Paradoksy w logikach zmiany przekonań

Marek Lechniak
Paradoksy w logikach zmiany przekonań∗
I. Paradoks jak sama nazwa wskazuje, (para-poza, doxa-wiara) jest pojęciem epistemicznym.1 Paradoks bowiem jest twierdzeniem mijającym się z
oczekiwaniami lub nie do uwierzenia. Wśród paradoksów odróżniamy mocne
paradoksy, które prowadzą do antynomii (traktowanej jako dowód dwóch
zdań sprzecznych na gruncie jakiegoś systemu), takich jak np. antynomia
Russella, oraz częściej, paradoksy słabsze, jako stwierdzenia prowadzące na
gruncie danej wiedzy do wniosków niezgodnych z intuicją (właśnie: nieoczekiwanych). Często nazywa się je aporiami, problemami itp. [Szymanek dodatkowo odróżnia z kolei od antynomii tzw. antynomie pozorne, które nie
prowadzą do poprawnego uzasadnienia zdań sprzecznych (np. crocodilina ratio).]
Poznawcza rola paradoksów zdaje się polegać na tym, że prowadząc do
nieoczekiwanych (czy z punktu widzenia teorii szkodliwych ) konsekwencji wskazują na trudności leżące u podstaw danej wiedzy (np. antynomia
Russella wskazała na trudności do jakich prowadził aksjomat komprehenzji). Reakcja badaczy na paradoks może być różna, choć jej cel jest jeden:
uwolnić wiedzę od trudności, które paradoks odsłania.2 Ta wielość reakcji
podyktowana jest m.in. ogromną różnorodnością twierdzeń paradoksalnych
(takie twierdzenia można sformułować w różnych dziedzinach wiedzy, także
w tych zdawałoby się już dobrze umocowanych poznawczo jak np. klasyczny
rachunek zdań: tzw. paradoksy materialnej implikacji, ścisłej implikacji, itp.),
tym, czy paradoks ma zasięg lokalny (np. paradoksy logiki deontycznej) czy
globalny (antynomia Russella) ale też tym, że paradoks, z samej definicji, ma
rozmijać się z wiarą, z przekonaniem jakiejś grupy społecznej.
Może więc być tak, że jakieś stwierdzenia przy pewnych założeniach, na
gruncie pewnej tradycji myślenia, budzą opór, przy innych zaś nie. Jako przykład posłużyć tu może prof. Grzegorczyka krytyka antynomii kłamcy. Grzegorczyk wskazał na fakt, iż jego zdaniem, owa antynomia zrobiła niezwykłą
karierę we współczesnej semiotyce na skutek przesadnie silnych tendencji an∗
Idee tej pracy były przedstawione na X Konferencji Zastosowania Logiki w Filozofii
i Podstawach Matematyki, Szklarska Poręba 8-12 maja 2006 r.
1
Paradoksos- sprzeczny z powszechnym mniemaniem. 1. potocznie: twierdzenie, pogląd niewiarygodne, zaskakujące; również rozumowanie prowadzące do takich wniosków. 2.
w ujęciu Arystotelesa: twierdzenie, pogląd niezgodne z mniemaniem danej grupy ludzi. 3.
antynomia - rozumowanie, w którym pozostając w zgodzie z wszelkimi znanymi wymogami
poprawności uzasadnia się parę zdań sprzecznych. Por. K. Szymanek, Sztuka argumentacji.
Słownik terminologiczny, PWN Warszawa 2001, s. 222 oraz 30.
2
Nieraz występowanie paradoksów jest rezultatem (przejawem) kryzysu paradygmatu
upawiania jakiejś dziedziny wiedzy.
1
typsychologicznych początku XX wieku. Zdanie kłamcy na gruncie semantyki
prowadzi faktycznie do trudności, jednakże winno ono być zdaniem Grzegorczyka rozpatrywane raczej na płaszczyźnie pragmatycznej, a wówczas można
stwierdzić, że kłamca pisząc swe zdanie „postępuje nieodpowiedzialnie, bo
przeczy czemuś, czego jeszcze nie sformułował do końca. ... Nie musimy się
martwić, że nieodpowiedzialne operowanie językiem prowadzi do sprzeczności, a deklaracja zaprzeczenia swemu zaprzeczeniu okazuje się niewykonalna”3
Mamy tu więc oddalenie paradoksu poprzez wskazanie na błąd, wadliwość
tkwiącą u jego podstaw, niewłaściwą płaszczyznę, na której stwierdzenie to
jest analizowane. Oczywiście zwolennicy podejścia semantycznego do antynomii kłamcy będą żarliwie krytykować takie stanowisko.
