MATEMATYKA

MATEMATYKA Poziom wyższy MAMVD11P0T03 TEST DYDAKTYCZNY 2.1 Wskazówki do zadań otwartych Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 %  Wyniki wpisuj czytelnie do wyznaczonych białych pól. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań 1
 Test dydaktyczny zawiera 23 zadania.  Czas pracy oznaczono w kartach odpowiedzi.  Jeżeli wymagane jest całe rozwiązanie, przedstaw, oprócz wyniku, cały przebieg rozwiązania.  W czasie pracy można korzystać tylko z: przyborów do pisania i rysowania, „Tablic matematyczno, fizyczno, chemicznych“ i prostego kalkulatora bez karty graficznej.  Zapisy obok wyznaczonych białych pól nie zostaną ocenione.  Błędny zapis przekreśl i zapisz nowe rozwiązanie.  Obok każdego zadania umieszczono maks. ilość punktów. 2.2 Wskazówki do zadań zamkniętych  Nie odlicza się punktów za błędną odpowiedź.  Poprawną odpowiedź oznacz wyraźnie krzyżykiem w białym polu na karcie odpowiedzi, wg rysunku – dokładnie.  Odpowiedzi wpisuj do karty odpowiedzi.  Notować można w arkuszu zadań, notatki nie zostaną ocenione. A
B
C
D
E
17
 Niejednoznaczny lub nieczytelny zapis zostanie uznany za błędny.  Jeżeli chcesz zmienić odpowiedź, starannie zakoloruj oznaczone pole, zaś wybraną odpowiedź oznacz krzyżykiem w nowym polu.  Pierwszą część testu dydaktycznego (zadania 1–12) tworzą zadania otwarte.  W części drugiej (zadania 13–23) zawarte są zadania zamknięte z wyborem odpowiedzi. We wszystkich zadaniach /lub ich częściach/ tylko jedna odpowiedź jest poprawna. A
B
C
D
E
17
 Jakikolwiek inny sposób wpisywania odpowiedzi i wnoszenia poprawek uznany zostanie za odpowiedź błędną. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi  Pisz długopisem z niebieskim lub czarnym tuszem. Pisz wyraźnie, czytelnie.  O ile oznaczysz więcej pól, odpowiedź uznana zostanie za błędną.  W zadaniach, w których będziesz rysować zwykłym ołówkiem, pogrub wszystko długopisem.  Ocenione zostaną tylko odpowiedzi umieszczone w karcie odpowiedzi. Nie otwieraj arkusza zadań, poczekaj na decyzję osoby nadzorującej! SYTUACJA ŹRÓDŁOWA I RYSUNEK DO ZADAŃ 1 i 2
Na osi liczbowej przedstawiono obrazy nieznanych liczb
2i
oraz obraz liczby 0.
0
M2
M
x
1 punkt
1.
Na osi liczbowej zaznacz obraz liczby 1.
1 punkt
2.
3.
Wyznacz wartość liczby
.
maks. 2 punkty
Iloczyn dwóch liczb dodatnich wynosi 100. Jeżeli pierwszą z nich
zwiększymy o połowę jej wartości, a drugą zmniejszymy o 10, iloczyn się
nie zmieni.
Wyznacz obie pierwotne liczby.
1 punkt
4.
Doprowadź do najprostszej możliwej postaci wyraz ze zmienną
\ 1; 0 :
1
1
1
1 punkt
5.
Z równości wyraź zmienną
parametru , gdzie
0,5:
2
6.
dla wszystkich wartości rzeczywistych
2
maks. 2 punkty
Oblicz wyrażenie zawierające jednostkę urojoną i a wynik zapisz
w postaci algebraicznej:
4i · i
1
· i
1
RYSUNEK ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 7.
55°



