3 Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności i przedłużaniu

3 Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności i przedłużaniu

3–1
Istnienie, jednoznaczność i przedłużanie
3
Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności i
przedłużaniu rozwiązań dla równań
różniczkowych zwyczajnych
3.1
Twierdzenie Picarda
Przez P będziemy (w tym podrozdziale) oznaczać prostokąt
[t0 − δ, t0 + δ] × [x0 − ε, x0 + ε], gdzie δ > 0, ε > 0.
Definicja. Funkcja f : P → R spełnia na P warunek Lipschitza1 względem x
(jednostajnie po t), jeżeli istnieje L > 0 takie, że
|f (t, x1 ) − f (t, x2 )| ¬ L|x1 − x2 |
dla wszystkich t ∈ [t0 − δ, t0 + δ] i wszystkich x1 , x2 ∈ [x0 − ε, x0 + ε].
Fakt 3.1. Załóżmy, że pochodna cząstkowa ∂f /∂x istnieje i jest ciągła na
P . Wówczas f spełnia na P warunek Lipschitza względem x, ze stałą
L = sup{ | ∂f
| : (t, x) ∈ P }.
∂x
Twierdzenie 3.2 (Twierdzenie Picarda2 (–Lindelöfa3 )). Niech f : P → R
będzie funkcją ciągłą spełniającą na P warunek Lipschitza względem x ze
stałą L. Wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiązanie
ϕ : [t0 − η, t0 + η] → R zagadnienia początkowego