Innym przykładem sytuacji, w której paradoksy są jakoś związane z tradycją myślenia jest tzw. problem Gettiera. Wydaje się, iż ów związek paradoksu
z tradycją myślenia jest przyczyną tego, iż problem Gettiera, któremu poświęcono ogromną liczbę prac w literaturze anglosaskiej, w polskiej doczekał
się tylko dwóch prac, w dodatku poddających argumentację Gettiera druzgocącej krytyce (o tym niżej). Jest to więc pierwsze podejście do paradoksu oddalenie go jako źle postawionego albo źle uzasadnionego stwierdzenia. Inne podejście będzie charakteryzować się uznaniem wagi paradoksu i rewizją
wiedzy, na gruncie której został on sformułowany (np. antynomia Russella
doprowadziła do rewizji podstaw teorii mnogości, np. aksjomatyczna teoria
mnogości). Czasem rozwiązanie paradoksu polega na wprowadzeniu dobrych,
tzn. wystarczająco mocnych rozróżnień (np. tzw. paradoks rogacza - pomieszanie dwóch koncepcji denotacji ; analiza Z. Dywana).4
II. Logikę epistemiczną w niniejszych rozważaniach rozumiem szeroko;
chodzi tu nie tylko o paradygmatyczne Hintikkowskie (z Knowledge and Belief ) podejście do pojęć wiedzy i przekonania, ale i przede wszystkim o nowsze
badania dotyczące dynamiki przekonań. Oczywiście kwestia relacji pomiędzy
klasyczną problematyką logiczną a zastosowaniami narzędzi logicznych w badaniach epistemologicznych jest trudna; wydaje się, że dokładne wyznaczenie
granic jest niemożliwe; czy np. problem Gettiera i dyskusja nad klasyczną
definicją wiedzy należy do epistemologii czy logiki epistemicznej?5
W systemach zmiany przekonań można wyróżnić kilka „mniejszych„ paradoksów związanych z modelowaniem zmiany przekonań. Główny z nich to
tzw. problem postulatu powrotu (recovery).
Podstawowym, paradygmatycznym podejściem do modelowania zmiany
przekonań jest tzw. AGM-koncepcja zmiany przekonań. Stanowić ma ona
(Segerberg) przejaw nowego, dynamicznego podejścia do problematyki epistemicznej w przeciwstawieniu do dawnego, statycznego podejścia Hintikkowskiego. Najkrócej mówiąc AGM opiera się na następujących założeniach:
3
A. Grzegorczyk, „Kłamca” i błąd antypsychologizmu. [W:] E. Żarnecka-Biały (red.).
Między prawdą i normą a błędem. Kraków 1997, s. 30-41.
4
Por. Z. Dywan, Denotacje u Arystotelesa i Fregego, [W:] M. Omyła (red.), Szkice z
semantyki i ontologii sytuacji. Warszawa 1991, s. 11-28.
5
Por. nowy numer „Philosophical Studies” dotyczący relacji między głównym nurtem epistemologii a tzw. formalną epistemologią oraz logikami epistemicznymi, a w nim
szczególnie artykuł V.F. Hendriksa i J. Symonsa Where is the Bridge? Epistemology and
Epistemic Logic, „Philosophical Studies” 128 (2006), s. 137-167.
2
1) Są trzy nastawienia epistemiczne (nastawienia propozycjonalne) względem
zdań: uznawanie za prawdziwe, uznawanie za fałszywe (odrzucanie) oraz powstrzymywanie się od uznawania.
2) Zdania uznawane za prawdziwe to przekonania, zbiory zdań uznanych w
danym momencie to stany przekonaniowe, które w AGM są reprezentowane
przez zbiory zdań (reprezentacja propozycjonalna).
3) Wiedza podmiotu może ulegać zmianie (uczenie się, nabywanie nowych informacji); tym, co powoduje zmianę jest zawsze nowa informacja z zewnątrz,
wyrażona również propozycjonalnie; przeprowadza ona jeden stan przekonaniowy (reprezentowany przez zbiór zdań) w nowy stan przekonaniowy (też
zbiór zdań).
4) W AGM zakłada się trzy rodzaje zmian:
ekspansję , gdy epistemiczne nastawienie „A jest niezdeterminowane” zmienia się na „A jest akceptowane” albo „nie-A jest akceptowane”,
kontrakcję polegającą na zmianie postawy epistemicznej „A jest akceptowane” albo „A jest odrzucone” („nie-A jest akceptowane”) na „A jest
niezdeterminowane” oraz
rewizję , gdy „A jest akceptowane” zmienia się w „A jest odrzucone” albo
odwrotnie „A jest odrzucone” zmienia się w „A jest akceptowane”.6
5) Naturalna dla stanu przekonaniowego jest równowaga; nowa informacja
powoduje zakłócenie równowagi, stan przekonaniowy po zmianie (ekspansji,
kontrakcji lub rewizji) wraca do równowagi. Racjonalnością zmiany stanów
przekonaniowych kierują dwa podstawowe postulaty: niesprzeczność stanu
przekonaniowego (niesprzeczność zbioru zdań)oraz tzw. zasada ekonomii informacyjnej (minimalności zmiany) głosząca, że utrata informacji w wyniku
zmiany przekonań winna być tak mała jak to tylko możliwe (zasada konserwatyzmu).
6) Zbiór przekonań reprezentujący stan przekonaniowy jest zamknięty ze
względu na logiczną (klasyczną) konsekwencję (wg terminologii Gärdenforsa
taki zbiór nazywa się zbiorem przekonaniowym).
Zmiany przekonań realizujące powyższe założenia są charakteryzowane przez
następujące zestawy postulatów:
Postulaty dla ekspansji:
Niech K będzie początkowym zbiorem przekonań. Wówczas ekspansja zbioru
K ze względu na sąd A jest oznaczona jako K + A .
