Maciej DWORNIK, Andrzej LEŚNIAK Porównanie efektywności

Transkrypt

WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie
Materiały Warsztatów str. 197–209
Maciej DWORNIK, Andrzej LEŚNIAK
Akademia Górniczo Hutnicza, Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska, Kraków
Porównanie efektywności podstawowych technik inwersji danych
sejsmicznej tomografii refrakcyjnej w lokalizacji
płytkich pustek poeksploatacyjnych
Streszczenie
Powierzchniowa tomografia refrakcyjna jest metodą pozwalającą na odtworzenie rozkładu
prędkości propagacji fal sprężystych warstw przypowierzchniowych. Niniejsza praca ma na
celu porównanie następujących metod inwersji danych powierzchniowej tomografii refrakcyjnej dla prostoliniowego modelu propagacji promieni sejsmicznych w ośrodku sprężystym:
dekompozycji macierzowej w oparciu o wartości własne (SVD), metod iteracyjnych ART
i SIRT oraz algorytmu genetycznego. Uzyskane wyniki analizowano pod kątem stabilności
rozwiązania i wierności odtworzonego obrazu z założonym modelem. Eksperymenty wykazały, że dla modelu liniowego najbardziej zbliżone do założonego modelu i najszybsze obliczeniowo rozwiązanie osiągnięto dla metody SVD. Algorytmy genetyczne, będące jedną
z podstawowych technik dla modeli nieliniowych, pozwoliły na uzyskanie najlepszych wyników inwersji, kosztem znacznie dłuższych czasów obliczeniowych. Znaczące polepszenie
zbieżności tej metody uzyskano dzięki zastosowaniu dodatkowego operatora w postaci iteracji
SIRT dla każdego osobnika.
1. Wstęp
Problem występowania płytko zalegających pustek jest, oprócz wstrząsów sejsmicznych,
jednym z większym zagrożeń środowiska się na terenach górniczych i pogórniczych. Wczesna
ich detekcja pozwala na neutralizację zagrożenia poprzez np. ograniczenie na tych terenach
inwestycji budowlanych lub ich likwidację poprzez podsadzanie.
Powierzchniowa tomografia refrakcyjna jest metodą pozwalającą na rozpoznanie budowy
warstw przypowierzchniowych ośrodka geologicznego, przy jednoczesnym podaniu parametrów dynamicznych ośrodka (np. prędkości propagacji fal sprężystych). Jej podstawową wadą
jest duża czasochłonność i wysoki koszt przeprowadzenia badań, co niestety ogranicza jej
stosowanie na rzecz znacznie tańszych metod mikrograwimetrycznych, georadarowych czy
standardowych, sejsmicznych pomiarów refrakcyjnych.
W niniejszej pracy zastosowano promieniowe i prostoliniowe podejście do propagacji fali
sejsmicznej. Dzięki temu możliwe jest zapisanie związku pomiędzy danymi pomierzonymi,
a parametrami modelu w następującej formie układu równań linowych:
197
M. DWORNIK, A. LEŚNIAK – Porównanie efektywności podstawowych technik inwersji …


d  Gm
(1.1)
gdzie:
d – wektor pomierzonych czasów propagacji;
G – macierz geometrii modelu o ilości kolumn równej ilości komórek (niewiadomych) i liczbie
wierszy równej ilości promieni prześwietlającej ośrodek – w komórce Gij jest zapisana długość
i-tego promienia w j-tej komórce;
m – wektor niewiadomych, w tym przypadku spowolnień.
Jednym z większych problemów tomografii jest stabilność i dokładność rozwiązania zagadnienia odwrotnego. Rozwiązanie klasycznymi metodami (np. metodą najmniejszych kwadratów dla wersji zlinearyzowanej) jest na ogół utrudnione lub wręcz niemożliwe ze względu na
(Leśniak, Isakow 2002):
 Nieliniowy związek parametrów modelu tomograficznego m (np. prędkości propagacji
fal sprężystych – czołowej w warstwie przypowierzchniowej i refrakcyjnej) z danymi
pomiarowymi (np. czasem propagacji fal sejsmicznych):
d = g (m)
(1.2)
 Linearyzacja tego modelu może być obarczona znacznymi błędami.