x′
(ZP)
= f (t, x)
= x0 ,
x(t0 )
gdzie η = min{δ, Mε }, M = sup{ |f (t, x)| : (t, x) ∈ P }.
Dowód. I) Zauważmy, że jeżeli ϕ : [t0 − η, t0 + η] → [x0 − ε, x0 + ε] (gdzie
zakładamy tylko, że 0 < η ¬ δ) jest rozwiązaniem zagadnienia
początkowego (ZP), to jest rozwiązaniem równania całkowego
(3.1)
x(t) = x0 +
Zt
t0
f (s, x(s)) ds
∀t ∈ [t0 − η, t0 + η].
Na odwrót, każde ciągłe rozwiązanie równania całkowego (3.1) jest
rozwiązaniem zagadnienia początkowego (ZP).
1
Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (1832 – 1903), matematyk niemiecki
(Charles) Émile Picard (1856 – 1941), matematyk francuski
3
Ernst Leonard Lindelöf (1870 – 1946), matematyk fiński
2
3–2
Skompilował Janusz Mierczyński
II) Załóżmy, że ϕ : [t0 − η, t0 + η] → [x0 − ε, x0 + ε] jest ciągłym
rozwiązaniem równania całkowego (3.1). Zachodzi następujące oszacowanie
(3.2) |ϕ(t) − x0 | =
Z t
t0
f (s, ϕ(s)) ds
¬
Z t
|f (s, ϕ(s))| ds
t0
¬ M|t − t0 |
∀t ∈ [t0 − η, t0 + η].
W szczególności, |ϕ(t) − x0 | ¬ Mη dla każdego t ∈ [t0 − η, t0 + η]. Stąd
wynika, że jeżeli weźmiemy η ¬ Mε , będziemy mieli zagwarantowane to, że
wykres rozwiązania nie wyjdzie poza dziedzinę P funkcji f .
x0 + M δ
x0 − M δ
t0 − δ
t0 − δ
Przypadek δ <
t0 −
ε
M
t0 +
Przypadek δ >
t0 + δ
ε
M
ε
M
t0 + δ
ε
M
Nierówność (3.2) jest przykładem bardzo często występujących w teorii
równań różniczkowych oszacowań a priori: nie wiemy, czy rozwiązanie
istnieje, lecz jeżeli istnieje, to musi spełniać oszacowanie.
III) Ustalamy teraz η := min{δ, Mε }. Oznaczmy J := [t0 − η, t0 + η]. Niech C
oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych y : J → R. C jest przestrzenią
3–3
Istnienie, jednoznaczność i przedłużanie
Banacha z normą
−L|t−t0 |
kyk∼
|y(t)| : t ∈ J }
∞ := sup { e
(norma Bieleckiego4). Normy k·k∼
∞ i standardowa norma supremum k·k∞ są
równoważne na C w tym sensie, że istnieją stałe 0 < c1 ¬ c2 takie, że
∼
c1 kyk∼
∞ ¬ kyk∞ ¬ c2 kyk∞
dla wszystkich y ∈ C. Oznaczmy przez de metrykę na C odpowiadającą
normie Bieleckiego,
Definiujemy
e , y ) = sup { e−L|t−t0 | |y (t) − y (t)| : t ∈ J }.
d(y
1 2
1
2
K := { y ∈ C : y(t0 ) = x0 oraz |y(t) − x0 | ¬ M|t − t0 | ∀t ∈ J }.
e
K jest domkniętym podzbiorem przestrzeni metrycznej zupełnej (C, d),
e jest przestrzenią metryczną zupełną.
zatem (K, d)
IV) Definiujemy odwzorowanie F : K → C wzorem
F(y)(t) := x0 +
Zt
f (s, y(s)) ds,
t0
t ∈ J.
Odwzorowanie F przeprowadza K w K. Istotnie, F(y)(t0) = x0 , oraz
zachodzi
|F(y)(t) − x0 | =
Z t
t0
f (s, y(s)) ds ¬
Zt
|f (s, y(s))| ds
t0
¬ M|t − t0 |
∀t ∈ [t0 − η, t0 + η].
Znalezienie ciągłego rozwiązania równania całkowego (3.1) zastępujemy
następującym zagadnieniem: znaleźć punkt stały odwzorowania F : K → K.
V) Rozpatrzmy y1 , y2 ∈ K.
−L|t−t0 |
e
d(F(y
|F(y1 )(t) − F(y2 )(t)| ¬
1 ), F(y2 )) = sup e
t∈J
Z t
sup e−L|t−t0 | |f (s, y1(s)) − f (s, y2(s))| ds.
t∈J
t0
4
Adam (Feliks Franciszek) Bielecki (1910 – 2003), matematyk polski, profesor Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
3–4
Skompilował Janusz Mierczyński
Niech t0 ¬ t ¬ t0 + η. Mamy
Zt
|f (s, y1 (s)) − f (s, y2 (s))| ds
−L|t−t0 | e
t0
Zt
−L(t−t0 )
e
t0
|f (s, y1(s)) − f (s, y2 (s))| ds ¬
−L(t−t0 )
Le
Zt
t0
−L(t−t0 )
Le
¬
Zt
|y1 (s) − y2 (s)| ds ¬
L(s−t0 )
e
t0
!
e ,y ) =
ds d(y
1 2
e ,y ) ¬
(1 − e−L(t−t0 ) )d(y
1 2
e , y ).
(1 − e−Lη )d(y
1 2
W analogiczny sposób dowodzimy, że dla t0 − η ¬ t ¬ t0 zachodzi
Z t
|f (s, y1 (s)) − f (s, y2 (s))| ds
−L|t−t0 | e
t0
Wynika stąd, że
e , y ).
¬ (1 − e−Lη )d(y
1 2
−Lη e
e
d(F(y
)d(y1 , y2 ).
1 ), F(y2 )) ¬ (1 − e
Ponieważ 0 < 1 − e−Lη < 1, odwzorowanie F : K → K jest zwężające. Na
podstawie twierdzenia Banacha istnieje jedyny punkt stały tego
odwzorowania, a co za tym idzie, jedyne rozwiązanie zagadnienia
początkowego (ZP).
Przypomnijmy sobie dowód twierdzenia Banacha o odwzorowaniu
zwężającym. Dowodzi się tam, że jedyny punkt stały jest granicą (w
e ciągu iterat Fk (y), gdzie y ∈ K jest dowolny. W szczególności, za
metryce d)
y możemy wziąć funkcję stale równą x0 . Tłumacząc to na język zbieżności
jednostajnej, możemy powiedzieć: niech (ϕk ) będzie ciągiem funkcji
ciągłych na [t0 − η, t0 + η] określonym w sposób rekurencyjny:
ϕ0 (t) = x0
ϕk+1 (t) = x0 +
Zt
t0
∀t ∈ [t0 − η, t0 + η]
f (s, ϕk (s)) ds
∀t ∈ [t0 − η, t0 + η]
(ciągiem kolejnych przybliżeń dla zagadnienia (ZP)); ciąg ten jest zbieżny
jednostajnie na przedziale [t0 − η, t0 + η] do rozwiązania ϕ.
3–5
Istnienie, jednoznaczność i przedłużanie
3.2
Twierdzenie Peano. Niejednoznaczność
Podobnie jak w poprzednim podrozdziale, P oznacza prostokąt
[t0 − δ, t0 + δ] × [x0 − ε, x0 + ε], gdzie δ > 0, ε > 0.
Jeżeli o prawej stronie f równania różniczkowego zakładamy tylko, że jest
ciągła, zachodzi następujące twierdzenie:
Twierdzenie 3.3 (Twierdzenie Peano5 ). Niech f : P → R będzie funkcją
ciągłą. Wówczas istnieje rozwiązanie ϕ : [t0 − η, t0 + η] → R zagadnienia
początkowego

