A =
ω 2 rA
.
cos γ A
(1)
Prędkość ta jest zależna od prędkości kątowej ω2 ślimaka, promienia wodzącego
rA oraz kąta wzniosu linii śrubowej ślimaka γA. Po wyrażeniu promienia rA we
współrzędnych układu stałego x0 i z0 (zgodnie z rys. 2), w którym są podawane
współrzędne linii styku, otrzymuje się:
rA =
(a − x0 )2 + z 02 .
(2)
W równaniu tym a oznacza odległość osi przekładni.
Składowe prędkości poślizgu w poszczególnych osiach układu stałego
(x0y0z0), obliczone na podstawie rys. 2, są wyrażone równaniami:
V p 2 Ax = −ω 2 rA sin ϕ ⎫
⎪
V p 2 Ay = ω 2 rA tgγ A ⎬.
V p 2 Az = −ω 2 rA cos ϕ ⎪⎭
(3)
Kąt ϕ można obliczyć na podstawie współrzędnych punktu styku (rys. 2) z zależności:
⎛ z0 ⎞
⎟⎟ .
⎝ a − x0 ⎠
ϕ = arctg⎜⎜
(4)
Lepszy obraz prędkości poślizgu otrzyma się, wyrażając ją w wartościach
względnych. Za prędkość odniesienia przyjęto obwodową prędkość ślimaka V2
w biegunie zazębienia, którą przedstawia równanie:
V2 = ω 2 (a − r1 ) .
(5)
Odnosząc składowe prędkości poślizgu do obwodowej prędkości ślimaka,
otrzymuje się składowe względne prędkości poślizgu postaci:
146
L. Skoczylas
rA sin ϕ ⎫
⎪
a − r1 ⎪
r tgγ ⎪
Vwp 2 Ay = A A ⎬ .
a − r1 ⎪
rA cos ϕ ⎪
Vwp 2 Az = −
a − r1 ⎪⎭
Vwp 2 Ax = −
(6)
Prędkość poślizgu wynikająca z odtaczania ślimaka i ślimacznicy Vp1A należy
rozpatrywać w przekroju podłużnym ślimaka. Przekrój taki, odpowiadający
wybranemu punktowi styku A(xyz), przedstawiono na rys. 3. Kierunek prędkości
poślizgu jest styczny do zarysu zęba, a jej wartość to różnica chwilowych prędkości ślimaka Vt1A i ślimacznicy Vt2A. Wobec tego
V p1 A = Vt1 A − Vt 2 A .
(7)
Rys. 3. Składowe poślizgu w przekroju osiowym ślimaka
Fig. 3. Rubbing components in worm axial section
Chwilową prędkość ślimacznicy względem ślimaka w kierunku stycznym do
zarysu zęba Vt1A można wyznaczyć w oparciu o prędkość kątową ślimacznicy
oraz chwilową odległość stycznej do zarysu od osi obrotu Op (rys. 3). Oś obrotu
Op jest wyznaczona przez prostopadłe przecięcie linii przyporu zębów z prostą
przechodzącą przez oś obrotu ślimacznicy. W związku z tym chwilową prędkość
ślimacznicy względem ślimaka, styczną do zarysu zęba w punkcie A, opisuje
zależność:
Vt1 A = ω1 ρ .
(8)
Prędkość poślizgu w zazębieniu przekładni ślimakowej
147
Odległość stycznej do zarysu od osi obrotu ρ (rys. 3), obliczoną dla punktu
A(xyz) z wykorzystaniem współrzędnych linii styku, przedstawia równanie:
ρ = r1 sin α 1 A ±
(x0 − r1 )2 + y02 .
(9)
W powyższym wzorze znak plus odnosi się do głowy zęba ślimacznicy, a minus
do jego stopy. Kąt przyporu, obliczony również z wykorzystaniem współrzędnych linii styku:
⎛ x0 − r1 ⎞
⎟⎟ .
⎝ y0 ⎠
α 1 A = arctg⎜⎜
(10)
Prędkość ślimaka względem ślimacznicy w kierunku stycznym do zarysu zęba Vt2A została określona przy założeniu zazębienia koła zębatego z zębatką [3].
Opierając się na wzdłużnym przekroju ślimaka przedstawionym na rys. 3, można założyć, że obrotowi ślimacznicy odpowiada poosiowy przesuw ślimaka.
Prędkość przesuwu ślimaka jest stała i odpowiada prędkości obwodowej ślimacznicy na średnicy tocznej V1. Wobec tego prędkość ślimaka względem ślimacznicy w kierunku stycznym do zarysu zęba można zapisać w następujący
sposób:
Vt 2 A = V1 sin α 1 A = ω1 r1 sin α 1 A .
(11)
Ujęta zależnością (7) prędkość poślizgu wynikająca z odtaczania ślimaka i ślimacznicy po przekształceniach będzie miała postać:
V p1 A = ±ω1
(x0 − r1 )2 + y02 .