(K + 1)
(K + 2)
(K + 3)
(K + 4)
(K + 5)
(K + 6)
K + A jest zbiorem przekonaniowym.
Domkniętość
A∈K +A
Sukces
K ⊂K +A
Inkluzja
Jeśli A ∈ K, to K + A = K
Brak zmiany
Jeśli K ⊂ H, to K + A ⊂ H + A
Monotoniczność
Dla każdego zbioru przekonań i każdego zdania A,
K + A jest najmniejszym zbiorem przekonań, który spełnia warunki (K + 1) − (K + 5).
Bazowe postulaty dla kontrakcji:
(K − A reprezentuje kontrakcję początkowego zbioru K ze względu na zdanie
A)
6
Por. Gärdenfors, Knowledge in Flux, s. 47-48.
3
(K − 1) Dla każdego zdania A i dowolnego zbioru przekonań K,
K − A jest zbiorem przekonaniowym.
Domkniętość
−
(K 2) K − A ⊂ K
Inkluzja
(K − 3) Jeżeli A ∈
/ K, to K − A = K
Pustość
−
(K 4) Jeżeli nie jest tak, iż ` A, to A ∈
/ K −A
Sukces
−
(K 5) Jeżeli ` A ↔ B, to K − A = K − B
Ekstensjonalność
(K − 6) Jeżeli A ∈ K, to K ⊂ (K − A) + A
Powrót (Recovery)
Bazowe postulaty dla rewizji:
Rewizja zbioru przekonań K ze względu na A = K ◦ A
(K ◦ 1) Dla każdego zdania A i dowolnego zbioru przekonań K,
K ◦ A jest zbiorem przekonaniowym.
Domkniętość
◦
(K 2) A ∈ K ◦ A
Sukces
(K ◦ 3) K ◦ A ⊂ K + A
Inkluzja
◦
(K 4) Jeżeli ∼ A ∈
/ K, to K + A ⊂ K ◦ A
Zachowanie bez zmian
◦
(K 5) K ◦ A = K⊥ wtedy i tylko wtedy `∼ A
Niesprzeczność
(K ◦ 6) Jeżeli ` A ↔ B, to K ◦ A = K ◦ B
Ekstensjonalność
Rozumienie ekspansji nie nastręcza trudności. Zbiór zdań po ekspansji jest
definiowany jako
K + A = Cn(K ∪ {A})
Operacje rewizji, kontrakcji i ekspansji są logicznie powiązane ze sobą, co
znajduje wyraz w następujących definicjach zwanych definicjami Leviego i
Harpera (zwaną też przez A. Fuhrmana definicją Gärdenforsa):
(Def.◦) K ◦ A = (K− ∼ A) + A tzw. definicja Levi’ego; stwierdza ona, iż
rewizja zbioru K ze względu na A polega na usunięciu negacji zdania A ze
zbioru przekonań, a potem dodaniu w to miejsce zdania A. Z kolei definicja
Harpera
(Def.-) K − A = K ∩ K◦ ∼ A
pozwala wyeliminować spośród operacji pierwotnych ekspansję; według tej
definicji zbiór będący rezultatem kontrakcji dokonanej ze względu na A jest
przecięciem zbioru wyjściowego oraz zbioru będącego rezultatem rewizji wyjściowego zbioru dokonanej ze względu na zdanie sprzeczne względem A.
Problemy z recovery postulate
Według postulatu przywrócenia (powrotu) jeśli A ∈ K, to usunięcie (kontraktowanie) A ze zbioru przekonaniowego K, a potem powtórne dołączenie
przekonania A do zbioru K (właśnie recovery) za pomocą ekspansji powinno
dawać w rezultacie zbiór wyjściowy. Postulat ten ma zdaniem Gärdenforsa
wyrażać warunek minimalności zmiany przekonań: zmiana powinna być tak
mała, jak to tylko możliwe. Takie przywrócenie przekonania usuniętego ilustruje nastęujący przykład: jeśli wierzyłem, że mam klucze do samochodu w
kieszeni, po czym z niepokojem stwierdziłem, że lewa kieszeń, w której zwykle
je noszę, jest pusta, po czym znów po jakimś czasie skonstatowałem z ulgą,
że jednak klucze mam (np. w prawej kieszeni), wówczas rezultatem usunięcia przekonania, a potem jego przyłączenia jest przekonanie wyjściowe. Na
podstawie tego postulatu jednak dochodzi się do niezgodnych z intuicją, pa4
radoksalnych konsekwencji. Ilustrują je następujące przykłady podane przez
Hanssona:7
Przykład I:
Wierzę, że Katarzyna ma syna (A) oraz wierzę, że Katarzyna ma córkę
(B); uznaję zatem, że Katarzyna ma dziecko (syna lub córkę, skoro ma syna
i córkę), czyli C = A ∨ B. Wówczas otrzymuję informację, na mocy której
usuwam przekonanie C(dokonuję kontrakcji o rezultacie K − C). Później
jednak dowiaduję się z wiarogodnego źródła, że Katarzyna faktycznie ma
dziecko. Racjonalne więc wydaje się dołączenie do zbioru K na powrót C
(A∨B). Ale według postulatu powrotu (recovery) rezultatem wszystkich tych
operacji powinien być powrót do wyjściowego stanu przekonań, do którego
należało też zdanie A ∧ B.