 Macierz G jest macierzą rzadką, tzn. jej większość elementów jest równa zeru (Golub,
Van Loan 1989).
 Równanie (1.1) na ogół niestabilne numerycznie, tzn. niewielkie zmiany parametrów
wejściowych m powodują duże zmiany wartości obliczonych d.
 Macierz ta na ogół ma bardzo duże wymiary.
Powyższe problemy możliwe są do rozwiązywania na wiele sposobów. W niniejszej pracy
zostaną zeprezentowane cztery popularne metody pozwalające na otrzymywanie efektywnego
rozwiązania zagadnienia powierzchniowej tomografii refrakcyjnej. Jest to dekompozycja macierzowa w oparciu o wartości własne (SVD), algorytm genetyczny oraz metody iteracyjne
ART i SIRT. Analiza poszczególnych metod będzie się odbywać głównie pod kątem efektywności numerycznej wyżej wymienionych metod w rozpoznawaniu skupionych anomalii
prędkościowych występujących płytko pod powierzchnią. Anomalie tego typu odpowiadają
formom antropogenicznym, które są obiektem naszego zainteresowania.
2. Powierzchniowa tomografia refrakcyjna
Powierzchniowa tomografia refrakcyjna, stosowana do odtworzenia rozkładu prędkości
w ośrodku geologicznym wykorzystuje fale rozchodzące się na powierzchni granic sejsmicznych. W metodzie tej konieczne jest takie zaprojektowanie punktów wzbudzenia i punktów rejestracji nad granicą refrakcyjną, by promienie sejsmiczne pokryły całą badaną
powierzchnię refrakcyjną. Jeden z często używanych i najtańszych układów obserwacyjnych
przedstawia rysunek 2.1. Odbiorniki rozłożone są na dłuższym boku prostokąta a wzbudzanie
fali ma miejsce na obwodzie tegoż prostokąta. Dodatkowym wymogiem jest wykonanie badań
refrakcyjnych wzdłuż obwodu prostokąta w celu uzyskania danych koniecznych do wprowadzenia poprawki statycznej (sprowadzenie odbiornika i punktu strzałowego na powierzchnię
refrakcyjną).
198
Rys. 2.1. Schemat pomiarowy w powierzchniowej tomografii refrakcyjnej;
Gi – i-ty odbiornik,
Gim – i-ty odbiornik sprowadzony na powierzchnię refrakcyjną dla m-tego promienia,
SPj – j-ty punkt wzbudzenia,
SPjm – j-ty punkt wzbudzenia sprowadzony na powierzchnię refrakcyjną dla m-tego promienia.
Fig. 2.1. Shot points and receivers configuration in the surface refraction tomography;
Gi –location of ith- receiver,
Gim –location ith receiver projected on refraction surface for mth ray,
SPi –location of ith-shot point,
i
th
SP m –location i shot point projected on refraction surface for mth ray.
3. Metody inwersji sejsmicznej
Rozwiązanie zagadnienia odwrotnego w powierzchniowej tomografii refrakcyjnej jest na
ogół niejednoznaczne. W celu uzyskania rozkładów prędkości fali refrakcyjnej zastosowano
cztery różne algorytmy charakteryzujące dwa podejścia do zagadnienia:
 algorytmy deterministyczne: dekompozycja macierzowa SVD oraz metody iteracyjnej
rekonstrukcji algebraicznej ART i SIRT,
 algorytmy probabilistyczne: algorytm genetyczny.
3.1. Inwersja z użyciem dekompozycji macierzowej SVD
Istotą tej metody jest dekompozycja dowolnej macierzy G na trzy macierze U, Σ i V, tak by
spełniony był warunek (Meyer, 2000):
199
G  UV T
(3.1)
gdzie:
U, V – macierze ortogonalne,
 – macierz diagonalna z wartościami własnymi macierzy G na przekątnej.
