TRANSFORMACJA DWUOSIOWA DLA PRĄDOWYCH I

TRANSFORMACJA DWUOSIOWA DLA PRĄDOWYCH I

ELEKTRYKA
Zeszyt 3 (215)
2010
Rok LVI
Wojciech BURLIKOWSKI
Katedra Mechatroniki, Politechnika Śląska w Gliwicach
TRANSFORMACJA DWUOSIOWA DLA PRĄDOWYCH
I STRUMIENIOWYCH ZMIENNYCH STANU W SILNIKU
RELUKTANCYJNYM O UZWOJENIU TRÓJFAZOWYM
POŁĄCZONYM W GWIAZDĘ BEZ PRZEWODU ZEROWEGO
Streszczenie. W artykule przedstawiono wpływ braku przewodu zerowego dla
uzwojenia trójfazowego połączonego w gwiazdę na postać transformacji dwuosiowej
z układu zmiennych fazowych ABC do układu dq. W tym celu wykorzystano elementarne
operacje uproszczenia schematu elektrycznego silnika i klasyczną transformację
dwuosiową Parka, z uwzględnieniem równania więzów dla prądów fazowych silnika.
Otrzymano zestaw dwóch różnych transformacji dla prądów oraz strumieni/napięć, które
pozwalają na całkowite pomięcie składowej zerowej w równaniach napięciowych.
Proponowana modyfikacja zachowuje wszystkie istotne cechy transformacji klasycznej,
w tym inwariantność mocy oraz diagonalizację macierzy indukcyjności dla
wyidealizowanej maszyny reluktancyjnej.
Słowa kluczowe: silnik reluktancyjny, transformacja zmiennych, modyfikacja obwodu, inwariantność
mocy
TWO-AXIS TRANSFORMATION FOR CURRENT AND FLUX STATE
VARIABLES APPLIED TO RELUCTANCE MOTOR WITH WYE
CONNECTED WINDING WITHOUT NEUTRAL WIRE
Summary. In the paper an influence of absence of neutral wire in the wye connected
winding on the form of two-axis transformation is presented. In order to formulate this
transformation a set of elementary circuit simplifications is used. In contrast to classical
Park transformation which is the same for all variables, in proposed modified
transformation matrices obtained for currents and fluxes/voltages are different, yet
strongly interconnected. This ensures preservation of the most important features of
classical transformation. The voltage equation obtained using the proposed
transformation is the same as in the case of classical transformation. The inductance
matrix in the dq reference frame in case of an idealised reluctance motor is diagonal.
The invariance of power is preserved.
Keywords: reluctance motor, variable transformation, circuit modification, power invariance
94
W. Burlikowski
1. WPROWADZENIE
W zdecydowanej większości prac dotyczących modelowania matematycznego
przetworników elektromechanicznych jest wykorzystywany schemat zastępczy, zakładający
połączenie punktów gwiazdowych źródła zasilania i uzwojenia stojana [4,6]. Również
transformacje z układu zmiennych fazowych do układu dq0 w formie tradycyjnej są
definiowane dla tak zbudowanego schematu połączeń. Dzieje się tak, mimo iż w zastosowaniach praktycznych połączenie takie jest wykorzystywane niezmiernie rzadko.
W pracy przedstawiono metodykę pozwalającą na sformułowanie transformacji
dwuosiowej przy uwzględnieniu braku takiego połączenia już w trakcie tworzenia modelu
matematycznego.
2. PRZEKSZTAŁCENIA SCHEMATU ELEKTRYCZNEGO SILNIKA
Modele matematyczne przedstawione we wcześniejszych pracach autora umożliwiały
przejrzystą interpretację równań więzów prądowych i strumieniowych w modelu
matematycznym silnika [2,3]. Równania różniczkowe otrzymane na ich podstawie zawierały
jednak niesymetryczne macierze rezystancji i indukcyjności, co uniemożliwiało ich skuteczną
transformację do układu zmiennych dq. W celu rozwiązania tego problemu w pracy
zaproponowano odmienną metodę zapisu równań. Dotyczy on schematu przedstawionego na
rys.1.
Rys. 1. Schemat silnika reluktancyjnego
Fig. 1. Schematic representation of reluctance motor
Transformacja dwuosiowa dla prądowych…
95
Schemat elektryczny obwodów silnika przedstawiono na rys. 2a. Na kolejnych rysunkach
(rys. 2b, c) zastosowano metodę przekształceń tego schematu dla uzyskania obwodu
zdefiniowanego przez minimalną liczbę elementów [1].
a)
b)
c)
Rys. 2. Etapy modyfikacji schematu elektrycznego
Fig. 2. Stages of electric scheme modifications
Otrzymany obwód zastępczy można opisać stosując metodę prądów oczkowych:
e AC  d  AC  rA  rC
 e   dt     r
 BC 
 BC   C
rC  i A 
rB  rC  iB 
(1)
W sposób naturalny można wyróżnić dwie możliwe pary zmiennych opisujących tak
utworzony schemat [2]:
a) strumieniowe – stanowiące kombinacje liniowe strumieni fazowych silnika
AC =A-C, BC =B-C,
b) prądowe – opisujące prądy oczkowe będące równocześnie prądami fazowymi silnika
iA, iB.
96
W. Burlikowski
Różnicę w stosunku do modelu tradycyjnego (z przewodem zerowym) stanowi fakt, iż
w jednym równaniu pojawiają się równocześnie zmienne międzyfazowe (napięcia,
strumienie) i fazowe (prądy). Znajdzie to swoje odbicie w różnej postaci transformacji
zmiennych do układu dwuosiowego dla strumieni/napięć i prądów.
3. TRANSFORMACJE PRĄDÓW, NAPIĘĆ I STRUMIENI DO UKŁADU
DWUOSIOWEGO
Transformacja zmiennych fazowych ABC do układu dwuosiowego dq0 ma postać [4]:
Wd 
WA 
W   T  W 
 q
 B
W0 
WC 
(2)
gdzie: macierz transformacji [T] ma postać
2 
2  