Przykład II:
Utrzymywałem dwa przekonania: Karol jest przestępcą (A) oraz Karol
jest mordercą (B). Otrzymawszy informację, która skłoniła mnie do porzucenia A, musiałem też odrzucić B. Wówczas dowiedziałem się, że Karol jest
włamywaczem (C). Ponieważ A wynika z C, (K − A) + A zawiera się w
(K − A) + C. Według postulatu powrotu B ∈ (K − A) + A, a stąd wynika, że
B ∈ (K − A) + C. Jeśli więc wcześniej uznawałem Karola za mordercę, nie
mogę dłużej uznawać Karola za włamywacza, o ile nie uznam go za mordercę.
Powyższe wnioski wydają się niezgodne z intuicją. W I przykładzie zdanie
A ∧ B jest dużo mocniejsze niż przywrócone zdanie A ∨ B i oczywiście nie
wynika z tego ostatniego; tym bardziej kontrintuicyjny jest rezultat zmiany
przekonań opisany w przykładzie II; zdanie Karol jest mordercą w żaden
sposób nie jest powiązane z Karol jest włamywaczem. Jeszcze inne trudności
wskazuje R. Niederee8 : Załóżmy, że A ∈ K. Wówczas bez względu na to, czy
B należy czy nie należy do K, (K − 6) wespół z (K − 1) implikują co następuje:
Twierdzenie 1.
a) B → A ∈ K − A ∨ B
b) A ∈ (K − A ∨ B) + B; ∼ B ∈ (K − A ∨ B)+ ∼ A
Dowód:
1. A ∈ K
zał.
2. K ⊂ (K − A ∨ B) + A ∨ B
(K − 6)
3. A ∈ (K − A ∨ B) + A ∨ B
1, 2
4. B ∈ Cn(K ∪ {A}) wtedy i tylko wtedy (A → B) ∈ Cn(K) (K − 1)
5. (A ∨ B) → A ∈ K − A ∨ B
3, 4
6. B → A ∈ K − A ∨ B
5, KRZ:
(A ∨ B → A) → (B → A)
b) powstaje przez przekształcenie a) według postulatu teorii konsekwencji
występującego w wierszu 4.
Przykład III:
Wierzyłem, że Katarzyna ma córkę (A). Następnie otrzymałem informację, że Katarzyna nie ma dzieci. Dokonałem więc kontrakcji moich przekonań
7
Por. S. O. Hansson, A Textbook of Belief Dynamics, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht
1999, s. 73.
8
Por. R. Niederee, Multiple Contraction. A Further Case Against Gärdenfors’ Principle of Recovery, [w:] A. Fuhrmann, M. Morreau, The Logic of theory Change, Springer
Verl. 1991, s. 322- 334.
5
ze względu na zdanie Katarzyna ma córkę lub ma syna (A ∨ B). Potem dowiedziałem się, że Katarzyna ma syna (B). Na podstawie Tw. 1 po włączeniu
tej informacji powinienem dalej wierzyć, że Katarzyna ma córkę.
Tw. 1 obnaża, zdaniem Niederee, strukturalną wadę (K − 6); intuicje leżące
u podstaw postulatu recovery prowadzą do paradoksu. Z jednej strony, jeśli
najpierw usuniemy A ∨ B, a potem ekspandujemy zbiór K ze względu na
B, otrzymamy rezultat mocniejszy od tego w punkcie wyjścia (B implikuje
A∨B). Tak więc, przy akceptacji postulatu recovery, zobowiązanie do uznania
warunku A ∈ (K − A ∨ B) + B nie powinno budzić zdziwienia. Jednak
z drugiej strony usunięcie A ∨ B może być postrzegane jako usunięcie A i B
(wraz z usunięciem A ∨ B, zarówno A jak i B zostają usunięte). Ale wówczas
przywracając B dodajemy mniej niż było w punkcie wyjścia.9
Przyjrzyjmy się teraz sposobom diagnozy owej trudności i próbom jej
usunięcia. W literaturze możemy znaleźć różne podejścia do trudności:
1. Redefinicja kontrakcji (Eduardo Ferme)
2. Zmiana podstawowych założeń logiki zmiany przekonań (S. O. Hansson)
3. Podane przykłady nie są argumentami za kontrintuicyjnością postulatu
recovery (David Makinson)
1. Redefinicja kontrakcji (Eduardo Ferme): do definicji kontrakcji należy dodać dodatkowy warunek, który zablokuje niepożądane działanie postulatu recovery. Konsekwencją zdefiniowanej w ten sposób nowej operacji
kontrakcji będzie modyfikacja układu aksjomatów, które ta nowa operacja
spełnia.10 Analizując Przykład I w punkcie wyjścia swoich rozważań Ferme zauważa, że kontraktując zbiór przekonań K ze względu na alternatywę
A ∨ B powinniśmy, ze względu na postulat recovery, w zbiorze przekonań
po kontrakcji pozostawić implikację A ∨ B → A ∧ B, co właśnie wydaje
się paradoksalne. Implikacje takie jak powyższa powinny znaleźć się poza
zbiorem K − A ∨ B. Tymczasem można łatwo wykazać, iż jeśli zdefiniujemy
V (A) = {A → B : B ∈ K/K − A}, czyli zbiór implikacji o „niepożądanych”
następnikach (takich następnikach, których nie chcemy w zbiorze przekonań
po kontrakcji ze względu na A, np. zdanie Katarzyna ma syna lub córkę z
przykładu I), dlatego należących do różnicy zbiorów K/K − A, to musimy
uznać, iż
V (A) ⊂ K − A
Dowód:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
B∈K iB∈
/ K −A
K 6= K − A
Jeżeli A ∈
/ K, to K − A = K
A∈K
Jeżeli A ∈ K, to K ⊂ (K − A) + A
B ∈ (K − A) + A
9
zał. (B ∈ K/K − A)
1
(K − 3)
2, 3
(K − 6)
5, 1
Por. R. Niederee, Multiple Contraction, s. 325.