(12)
Korzystając z zależności (5) oraz uwzględniając przełożenie przekładni, prędkość poślizgu Vp1A można zapisać następująco:
Vwp1 A =
±
(x0 − r1 )2 + y 02
i (a − r1 )
.
(13)
Celem obliczenia całkowitej wartości poślizgu prędkość Vwp1A należy rozłożyć na składowe odpowiadające osiom układu współrzędnych. W tym przypadku prędkość poślizgu ma tylko dwie składowe. Brak jest składowej odpowiadającej osi ślimacznicy. Składowe wzdłuż poszczególnych osi są opisane zależnościami:
L. Skoczylas
148
V wp1 Ax =
V wp1 Ay =
±
±
⎫
(x0 − r1 )2 + y 02
cos α 1 A ⎪
⎪
i (a − r1 )
⎪
2
2
(x0 − r1 ) + y 0
⎪
sin α 1 A ⎬ .
i(a − r1 )
⎪
V wp1 Az = 0
(14)
⎪
⎪
⎪
⎭
Składowe całkowitej prędkości poślizgu są sumą obliczonych składowych
prędkości Vwp1A oraz Vwp2A wzdłuż poszczególnych osi. Na podstawie wartości
wynikających z przedstawionych równań można również wyliczyć kąty nachylenia wektora całkowitej prędkości poślizgu względem każdej osi układu współrzędnych. Dla zobrazowania powyższych rozważań opracowano kilka przykładów
rozkładu prędkości poślizgu na boku zwoju ślimaka. Prędkość ta była określana w
wybranych punktach linii styku zębów przekładni ślimakowych o zarysach Archimedesa, ewolwentowym oraz kołowo-łukowym ślimaka. Parametry przekładni,
dla których prowadzono obliczenia, przedstawiono w tablicy 1. Parametrem podlegającym zmianom była liczba zwojów ślimaka. Promień zarysu zwoju dla ślimaka kołowo-łukowego wynosił 30 mm. Wartość oraz kierunek czołowej prędkości poślizgu dla wybranych przekładni ślimakowych w wybranych punktach linii
styku przedstawiono na rys. 4. W celu porównania kąt obrotu ślimaka tak ustawiono, aby w każdym przypadku linie styku zębów w przekroju osiowym ślimaka
przebiegały przez biegun zazębienia oraz symetrycznie względem niego w odległości 3 mm. Analizując rysunki, można zauważyć, że dla jednozwojnego ślimaka
bez względu na jego zarys występuje duże podobieństwo w rozkładzie czołowej
prędkości poślizgu. Różnice można dostrzec dopiero przy większej liczbie zwojów ślimaka, tutaj kierunek poślizgu odbiega od stycznej do obwodowej prędkości
ślimaka. Szczególnie jest to widoczne dla dużej liczby zwojów ślimaka (z = 20).
Podobna sytuacja będzie występować w nietypowych rozwiązaniach przekładni
ślimakowych [6]. Jest to spowodowane wpływem prędkości poślizgu pochodzącej
od odtaczania ślimaka i ślimacznicy, której wartość wzrasta wraz z odległością
punktu styku od bieguna zazębienia. W tablicy 2 zestawiono wartościowo prędkość poślizgu dla przypadków z rys. 4. Prędkość poślizgu wyrażono względem
prędkości obwodowej ślimaka w biegunie zazębienia. Wyrazem tego jest wartość
1 dla linii środkowej w przekroju osiowym ślimaka dla każdego przypadku przekładni. Dla każdej linii styku podano wartość maksymalną, minimalną oraz wartość w przekroju osiowym. Wartości w tablicy 2 potwierdzają podobieństwo
prędkości poślizgu dla ślimaków jednozwojnych. Występująca rozbieżność wynika głównie z odległości punktu styku od osi obrotu ślimaka. Wpływ prędkości
poślizgu pochodzącej od odtaczania jest znikomy. Obliczona maksymalna wartość
tej prędkości dla przedstawionych linii styku ślimaków jednozwojnych wynosi
Prędkość poślizgu w zazębieniu przekładni ślimakowej
149
około 0,017. Dla ślimaków o sześciu zwojach czołowa prędkość poślizgu nieznacznie się zwiększa. Największy wzrost można zauważyć dla ślimaka ewolwentowego. Dla tego ślimaka również największa jest składowa poślizgu pochodząca
od odtaczania, która wynosi 0,252. Dla dużej liczby zwojów ślimaka (10 i 20)
wartość czołowej prędkości poślizgu nie odbiega zasadniczo od pozostałych. Znacząco jednak zmienia się jej kierunek, widoczny na rys. 4. Jest to wpływ składowej poślizgu pochodzącej od odtaczania, która w tym przypadku osiąga wartość
0,7. Wyniki w tablicy 2 pokazują również większe rozbieżności prędkości poślizgu na stopie zęba ślimaka niż na jego głowie.