Ze względu na fakt, że na ogół macierz G jest prostokątna, macierz do niej odwrotną
nazywamy pseudoinwersem macierzy G i zapisujemy jako G-g. Pseudoinwers jest liczony jako:
G  g  V 1U T
(3.2)
Matematyczne podstawy dekompozycji SVD opisali Golub i Van Loan (1989) oraz Meyer
(2000), natomiast w artykule wykorzystano wersję algorytmu opisaną w Press i in. (2002).
W niniejszej pracy zastosowano zerowanie (Kasina 2001) wartości własnych macierzy G,
jeżeli są one poniżej progu tol wyliczonego następującym wzorem (pomoc do pakietu
MATLAB):
(3.3)
tol = min ( N, Nkom )  eps   max
gdzie:
N – ilość promieni,
Nkom – ilość parametrów modelu m,
eps – błąd maszynowy,
max – największa wartość własna macierzy geometrii modelu G.
Wadą tej metody jest konieczność wczytywania do pamięci całej macierzy geometrii
modelu G oraz alokacji pamięci na wynikowe macierze U i V (macierz  zapisywana jest
w postaci wektora wartości własnych).
3.2. Inwersja w oparciu o iteracyjne metody rekonstrukcji algebraicznej ART i SIRT
Metody te opierają się na wykorzystaniu metody Karczmarza, która działa w czterech krokach (Kasina 2001):
1. Na podstawie założonych danych wejściowych m est liczone są teoretyczne czasy przyjścia:
t est  G  mest
(3.4)
t  t obs  t est
(3.5)
2. obliczamy różnicę:
3. na podstawie otrzymanej różnicy liczymy wektor poprawek m, który jest dodawany do
założonego wektora wejściowego:
m nowy  mest  m
(3.6)
4. Kroki 1–3 są powtarzane do spełnienia warunku zatrzymania. Najczęściej jest to albo liczba
iteracji, albo spadek długość wektora poprawek poniżej pewnego progu.
200
Różnica pomiędzy metodą ART (ang. Algebraic Reconstruction Technique), a SIRT (ang.
Simultaneous Iterative Reconstruction Technique) wiąże się z metodą określania wektora
poprawek. W metodzie ART wektor poprawek jest określany dla każdego promienia po kolei
i dla j-tej komórki w i-tym promieniu dany jest wzorem (3.7) (Lo, Inderwiesen 1994):
m ij  Gij
t obs  t est

J
G2
j '1 ij
(3.7)
Natomiast w metodzie SIRT jest on określany dla wszystkich promieni jednocześnie i dla
j-tej komórki opisany jest wzorem (3.8). Wektor wag najczęściej reprezentowany jest jako
ilość promieni przecinających daną komórkę w stosunku do całkowitej ilości promieni lub inny
wskaźnik gęstości pokrycia danej komórki (Lo, Inderwiesen 1994).
t obs   j '1 Gij ' m est
j'
J
1
m j 
wj
I
G
i 1
 j '1 Gij2'
ij
J
(3.8)
Metody te zostały opracowane w celu rozwiązywania dużych układów równań, gdyż nie
wymagają przechowywania całej macierzy G w pamięci komputera.
3.3. Algorytmy genetyczne
Algorytm genetycznym to metoda optymalizacji globalnej, która swoim działaniem
naśladuje działanie procesu ewolucji. Opis klasycznego algorytmu genetycznego można
znaleźć m.in. w monografiach Arabasa (2001) czy Michalewicza (2003). Polega on na takim
przetwarzaniu początkowej, losowo wybranej populacji wejściowej rozwiązań, by w kolejnych
iteracjach uzyskiwać osobniki o jak najlepszym dopasowaniu do zadanego modelu. Podstawowymi operacjami wykonywanymi w trakcie każdej iteracji na populacji rozwiązań są:
 Ocena – polega na przypisaniu do każdego osobnika charakteryzującej go liczby, danej
następującym wzorem (3.9):

ocena i 

 T

T
 (d  Gm
i ) ( d  Gmi )  (1   ) mi mi
N kom
(3.9)
gdzie:
 – waga błędu
mi – wektor spowolnień i-tego osobnika.