x′
= f (t, x)
x(t0 ) = x0 ,
(ZP)
gdzie η = min{δ, Mε }, M = sup{ |f (t, x)| : (t, x) ∈ P }.
W twierdzeniu Peano nic nie mówi się o jednoznaczności, i nie jest to
przypadek, co pokazuje następujący
Przykład . Rozpatrzmy zagadnienie początkowe

x′
q
= 2 |x|
x(0) = 0.
(3.3)
Łatwo zauważyć, że funkcja ϕ1 (t) ≡ 0 jest rozwiązaniem zagadnienia
początkowego (3.3). Spróbujmy zastosować metodę rozdzielania zmiennych
do rozwiązania samego równania (bez warunków początkowych). Dla x > 0
mamy
dx
√ = dt,
2 x
Z
dx
√ =
2 x
Z
√
dt,
x = t + C,
x = (t + C)2 .
Biorąc C = 0 otrzymujemy x = t2 . Zdefiniujmy
ϕ2 (t) =

0,
t
2
t<0
t ­ 0.
Funkcja ϕ2 też jest rozwiązaniem zagadnienia (3.3).
Stosując metodę rozdzielania zmiennych dla x < 0 otrzymujemy, że funkcja
ϕ3 (t) =
5

−t2 ,
0
t<0
t ­ 0.
Giuseppe Peano (1858 – 1932), matematyk włoski
3–6
Skompilował Janusz Mierczyński
jest rozwiązaniem zagadnienia (3.3).
Lecz podane wyżej funkcje nie wyczerpują wszystkich rozwiązań. Dla
każdego C ­ 0 funkcja
ψC (t) =

0,
(t − C)
2
t<C
t­C
jest rozwiązaniem. Dla każdego D ¬ 0 funkcja
ψD (t) =

−(t − D)2 ,
0
t<D
t­D
jest rozwiązaniem. I wreszcie, dla każdej pary D ¬ 0 ¬ C funkcja

