Ćw. A1

Ćwiczenie A1 : Linia długa
Jacek Grela, Radosław Strzałka
19 kwietnia 2009
1
Wstęp
1.1
Wzory
Podstawowe wzory i zależności które wykorzystywaliśmy w trakcie badania linii:
1. Rezystancja falowa
Rf =
p
L/C
(1)
Gdzie:
L – indukcyjność,
C – pojemność dla pojedynczych ogniw.
2. Współczynnik odbicia
ρ=
R/Rf − 1
R/Rf + 1
(2)
Gdzie:
R – obciążenie końca linii,
Rf – rezystancja falowa zdefiniowana wzorem powyżej.
W zależności od wartości rezystancji obciążającej uzyskujemy trzy przypadki:
ˆ dopasowanie linii (ρ = 0, R = Rf ) - fala przechodzi bez odbicia
ˆ odbicie z fazą przeciwną (ρ = −1, R = 0) - wygaszenie w wyniku superpozycji fali biegnącej i odbitej
ˆ odbicie ze zgodną fazą (ρ = 1, R = ∞) - superpozycja konstruktywna, podwojenie sygnału na końcu linii
3. Parametry czasowe
Dla sztucznej linii opóźniającej złożonej z łańcucha n ogniw możemy zdefiniować:
Czas opóźnienia t0 :
√
t0 = n LC
Czas narastania impulsu tr :
√
tr = 1.1 n1/3 LC
(3)
(4)
Czas narastania w związku z częstotliwością graniczną fg :
1.1
πfg
(5)
tr = 2.2τ
(6)
t2out = t2in + t2wew
(7)
tr =
Związek czasu narastania ze stałą czasową:
Złożenie czasów narastania:
1
sectionĆwiczenie
1.2
Impulsy prostokątne o czasie mniejszym niż opóźnienie linii
W tym podpunkcie zbadaliśmy linię długą posługując się modelem utworzonym z n = 50 ogniw LC (L = 100 [µH],
C = 100 [pF ]). Ze wzorów (1) i (3) wyznaczyliśmy czas t0 = 5 [µs] oraz rezystancję falową Rf = 1 [kΩ]. Nasz układ
składał się z generatora napięcia o rezystancji wewnętrznej Rw = 50 [Ω] więc w układzie linii ustawiamy rezystancję
wejściową 950 [Ω].
Wykonaliśmy pomiar w dziewięciu wariantach (dla trzech charakterystycznych oporów w trzech punktach linii). Na
wejściu podaliśmy sygnał prostokątny o amplitudzie A = 4.28 [V ] i czasie trwania 4 [µs]. W wyniku dopasowania
na wejściu na linii długiej odkłada się jedynie połowa napięcia (wynika to z dzielnika napięć).
Poniżej przedstawiamy schematyczne obrazy z oscyloskopu:
1.2.1
Linia dopasowana
Rys.1 Linia dopasowana, R = Rf .
Z Rys.1 odczytujemy wartość uzyskaną opóźnienia linii t00 = 5.16 [µs] który zgadza się mniej więcej z przewidywaniem teoretycznym.
2
1.2.2
Linia wygaszona
Rys.2 Wygaszenie, R = ∞.
Z Rys.2 wnioskujemy, że linia nie jest idealna. Występują na niej straty energii przejawiające się w spadku
amplitudy sygnału po przejściu przez linię i poszerzeniu impulsu odbitego. Z rysunku odnoszącego się do początku
linii odczytujemy, że odległość czasowa między impulsami wynosi 4.08 + 6.12 = 10.2 [µs] co stanowi podwojoną
wartość t0 . Jest to zrozumiałe, bo fala odbita przechodzi dodatkowo jeszcze raz przez linię. Z rysunku pochodzącego
ze środka linii widzimy, że natrafiliśmy dokładnie na faktyczny środek. Wnioskujemy tak z przesunięcia impulsu
pierwotnego o połowę czasu opóźnienia (2.6 [µs]). Impuls odbity powraca do nas po czasie równym 4.08 + 1.16 [µs]
czyli czasie t0 . W ostatnim wariancie (pomiarze na końcu linii) mamy do czynienia z podwojeniem sygnału (4.06 ≈
2 · 2.20 [V ]). Możemy także odczytać wartość t0 = 5.24 [µs].
3
1.2.3
Linia wzmocniona
Rys.3 Wzmocnienie, R = 0.
Dyskusja Rys.3 jest podobna do tej przeprowadzonej powyżej, z tym wyjątkiem, że faza fali odbitej jest przeciwna.
Z tego powodu na końcu linii dochodzi do wygaszenia, jednakże zauważamy sygnały resztkowe. Wzięły się one z
faktu, że impuls powracający jest nieco szerszy niż pierwotny i nastąpiło dodatkowe przesunięcie.
