Materiały do laboratorium z Matematyki Finansowej, część 1

Materiały do laboratorium z Matematyki Finansowej, część 1

Materiały do laboratorium z Matematyki Finansowej, część 1
Procent to jedna setna. 1% = 0,01. Promil to jedna tysięczna 1‰ = 0,001 = 0,1%. ݊-procent od wartości ‫ ݔ‬to
‫ ∙ ݊ ∙ ݔ‬0,01. Na przykład dwadzieścia trzy procent i cztery promile z 200 złotych to 200 zł ∗ 0,234 = 46,8 zł.
Zad. 1. Pożyczkodawca udzielił pożyczkobiorcy kredyt wysokości 1500 zł. Po roku pożyczkobiorca
zobowiązany jest zwrócić pożyczkodawcy pożyczoną kwotę powiększoną o odsetki w wysokości 8%
oraz sumę 60 zł tytułem opłat manipulacyjnych. a) Ile wynosi suma odsetek? b) Jakie jest oprocentowanie
tego kredytu, gdy opłaty manipulacyjne potraktuje się jako część należnych odsetek?
Odp. a) 1500 ∙ 0,08 = 120. b) 1500 ∙ ‫ = ݎ‬120 + 60, czyli ‫ = ݎ‬180/1500 = 0,12 = 12%.
Jeden procent to nie to samo co jeden punkt procentowy. Załóżmy, że oprocentowanie kredytu wynosiło
poprzednio 8%, a obecnie wynosi 10%. Oznacza to, że oprocentowanie wzrosło o 25% w porównaniu do
poprzedniej wartości (10% = 8% + 0,25 ∙ 8%) albo o dwa punkty procentowe (z 8% na 10%). Można
powiedzieć, że pojęcia procentu używa się w kontekście operacji mnożenia i dzielenia, a pojęcia punktu
procentowego w kontekście dodawania i odejmowania.
Zad. 2. Klient banku spłaca kredyt zaciągnięty na 12%. Ze względu na jego korzystną historię kredytową bank
zgodził się zredukować wysokość odsetek o 20%. O ile punktów procentowych zmniejszono
oprocentowanie?
Odp. 12% ∙ ሺ1 − 0,2ሻ = 9,6%. 12% − 9,6% = 2,4%.
Przy obliczaniu procentów ważne jest aby poprawnie ustalić wartość bazową, czyli od czego procent jest naliczany.
Załóżmy dla przykładu, iż bilet komunikacji miejskiej kosztował wcześniej 2 zł, a obecnie kosztuje 3 zł. W takiej
sytuacji można powiedzieć, że obecnie bilet kosztuje o 50% więcej niż poprzednio (3‫ݖ‬ł = 2‫ݖ‬ł + 0,5 ∙ 2‫ݖ‬ł), ale
także, iż poprzednia cena biletu jest o 1/3 (czyli w przybliżeniu o 33% i 3‰) mniejsza niż obecnie. Inny wynik
otrzyma się w sytuacji, gdy wartością bazową jest wartość poprzednia, inny gdy wartość aktualna. W
szczególności, gdy wyjściowa cena towaru wzrośnie o ݊%, a po jakimś czasie zmaleje o ݊%, to końcowa cena
będzie inna niż cena początkowa. Na przykład, gdy wyjściowa cena to 100 zł, wzrost o 10% daje wartość 110 zł.
10% ze 110 to 11. Spadek o 10% ze 110 zł oznacza, iż końcowa cena wynosić będzie 99 zł, a nie 100 zł.