E. Ferme, C. E. Rodriguez, Semi- contraction: Axioms and Construction, „Notre
Dame Journal of Formal Logic” 39 (1998) vo. 3, s. 332-345.; E. Ferme, Five Faces of
Recovery, w: M. A. Williams, H. Rott (eds), Frontiers in Belief Revision, Kluwer 2001,
s. 247-259; E. Ferme, On the Logic of Theory Change, Contraction without Recovery,
„Journal of Logic, Language and Information”, 7 (1998), s. 127-137.
10
6
6, (K − 1)
7. A → B ∈ K − A
Widać więc, że wszystkie elementy zbioru V (A) należą do rezultatu kontrakcji ze względu na A. Dlatego, aby wyeliminować postulat recovery i tym
samym zablokować przechodzenie takich niepożądanych implikacji do zbioru
przekonań po kontrakcji, Ferme proponuje następującą definicję nowej operacji, zwanej semi-kontrakcją:
(Def.) Funkcja s jest semi-kontrakcją wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja
kontrakcji − (spełniająca postulaty (K − 1) − (K − 6) taka, że dla każdego K
i A:
KsA = K − A ∩ W (A), gdzie W (A) = {A → B : B = Sel(K/K −
A)}. Funkcja Sel(K/K − A) wybiera pewien element z K/K − A (czyli
wybiera pewien skończony podzbiór zbioru K/K − A). Jeśli K/K − A =
∅, Sel(K/K −A) = A. Widać więc, że semi-kontrakcja jest przecięciem zbioru
zdań pozostałych po kontrakcji zbioru K ze względu na A ze zbiorem zdań
pozostałych po usunięciu wybranych niepożądanych konsekwencji A. Tak
więc w przykładzie I, nie chcąc przywrócić A ∧ B, osiągniemy to za pomocą
semi-kontrakcji:
KsA ∨ B = {K − A ∨ B ∩ K − ((A ∨ B) → (A ∧ B))
Tak zdefiniowana semi-kontrakcja spełnia bazowe postulaty (K − 1) − (K − 5),
nie spełniając postulatu recovery (K − 6). W miejsce tego ostatniego przyjmuje się jego osłabienie, czyli tzw Proxy Recovery Postulate (postulat przywrócenia stanu wyjściowego przez zastępstwo)
(K − 6)∗ Jeśli K 6= K − A, to istnieje pewne B ∈ K takie, że B ∈
/ K −A
i K ⊂ (K − A) + B.
Proxy recovery jest osłabioną wersją recovery. Kiedy recovery jest spełniony,
proxy recovery też jest spełniony przyjmując A = B. W szczególnym przypadku, gdy zdanie usuwane było tautologią (czyli usunięcie go nie było możliwe),
postulat recovery wraz z postulatem inkluzji gwarantował otrzymanie zbioru
wyjściowego. Teraz w obliczu braku (K − 6) trzeba przyjąć jako dodatkowy
postulat
(K − 7) Jeżeli ` A, to K − A = K
Niepowodzenie
2. Zmiana podstawowych założeń logiki zmiany przekonań: zastąpienie
modelu AGM przez model baz przekonaniowych (BBD Belief Base Dynamics) (S.O. Hansson).11
Niezgodne z intuicją przykłady działania postulatu recovery mają według
opinii licznych autorów źródło nie w samym tylko postulacie (K − 6), ale w
nim wespół z podstawowym dla AGM założeniem o zamknięciu zbiorów przekonań ze względu na konsekwencję logiczną (czyli z postulatem (K − 1)).12
11
Por. S. O. Hansson, Reversing the Levi Identity, „Journal of Philosophical Logic” 22
(1993), s. 637-669; A. Fuhrmann, Theory Contraction trhough Base Contraction, „Journal
of Philosophical Logic” 20 (1991), s. 175-203; S. O. Hansson, Taking Belief Bases Seriously,
[W:] D. Prawitz, D. Westerstahl (eds),Logic and Philosophy in Uppsala, Kluwer Ac. Publ
1994, 13-28.