1.3
Impulsy prostokątne o czasie znacznie większym niż opóźnienie linii
W tym przypadku ustawiliśmy czas trwania impulsu na 15.6 [µs], czyli więcej niż t0 . Amplituda sygnału wynosi
wciąż A = 4.28 [V ]. Impuls badamy jedynie na początku linii.
Rys.4 R = 0.
Na Rys.4 w dalszym ciągu obserwujemy straty sygnału na linii, możemy odczytać ich wartość jako 0.48 [V ] po
przejściu przez linię (różnica amplitudy fali pierwotnej i odbitej). Czas opóźnienia jest równy 10.3+5.28 = 15.58 [µs].
Wynika to z faktu, że fala pierwotna interferuje z falą odbitą zanim dobiegnie do początku linii. Z rysunku można
także, analogicznie do przypadków dyskutowanych w 2.1, odczytać wartość 10.2 = 2 · t0 [V ].
4
Rys.5 R = ∞.
Na Rys.5 mamy sytuację, gdy powracająca fala ma zgodną fazę więc zamiast wygaszenia w obszarze ”środkowym”
mamy wzmocnienie. Dalsza dyskusja jest analogiczna.
Rys.6 Efekt pojemnościowy.
Podczas badania efektu pojemnościowego czas trwania sygnału ustawiamy na maksymalnie długi (w idealnym
przypadku nieskończony). Obserwowane na Rys.6 ”schodki” powstają w wyniku nakładania się kolejnych odbitych
sygnałów do fali na wejściu. Szerokość każdego jest taka sama i wynosi 2t0 .
Rezystancja wejściowa w tym przypadku musi być dużo większa od rezystancji falowej Rf , w naszym przypadku
wyniosła 10 [kΩ]. W takim razie, na naszej linii odkłada się napięcie A0 = 1/11A (z dzielnika napięć). To jest
stały sygnał wejściowy, który za każdym razem będzie składową sygnału odczytywanego. Odbicie od początku linii
9
obliczymy ze wzoru (2), czyli ρ = 10/1−1
10/1+1 = 11 .
W wyniku kolejnych odbić na końcu linii zbierany sygnał An będzie zależał od sygnału go poprzedzającego. Wydaje
się, że powinien on być powiększony o wyraz ρAn−1 , bo taka jest wartość amplitudy sygnału wracającego po odbiciu. Jednak w takim przypadku 2-krotnie dodawalibyśmy składową odbitą każdej poprzedzającej składowej An−2 .
Dlatego szereg, którym opiszemy sumaryczny sygnał, jest dany wzorem rekurencyjnym:
An = An−1 + ρ(An−1 − An−2 )
Można by mieć obawę, czy nie odjęliśmy za dużo, np. n − trzeciej składowej. Składowe An−1 , An−2 w powyższej
relacji obie zawierają wyraz An−3 , co się kompensuje. Podobnie dla dalszych wyrazów.
Problem jest tylko przy pierwszej składowej w naszym szeregu: A1 = A0 + ρ(A0 − A??
−1 ). Pierwsza składowa będzie,
owszem, zawierała A0 oraz ρA0 , ale wejdzie do niej drugi raz A0 .
Poniżej zapisujemy kolejne wyrazy rekurencji i obliczone przy ich pomocy wartości amplitudy po kolejnych stopniach odbić:
1
A0 = 11
A = 0.39 [V ]
A1 = A0 + ρA0 + A0 = 1.10 [V ]
A2 = A1 + ρ(A1 − A0 ) = (A0 + ρA0 + A0 ) + ρ(ρA0 + A0 ) = 1.68 [V ]
A3 = A2 + ρ(A2 − A1 ) = [(A0 + ρA0 + A0 ) + ρ(ρA0 + A0 )] + ρ(ρ(ρA0 + A0 )) = 2.15 [V ]
A4 = A3 + ρ(A3 − A2 ) = {[(A0 + ρA0 + A0 ) + ρ(ρA0 + A0 )] + ρ(ρ(ρA0 + A0 ))} + ρ(ρ(ρ(ρA0 + A0 ))) = 2.53 [V ]
A5 = A4 + ρ(A4 − A3 ) = (. . .) = 2.83 [V ]
Ogólnie:
(
An =
A0
Pn−1
2A0 i=0 ρi + ρn A0
n=0
n 6= 0
Co w granicy n → ∞ daje amplitudę asymptotyczną równą wejściowej amplitudzie sygnału A.
Jeżeli teraz przyjrzymy się wartościom uzyskanym w pomiarze, zauważymy bardzo dobrą zgodność. Odchylenia są
rzędu 1-2% wartości. Tak więc zaobserwowaliśmy efekt pojemnościowy w naszej linii długiej, co potwierdza występowanie schodkowego wzrostu amplitudy sygnału po kolejnych odbiciach, który asymptotycznie zmierza do ustalonej
wartości - czyli zupełnie podobnie jak w przypadku zależności U (t) dla układu z kondensatorem w obwodzie.