2


−(t − D) ,
ψD,C (t) = 0


(t − C)2
t<D
D¬t¬C
t>D
jest rozwiązaniem zagadnienia (3.3).
3.3
Przedłużanie rozwiązań
W bieżącym podrozdziale zakładamy, że −∞ ¬ a < b ¬ ∞,
−∞ ¬ c < d ¬ ∞.
Definicja. Rozwiązanie ϕ : (α, β) → R równania różniczkowego x′ = f (t, x)
nazywamy nieprzedłużalnym w prawo, gdy nie istnieje rozwiązanie
ϕe : (α, β̃) → R równania, takie, że β̃ > β oraz ϕ ≡ ϕe na (α, β).
Analogicznie, rozwiązanie ϕ : (α, β) → R jest nieprzedłużalne w lewo, gdy
nie istnieje rozwiązanie ϕe : (α̃, β) → R równania, takie, że α̃ < α oraz ϕ ≡ ϕe
na (α, β).
Rozwiązanie nieprzedłużalne to rozwiązanie równocześnie nieprzedłużalne w
prawo i nieprzedłużalne w lewo. Rozwiązania nieprzedłużalne zwane są też
w literaturze rozwiązaniami wysyconymi (patrz np.: A. Palczewski,
Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody numeryczne z
wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, WNT,
Warszawa, 1999).
Twierdzenie 3.4 (Twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań dla równania
różniczkowego pierwszego rzędu). Załóżmy, że f : (a, b) × (c, d) → R jest
funkcją ciągłą. Niech ϕ : (α, β) → R będzie nieprzedłużalnym w prawo
rozwiązaniem równania różniczkowego x′ = f (t, x). Wówczas
3–7
Istnienie, jednoznaczność i przedłużanie
a) β = b,
lub
b) lim− ϕ(t) = c albo lim− ϕ(t) = d.
t→β
t→β
Niech ϕ : (α, β) → R będzie nieprzedłużalnym w lewo rozwiązaniem
równania różniczkowego x′ = f (t, x). Wówczas
a) α = a,
lub
b) lim+ ϕ(t) = c albo lim+ ϕ(t) = d.
t→α
t→α
Dowód. Udowodnimy tylko pierwszą część twierdzenia. Zauważmy, że gdy
β = b, to nie ma czego wykazywać. Załóżmy zatem, że β < b.
I) Na początek wykażemy, że nie jest możliwe, by lim inf
ϕ(t) < lim sup ϕ(t).
−
t→β
t→β −
Załóżmy nie wprost, że tak jest. Wynika stąd istnienie
(a) liczb rzeczywistych c̄, d¯ takich, że
c ¬ lim inf
ϕ(t) < c̄ < d¯ < lim sup ϕ(t) ¬ d,
−
t→β
t→β −
oraz
∞
−
(b) ciągów (tk )∞
k=1 , (ϑk )k=1 zbieżnych do β , i takich, że lim ϕ(tk ) = c̄ i
k→∞
¯
lim ϕ(ϑk ) = d.
k→∞
Poprzez przejście do podciągów i przenumerowanie możemy założyć, że
t1 < ϑ1 < t2 < ϑ2 < · · · < tk < ϑk < tk+1 < ϑk+1 < · · · → β − .
Wykorzystując twierdzenie Darboux otrzymujemy istnienie dwóch ciągów
∞
(sk )∞
k=1 i (σk )k=1 takich, że
tk ¬ sk < σk ¬ ϑk < tk+1 ¬ sk+1 < σk+1 ¬ ϑk+1
¯ dla każdego t ∈ [sk , σk ] (wystarczy wziąć
oraz ϕ(t) ∈ [c̄, d]
sk := sup { t ∈ [tk , ϑk ] : ϕ(t) ¬ c̄ }, σk := inf { t ∈ [tk , ϑk ] : ϕ(t) ­ d¯}).
¯ gdzie a < ā < β, i
Rozpatrzmy prostokąt zwarty R := [ā, β] × [c̄, d],
połóżmy M := sup { |f (t, x)| : (t, x) ∈ R }.
3–8
Skompilował Janusz Mierczyński
Na podstawie twierdzenia Lagrange’a dla każdego k istnieje τk ∈ (sk , σk )
takie, że
ϕ′ (τk ) =
ϕ(σk ) − ϕ(sk )
d¯ − c̄
=
→ ∞ gdy k → ∞.
σk − sk
σk − tk
Lecz z konstrukcji ciągów (sk ) i (σk ) wynika, że (τk , ϕ(τk )) ∈ R, zatem
|ϕ′ (τk )| ¬ M, sprzeczność.
II) Wykazaliśmy zatem, że istnieje granica lewostronna lim− ϕ(t). Załóżmy
t→β
nie wprost, że granica ta należy do (c, d). Zdefiniujmy funkcję ciągłą
ϕ̄ : (α, β] → (c, d) wzorem
ϕ̄(t) =