40°
maks. 2 punkty
7.
Oblicz miary kątów zaznaczonych w szkicu.
Wyniki podaj w kolejności , , .
8.
Kąt nachylenia prostej
wynosi 60°.
Wyznacz wartość
rozwiązania).
: 6
0
maks. 2 punkty
do osi współrzędnych
w równaniu prostej
(znajdź wszystkie
maks. 2 punkty
9.
Znajdź wszystkie pierwiastki równania z przedziału 0; 2π :
1
sin
1
cos
TABELKA ŹRÓDŁOWA DO ZADANIA 10.
Wzór funkcji:
Podstawa
I
0
Wartość zmiennej
Wartość funkcji
10.
II
9
5
√5
3
2
III
1
4
√3
2
1
maks. 3 punkty
W tabelce dane są trzy różne funkcje wykładnicze I , II i III w postaci
, dla
0. W każdej kolumnie podana jest podstawa , wartość
zmiennej oraz wartość funkcji w danym punkcie.
Dla każdej funkcji uzupełnij brakujące dane.
TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 11.
Firma corocznie wynajmuje biura w dwóch różnych obiektach. Miesięczny koszt
wynajęcia biura /chodzi o wynajem całoroczny/ w pierwszym z obiektów wynosi 35 tysięcy
koron. Drugi z obiektów firma wynajmuje tym razem tylko przez cztery miesiące, ponieważ w
ramach ograniczeń budżetowych musi zaoszczędzić jedną piątą środków przeznaczonych
na roczne wynajęcia.
(CERMAT)
maks. 4 punkty
11.
Ile koron firma tym razem zaoszczędzi na wynajęciach?
W karcie odpowiedzi zapisz cały proces rozwiązania zadania, opisz
poszczególne zmienne i wyjaśnij ważne kroki.
12.
maks. 4 punkty
, gdzie
N, jest określony pierwszym
Ciąg nieskończony
2 oraz wzorem rekurencyjnym:
wyrazem
1
12.1
Wyznacz kolejne trzy wyrazy danego ciągu.
12.2
Wyrazy powtarzają się okresowo. Oblicz sumę pierwszych pięćdziesięciu
.
wyrazów
12.3
Jaką wartość powinien mieć pierwszy wyraz
zerowy(
0)?
, aby trzeci wyraz był
W karcie odpowiedzi zapisz cały przebieg rozwiązania a ważne kroki
uzasadnij.
Rozwiąż każde z następujących zadań, wyszukaj poprawne rozwiązanie z proponowanych
i zaznacz je krzyżykiem w odpowiednim polu w karcie odpowiedzi.
13.
maks. 3 punkty
W każdym z zapisów 13.1–13.3 powstanie przez uzupełnienie trzech
cyfr liczba czterocyfrowa. (Np. w zapisie 13.1 jest jedną z możliwości
liczba 1204, natomiast zapis
jest błędny).
Dla każdego z zapisów (13.1–13.3) wyznacz ilość wszystkich
parzystych czterocyfrowych liczb, które można wytworzyć.
Rozwiązania przyporządkuj do propozycji (A–E):
13.1
2 _____
13.2
2
_____
2 13.3
14.
_____
A)
425
B)
450
C)
500
D)
900
E)
inna ilość maks. 3 punkty
Wyznacz zbiory punktów na płaszczyźnie, opisane równaniami
(14.1–14.3.).
Rozwiązania przyporządkuj do propozycji (A–E):
14.1
1
_____ 14.2
4
_____ 1
14.3
_____ A)
Okrąg B)
Elipsa C)
Hiperbola D)
Parabola E)
Prosta RYSUNEK ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 15.
H
G
F
E
u