Zad. 3. Cena pewnego dobra uwzględnia koszty potrzebnych do jego wytworzenia surowców i produkcji, a
także koszty dystrybucji i podatku VAT. 60% ceny producenta to koszty zakupu surowców. Cena
hurtownika to cena producenta powiększona o 10%, detalisty to cena hurtownika powiększona o 15%. Na
każdym etapie, do tzw. ceny netto, dolicza się 23% podatku VAT, otrzymując cenę brutto. a) Obliczyć
ceny netto hurtownika, detalisty, cenę końcową brutto oraz koszty poniesione na zakup surowców, jeśli
cena producenta netto tego dobra wynosi 1350 zł. b) Każdy pośrednik płaci podatek VAT pomniejszony
o sumę jaką łącznie zapłacili jego poprzednicy. Obliczyć kwoty podatku VAT od tego dobra
odprowadzaną kolejno przez: dostarczycieli surowców, producenta, hurtownika i detalistę.
Odp. Wprowadźmy oznaczenia: ܿ௣ – cena oferowana przez producenta bez podatku VAT (netto), ܿ௛ - cena
hurtownika netto, ܿௗ - cena detalisty netto, ܿ௦ - cena surowców netto. a) ܿ௛ = ܿ௣ + ܿ௣ ∙ 0,1 = 1,1ܿ௣ =
1485; ܿௗ = 1,15ܿ௛ = 1,13 ∙ 1485 = 1678,05. Cena końcowa jest ceną brutto detalisty: ܿ௞ = 1,23 ∙
1678,05 = 2064,002 ≈ 2064. Użycie znaku przybliżenia wynika z tego, iż cenę określa się z
dokładnością do jednego grosza, czyli do dwóch miejsc po przecinku. Cena surowców to 60% ceny
producenta: ܿ௦ = 0,6 ∙ ܿ௣ = 810. Podatek VAT płacony od surowców to 810 ∙ 0,23 = 186,3. Producent
płaci VAT nie od ceny brutto po jakiej sprzedaje produkt, ale od różnicy pomiędzy jego ceną a ceną
surowców: ሺ1350 − 810ሻ ∙ 0,23 = 124,2. Hurtownik: (ܿ௛ − ܿ௣ ) ∙ 0,23 = ሺ1485 − 1350ሻ ∙ 0,23 =
31,05; detalista: ሺܿௗ − ܿ௛ ሻ ∙ 0,23 = 44,4015 ≈ 44,4. Łącznie podatek VAT od tego produktu to 385 zł i
95 groszy, czyli dokładnie tyle ile wynosi różnica pomiędzy ceną końcową a ceną netto detalisty.
Inflacja to proces ogólnego wzrostu cen co prowadzi między innymi tym, iż za taką samą nominalnie kwotę z roku
na rok można nabyć coraz mniej towarów i usług. Na przykład, w roku 2012 w Polsce współczynnik inflacji
wyniósł 3,8%, i kwota 10 000 zł pod koniec roku 2012 miała wartość nabywczą taką jak
ଵ଴ ଴଴଴
ଵା଴,଴ଷ଼
≈ 9 633,91 zł na
początku tego roku.
Zad. 4. Ulokowano na lokacie na 4,5% w skali roku określony kapitał. Obliczyć roczną stopę zwrotu przy
ଵ,଴ସହ
inflacji 9‰. Odp. ‫∙ ܭ‬
≈ ‫ ∙ ܭ‬1,036
ଵ,଴଴ଽ
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad 1. O pewne stanowisko ubiega się pięciu kandydatów. Uzyska je ten, kto w pierwszej turze głosowania
dostanie więcej niż 50% ważnych głosów. W przypadku nierozstrzygnięcia pierwszej tury, odbywa się
druga tura głosowania, do której przechodzi tylko dwóch kandydatów, którzy dostali najwięcej głosów w
pierwszej turze. W pierwszej turze głosowania oddano łącznie 125 038 głosów, przy czym poszczególni
kandydaci dostali (w kolejności malejącej): 59 138, 37 251, 13 752, 3 750 i 1 251 głosów. a) Ile procent
głosów dostali poszczególni kandydaci? b) Czy druga tura głosowania jest potrzebna?
