Niestacjonarne zmienne czasowe – własności i testowanie - E-SGH

Niestacjonarne zmienne czasowe – własności i testowanie - E-SGH

Materiał dla studentów
Niestacjonarne zmienne czasowe –
własności i testowanie
(studium przypadku)
Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności
Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i
prognozowanie (13201);
Kierunek studiów: Finanse i rachunkowość, Metody ilościowe w ekonomii i systemy
informacyjne
Studia I stopnia/studia II stopnia
Opracowała:
dr hab. Ewa M. Syczewska, Instytut Ekonometrii, Kolegium Analiz Ekonomicznych SGH
Warszawa, 2011
Materiały dla studentów : Niestacjonarność – przykład testowania
1. W załączonym pliku Excela zawarto dane dotyczące notowań obligacji brytyjskich,
amerykańskich, japońskich i niemieckich. Są to notowania dzienne, obejmują 960 obserwacji.
Pokażemy na tym przykładzie jak przeprowadzić test Dickeya-Fullera przy użyciu Excela.
Należy oszacować regresję przyrostów zmiennej względem zmiennej opóźnionej
m
yt
yt
1
j
yt
j
(1)
ut ,
j 1
I porównać obliczoną wartość statystyki DF
ˆ
s
z wartościami krytycznymi odczytanymi
z odpowiednich tablic. Oszacujemy najprostszą wersję regresji, tzn. bez opóźnionych
przyrostów zmiennej.
Hipoteza zerowa zakłada niestacjonarność badanej zmiennej,
Hipoteza alternatywna oznacza, że zmienna jest stacjonarna.
Hipotezę zerową odrzucamy, jeśli obliczona wartość statystyki testu ADF jest mniejsza
niż wartość krytyczna odczytana z odpowiednich tablic dla przyjętego poziomu istotności
i dla liczby obserwacji.
Excel w celu przeprowadzenia regresji wymaga umieszczenia obserwacji zmiennych
objaśniających w kolejnych sąsiadujących kolumnach, dlatego na podstawie danych
dla obligacji tworzymy przyrosty zmiennej oraz wklejamy zmienną opóźnioną.
Po wywołaniu Dane – Analiza danych – Regresja wskazujemy Zakres Y jako kolumnę
z przyrostami zmiennej, dla okresów t = 2,3,…,T; Zakres X jako kolumnę z wartościami
zmiennej opóźnionej (czyli obserwacje zmiennej Y z okresów t=1,2,…,T-1).
Wartość ilorazu oceny parametru przez błąd szacunku jest właśnie obliczoną wartością
statystyki testu Dickeya-Fullera. Statystyka ma bardzo nietypowy rozkład, asymetryczny i
przesunięty w stronę wartości ujemnych, dlatego trzeba korzystać z odpowiednich tablic
wartości krytycznych.
W materiałach załączamy fragment tablic wartości krytycznych z książki Charemzy i
Deadmana „Nowa ekonometria”.
Obliczona wartość statystyki dla obligacji brytyjskich jest równa -0,9649, wartość krytyczna
odczytana z tablic jest równa -2,02, zatem wartość statystyki testu DF jest większa od
wartości krytycznej. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku
stacjonarności badanej zmiennej.
2. Powinniśmy przetestować niestacjonarność przyrostów zmiennej. Można to zrobić w tym
samym arkuszu Excela. Wygodniej jednak jest przeprowadzić testowanie przy użyciu pakietu
ekonometrycznego gretl.
W pliku danych greene5_1.gdt, załączonym do instalacji gretl, znajdują się szeregi danych dla
zmiennych makroekonomicznych dotyczących gospodarki Stanów Zjednoczonych. Są tu m.in.
2
Materiały dla studentów : Niestacjonarność – przykład testowania
dane o dochodzie do dyspozycji gospodarstw domowych, realdpi, i o konsumpcji
zagregowanej tych gospodarstw, realcons.
