Sterowanie Procesami Ciagłymi

Transkrypt

Sterowanie Procesami Ciągłymi
Sterowanie komputerowe procesami ciągłymi
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś
4.01.2011, Gdańsk
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś ()
4.01.2011, Gdańsk
1 / 32
Komputerowy system sterowania
e(t)
yzad(t)
-
e(kT) Komputer u(kT)
sterujący
e(t)
e(kT)
sygnał
ciągły
u(kT)
sygnał
dyskretny
sygnał
dyskretny
ZOH
u(t)
sygnał
ciągły
ZOH
u(t)
OBIEKT
y(t)
sample
(układ próbkujący)
interpolator
zerowego rzędu
(zero order hold)
Rysunek 1: Komputerowy system sterowania i jego komponenty
4.01.2011, Gdańsk
2 / 32
Błąd nadążania przez wyjście sterowane obiektu y (t) za trajektorią zadaną
y zad (t)
e(t) = y zad (t) − y (t)
jest próbkowany (ang. sampled) w chwilach t0 + kT , dla k = 0, 1, 2, 3, . . .
produkując ciąg dyskretnych w czasie wartości błędu,
e(t0 + kT ), k = 1, 2, 3, . . .
gdzie T jest czasem próbkowania (ang. sampling interval)
Definiując
e(k) , e(t0 + kT )
Otrzymujemy dyskretny w czasie sygnał
e(k), k = 1, 2, 3, . . .
gdzie k jest zmienną dyskretnego czasu.
4.01.2011, Gdańsk
3 / 32
Próbkowany sygnał błędu jest przetwarzany przez algorym sterowania
znajdujący sie w komputerze generując sygnały syterujące,
u(t0 + kT )
w chwilach,
tk = t0 + kT
Np.
u(t0 +kT ) = 4u(t0 +(k−1)T )+2e(t0 +kT )+5[e(t0 +kT )−e(t0 +(k−1)T )]
lub krócej,
u(k) = 4u(k − 1) + 2e(k) + 5[e(k) − e(k − 1)]
4.01.2011, Gdańsk
(1)
4 / 32
Algorytm sterowania można alternatywnie zapisać w dziedzinie zmiennej
zespolonej z w postaci transmitancji dyskretnej Gc (z) jak następuje
Gc (z) =
U(z)
E (z)
Z (1)
U(z) = 2E (z) + 5[E (z) − z −1 U(z)]
U(z)[1 + 5z −1 ] = 7E (z)
Gc (z) =
1 + 5z −1
z +5
E (z)
=
=
U(z)
7
7z
4.01.2011, Gdańsk
5 / 32
Interpolator
Interpolator zerowego rzędu
u(t) , u(kT )
dla kT ¬ t ¬ (k + 1)T , k̇ = 1, 2, 3, . . .
Jest to sygnał przedziałami stały.
Wyjście obiektu jest ciągłe w czasie, ale komputer sterujący może ocenić
na bieżąco jakość generowanego sterowania jedynie w dyskretnych chwilach
próbkowania błędu nadążania (fikcyjny sampler na wyjściu obiektu).
4.01.2011, Gdańsk
6 / 32
Synteza sterowania
Istnieją dwa podstawowe podejścia do syntezy algorytmu sterowania:
emulacja
metoda bezpośrednia
Zajmiemy się metodą emulacji. Synteza algorytmu sterowania według tej
metody polega na,
syntezie ciągłego w czasie algorytmu sterowania w postaci np.
transmitancji ciągłej Gc (s)
dyskretyzacji ciągłego algorytmu sterowania
4.01.2011, Gdańsk
7 / 32
Synteza sterowania
Gc(s)
zad
y
(t)
e(t)
Gc(s)
Ciągły układ
sterowania
u(t)
dyskretyzacja
Obiekt
G0(s)
y(t)
Gz(s)
Rysunek 2: Projektowanie układu sterowania metodą emulacji
4.01.2011, Gdańsk
8 / 32
Dyskretyzacja metodą aproksymacji pochodnych sygnałów