Zad 2. Ze względu na zmianę klasyfikacji podatkowej zmalała stawka podatku VAT pewnego towaru o 16
punktów procentowych. Poprzednio, po doliczeniu do kosztów produkcji 10% marży hurtownika, 15%
marży detalisty i 23% podatku VAT cena sprzedaży wynosiła 140 zł. a) Jaka jest obecnie cena sprzedaży
(cena brutto) tego towaru? b) Ile kosztuje jego produkcja? c) Ile płacili poprzednio i ile płacą obecnie
podatku VAT od tego towaru producent, hurtownik i detalista?
Zad. 3. Dla większego bezpieczeństwa zainwestowano pewien kapitał w trzy różne inwestycje w proporcjach
45, 30 i 25%. Po roku pierwsza inwestycja przyniosła 9% zysku, druga 4,8% zysku a trzecia 10% straty.
a) Obliczyć o ile procent powiększył się posiadany kapitał. b) Ile wyniosła roczna stopa zwrotu kapitału
przy uwzględnieniu inflacji rzędu 3,8%.
Zad. 4. Od wypracowanej przez pracownika pensji odprowadza
Ubezpieczenia
Praco- Pracosię na rzecz Zakładu Ubezpieczeń Społecznych i Skarbu
społeczne ZUS
wnik
dawca
Państwa różnego rodzaju składki i podatek dochodowy. Od
emerytalne
19,52% 9,76% 9,76%
pensji brutto odprowadza się ubezpieczenia społeczne
ZUS, przy czym osobno księguje się składki płacone przez
rentowe
8,00% 1,50% 6,50%
pracownika i osobno przez pracodawcę. W przypadku
chorobowe
2,45% 2,45%
─
stosunkowo niewielkiego przedsiębiorstwa koszta danego
ubezpieczenia, wyrażone w procentach, przedstawia tabela wypadkowe
1,93%
─
1,93%
obok. Od pensji brutto pomniejszonej o koszty składek na
ubezpieczenia społeczne ZUS płaconych przez pracownika odprowadza się 9% z tytułu ubezpieczeń
zdrowotnych. Pozostała część pensji stanowi podstawę do płacenia podatku dochodowego. Jeżeli
pracownik pracuje tylko u jednego pracodawcy i nie dojeżdża do pracy z innej miejscowości od podstawy
podatku dochodowego odejmuje miesięcznie 111,25 zł z tytułu kosztów uzyskania przychodu. Jeżeli w
ciągu całego roku pracownik osiągnie dochody większe niż 3 091 zł, ale mniejsze niż 85 528 zł od
otrzymanej w ten sposób kwoty płaci 18% pomniejszone o 46,33 zł podatku dochodowego. Pozostała po
tych wszystkich operacjach kwota – o ile pracownik nie korzysta z dodatkowych ulg – to pensja netto
(którą otrzymuje pracownik). a) Obliczyć wysokość miesięcznej pensji netto w przypadku, gdy pensja
brutto wynosi 1 680 zł i gdy wynosi 3 000 zł. b) Jaki procent kosztów ponoszonych przez pracodawcę z
tytułu płacenia pensji stanowią składki na ubezpieczenia społeczne, ubezpieczenie zdrowotne, podatek
dochodowy i pensja netto? c) Zakładając, że pracownik pracować będzie równo przez 40 lat, że nie
wystąpi zjawisko inflacji i że przez cały okres pracy pracownik otrzymywać będzie taką samą pensję,
obliczyć jaką łącznie kwotę uzbiera z tytułu: składek emerytalnych i składek chorobowych (bez składek z
tytułu ubezpieczenia chorobowego) od pensji brutto w wysokości 1 680 zł i w wysokości 3 000 zł.
d) Stopa zastąpienia to wysokość przeciętnej emerytury miesięcznej do przeciętnej pensji danego
pracownika. Obliczyć stopę zastąpienia gdy spełnione są założenia z podpunktu c oraz przy założeniu, iż
dany pracownik po przejściu na emeryturę będzie otrzymywać takiej samej wielkości emeryturę przez
dokładnie 20 lat z pieniędzy zgromadzonych ze składek emerytalnych, bez żadnych dodatkowych dopłat.