Podświetlamy nazwę zmiennej i wywołujemy test ADF:
Następnie trzeba wybrać wersję testu – bez stałej, ze stałą, lub ze stałą i trendem. Na ogół
najlepiej przyjąć wersję ze stałą, po oszacowaniu regresji sprawdzić istotność stałej zwykłym
testem t Studenta. Jeśli jednak na wykresie widać, że zmienna podlega trendowi, prócz
poprzedniej wybieramy wersję ze stałą i z trendem.
Należy dobrać odpowiednią liczbę opóźnionych przyrostów zmiennej w regresji (1), aby
usunąć autokorelację składnika losowego.
3
Materiały dla studentów : Niestacjonarność – przykład testowania
Wybraną liczbę opóźnień wpisujemy w kratce na górze, zaznaczamy że „program ma
testować istotność opóźnienia od wskazanego maksymalnego rzędu” czyli wybrać dla nas
najlepszy wariant liczby opóźnień.
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realdpi
dla opóźnienia rzędu 10 procesu (1-L)realdpi
liczebność próby 193
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1;
proces I(1)
test z wyrazem wolnym (const)
model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0.002
opóźnione różnice: F(10, 181) = 1.867 [0.0524]
estymowana wartość (a-1) wynosi: 0.00522502
Statystyka testu: tau_c(1) = 2.65924
asymptotyczna wartość p = 1
z wyrazem wolnym i trendem liniowym
model: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0.001
opóźnione różnice: F(10, 180) = 1.884 [0.0499]
estymowana wartość (a-1) wynosi: -0.00812668
Statystyka testu: tau_ct(1) = -0.668771
asymptotyczna wartość p = 0.9744
Jak odczytać i zinterpretować wyniki? Statystyka testu tau jest równa –0,668,
prawdopodobieństwo jej uzyskania przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej jest równe
4
Materiały dla studentów : Niestacjonarność – przykład testowania
0,97, a więc duże. Nie ma więc podstaw do odrzucenia hipotezy, że zmienna jest
niestacjonarna.
3. Teraz powtarzamy tę samą operację dla przyrostów zmiennej – jeśli okażą się stacjonarne,
będzie to znaczyć że zmienna jest zintegrowana stopnia 1.
Ponownie wywołujemy test ADF, tyle że teraz nie ma potrzeby wybierania wersji z trendem, i
na dole trzeba zaznaczyć opcję „wykorzystaj pierwsze przyrosty zmiennej”. Wynik jest
następujący:
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu d_realdpi
dla opóźnienia rzędu 10 procesu (1-L)d_realdpi
liczebność próby 192
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1;
proces I(1)
test z wyrazem wolnym (const)
model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0.001
opóźnione różnice: F(10, 180) = 2.730 [0.0038]
estymowana wartość (a-1) wynosi: -0.47644
Statystyka testu: tau_c(1) = -2.67802
asymptotyczna wartość p = 0.07784
Obliczona wartość statystyki jest mniejsza niż wartość krytyczna. Gretl wyświetla
„asymptotyczną wartość p” czyli asymptotyczny poziom istotności obliczonej wartości
statystyki. Prawdopodobieństwo otrzymania wartości statystyki ADF= – 2,68 przy założeniu
że przyrosty dochodu do dyspozycji są niestacjonarne, jest niewielkie, równe 0,078 (czyli
mniejsze niż 0,1). Hipotezę o niestacjonarności przyrostów należy odrzucić.
4. Zbadajmy teraz możliwość występowania relacji kointegrującej dla dwu zmiennych –
zagregowanej konsumpcji oraz dochodu gospodarstw domowych. Stosujemy metodę
Engle’a-Grangera, tzn. szacujemy regresję konsumpcji względem dochodu, i testujemy, czy
reszty są stacjonarne.
Hipoteza zerowa zakłada niestacjonarność reszt, co oznacza, że wektor ocen regresji
oszacowanej metodą najmniejszych kwadratów, nie jest wektorem kointegrującym
badanych zmiennych. Hipoteza alternatywna mówi, że reszty są stacjonarne, co oznacza, że
oceny MNK stanowią wektor kointegrujący, czyli są współczynnikami kombinacji liniowej
zmiennych, która jest stacjonarna.