A
15.
C
b
B
maks. 2 punkty
Na powierzchni prostopadłościanu
zaznaczono przekątne
ściany przedniej i bocznej oraz kąty nachylenia danych przekątnych
do krawędzi podstawy.
Wyraź długość przekątnej
oraz miary kątów i .
A)
b·
B)
b·
C)
b·
D)
b·
E)
inne rozwiązanie
za pomocą długości krawędzi
2 punkty
16.
W równoległoboku
5; 1 i
Który
z podanych
równoległoboku?
3; A)
B)
5; C)
5; 1
2; 0 oraz wektory
1; 3 .
punktów
jest
wierzchołkiem
tego
1
1
1; 1
D)
E)
dany jest środek symetrii
żadny z podanych punktów
RYSUNEK ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 17.
y
f4
f3
f2
f1
1
O
1
x
2 punkty
17.
W pierwszej ćwiartce naszkicowane są wykresy funkcji potęgowych,
.
danych wzorem
Ile spośród danych czterech funkcji aż
przedział 0; ∞ , nie posiada maksimum?
A)
jedna
B)
dwie
C)
trzy
D)
cztery
E)
Każda z czterech funkcji ma maksimum.
, których dziedziną jest
2 punkty
18.
Dane są funkcje
i
zmiennej rzeczywistej
rzeczywistym współczynnikiem :
:
, z niezerowym
:
Dla których wartości współczynnika
dokładnie jeden wspólny punkt?
mają wykresy obu funkcji
0.
A)
Warunek spełnia tylko
B)
Warunek spełnia tylko jedna rzeczywista wartość współczynnika , wartość ta
jest dodatnia.
C)
Warunek spełnia tylko jedna rzeczywista wartość współczynnika , wartość ta
jest ujemna.
D)
Warunek spełniają
współczynnika .
E)
Żadna rzeczywista wartość współczynnika
przynajmniej
dwie
różne
rzeczywiste
wartości
nie spełnia danego warunku.
2 punkty
19.
Ostrosłup czworokątny ma jedną krawędź boczną prostopadłą
do podstawy kwadratowej. Pięć z ośmiu krawędzi ostrosłupa ma
jednakową długość 1.
Jakie jest pole powierzchni bocznej ostrosłupa?
√2
A)
√
B)
1
C)
1
D)
2 · √2
E)
2
√2
√2
TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 20.
Puszka konserwy ma kształt walca. Pole powierzchni podstawy i pole powierzchni
bocznej puszki są równe. Puszka zamknięta jest w najmniejszym możliwym papierowym
pudle o kwadratowej podstawie.
(CERMAT)
2 punkty
20.
W jakim stosunku jest wysokość pudła do wysokości krawędzi jego
podstawy, jeżeli grubość papieru pomijamy?
A)
1 : 1
B)
1 : 2
C)
1 : 3
D)
1 : 4
E)
1 : 5
TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 21.
W pierwszym państwie jest 3% roczny przyrost obywateli. W sąsiednim (drugim)
państwie jest wprawdzie o jedną piątą obywateli mniej, jednak roczny przyrost obywateli
wynosi 4%.
(CERMAT)
2 punkty
21.
Po ilu latach liczba obywateli w obu państwach będzie jednakowa,
jeśli aktualny trend przyrostu obywateli nie ulegnie zmianie?
A)
po około 18 latach
B)
po około 20 latach
C)
po około 21 latach
D)
po około 22 latach
E)
po około 23 latach
TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 22.
Bracia Hynek i Marek odziedziczyli każdy po 1,5 miliona koron. Każdy z nich inaczej
zainwestował. Hynek pożyczył pod hipotekę jeszcze 2 miliony z 12% rocznym
oprocentowaniem i za wszystkie pieniądze kupił towar, na którym w ciągu roku zarobił 8,5%
(tzn. po opłaceniu podatku). Potem spłacił pożyczkę wraz z odsetkiem. Marek wszystkie
pieniądze włożył na rok do banku z rocznym oprocentowaniem 2 %, a z odsetek zapłacił
15% podatek.
(CERMAT)
2 punkty
22.
Który z braci zarobił więcej?
A)
Hynek zarobił ponad dwukrotnie więcej od Marka.
B)
Oba zarobki były porównywalne.
C)
Hynek zarobił o około połowę mniej od Marka.
D)
Hynek w odróżnieniu od Marka nie zarobił nic.
E)
Hynek stracił na swej inwestycji.
TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 23.
E
D
III
F
II
C
I
G
B
A
23.
W siedmiokącie foremnym
∆
(II) i ∆
(III).
zaznaczono trzy trójkąty: ∆
maks. 3 punkty
(I),
O każdym z następujących twierdzeń zdecyduj, czy jest prawdziwe
(TAK), czy nieprawdziwe (NIE):
T
N
23.1
Okręgi opisane na każdym z tych trójkątów mają jednakowe promienie.
 
23.2
Osie boków
 
23.3
Wszystkie
,
i
trójkąty
przy wierzchołku .
przecinają się w jednym punkcie.
mają
jednakową
miarę
kąta
wewnętrznego
 
SPRAWDŹ, CZY WPISAŁEŚ/- AŚ WSZYSTKIE ODPOWIEDZI DO KARTY ODPOWIEDZI.