12
Hansson cytuje zdanie Makinsona, iż w źródłowym dla AGM artykule z 1985 roku,
założenie, że zbiór przekonań jest systemem było wprawdzie explicite wskazywane przy
każdym twierdzeniu, w którego dowodzie z niego korzystano, jednak „prawie wszystkie
bardziej interesujące twierdzenia były na tym założeniu oparte” por; Hansson, Taking...,
7
To logiczne domykanie zbioru zdań powoduje, że każda zmiana przekonaniowa ma w modelu AGM charakter globalny, podczas gdy w „realnym
świecie” zmiany przekonań mają charakter lokalny. Ilustruje to przykład:
Przykład IV:
Niech A - Mój siostrzeniec urodził się w 1981 roku i B - Jowisz jest planetą
Układu Słonecznego. Ponieważ B → A jak i ∼ B → A są konsekwencjami A,
to skoro A ∈ K, to i B → A ∈ K, jak też ∼ B → A ∈ K. Ale gdy dokonam
kontrakcji zbioru K ze względu na A (dowiedziałem się, że siostrzeniec nie
urodził się w 1981 roku) nie mogę naraz pozostawić B → A oraz ∼ B → A
(bo razem implikują A). Tę operację trzeba wykonać nawet, gdy ani B ani
∼ B nie należały do zbioru wyjściowego. W rezultacie „kontrakcja ze względu
na A, w modelu AGM, dotyczy usunięcia złożonych zdań, które wiążą A z każdym możliwym przekonaniem. Tymczasem w sytuacjach zmiany przekonań,
z którymi mamy do czynienia w życiu, nie zachodzi tak rozumiane związanie
poszczególnego przekonania z wszelkimi możliwymi jego konsekwencjami.
Przykład V:
Uznaję, że Paryż jest stolicą Francji (A). Uznaję też, że Mam mleko w lodówce (B). A zatem uznaję również, że Paryż jest stolicą Francji wtedy i tylko
wtedy gdy mam mleko w lodówce (A ≡ B). To ostatnie zdanie ma jednak
inny status niż zdania poprzednie: jest ono tylko zdaniem z nich wyprowadzonym. Jego derywatywny charakter uwidacznia się wyraźnie w sytuacji,
gdy muszę usunąć zdanie B (zauważam, że nie mam już mleka w lodówce) uznaję wówczas zamiast B jego negację (∼ B). Nie mogę zatem pod groźbą
sprzeczności pozostawić teraz zarazem A oraz A ≡ B. Jednak pozostawienie
wyprowadzonego zdania A ≡ B i usunięcie zdania A w realnie występujących
sytuacjach nie jest raczej poważnie brane pod uwagę. Innymi słowy, w modelu
AGM wszystkie przekonania (czy to pierwotne, czy ich logiczne konsekwencje) mają ten sam status, podczas gdy, jak pokazuje ostatni przykład, wydaje
się, że wszystkie przekonania (należałoby) można podzielić na bazowe oraz
wyprowadzone z przekonań bazowych. Na tym właśnie założeniu opiera się
koncepcja dynamiki baz przekonaniowych.
W BBD zakłada się właśnie, że pewne przekonania nie mają statusu niezależnego, ale powstają w wyniku inferencji z przekonań bazowych i jako takie
giną też wtedy, gdy przekonania bazowe ulegają zmianie. Zmiana w zbiorze
przekonań nie dokonuje się więc na całym zbiorze przekonań, ale jedynie na
jego podzbiorze przekonań bazowych. W odniesieniu do przykładu V: ponieważ w AGM wszystkie przekonania mają ten sam status, musi być określony
mechanizm wyboru między A a A ≡ B, podczas gdy w koncepcji baz przekonaniowych taka kwestia w ogóle się nie pojawi. Zysk ze zmiany AGM na
BBD jest następujący: zwiększona zostaje siła wyrazu struktury formalnej.
Chociaż dwie bazy: {A, B} oraz {A, A ≡ B} mają te same konsekwencje
logiczne, nie są jednak identyczne i mogą w różny sposób zachowywać się
poddane kontrakcji lub rewizji.
Operacja kontrakcji dla baz przekonaniowych może być zdefiniowana w
sposób następujący:
s. 13. W książce Gärdenforsa założenie to jest już podane w postaci postulatu (K − 1).
Poniższe dwa przykłady pochodza z cytowanego artykułu Hanssona.
8
Niech k będzie zbiorem bazowym zdań, a K systemem generowanym z k
przez zamknięcie k ze względu na konsekwencję logiczną, czyli K = Cn(k).
Def. 1. Zbiór X jest wynikaniowym (entailment set) zbiorem dla zdania A
na gruncie bazy k (oznaczany przez E(A, k))wtedy i tylko wtedy
1. X ⊂ k, i
2. A ∈ Cn(X), i
3. dla wszystkich podzbiorów właściwych Y zbioru X, A ∈
/ Cn(Y )
Def. 2. Zbiór odrzuceniowy (reject set) dla A w bazie k, czyli R(A, k), jest
sumą wszystkich <- minimalnych elementów każdego A-wynikaniowego zbioru
w bazie k, tj.