 Ewolucja – polega na wybraniu nowej populacji na podstawie starej. W niniejszej pracy
zastosowano operator ruletki, który powoduje, że osobniki lepiej dostosowane mają większe szanse na przejście do nowej populacji (Arabas 2001).
 Mutacja – zmiana wartości losowego genu poprzez dodanie losowej liczby z rozkładu
normalnego o średniej równej zero i z góry zadanym odchyleniu.
201
 Krzyżowanie – polega na wylosowaniu zbioru par osobników, a następnie dla każdego
osobnika numeru genu mającego być poddanym krzyżowaniu. Dla tak dobranych genów
liczona jest średnia ważona, zapisywana w odpowiednich komórkach.
 SIRT – jest to dodatkowy operator, niefigurujący w klasycznym algorytmie genetycznym. Polega on na zastosowaniu z góry określonej ilości iteracji SIRT (rozdział 3.2) dla
każdego osobnika w puli.
4. Testy
W celu analizy wydajności numerycznej algorytmów i dokładności odwzorowania założonego modelu płytko zalegających pustek przeprowadzono obliczenia dla prostokątnego,
płaskorównoległego modelu ośrodka (10 × 15 komórek o wymiarze równym odległości między
sąsiednimi odbiornikami). Model ten przedstawia rysunek 4.1. Granica refrakcyjna znajdowała
się 2 metry pod powierzchnią terenu. Wartości prędkości w nadkładzie i prędkości na granicy
refrakcyjnej nad punktami wzbudzenia i odbioru przyjęto odpowiednio równe 200 m/s
i 1500 m/s.
Model ten przedstawia układ często spotykany na terenach Górnośląskiego Zagłębia
Węglowego. Pod czwartorzędowym nadkładem zalega warstwa piaskowców o znacznej
miąższości, z ulokowaną w niej strefą rozluźnioną, którą cechuje niska prędkość propagacji fali
sejsmicznej (1000 m/s, a w samym centrum 500 m/s). Anomalia ta jest tożsama z pustką wypełnioną nieskonsolidowanymi osadami nadkładu z okruchami skał otaczających. Występowanie niewielkiej strefy przejściowej wokół anomalii (prędkość 1000 m/s) jest typowe dla
silnie spękanych piaskowców).
Rys. 4.1. Założony model prędkościowy refraktora (10 × 5 komórek)
Fig. 4.1. Velocity model of refraction surface (10 × 15 cell)
202
Rys. 4.2. Mapa pokrycia komórek promieniami
Fig. 4.2. Maps of rays density
Schemat pomiarowy składał się z 16 odbiorników mających na celu rejestrację fal
generowanych w 34 punktach wzbudzeń (544 promieni). Dzięki temu udało się uzyskać
zagadnienie z nadmiarem informacji (544 równań liniowych ze 150 niewiadomymi). Następnie
wykonano trasowanie promieni sejsmicznych w celu uzyskania macierzy geometrii modelu G.
Kolejnym krokiem jest obliczenie teoretycznych czasów propagacji fali, dodanie poprawki
statycznej oraz błędu losowego o rozkładzie normalnym. W ten sposób obliczone czasy propagacji zostały użyte jako dane pomiarowe i zastosowane do inwersji sejsmicznej.
4.1. Dekompozycja macierzowa (SVD)
Uzyskane rozwiązanie jest poprawne i przedstawia je rysunek 4.3. Na ilustracji widoczna
jest założona anomalia prędkościowa. Błędy estymacji widoczne w górnej części związane są
ze słabym pokryciem przez promienie komórek. Największy moduł różnicy pomiędzy
modelem, a danymi z inwersji wynosi 774,93 m/s. Średni błąd kwadratowy wynosi:
 = 186,996.