cos  p 

 cos  p  cos  p  3 
3 





T   2  sin p   sin p  2   sin p  2 
3
3 
3 




1
1
1


2
2
2


p – liczba par biegunów,  – kąt mechaniczny między osią fazy A i osią d wirnika,
WA, WB, WC – zmienne fazowe, Wd, Wq, W0 – zmienne w układzie dwuosiowym.
Zastosowanie transformacji opisanej zależnością (2) dla prądów przy uwzględnieniu, iż:
i A   1 0 
i    0 1  i A   C  i A 
i 
 B 
 i 
 B
iC   1  1  B 
(3)
gdzie [C] stanowi macierz więzów dla tego przypadku [5], prowadzi do następującej relacji
macierzowej:
 


 sin  p  3  sin  p  i 
id 
i 


  A   TI   A 
i   2 
cos p    cos p  iB 
iB 
 q
 

3

(4)
Można łatwo wyznaczyć transformację odwrotną do przedstawionej powyżej w następującej
formie:
 sin  p   i
 cos p 
id 
i A 
2
 d 
i   3  cos p    sin  p     i   DI  i 
 B
 q
3
3   q 



(5)
Transformacja dwuosiowa dla prądowych…
97
Obowiązuje więc zależność (rys. 3, 5):
TI 1  DI  ,
(6)
jednak macierze [TI] i [DI] nie są ortogonalne jak w przypadku macierzy [T] [5].
Rys. 3. Transformacja prądów
Fig. 3. Transformation of currents
W celu otrzymania podobnej transformacji dla napięć i strumieni pojawiających się
w równaniu (1) konieczne jest zastosowanie następującej zależności:
WA 
WAC  1 0  1  
T
W   0 1  1 WB   C 
 BC  
 W 
 C
WA 
W   C T T 1
 B
WC 
Wd 
W 
 q
W0 
(7)
Na jej podstawie otrzymujemy związek między wielkościami międzyfazowymi
a zmiennymi w układzie dwuosiowym:

  W
W 
WAC 
W   De
 BC 
d

q
(8)

gdzie macierz transformacji ma postać:
D 
e
 

 

sin  p   cos p   

 2
3
3 

 
sin

p


cos

p




(9)
Macierz odwrotna do [De] ma postać:

 

cos p   cos p  

3


Te   23 
 sin  p  sin  p    

3  

(10)
i dotyczy związku:
Wd 
W   Te
 q
  W
W


 BC 
AC
(11)
98
W. Burlikowski
Rys. 4. Transformacja napięć i strumieni
Fig. 4. Transformation of voltages and fluxes
Między macierzami reprezentującymi transformacje proste [TI], [Te] i odwrotne [DI],
[De] istnieją związki, które przedstawiono na rys. 5.
Rys. 5. Transformacje zmiennych i ich zależności  , 
T
1
- transpozycja i inwersja macierzy
Fig. 5. Variable transformations and their dependences  , 
inversion
T
1
- matrix transposition and
4. TRANSFORMACJA RÓWNAŃ NAPIĘCIOWYCH
Równanie (1) należy przetransformować korzystając z otrzymanych zależności (5) i (8):
ed

 d   rA  rC
  
q
    rC
D  e   ddt D  
e
 
q

e
rC 
i
DI   A 

rB  rC 
iB 
(12)
Zakładając symetrię rezystancji fazowych silnika rk=rf (k=A,B,C), otrzymujemy:
(I)
(II)
(III)
ed 
id 
d
  d  d  d 
2 1 