5
Materiały dla studentów : Niestacjonarność – przykład testowania
Wybieramy z menu test Engle’a-Grangera, i zaznaczamy najpierw zmienną, której regresję
względem pozostałych szacujemy (tutaj realcons), potem zmienne objaśniające tej regresji
(tutaj realdpi). Wybieramy wersję z wyrazem wolnym i liczbę opóźnień regresji ADG dla reszt:
6
Materiały dla studentów : Niestacjonarność – przykład testowania
Wyniki są następujące.
Krok 1: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej realcons
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realcons
dla opóźnienia rzędu 4 procesu (1-L)realcons
liczebność próby 199
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1)
test z wyrazem wolnym (const)
model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0.001
opóźnione różnice: F(4, 193) = 8.200 [0.0000]
estymowana wartość (a-1) wynosi: 0.00433559
Statystyka testu: tau_c(1) = 3.25258
asymptotyczna wartość p = 1
Krok 2: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej realdpi
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realdpi
dla opóźnienia rzędu 4 procesu (1-L)realdpi
liczebność próby 199
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1)
test z wyrazem wolnym (const)
model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0.008
opóźnione różnice: F(4, 193) = 1.092 [0.3616]
estymowana wartość (a-1) wynosi: 0.00496498
Statystyka testu: tau_c(1) = 3.06974
asymptotyczna wartość p = 1
Krok 3: równanie kointegrujące
Równanie kointegrujące Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1950:1-2000:4 (N = 204)
Zmienna zależna: realcons
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
-----------------------------------------------------------const -80.3547
14.3059
-5.617
6.38e-08***
realdpi 0.921686
0.00387175
238.1
2.22e-25***
Średn.aryt.zm.zależnej 2999.436
Suma kwadratów reszt
1536322
Wsp. determ. R-kwadrat 0.996448
Logarytm wiarygodności -1199.995
Kryt. bayes. Schwarza
2410.627
Autokorel.reszt - rho1 0.982739
Odch.stand.zm.zależnej
Błąd standardowy reszt
Skorygowany R-kwadrat
Kryt. inform. Akaike'a
Kryt. Hannana-Quinna
Stat. Durbina-Watsona
1459.707
87.20983
0.996431
2403.990
2406.675
0.092048
Krok 4: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej uhat
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu uhat
dla opóźnienia rzędu 4 procesu (1-L)uhat
7
Materiały dla studentów : Niestacjonarność – przykład testowania
liczebność próby 199
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1)
model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0.001
opóźnione różnice: F(4, 194) = 3.750 [0.0058]
estymowana wartość (a-1) wynosi: -0.0124998
Statystyka testu: tau_c(2) = -0.503792
asymptotyczna wartość p = 0.9621
Kointegracja występuje, jeżeli każdy wykorzystywany proces jest I(1),
tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym nie jest odrzucana
oraz
proces resztowy(uhat) z równania kointegrującego nie jest
zintegrowany I(0),
tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym jest odrzucana.
Mamy tu kolejno: wynik testu ADF dla zmiennej objaśnianej, dla zmiennych objaśniających,
a następnie wyniki estymacji regresji w metodzie Engle’a-Grangera oraz wyniki testu ADF
dla reszt. Zinterpretujmy ten ostatni test: obliczona wartość statystyki testu jest równa
–0,504, prawdopodobieństwo jej uzyskania przy założeniu niestacjonarności reszt jest równe
0,96, zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że reszty są niestacjonarne.
Zmienne nie są więc skointegrowane.
5. Dalsze ćwiczenia: proszę przetestować niestacjonarność wybranych zmiennych
ekonomicznych lub finansowych, które na s interesują. Proszę w ramach pracy domowej
rozwiązać zadania sprawdzające podane w pierwszej części Materiałów dla studenta.
8