R(A, k) = {B : (∃X)(X ∈ E(A, k) i B jest <-minimalne w X}
(A jest <-minimalne w zbiorze X wtedy i tylko wtedy dla każdego B ∈ X,
jeśli B < A, to B = A)
Def. 3. Kontrakcja minimalna bazy przekonaniowej k − A = k/R(A, k)
Kontrakcja minimalna dla baz przekonaniowych spełnia następujące warunki (odpowiadające postulatom dla kontrakcji w modelu AGM)13 (k - zbiór
przekonań, A, B zdania):
(-2)
(-3)
(-4)
(-5)
k−A⊂k
Jeżeli A ∈ Cn(k), to k ⊂ k − A
A∈
/ k−A
Jeżeli Cn(A) = Cn(B), to k − a = k − B
Inkluzja
Pustość
Sukces
Ekstensjonalność
Natomiast wersja postulatu recovery dla baz przekonaniowych
(-6) Jeżeli A ∈ k, to k ⊂ (k − A) + A nie jest spełniona. Pokazuje to następujący przykład:
Weźmy dowolne dwa zdania A, B takie że B ` A, ale nie A ` B i niech
k = {A, B}. Wtedy E(A, k) = {{A}, {B}}, a stąd R(A, k) = {A, B}. Dlatego k − A = ∅ , a k − A ∪ {A} = {A}. A ponieważ nie jest tak, że A ` B,
więc B ∈
/ (k − A) + A.
3. Podane przykłady nie są argumentami za kontrintuicyjnością postulatu
recovery (David Makinson).14 Opierają się one bowiem na założeniu o pewnej
strukturze uprawomocnienia, której nie zakłada się w AGM. W przykładzie I
(o dzieciach Katarzyny) przyjmujemy za pewnik, że przekonanie C → A należy do zbioru przekonań wyłącznie z powodu przynależności do tego zbioru
przekonania A (A jest jedyną podstawą dla uprawomocnienia C → A); ale
takie założenie nie jest przyjmowane w „nagiej” AGM. W AGM przyjmuje
się bowiem, jak już wskazywaliśmy, równy status wszystkich zdań należących
do zbioru przekonaniowego (logiczna zamkniętość zrównuje status wszystkich
zdań). Nie zakłada się więc, że pewne zdania są uznane „z racji” innych zdań.
13
Por. A. Fuhrmann, Theory Contraction, s. 180-181.
Por. D. Makinson, On the Status of the Postulat of Recovery in the Logic of Theory
Change, „Journal of Philosophical Logic” 16 (1987), s. 383-394 oraz D. Mackinson, On the
Force of Some Apparent Counterexamples to Recovery [W:] Valdes E. G. (eds), Normative
Systems in Legal and Moral Theory, Duncker & Humblot 1997, s. 475-481 (cyt. za S. O.
Hansson, Recovery and Epistemic Residue, „Journal of Logic, Language and Information”8
(1999), s. 421-428.
14
9
Model AGM jest modelem o wysokim stopniu wyidealizowania stanów przekonaniowych; są one reprezentowane jako logicznie zamknięte zbiory zdań.
Korzyścią z takiej idealizacji jest prostota modelu i jego przejrzystość. Jednakże aplikacja takiego modelu do opisu zmiany przekonań nie jest już tak
łatwa. Jeśli mamy dokonać kontrakcji zbioru zdań ze względu na zdanie np.
A ∧ B musimy dysponować mechanizmem wyboru pomiędzy A i B (można
odrzucić samo A, samo B lub zarówno A jak i B). Wówczas musimy określić
pewną funkcję wyboru lub nałożyć na zbiór zdań pewne uporządkowanie (np.
uporządkowanie wszystkich zdań według ich tzw. zakorzenienia epistemicznego).15 Wiele problemów z wyborem zdań do usunięcia odpadnie natomiast,
gdy uznamy nierówny status zdań odróżniając przekonania bazowe od przekonań wyprowadzonych. Model BBD daje przy tym dużo większe możliwości
wyrazu; umożliwia np. odróżnienie dwóch typów rewizji przekonań. Przypomnijmy że w AGM rewizja jest definiowana za pomocą definicji Leviego jako
„najpierw kontrakcja, a potem ekspansja”:
(Def.◦) K ◦ A = (K− ∼ A) + A
wykonanie tych operacji w odwrotnej kolejności spowodowałoby zapadnięcie
się zbioru przekonań do zbioru sprzecznego (wskutek działania prawa przepełnienia). Tymczasem często operacje te u realnych podmiotów zachodzą w
odwrotnej kolejności: dokonujemy kontrakcji jakiegoś przekonania w obliczu
dostrzeżenia, iż prowadzi ono do sprzeczności wespół z nowym przekonaniem.
Mamy więc procedurę:
1) Dodaj teoriomnogościowo A
2) Kontraktuj ze względu na ∼ A; mamy wówczas czasową akceptację zbioru
sprzecznego; oczywiście może to mieć miejsce jedynie w modelu BBD. Stąd
dwa typy rewizji:
a) rewizja wewnętrzna K ◦ A = (K− ∼ A) + A
b) rewizja zewnętrzna K ± A = (K + A)− ∼ A
Oczywiście taki model straci nieco ze swojej prostoty zyskując tym samym
na adekwatności.