Zmniejszenie ilości niezerowych wartości własnych (zwiększenie współczynnika tolerancji) użytych do obliczania inwersu uogólnionego generalnie powinno zwiększać stabilność
metody. W tym przypadku najmniejsza wartość własna miała znacznie większą wartość niż
współczynnik obliczony wzorem (3.3): min() = 0,215; tol = 6,945e–11. Wobec tego nie było
konieczności zerowania jakiejkolwiek wartości własnej. Przeprowadzone dodatkowo doświadczenie numeryczne wykazało, że dla używanej w tej pracy macierzy G, błędy inwersji wzrastają wraz ze wzrostem założonego progu tolerancji.
203
Rys. 4.3. Rozwiązanie uzyskane przy wykorzystaniu dekompozycji macierzowej SVD
Fig. 4.3. Estimation of velocity by Singular Value Decomposition SVD
4.2 Metody ART i SIRT
Przeprowadzono dziesięć doświadczeń numerycznych dla każdej z metody. Ostateczne
rozwiązanie uzyskano poprzez uśrednienie wszystkich wyników, po odrzuceniu z każdej grupy
trzech wyników o największym błędzie lub niespełniających kryteriów fizycznej poprawności
(np. ujemne prędkości propagacji fali). Wszystkie populacje były generowane losowo. Dla
metody ART, ze względu na znacznie szybszą zbieżność i dłuższy czas obliczeniowy dla
pojedynczej iteracji, stosowano 5 000 iteracji, wobec 10 000 stosowanych dla metody SIRT.
Dla obu metod przetestowano 3 współczynniki zbieżności: 0,01, 0,1 i 1,0, którymi skalowano
wprowadzone poprawki m. Uzyskane błędy przedstawia tabela 4.1.
Rozwiązanie uzyskane metodą SIRT poprawnie odwzorowuje anomalię (rys. 4.5). Widoczne zaburzenia w estymacji tła w górnej części rysunku związane są ze słabszym pokryciem
promieniami (rys. 4.2).
Zastosowanie współczynnika zbieżności mniejszego od 1,0 powoduje statystyczny wzrost
błędów we wszystkich modelach. Jednakże zastosowanie współczynnika 0,1 dla metody ART
pozwoliło znacznie lepiej odzwierciedlić zadaną anomalie oraz tło (rys. 4.4). Dalsze zmniejszanie tego współczynnika powoduje spadek tempa zbieżności. W przypadku metody SIRT
zmniejszenie współczynnika zwiększa tylko ilość iteracji potrzebną do osiągnięcia akceptowalnego rozwiązania.
204
Tabela 4.1. Błędy uzyskane w wyniku inwersji ART i SIRT
Table 4.1. Table of errors in ART & SIRT methods
Metoda
ART
SIRT
współczynnik zbieżności
0,01
0,1
1,0
0,01
0,1
1,0
średni błąd kwadratowy
697,1
195,9
148,6
18051
3374
147,5
Max |miest − mimod|
6541
989,5
544,9
192730
27173
805,0
Rys. 4.4. Rozwiązanie metodą ART, 7-krotne składanie, 5 000 iteracji, współczynnik zbieżności 0,1
Fig. 4.4. Velocity estimation by ART, 7 model in stack, 5 000 iterations, coefficient 0,1
Wielokrotne składanie (7-krotne) znacznie polepsza wyniki i zmniejsza wpływ przypadkowych błędów inwersji (Meyer 2000). Metoda ART statystycznie generuje znacznie mniejsze
błędy, pomimo zastosowania w przypadku SIRT dwukrotnie większej ilości iteracji. Niemniej
jednak najbardziej zbliżone rozwiązanie uzyskano dla metody SIRT ze współczynnikiem
zbieżności równym 1,0 przy siedmiokrotnym składaniu. Z drugiej jednak strony dla metody
SIRT poszczególne rozwiązania uzyskane dla losowych populacji różniły się pomiędzy sobą
znacznie bardziej niż dla metody ART.