Pochodna pierwszego rzędu:
x(kT ) − x((k − 1)T )
dx(kT )
≈
dt
T
Pochodna drugiego rzędu:
d 2 x(kT )
d dx(kT )
= (
)≈
dt 2
dt
dt
=
x(kT )−x((k−1)T )
T
dx(kT )
dt
−
dx((k−1)T )
dt
T
−
(2)
=
x((k−1)T )−x((k−2)T )
T
T
x(kT ) − 2x((k − 1)T ) + x((k − 2)T )
=
T2
=
4.01.2011, Gdańsk
9 / 32
Przykład 1
Gc (s) =
U(s)
s +a
= Ka
E (s)
s +b
(3)
gdzie Ka , a, b są parametrami.
Reprezentacja (3) w dziedzinie czasu,
(s + b)U(s) = Ka (s + a)E (s)
de(t)
du(t)
+ bu(t) = Ka
+ Ka ae(t)
dt
dt
(4)
4.01.2011, Gdańsk
10 / 32
Przykład 1
Podstawiając w (4) t = kT oraz pomijając dla uproszczenia notacji T ,
uzyskujemy w wyniku aproksymacji pochodnych zgodnie z (2),
zdyskretyzowany algorytm sterowania
e(k) − e(k − 1)
u(k) − u(k − 1)
+ bu(k) = Ka [
+ ae(k)]
T
T
u(k) = (1 − bT )u(k − 1) + Ka (1 + aT )e(k) − Ka e(k − 1)
(5)
W domu wyznaczyc Gc (z).
Sterowania u(k) w chwili kT jest generowane zgodnie z (5) na podstawie
posiadanych w tej chwili wartości poprzedniego sterowania u(k − 1),
poprzedniego e(k − 1) i aktualnego e(k) błędu nadążania.
4.01.2011, Gdańsk
11 / 32
Przykład 2
Rozważmy regulator ciągły typu PI opisany przez transmitancje:
Kc
U(s)
= Kc +
Gc (s) =
E (s)
Ti s
Zauważmy, że (6) jest szczególnym przypadkiem (3) dla, Ka = Kc , a =
oraz b = 0. A zatem cyfrowy regulator PI ma postać:
T
)e(k) − Kc e(k − 1)
Ti
Kc T
= u(k − 1) + Kc (e(k) − e(k − 1)) +
e(k)
Ti
(6)
1
Ti
u(k) = u(k − 1) + Kc (1 +
4.01.2011, Gdańsk
(7)
12 / 32
Przykład 2
Z (7) transmitancja PI ma postać,
U(z)(1 − z
−1
GcPI (z) =
GcPI (z) = Kc
) = Kc (1 − z
−1
Kc T
)+
E (z)
Ti
Kc (1 − z −1 ) +
U(z)
=
E (z)
1 − z −1
z −1+
T
Ti z
z −1
= Kc
(1 +
Kc T
Ti
T
Ti )z
−1
z −1
4.01.2011, Gdańsk
(8)
13 / 32
Przykład 3
Rozważmy jedynie człon I,
Gc (s) =
U(s)
Kc
=
E (s)
Ti s
W dziedzinie czasu,
du
= Kc e(t)
dt
Stosując (2) do aproksymacji pochodnej
u(k) − u(k − 1)
Ti
= Kc e(k)
T
Ti
T
Kc e(k)
Ti
(9)
U(z)
T z
= Kc
E (z)
Ti z − 1
(10)
u(k) = u(k − 1) +
Oraz transmitancja dyskretna
GcI (z) =
4.01.2011, Gdańsk
14 / 32
Przykład 4
Rozważmy ciągły regulator PD,
GcPD (s) =
U(s)
= Kc + Kc Td s
E (s)
W dziedzinie czasu,
de
+ Kc e(t) = u(t)
dt
Stosując (2) do aproksymacji pochodnej otrzymujemy cyfrowy regulator
PD,
e(k) − e(k − 1)
u(k) = Kc Td
+ Kc e(k)
(11)
T
K c Td
4.01.2011, Gdańsk
15 / 32
Przykład 4
Dla rozpatrywanego regulator dyskretnego PD, z równania (11)
otrzymujemy transmitancje dyskretną,
TU(z) = Kc Td E (z)(1 − z −1 ) + TKc E (z) = Kc [Td (1 − z −1 ) + T ]E (z)
GcPD (z) =
U(z)
Kc [Td (1 − z −1 ) + T ]
Td z − 1
=
= Kc
+ Kc
E (z)
T
T z
4.01.2011, Gdańsk
16 / 32
Dyskretyzacja metodą aproksymacji całek ciągłych w
czasie sygnałów
Rozważmy ciągły w czasie integrator opisany transmitancją,
Gc (s) =