5
1.4
Efekty spowodowane nieidealnymi własnościami przewodu
W tej części badaliśmy straty sygnału w rzeczywistym układzie linii długiej. Ze względu na niezerową rezystancję
linii i jej ograniczone pasmo przenoszenia, sygnał odbity staje się zniekształcony względem padającego.
Pomiar zaproponowany w tym punkcie wykonaliśmy w ćw. 2.2 dla linii dopasowanej na wejściu i zwartej na końcu.
Suma amplitud fali padającej i odbitej powinna być zero. Jednak zauważyliśmy dodatnią pozostałość - 0.48 [V].
Pomiar powtórzyliśmy i tym razem również nie wygasła do zera - pozostała wartość ok. 0.5 [V]. Zatem linia ma
U1
gdzie U1 i A0 oznaczają kolejno amplitudę po przejściu przez linię i ampliopory. W takim razie tłumienie k = A
0
tudę początkową (obydwie wielkości są widoczne na Rys.4 ). Tłumienie k = −1.8 [dB].
W celu zbadania efektu częstotliwościowego zmierzyliśmy czasy narastania impulsu dla fali padającej i odbitej. Dokonaliśmy tego dla zbocza o szerokości odpowiadającej 10% i 90% wartości amplitudy. Otrzymane czasy narastania:
ˆ Fala padająca: trin = 97 [ns]
ˆ Fala odbita: trout = 387 [ns]
Stałe czasowe możemy obliczyć ze związku (6). Teoretycznie, czas narastania trout jest (wzór (4)) równy trteor =
405 [ns] tak więc zgodność obu podejść jest dobra.
Widzimy, że czas narastania impulsu odbitego jest 4-krotnie większy niż padającego. Zatem impuls staje się bardziej
rozmyty. Na oscyloskopie widzimy go jako szeroki, o łagodniejszych zboczach.
Ze wzoru (7) i (5) wyznaczamy częstotliwość graniczną:
fg =
1.5
π
1.1
p
t2rout
− t2rin
= 0.93 [M Hz]
Zbadanie kabla koncentrycznego
Ostatnim ćwiczeniem które wykonaliśmy było zbadanie kabla koncentrycznego - wyznaczenie jego charakterystycznej
rezystancji falowej, czasów narastania impulsów oraz jednostkową indukcyjność i pojemność. Do tych celów użyliśmy
prostokątnego sygnału o amplitudzie A = 4.28 [V ] oraz czasie trwania t = 100 [ns]. Obiektem badań był kabel o
długości d = 66.6 [m].
Wykorzystując brak odbicia sygnału uzyskaliśmy rezystancję falową Rf = 79.314 [Ω]. Czas opóźnienia wyniósł
t0
t0 = 670 [ns]. Wyznaczyliśmy również opóźnienie na 1 metr bieżący kabla t01 = 2d
= 5 [ns/m].
Podobnie jak w podpunkcie 2.3, wyznaczyliśmy czasy narastania impulsów na wejściu i wyjściu układu równe τin =
11.6 [ns] oraz τout = 29.6 [ns]. Są one znacznie mniejsze niż w linii sztucznej, świadczy to o lepszej charakterystyce
kabla koncentrycznego. Częstotliwość graniczna (ze wzoru (5)) wyniosła fg = 5.37 [M Hz].
Tłumienie wynikające ze stratności linii obliczyliśmy jako różnicę amplitudy impulsu na wejściu Uin = 2.46 [V ] i
na wyjściu Uout = 2.27 [V ]. Jest ono równe ∆V = 0.19 [V ]. W zestawieniu z wynikami dla linii sztucznej, sygnał
ulega mniejszemu osłabieniu. Tłumienie sygnału na 100 metrów bieżących wyniosło k = −1.05 [dB/100m].
Ostatnią częścią tego podpunktu jest wyznaczenie parametrów L oraz C. Wykonamy to poprzez zestawienie w układ
równań (1) oraz (3). Należy przy tym pamiętać, że zmierzone w doświadczeniu wielkości reprezentują parametry
całego obwodu (korzystamy z Rf oraz t0 ). Do powyższych wzorów należy wstawić gęstości liniowe owych. Tworzy
to układ równań:
(
p
Rf = L/C
√
t0 /2 = d LC
Obranie połowy czasu t0 bierze się z tego, że zmierzony czas jest przejściem tam i z powrotem przez linię. Po
wykonaniu obliczeń uzyskujemy jednostkowe wartości indukcyjności i pojemności:
(
L = 3.26 [µH]
C = 0.52 [nF ]
6