ϕ(t)

t ∈ (α, β)
t = β.
lim ϕ(t)
t→β −
Liczymy, korzystając z twierdzenia Lagrange’a, pochodną lewostronną
funkcji ϕ̄ w β:
lim−
t→β
ϕ̄′ (ϑ(t)) · (β − t)
ϕ̄(β) − ϕ̄(t)
= lim−
,
t→β
β−t
β−t
gdzie ϑ(t) ∈ (t, β). Wyrażenie powyższe jest równe
lim f (ϑ(t), ϕ̄(ϑ(t))) = f (β, ϕ̄(β)).
t→β −
Zatem ϕ̄ jest rozwiązaniem równania na (α, β].
Niech R̃ będzie prostokątem domkniętym o środku w (β, ϕ̄(β)), zawartym w
(a, b) × (c, d). Z twierdzenia Peano (Tw. 3.3) wynika istnienie η > 0 takiej,
że zagadnienie początkowe

x′
= f (t, x)
= ϕ̄(β)
x(β)
ma rozwiązanie ψ : [β − η, β + η]. Zatem funkcja

ϕ̄(t)
ϕ̃(t) = 
ψ(t)
t ∈ (α, β]
t ∈ [β, β + η̃)
jest rozwiązaniem równania różniczkowego x′ = f (t, x), oraz ϕ jest istotnym
obcięciem funkcji ϕ̃, co przeczy nieprzedłużalności w prawo rozwiązania
ϕ.
Istnienie, jednoznaczność i przedłużanie
3–9
W przypadku, gdy ϕ : (α, b) → R jest nieprzedłużalnym w prawo
rozwiązaniem równania różniczkowego x′ = f (t, x), gdzie f jest określone na
(a, b) × (c, d), granica lim− ϕ(t) może nie istnieć, co pokazuje przykład
t→b
rozwiązania ϕ(t) = sin 1t , t ∈ (−∞, 0), równania x′ = − t12 cos 1t , t ∈ (−∞, 0).
Twierdzenie 3.5. Załóżmy, że f : (a, b) × (c, d) → R jest funkcją ciągłą.
Niech t0 ∈ (a, b) i x0 ∈ (c, d). Wówczas istnieje nieprzedłużalne rozwiązanie
zagadnienia początkowego
(ZP)

x′
= f (t, x)
x(t0 ) = x0 .
Dowód powyższego twierdzenia wykorzystuje lemat Zorna (patrz np.: A.
Pelczar i J. Szarski, Wstęp do teorii równań różniczkowych, część I: Wstęp
do teorii równań zwyczajnych i równań cząstkowych pierwszego rzędu,
PWN, Warszawa, 1987, str. 84–85).
Wykażemy teraz jedno z najbardziej podstawowych twierdzeń w teorii
równań różniczkowych zwyczajnych.
Twierdzenie 3.6. Załóżmy, że f : (a, b) × (c, d) → R jest funkcją ciągłą
spełniającą na każdym prostokącie domkniętym P ⊂ (a, b) × (c, d) warunek
Lipschitza względem x (stała L może zależeć od prostokąta P ). Niech
t0 ∈ (a, b) i x0 ∈ (c, d). Wówczas istnieje dokładnie jedno nieprzedłużalne
rozwiązanie zagadnienia początkowego
(ZP)