U(s)
1
=
E (s)
s
W dziedzinie czasu
du(t)
= e(t)
dt
Całkując powyższe równanie otrzymujemy
Z
(12)
t
u(t) =
e(τ )dτ
(13)
t0
Podstawiając t = kT w (13) otrzymujemy
Z kT
u(kT ) =
Z (k−1)T
e(τ )dτ =
t0
= u((k − 1)T ) +
Z kT
e(τ )dτ +
t0
Z kT
e(τ )dτ
(k−1)T
e(τ )dτ
(14)
(k−1)T
4.01.2011, Gdańsk
17 / 32
czasie sygnałów
W celu pełnej dyskretyzacji człon
Z kT
e(τ )dτ
(k−1)T
w (14) musi zostać zaproksymowany wyrażeniem zależnym wyłącznie od
wartości sygnału błędu e(τ ) wyłącznie w dyskretnych chwilach czasu.
4.01.2011, Gdańsk
18 / 32
czasie sygnałów
Aproksymacja trapezoidalna (Tustin)
e(t)
e(kT)
błąd
aproksymacji
e((k-1)T)
aproksymacja
trapezoidalna
e(t0)
t0
(k-1)T
kT
t
Rysunek 3: Aproksymacja całki metoda biliniową (Tustina)
4.01.2011, Gdańsk
19 / 32
czasie sygnałów
W przypadku aproksymacji trapezoidalnej całkę można przybliżyć poprzez
Z kT
(k−1)T
e(τ )dτ ≈
T
[e((k − 1)T ) + e(kT )]
2
i (14) przyjmuje postać całkowicie dyskretną
T
[e((k − 1)T ) + e(kT )]
2
Stosując transformate Z do ciągu sygnałów w (15) daje
u(kT ) = u((k − 1)T +
U(z) = z −1 U(z) +
(15)
T −1
[z E (z) + E (z)]
2
4.01.2011, Gdańsk
20 / 32
czasie sygnałów
Otrzymujemy dyskretną transformatę członu I w postaci
U(z)
T 1 + z −1
=
=
E (z)
2 1 − z −1
1
2 1−z −1
T 1+z −1
=
1
(16)
2 z−1
T z+1
A zatem, całkowanie ciągłego sygnału zostało przybliżone trapezoidalnie
przez całkowanie dyskretne bazujące wyłączenie na dyskretnych
wartościach tego sygnału w chwilach czasu odległych o T .
4.01.2011, Gdańsk
21 / 32
czasie sygnałów
Formalnie zależnosć (16) definiuje transformacje biliniową z dziedziny
zmiennej s do dziedziny zmiennej z,
2 z −1
s=
(17)
T z +1
Transmitancja Gc (s) może w ogólności zabierać potęgi zmiennej s rzędu
wiekszego niż 1 oraz ich liniowe wyrażenia. Sposób na jej dyskretyzację
metodą trapezoidalną (Tustina), lub inaczej metodą transformacji
biliniowej jest jak następuje
Gc (z) = Gc (s)
(18)
s= T2
z−1
z+1
4.01.2011, Gdańsk
22 / 32
czasie sygnałów
Przykład 5
Niech
Gc (s) =
b
s +a
Wówczas
Gc (z) = Gc (s)
=
s= T2
z−1
z+1
b
2 z−1
T z+1
+a
4.01.2011, Gdańsk
23 / 32
czasie sygnałów
Aproksymacja prostokątna w przód
e(t)
e(kT)
błąd
aproksymacji
e((k-1)T)
aproksymacja
prostokątna w
przód
e(t0)
t0
(k-1)T
kT
t
Rysunek 4: Aproksymacja całki metodą aproksymacji prostokątnęj w przód
4.01.2011, Gdańsk
24 / 32
czasie sygnałów
Człon
Z kT
e(τ )dτ
(k−1)T
w (14) jest teraz aproksymowany polem prostokątu o wysokości
e((k − 1)T ) i dlugości T . Aproksymacja ta jest mniej dokładna niż
biliniowa (trapezoidalna) ale otrzymany algorytm sterowania dyskretnego
jest prostszy.
Z kT
e(τ )dτ ≈ Te((k − 1)T )
(k−1)T
W dziedzinie czasu,
u(kT ) = u((k − 1)T ) + Te((k − 1)T )
4.01.2011, Gdańsk
25 / 32
czasie sygnałów