Tu rodzi się ogólniejsze pytanie dotyczące oceny adekwatności modelu
zmiany przekonań (czy ogólniej: adekwatności formalnego modelu opisującego jakąś dziedzinę przedmiotową): skąd brać opis przekonań i ich zmiany, z którym będzie porównywany ich model (np. wzorzec racjonalności).16
Podsumowując powyższą dyskusję można stwierdzić, co następuje: a) Samo
15
Hansson wskazuje na dwa znaczenia idealizacji: a) idealizacja jako uproszczenie
dziedziny przedmiotowej i b) idealizacja jako udoskonalenie dziedziny przedmiotowej. W
odniesieniu do zmiany przekonań idealizacja typu a) prowadziłaby do jak najprostszego
formalnego opisu zbioru przekonań podczas gdy idealizacja typu b) stanowiłaby opis jakiegoś wyidealizowanego podmiotu poznającego (agenta). Argumentacja Makinsona broniłaby więc AGM jako idealizacji - uproszczenia; zdaniem natomiast Hanssona model zmiany
przekonań powinien opierać się raczej na idealizacji jako opisie przekonań jakiegoś wyidealizowanego racjonalnego podmiotu, a do własności takiego podmiotu należeć powinno to,
że jego przekonania są uzasadnione; por. S. O. Hansson, Recovery and Epistemic Residue,
„Journal of Logic Language and Information” 8 (1999) s. 421-428.
16
Niektórzy wiążą model AGM z koherencyjną koncepcją przekonań; warunki udowodnione w Tw. 1 wydają się zgodne z tą perspektywą, podczas gdy model BBD z koncepcją fundacjonalistyczną (postulat recovery jawi się jako antyfundacjonalistyczny); por.
R. Niederee, Multiple Contraction, s. 324-325.
10
uznanie paradoksalności jakiegoś twierdzenia może być przedmiotem dyskusji. Szczególnie widoczne jest to w wypadku słabych paradoksów, czyli
twierdzeń w jakimś stopniu niezgodnych z intuicją. Oczywiście, zagadnienie,
co to znaczy „niezgodny z intuicją” wymagałoby odrębnych analiz. W tym
miejscu można powiedzieć tylko tyle, że chodzi o jakieś porównanie modelu
formalnego z jakimś pozaformalnym opisem wyidealizowanego stanu rzeczy
(w naszym wypadku zmiany przekonań). b) Przedstawione analizy kwestii
związanych z postulatem powrotu do stanu wyjściowego (recovery) rozciągają się od zanegowania samej paradoksalności postulatu (Makinson: paradoksalne przykłady zakładają więcej niż jest zakładane w AGM)17 , poprzez
uznanie tej paradoksalności i próbę jej usunięcia przez redefinicję pojęcia
kontrakcji, aż do rewizji podstaw ujęcia AGM i zastąpienia jej przez model
baz przekonaniowych. c) Dyskusja nad postulatem recovery odsłania głębszą
warstwę formalnej analizy kontrakcji: podstawową kwestię głębokości kontrakcji: zamknięcie zbioru przekonań na logiczną konsekwencję powoduje, iż
usunięcie jakiegoś przekonania powoduje „przetasowania” w całym zbiorze.
Podstawowym pytaniem jest więc: jak głęboko (wstecz) ta zmiana ma sięgać?
Analizując przykład I można ustalić następującą sekwencję kroków:
1) Punkt wyjścia: zbiór wyjściowy: A - „Katarzyna ma syna”, B - „Katarzyna ma córkę” oraz wszystkie ich konsekwencje logiczne, np. A ∧ B, A ∨ B,
A → B, B → A, A ↔ B, itd.
2) Kontrakcja ze względu na A ∨ B. Usunięcie w konsekwencji A ∧ B,
usunięcie A, usunięcie B. Ale czy nastąpi usunięcie A → B (usunięcie B →
A)? Jeśli nie (a one nie są powiązane logicznie z A ∨ B), to w przywracaniu
A, B do zbioru przekonań jako konsekwencji powtórnego przyjęcia A ∨ B nie
ma nic paradoksalnego. Mamy bowiem:
3) Powtórne włączenie A ∨ B, a w konsekwencji dołączenie A (i natychmiast B, bo skoro A → B oraz A, to B) lub dołączenie B (i tak samo A ∧ B).
A zatem jeśli kontrakcja nie jest totalna, niektóre konsekwencje wyjściowego zbioru pozostają w nim jako swoiste residua, które powodują zupełnie
nieparadoksalnie powrót wyjściowych przekonań do zbioru po kontrakcji i
ekspansji.18
17
Na inną kwestię dotyczącą braku paradoksalnych konsekwencji postulatu powrotu
zwracają uwagę S. Chopra, A. Ghote i T. Meyer w artykule Iterated Revision and the
Axiom of Recovery: a Unified Treatment via Epistemic States, „ArXiv”:cs.AI/0207038 v1
(10 July 2002). Wskazują oni, że postulat powrotu zakłada, iż informacje, ze względu na
które dokonana została kontrakcja a potem ekspansja, powinny pochodzić z tego samego
źródła. Wtedy postulat ten jest właściwym wyrazem idei minimalności zmiany.
18
Za istnieniem takiej resydualności przekonań opowiada się Hansson wykazując,
iż teza przeciwna prowadzi do niezgodnych z intuicją konsekwencji; por. Hansson, str.
421-423.
11