D

e   Te  De         rf Te  
i 
I

1 2
 dt
  q  dt  q 
 q
 q
(13)
Transformacja dwuosiowa dla prądowych…
99
Występująca w pierwszym składniku (I) prawej strony równania macierz ma postać:
T   ddt D   T   dd D  ddt  T  dd D  
e

e
e

e

e


e

r
(14)
gdzie: r - mechaniczna prędkość kątowa wirnika, zaś

 
 

d
cos p    sin  p  

De   2 p  
3
3


d
 sin  p  
 cos p 
(15)
Ostateczna forma macierzy w zależności (14) ma postać:
T   ddt D   10
e

e
 
 1
e
0 
(16)
gdzie: e =pr - elektryczna prędkość kątowa wirnika.
W równaniu (13) generuje ona składnik napięcia zwanego napięciem rotacji [4]. Drugi
składnik (II) równania (13) stanowi napięcie transformacji. Składnik (III) upraszcza się do
postaci:
 2 1
rf Te  
 DI   rf
1 2
1 0
0 1


(17)
Ostateczna forma równania napięciowego w układzie dwuosiowym dq ma postać:
ed  d  d 
e      e
 q  dt  q 
  q 
    rf
 d 
id 
i 
 q
(18)
Postać równania jest identyczna jak w przypadku tradycyjnej transformacji dwuosiowej
z pominięciem składowej zerowej, która w tym przypadku nie występuje. Pokazuje to, iż nie
istnieje konieczność rozpatrywania równania dla składowej zerowej napięcia w przypadku
połączenia bez przewodu zerowego niezależnie od rozpatrywanego sposobu zasilania [6].
5. DIAGONALIZACJA WYIDEALIZOWANEJ MACIERZY INDUKCYJNOŚCI
STOJANA
Bardzo istotną cechą klasycznej transformacji dwuosiowej opisanej równaniem (2)
w przypadku silnika reluktancyjnego o wyidealizowanej macierzy indukcyjności stojana
przedstawionej zależnością (19) jest jej diagonalizacja [5].
 Lls  L A
Ls     0.5 LA
 0.5 L A
 0.5 L A
Lls  L A
 0.5 L A
 0 .5 L A 
cos 2 p
cos 2 p   / 3 cos 2 p   / 3 



 (19)
 0.5 L A   LB cos 2 p   / 3 cos 2 p  2 / 3
cos 2 p

Lls  L A 
cos 2 p
cos 2 p  2 / 3
cos 2 p   / 3
100
W. Burlikowski
gdzie: Lls – indukcyjność rozproszenia fazowego, LA – wartość średnia indukcyjności fazowej
głównej, LB – amplituda składowej zmiennej indukcyjności fazowej głównej.
Macierz (19) definiuje zależność strumieni i prądów fazowych:
 A 
i A 
   L   i 
s
 B
 B
 C 
iC 
(20)
W przypadku równania (1) jest konieczne na wstępie określenie związku:
 AC 
i A 
   LM   i 
 BC 
 B
(21)
Macierz [LM] można łatwo wyprowadzić wykorzystując zależności (3) dla prądów oraz (7)
dla strumieni, co w efekcie prowadzi do zależności:
1 0
1 0  1
LM    
Ls    0 1   C T Ls  C 

0 1  1
 1  1
(22)
Przy wykorzystaniu zależności (8) i (5) do równania (21) otrzymujemy:
 d 
id 
   Te  LM  DI  i 
 q
 q
(23)
L    T  L  D 
(24)
co pozwala zdefiniować macierz:
dq
e
M
I
W przypadku maszyny idealizowanej opisanej zależnością (19) macierz ta ma postać:
L  
dq
3