W dziedzinie operatorowej zmiennej z
U(z) = z −1 U(z) + Tz −1 E (z)
U(z)
Tz −1
T
=
=
=
−1
E (z)
1−z
z −1
1
T (z
1
− 1)
(19)
Wyrażenie (22) definiuje nową transformacje zmiennych (backward
rectangular)
1
s = (z − 1)
(20)
T
umożliwia dyskretyzacjie transmitancji Gc (s) ciągłego układu sterowania
jak następuje,
(21)
Gc (z) = Gc (s)
s= T1 (z−1)
4.01.2011, Gdańsk
26 / 32
czasie sygnałów
Aproksymacja prostokątna w tył
e(t)
e(kT)
błąd
aproksymacji
e((k-1)T)
aproksymacja
prostokątna w
tył
e(t0)
t0
(k-1)T
kT
t
Rysunek 5: Aproksymacja całki metoda aproksymacji prostokątnej w tył
4.01.2011, Gdańsk
27 / 32
czasie sygnałów
Człon
Z kT
e(τ )dτ
(k−1)T
w (14) jest teraz aproksymowany polem prostokąta o wysokości e(kT ) i
długości T . Aproksymacja ta jest mniej dokładna niż biliniowa
(trapezoidalna) ale otrzymany algorytm sterowania dyskretnego jest
prostszy.
Z kT
e(τ )dτ ≈ Te(kT )
(k−1)T
W dziedzinie czasu,
u(kT ) = u((k − 1)T ) + Te(kT )
4.01.2011, Gdańsk
28 / 32
czasie sygnałów
Reprezentacja otrzymanego równania w dziedzinie operatorowej zmiennej
z ma postać
U(z) = z −1 U(z) + TE (z)
(1 − z −1 )U(z) = TE (z)
co daje transmitancje dyskretną integratora
U(z)
T
Tz
=
=
=
E (z)
1 − z −1
z −1
1
(22)
1 (z−1)
T
z
i transformacje backward rectangular
1 z −1
s=
T z
(23)
4.01.2011, Gdańsk
29 / 32
czasie sygnałów
Otrzymana transformacja umożliwia dyskretyzacje Gc (s) ciągłego układu
sterowania jak następuje,
Gc (z) = Gc (s)
(24)
s= T1
z−1
z
4.01.2011, Gdańsk
30 / 32
Metoda bezpośrednia
yzad(kT)
e(kT)
Gc(z)
Dyskretny
układ
sterowania
u(kT)
Obiekt
GpZOH(z)
y(kT)
Rysunek 6: Bezposrednia metoda projektowania dyskretnego ukladu sterowania
4.01.2011, Gdańsk
31 / 32
Metoda bezpośrednia
Metoda ta polega na zastąpieniu systemu na Rys 2, który jest systemem
dynamicznym typu ’sampled data’ przez obiekt równoważny typu
’dyskretny w czasie’.
Równoważność rozumie się w sensie równości wszystkich sygnałów w obu
systemach w chwilach próbkowania. System dyskretny otrzymuje się
dyskretyzując obiekt ciągły metodą ZOH (poprzednie wykłady),
reprezentowany na Rys. 6 przez dyskretną transmitację operatorową
GpZOH (z).
Syntezę algorytmu sterowania dyskretnego przedstawionego na Rys. 6
przez dyskretną transmitancje Gc (z) dokonuje się bezpośrednio na
podstawie własności dynamiki obiektu dyskretnego metodami systemu
zamkniętych z czasem dyskretnym.
4.01.2011, Gdańsk
32 / 32

Sterowanie Procesami Ciagłymi

Transkrypt

Podobne dokumenty

Sterowanie Procesami Ciagłymi - Systemy dynamiczne z czasem

Sterowanie Procesami Ciagłymi

ulotka 10 Qq - agraterm.pl

Wynik I etapu rekrutacji_specjalista ds pracowniczych

Pobierz ulotkę o systemie CM ADVANCE

DMS Serwer Systemu Klimatyzacji - Samsung