205
Rys. 4.5. Rozwiązanie metodą SIRT, 7-krotne składanie, 10 000 iteracji, współczynnik zbieżności 1,0
Fig. 4.5. Velocity Estimation by SIRT, 7 model in stack, 10 000 iterations, coefficient 1,0
4.3. Algorytmy genetyczne
Algorytm testowano na czterech losowo wybranych populacjach. Parametryzację dla
populacji przedstawia tabela 4.2. Spadek oceny wraz z ilością iteracji przedstawia rysunek 4.6,
a wartości błędów estymacji tabela 4.3. Najlepsze rozwiązanie przedstawia rysunek 4.7.
Zastosowanie przynajmniej jednej iteracji znacznie przyśpiesza osiągnięcie zbieżności
(wymaga mniejszej ilości iteracji), kosztem znacznego wydłużenia czasu obliczeniowego (czas
obliczeniowy dla pojedynczej iteracji bez SIRT jest 10-krotnie krótszy niż dla pokolenia
z trzema iteracjami SIRT i 5-krotnie krótszy niż dla pokolenia z jedną iteracją SIRT. Rozwiązanie uzyskane przy użyciu klasycznego algorytmu jest porównywalne z rozwiązaniem
uzyskanym zmodyfikowanym (z dodatkowymi iteracjami SIRT). Czas uzyskania rozwiązań
dla przypadków 1, 2 i 4 był identyczny.
Zwiększenie ilości iteracji SIRT znacząco nie poprawia szybkości zbieżności. Niemniej
jednak dla populacji z jedną iteracją SIRT uzyskano najmniejsze wartości błędów. Brak
operatora SIRT powoduje wzrost ilości iteracji potrzebnych do osiągnięcia zbieżności. Ze
względu na probabilistyczny charakter algorytmu numer iteracji, dla której nastąpił gwałtowny
spadek oceny, jest tylko kwestią przypadku. Dla wszystkich przypadków wartości błędów były
mniejsze niż dla pozostałych metod.
206
Tabela 4.2. Parametry wejściowe dla algorytmu genetycznego
Table 4.2. Input parameters for genetic algorithm
Numer populacji
01
02
03
04
400 000
800 000
1 000 000
4 000 000
Ilość osobników
24
24
24
24
Prawdopodobieństwo mutacji
0,1
0,1
0,1
0,05
Prawdopodobieństwo krzyżowania
0,8
0,8
0,8
0,7
3
1
0
0
0,999999
0,999999
0,999999
0,999999
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
Ilość iteracji
Ilość iteracji SIRT
Waga błędu kwadratowego
Odchylenie mutacji [s/m]
Rys. 4.6. Zależność oceny najlepszego osobnika od numeru iteracji dla algorytmów genetycznych
Fig. 4.6. Relationship between evaluation of the best individual and number of iterations in genetic
algorithms
207
Rys. 4.7. Rozwiązanie uzyskane przy pomocy algorytmów genetycznych
(800 000 iteracji, 24 osobniki, Pmut = 0,1, Pcross = 0,8, 1 SIRT/pokolenie)
Fig. 4.7. Velocity estimation by genetic algorithms
(800 000 iterations, 24 individuals, Pmut = 0,1, Pcross = 0,8, 1 SIRT/iterations)
Tabela 4.3. Błędy uzyskane w wyniku inwersji algorytmami genetycznymi
Table 4.3. Errors in genetic algorithms methods
Numer populacji
01
02
03
04
średni błąd kwadratowy
128,353
61,526
140,483
64,615
Max |miest − mimod|
470,110
221,290
530,466
417,920
5. Podsumowanie
Powierzchniowa tomografia refrakcyjna, przy spełnieniu odpowiednich warunków
pomiarowych, pozwala na lokalizację ujemnych anomalii prędkościowych na powierzchni
refraktora. Spośród przedstawionych metod, najefektywniejszą okazała się dekompozycja
macierzowa w oparciu o wartości własne. Działała ona najszybciej ze wszystkich testowanych
metod, nie wymagała generowania populacji początkowej i dawała stosunkowo wierne
odwzorowanie założonego modelu. Niemniej może ona być stosowana raczej dla macierzy
o niewielkich rozmiarach.