0
 Lls  2 LA  LB 



3

0
Lls   LA  LB 

2

(25)
co jest zgodne z wynikiem uzyskanym przy użyciu transformacji klasycznej [4].
6. INWARIANTNOŚĆ MOCY
Ważną cechą klasycznej transformacji dwuosiowej zdefiniowanej zależnością (2) jest
zachowanie (inwariantność) postaci wzoru na moc [4,5]. W przypadku zaproponowanej
transformacji jest konieczne sprawdzenie, czy cecha ta jest zachowana. Dla analizowanego na
rys. 2a schematu moc pobierana ze źródła jest zdefiniowana zależnością:
Transformacja dwuosiowa dla prądowych…
101
P (t )  e Ai A  eB iB  eC iC  e A
eB
i A 
eC  iB 
iC 
(26)
która po uwzględnieniu równania więzów (3) prowadzi do równania:
P (t )  e AC
i A 
eBC   
iB 
(27)
związanego bezpośrednio z rys. 2c. Korzystając ponownie z zależności (5) i (8), otrzymujemy:
T

ed  
P(t )  De    

 eq  

id  
DI    

iq  
(28)
D  D  ii 
(29)
Prowadzi to w efekcie do zależności:

P (t )  ed
eq
d
T
e
I
 
q
a po uwzględnieniu związku:
TI   De T  DI 1
(30)
przedstawionego symbolicznie na rys. 5 otrzymujemy:

P (t )  ed
id 
eq    ed id  eq iq
 iq 

(31)
Dowodzi to zachowania przez proponowaną transformację niezmienniczości mocy
w obwodzie zastępczym.
7. WNIOSKI
W artykule przedstawiono modyfikację transformacji dwuosiowej z układu zmiennych
fazowych ABC do układu dq wynikającą z braku przewodu zerowego dla uzwojenia
połączonego w gwiazdę. Otrzymano zestaw dwóch różnych transformacji dla prądów [TI],
[DI] (rys. 3) oraz strumieni/napięć [Te ], [De] (rys. 4), które pozwalają na całkowite pomięcie
składowej zerowej w równaniach napięciowych. Proponowana transformacja dwuosiowa
zachowuje wszystkie istotne cechy transformacji klasycznej, w tym formę równania
napięciowego, inwariantność mocy oraz diagonalizację macierzy indukcyjności dla
wyidealizowanej maszyny reluktancyjnej. Własności te potwierdzają matematyczną
poprawność proponowanej transformacji.
102
W. Burlikowski
BIBLIOGRAFIA
1. Bolkowski S.: Teoria obwodów elektrycznych. WNT, Warszawa 2006.
2. Burlikowski W.: Mathematical model of an electromechanical actuator using flux state
variables applied to reluctance motor. COMPEL 2006, Vol. 25, No. 1, p. 169-180.
3. Burlikowski W.: Porównanie różnych metod realizacji modelu symulacyjnego silnika
reluktancyjnego. „Przegląd Elektrotechniczny” 2006, nr 12, s. 57-60.
4. Krause P.: Analysis of Electric Machinery. McGraw-Hill 1986.
5. Sobczyk T.J.: Metodyczne aspekty modelowania matematycznego maszyn indukcyjnych.
WNT, Warszawa, 2004.
6. Stumberger G., Stumberger B., Dolinar D.: Identification of linear synchronous reluctance
motor parameters. “IEEE Transactions on Industry Applications” 2004, Vol. 40, No. 5,
p. 1317-1324.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Andrzej Demenko
Wpłynęło do Redakcji dnia 20 października 2010 r.
Abstract
In the paper an influence of absence of neutral wire in the wye connected winding (Fig.1)
on the form of two-axis transformation is presented. In order to formulate the transformation a
set of elementary circuit simplifications (Fig.2) is used. Using classical transformation matrix
[T] (Eq.2) and constraint matrix [C] (Eq.3) all variables present in obtained voltage equation
(Eq.1) are transformed to dq reference frame. In contradiction to classical Park dq0
transformation matrix [T] which is the same for all variables, in proposed simplified dq
transformation matrices for transformation of currents [TI] (Fig.3) and fluxes/voltages [Te]
(Fig.4) are different. Yet they are strongly interconnected which is presented in (Fig.5). This
ensures preservation of the most important features of classical transformation. The form of
the voltage equation (Eq.18) is the same as in the case of classical transformation [4,5,6]. The
inductance matrix in the dq reference frame in case of an idealised reluctance motor (Eq.19) is
diagonal (Eq.25) [4]. The invariance of power is preserved which is evident in the form of
equations (Eq.26), (Eq.27) and (Eq.31). All these features prove mathematical correctness of
the proposed transformation.