Tablica 1
Parametry przekładni ślimakowej
Worm gear parameters
Nazwa parametru
Moduł osiowy ślimaka
Wskaźnik średnicowy
Współczynnik grubości zęba ślimaka
Liczba zębów ślimacznicy
Współczynnik luzu wierzchołkowego
Współczynnik korekcji
Odległość osi przekładni
Kąt zarysu
Wartość
5 mm
10
0,5
30
0,2
0
100 mm
20o
Tablica 2
Wartości prędkości poślizgu na boku zęba ślimaka
The values of rubbing speed at worm flank
Linia styku
max
Górna
Środkowa
Dolna
1,201
1,198
1,208
Górna
Środkowa
Dolna
1,201
1,198
1,205
Górna
Środkowa
Dolna
1,206
1,193
1,198
Górna
Środkowa
Dolna
1,217
1,212
1,197
Czołowa prędkość poślizgu
na osi X
max
min
Ślimak Archimedesa
z=1
z=6
1,118
1,120
1,206
1,067
0,999
1,000
1,245
0,989
0,880
0,880
1,284
0,880
Ślimak ewolwentowy
z=1
z=6
1,118
1,120
1,216
1,062
0,999
1,000
1,255
0,990
0,880
0,880
1,358
0,836
Ślimak kołowo-wklęsły R = 30 mm
z=1
z=6
1,118
1,120
1,225
1,065
0,999
1,00
1,210
0,989
0,880
0,880
1,126
0,880
Ślimak Archimedesa
z = 10
z = 20
1,037
1,129
1,228
1,010
0,984
1,000
1,243
0,982
0,880
0,884
1,221
0,898
min
na osi X
1,123
1,000
0,881
1,118
1,000
0,892
1,125
1,00
0,882
1,138
1
0,908
L. Skoczylas
150
a) Ślimak Archimedesa
b) Ślimak ewolwentowy
c) Ślimak kołowo-wklęsły R = 30
d) Ślimak Archimedesa
Rys. 4. Czołowa prędkość poślizgu dla wybranych parametrów przekładni ślimakowej
Fig. 4. Frontal rubbing speed for selected parameters of worm gear
Prędkość poślizgu w zazębieniu przekładni ślimakowej
151
3. PODSUMOWANIE
Przedstawiony sposób obliczeń prędkości poślizgu, oparty na współrzędnych
linii styku, pozwala na opracowanie szczegółowego rozkładu poślizgów na boku
zwoju ślimaka. Uzyskane wartości potwierdzają poprawność stosowanego w
praktyce utożsamienia prędkości poślizgu z prędkością pochodzącą od obrotu
ślimaka, ale tylko dla małego kąta wzniosu linii śrubowej ślimaka. Wzrost kąta
wzniosu linii śrubowej wprowadza odstępstwo od tej reguły. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można stwierdzić, że prędkość poślizgu w głównej mierze zależy od odległości punktu styku od bieguna zazębienia. Ze wzrostem odległości wzrasta udział prędkości poślizgu pochodzącej od odtaczania ślimaka i
ślimacznicy, co z kolei wpływa na kierunek wypadkowej prędkości poślizgu.
Wobec tego, modyfikując zarys zwoju ślimaka, można wpływać na położenie
punktu styku, a przez to na wzajemne ułożenie linii styku i prędkości poślizgu.
LITERATURA
Kornberger Z., Przekładnie ślimakowe, Warszawa, WNT 1973.
Marciniak T., Przekładnie ślimakowe walcowe, Warszawa, PWN 2001.
Müller L., Przekładnie zębate, Warszawa, WNT 1996.
Skoczylas L., Linia styku zębów przekładni ślimakowej o stożkopochodnym zarysie ślimaka,
Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 2006, vol. 26, nr 2.
[5] Skoczylas L., Geometria zazębienia przekładni ślimakowej przy zmodyfikowanym zarysie
ślimaka Archimedesa, Mechanik, 2007, nr 2.
[6] Skoczylas L., Wpływ parametrów konstrukcyjnych na właściwości eksploatacyjne walcowo-śrubowego mechanizmu różnicowego, rozprawa doktorska, Politechnika Rzeszowska 1998.
[1]
[2]
[3]
[4]
Praca wpłynęła do Redakcji 16.03.2007
Recenzent: prof. dr hab. inż. Ryszard Grajdek
RUBBING SPEED IN WORM TRANSMISSION
S u m m a r y
The paper presents the method of calculation of inter-teeth worm gear rubbing speed in the arbitrary point of gear wheel tooth flank. The calculations are based on the coordinates of contact
line of gear teeth. The paper contains also examples of tooth flank rubbing speed distributions in
worm frontal intersection for selected parameters of worm gear.
Key words: worm gears, meshing, rubbing speed
152
L. Skoczylas