x′
= f (t, x)
x(t ) = x .
0
0
Zanim udowodnimy twierdzenie, zauważmy że założenia są spełnione
na przykład, gdy f i jej pochodna cząstkowa ∂f /∂x są ciągłe na
(a, b) × (c, d).
Dowód. Oznaczmy przez R rodzinę wszystkich rozwiązań ϕ : (αϕ , βϕ ) → R
zagadnienia początkowego (ZP). Z twierdzenia Picarda (Tw. 3.2) wynika,
że rodzina ta jest niepusta. Oznaczmy przez ψ funkcję, której wykres jest
sumą wykresów wszystkich rozwiązań z rodziny R. Pierwszym krokiem jest
wykazanie, że suma tych wykresów rzeczywiście jest wykresem pewnej
funkcji. Załóżmy nie wprost, że istnieją rozwiązania ϕ1 : (α1 , β1 ) → R i
ϕ2 : (α2 , β2 ) → R takie, że ϕ1 (ϑ) 6= ϕ2 (ϑ) dla pewnego
ϑ ∈ (α1 , β1 ) ∩ (α2 , β2 ). Załóżmy (dla ustalenia uwagi), że ϑ > t0 . Oznaczmy
τ := inf{ ϑ > t0 : ϕ1 (ϑ) 6= ϕ2 (ϑ) }. Z ciągłości mamy ϕ1 (τ ) = ϕ2 (ϑ) =: x1 .
Rozpatrzmy prostokąt R := [τ − δ1 , τ + δ1 ] × [x1 − ε1 , x1 + ε1 ] zawarty w
3–10
Skompilował Janusz Mierczyński
(a, b) × (c, d). Stosując twierdzenie Picarda (Tw. 3.2) do zagadnienia
początkowego x′ = f (t, x), x(τ ) = x1 , na prostokącie R otrzymujemy, że
ϕ1 (t) = ϕ2 (t) też dla wszystkich t ∈ [τ, τ + ε1 ], co przeczy wyborowi τ .
Analogicznie rozpatrujemy przypadek, gdy istnieje ϑ < t0 takie, że
ϕ1 (ϑ) 6= ϕ2 (ϑ).
Wykazaliśmy więc, że funkcja ψ jest dobrze określona. Niemal oczywiste
jest, że jest to rozwiązanie wyjściowego zagadnienia początkowego, i że jest
to rozwiązanie nieprzedłużalne.
Niekiedy jednoznaczność nieprzedłużalnego rozwiązania zachodzi też dla
innych równań. Rozpatrzmy dla przykładu równanie
√
x′ = 1 − 3 x.
Z Tw. 3.5 wynika, że dla każdego t0 ∈ (−∞, ∞) i każdego rzeczywistego x0
istnieje nieprzedłużalne rozwiązanie ϕ : (α, β) → R zagadnienia
początkowego

3
x′ = 1 − √
x
x(t0 ) = x0 .
Wykażemy teraz, że to rozwiązanie jest jedyne. Istotnie, załóżmy
nie wprost, że ϕ1 : (α1 , β1 ) → R i ϕ2 : (α2 , β2 ) → R są rozwiązaniami
powyższego zagadnienia takimi, że ϕ1 (ϑ) 6= ϕ2 (ϑ) dla pewnego
ϑ ∈ (α1 , β1 ) ∩ (α2 , β2 ). Załóżmy dla ustalenia uwagi, że ϑ < t0 . Oznaczmy
τ := sup{ ϑ ∈ (α1 , β1 ) ∩ (α2 , β2 ) ∩ (−∞, t0 ) : ϕ1 (ϑ) 6= ϕ2 (ϑ) }. Z ciągłości
wynika, że ϕ1 (τ ) = ϕ2 (τ ) =: x1 .
Jeśli x1 6= 0, to istnieje prostokąt R = [τ − δ, τ + δ] × [x1 − ε, x1 + ε], na
którym f spełnia warunek Lipschitza względem x jednostajnie po t
(wystarczy wziąć 0 < ε < |x1 |). Z twierdzenia Picarda (Tw. 3.2)
wnioskujemy, że istnieje η > 0 takie, iż ϕ1 (t) = ϕ2 (t) dla każdego
t ∈ [τ − η, τ ], co przeczy wyborowi τ .
Jeżeli x1 = 0, to stosujemy twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności
rozwiązania dla równania o rozdzielonych
zmiennych (Tw. 2.1) do
√
′
3
zagadnienia początkowego x = 1 − x, x(τ ) = x1 na zbiorze
(τ − 1, τ + 1) × (− 21 , 12 ), otrzymując istnienie przedziału otwartego
zawierającego τ , na którym rozwiązania ϕ1 i ϕ2 sie pokrywają, co przeczy
wyborowi τ .
Zastosujmy powyższe wyniki do przeanalizowania pewnych znanych nam
już klas równań różniczkowych pierwszego rzędu.
Przykład. Równanie różniczkowe liniowe I-go rzędu
x′ + a(t)x = h(t),
Istnienie, jednoznaczność i przedłużanie
3–11
gdzie a, h : (a, b) → R są funkcjami ciągłymi. Z twierdzenia o istnieniu i
jednoznaczności rozwiązania dla równania liniowego I-go rzędu (Tw. 1.1)
wynika, że każde nieprzedłużalne rozwiązanie powyższego równania jest
określone na całym przedziale (a, b).
Przykład. Równanie różniczkowe
x′ = x2 .
Stosujemy metodę rozdzielania zmiennych do rozwiązania powyższego
równania:
Z
Z
dx
= dt
[x 6= 0],
x2
czyli
1
− =t+C
x
i
1
,
x=−
t+C
gdzie C jest dowolną stałą. Ponadto, funkcja x ≡ 0 też jest rozwiązaniem
równania. Otrzymane do tej pory wnioski streszczamy mówiąc, że rodzina
funkcji