Z metod iteracyjnych lepsze wyniki uzyskano dla metody SIRT przy 7-krotnym składaniu
i 10 000 iteracji, przy czym rozwiązanie to jest porównywalne z wynikiem uzyskanym przy
użyciu metody ART ze współczynnikiem zbieżności 0,1. Niemniej jednak czas uzyskania
rozwiązania metodą ART był kilkakrotnie dłuższy niż dla metody SIRT. Ustalenie
208
współczynnika zbieżności w metodzie ART na poziomie 0,1 poprawiło znacznie uzyskane
rozwiązanie. Natomiast w metodzie SIRT zmniejszenie tego współczynnika powoduje tylko
spadek tempa zbieżności.
Najbardziej czasochłonne okazały się metody optymalizacji globalnej w oparciu
o algorytmy genetyczne Dodatkowo rozwiązanie tą metodą wymaga ustalenie sporej grupy
parametrów, co znacznie komplikuje jej stosowanie. Niemniej jednak rozwiązania uzyskane tą
metodą cechowały się najmniejszymi wartościami błędów (średniego błędu kwadratowego
i modułu największej różnicy pomiędzy modelem a jego estymacją). Zastosowanie iteracji
SIRT dla każdego osobnika w każdym pokoleniu znacznie zmniejsza ilość iteracji potrzebnych
do osiągnięcia zbieżności, kosztem znacznego wydłużania czasu obliczeniowego. Dodatkowo
ten operator jest możliwy do zastosowania tylko dla rozwiązywania układów liniowych.
Praca została wykonana w ramach badań statutowych Zakładu Geoinformatyki i Informatyki
Stosowanej, Wydz. Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska AGH.
Literatura
[1] Arabas J. 2001: Wykłady z algorytmów ewolucyjnych, WNT, Warszawa.
[2] Golub G. H., Van Loan C. F. 1989: Matrix Computations, Second Edition, The Johns Hopkins
University Press, Baltimore.
[3] Kasina Z. 2001: Tomografia sejsmiczna, Wydawnictwo Instytutu GSMiE PAN, Kraków.
[4] Leśniak A., Isakow Z. 2002: Rozwiązanie zagadnienia inwersji dla tomografii tłumieniowej
w warunkach długich frontów ścianowych. Mechanizacja i Automatyzacja Górnictwa, nr 11 (383),
45–51.
[5] Lo T., Inderwiesen P. L. 1994: Fundamentals of seismic tomography, Geophysical Monograph
Series, no. 6, SEG, Tulsa.
[6] Pomoc do programu MATLAB 7.1, Mathworks Inc.
[7] Meyer C. D. 2000: Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, Philadelphia.
[8] Michalewicz Z. 2003: Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne, WNT,
Warszawa.
[9] Osowski S., Cichocki A., Siwek K. 2006: MATLAB w zastosowaniu do obliczeń obwodowych
i przetwarzaniu sygnałów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa.
[10] Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. 2002: Numerical Recipes in C++,
The art of scientific computing, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge,
[6.03.2007], http://www.nrbook.com/a/bookcpdf.php
Comparison of effectiveness of basic method of the seismic inversion
in the surface refraction tomography for location near-surface caves
Surface refraction tomography is a method, which is able to estimate velocity of elastic
wave propagation in near-surface layers. This work shows comparison between some methods
of surface refraction tomography inversion data: Singular Value Decomposition (SVD),
iterative methods: ART and SIRT and genetic algorithms. In the results stability of results and
error of estimated data was analysed. Numerical experiments show, that the best method is
SVD. Genetic algorithms, whose are ones of the basic method for non-linear models, give the
best inversion results, but they take the longest time. Significant improvement was obtained by
using some iterations of SIRT.
Przekazano: 27 marca 2007 r.
209

Maciej DWORNIK, Andrzej LEŚNIAK Porównanie efektywności

Transkrypt

Podobne dokumenty

Instrukcja obsługi zewnętrznej karty radiowej SIRT_02

In ynieria oprogramowania II Wprowadzenie Rola Kierownika