x = − 1
t+C
x ≡ 0
jest rozwiązaniem ogólnym równania x′ = x2 . Istotnie, rozważmy warunek
początkowy x(t0 ) = x0 . Gdy x0 = 0, funkcja x ≡ 0 jest rozwiązaniem
równania spełniającym warunek początkowy. Gdy x0 6= 0, podstawiając
C = −1/x0 − t0 otrzymujemy rozwiązanie naszego zagadnienia
początkowego. Twierdzenie Picarda (Tw. 3.2) gwarantuje nam, że w obu
przypadkach są to jedyne rozwiązania.
3.4
Porównywanie rozwiązań równań różniczkowych
W teorii równań różniczkowych ważną rolę odgrywa porównywanie
rozwiązań dwóch równań różniczkowych. Będziemy porównywali
rozwiązania równań różniczkowych
x′ = f (t, x)
i
x′ = g(t, x),
3–12
Skompilował Janusz Mierczyński
gdzie f : (a, b) × (c, d) → R i g : (a, b) × (c, d) → R są funkcjami ciągłymi.
Dla t0 ∈ (a, b) i x0 ∈ (c, d) oznaczmy przez ϕ(·) [ψ(·)] nieprzedłużalne
rozwiązanie zagadnienia początkowego x′ = f (t, x), x(t0 ) = x0 [x′ = g(t, x),
x(t0 ) = x0 ].
Twierdzenie 3.7 (Twierdzenie o porównywaniu rozwiązań równań
różniczkowych). Załóżmy, że f (t, x) < g(t, x) dla każdego
(t, x) ∈ (a, b) × (c, d). Wówczas
(1)
ϕ(t) < ψ(t)
dla każdego t > t0 zawartego w przekroju dziedzin rozwiązań ϕ i ψ.
(2)
ϕ(t) > ψ(t)
dla każdego t < t0 zawartego w przekroju dziedzin rozwiązań ϕ i ψ.
Dowód. Ponieważ ϕ′ (t0 ) < ψ ′ (t0 ), mamy ϕ(t) < ψ(t) dla t z pewnego
prawostronnego sąsiedztwa punktu t0 . Załóżmy nie wprost, że zbiór
{ t > t0 : ϕ(t) ­ ψ(t) } jest niepusty. Oznaczmy kres dolny tego zbioru przez
τ . Mamy t0 < τ , ϕ(τ ) = ψ(τ ) oraz ϕ(t) < ψ(t) dla wszystkich t ∈ (t0 , τ ).
Ale ϕ′ (τ ) = f (τ, ϕ(τ )) < g(τ, ψ(τ )) = ψ ′ (τ ), skąd wynika, że ϕ(t) > ψ(t) dla
t z pewnego lewostronnego sąsiedztwa punktu τ , co przeczy definicji τ .
Udowodniliśmy część (1) twierdzenia. Dowód części (2) przebiega w
analogiczny sposób.
Przykład 1. Rozpatrzmy zagadnienie początkowe

x′
= t2 + x2
x(0) = 0
Oznaczmy przez ϕ : (α, β) → R rozwiązanie nieprzedłużalne zagadnienia.
Ponieważ ϕ′ jest dodatnie (za wyjątkiem ϕ′ (0) = 0), więc funkcja ϕ jest
rosnąca. Ustalmy pewne t̄ ∈ (0, β) i połóżmy x̄ := ϕ(t̄). Na zbiorze
(0, ∞) × (−∞, ∞) zachodzi t2 + x2 > x2 . Zauważmy, że funkcja
ψ : (−∞, t̄ + x̄1 ) → R określona wzorem ψ(t) = 1/( x̄1 + t̄ − t) jest
nieprzedłużalnym rozwiązaniem zagadnienia początkowego x′ = x2 ,
x(t̄) = x̄. Z Tw. 3.7 wynika, że ψ(t) > ϕ(t) dla tych wszystkich t > t0 , dla
których oba rozwiązania są określone. Wynika stąd, że limt→β − ϕ(t) = ∞ i
β ¬ t̄ + x̄1 ).
Istnienie, jednoznaczność i przedłużanie
3–13
Przykład 2. Załóżmy, że f : R → R jest funkcją klasy C 1 taką, że f (0) = 0 i
f ′ (0) < 0. Rozważmy równanie różniczkowe
x′ = f (x).
Funkcja stale równa 0 jest rozwiązaniem równania. Przeanalizujemy teraz
zachowanie się rozwiązań powyższego równania spełniających warunek
początkowy x(0) = x0 , gdzie x0 > 0 jest bliskie 0. Oznaczmy A := −f ′ (0).
Niech ε0 > 0 będzie takie, że f (x) < − A2 x dla wszystkich 0 < x < ε0 (z
twierdzenia Lagrange’a, wystarczy wziąć ε0 > 0 tak małe, że f ′ (x) < −A/2
dla każdego x ∈ (0, ε0)). Ustalmy x0 ∈ (0, ε0 ), i oznaczmy nieprzedłużalne
rozwiązanie równania x′ = f (x) z warunkiem początkowym x(0) = x0 przez
ϕ : (α, β) → R. Porównując to rozwiązanie (na zbiorze (−∞, ∞) × (0, ε0)) z
rozwiązaniem równania x′ = − A2 x (z tym samym warunkiem początkowym)
widzimy, że ϕ(t) < x0 e−At/2 dla t ∈ (0, β). Dalej, ϕ(t) > 0 dla każdego
t ∈ (0, β) (gdyby ϕ(τ ) = 0 dla pewnego τ ∈ (0, β), zarówno funkcja ϕ jak i
funkcja stale równa zeru byłyby rozwiązaniami zagadnienia początkowego
x′ = f (x), x(τ ) = 0). Zatem 0 < ϕ(t) < x0 e−At/2 dla wszystkich t ∈ (0, β).
Stosując twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań (Tw. 3.4) do równania
x′ = f (x) na obszarze (−∞, ∞) × (−∞, ∞) otrzymujemy, że nierówność
β < ∞ pociągnęłaby za sobą limt→β − ϕ(t) = −∞ lub limt→β − ϕ(t) = ∞, co
jest niemożliwe. W konsekwencji, β = ∞, i, co za tym idzie,
limt→∞ ϕ(t) = 0. Ponadto, f ′ (x) < 0 dla x ∈ (0, ε0 ), zatem, skoro
0 < ϕ(t) < x0 < ε0 dla t ∈ (0, ∞), zachodzi ϕ′ (t) < 0 dla t ∈ (0, ∞), czyli ϕ
jest malejąca na (0, ∞).
W analogiczny sposób można wykazać, że rozwiązanie zagadnienia
początkowego x′ = f (x), x(0) = x0 , gdzie x0 < 0 jest dostatecznie bliskie
zeru, jest funkcją rosnącą do 0 przy t → ∞