Dynamika kwantowa na ladowanej cz ,astki w pudle w zmiennym

Dynamika kwantowa na ladowanej cz ,astki w pudle w zmiennym

Pawel Grochowski
ICM UW, 1999
Dynamika kwantowa naladowanej czastki w pudle w zmiennym
polu elektrycznym.
,
C wiczenie polega na symulacji zachowania czastki
kwantowej przez numeryczne rozwiazanie
,
,
zale_znego od czasu rownania Schroedingera. W tym celu nale_zy uruchomic prosty program komputerowy realizujacy
, podany algorytm i tworzacy
, dane wynikowe, ktore moga,
byc wizualizowane za pomoca, dostepnych
program
o
w
gracznych.
,
Model
W proponowanym przykladzie rozwa_zamy elektron zamkniety
, w jednowymiarowym pudle i poddany dzialaniu jednorodnego pola elektrycznego o amplitudzie oscylujacej
w
,
czasie. Wszelkie efekty relatywistyczne, a w szczegolnosci spin elektronu zostana, zaniedbane. W trakcie symulacji bedziemy
obserwowac ewolucje, funkcji falowej elektronu oraz
,
pochlanianie lub oddawanie energii przez elektron wynikajace
, z oddzialywania z zewnetrznym
,
polem. Opis ten mo_ze stanowic uproszczony model dla elektronu zwiazanego
w atomie lub
,
jonu w pulapce magnetycznej oddzialujacych
z promieniowaniem elektromagnetycznym.
,
Rozwa_zmy czastk
, e, o masie m ladunku e zamkniet
, a, w jednowymiarowym pudle o
dlugosci L. Polo_zenie czastki
mierzymy
wsp
o
lrz
edn
a
X
2 (0; L). Pudlo umieszczamy w
,
, ,
jednorodnym polu elektrycznym o kierunku X i zale_znej od czasu amplitudzie K (t) =
Ko sin t. Energie, potencjalna, dla ruchu czastki
mo_zemy przedstawic w postaci:
,
(
o e(X ? L=2) sin t dla X 2 (0; L)
V (X; t) = K
+1
dla X 62 (0; L)
(1)
W nierelatywistycznej teorii kwantowej maksymalna dostepna
informacja o stanie
,
czastki
w dowolnej chwili czasu zawarta jest w funkcji falowej (X; t) o wartosciach ze,
spolonych. Funkcja ta spelnia zale_zne od czasu rownanie Schroedingera:
ih @ (@tX; t) = H^ (X; t)(X; t)
(2)
Prawa strona powy_zszego rownania zawiera operator Hamiltona, ktory w naszym wypadku
sklada sie, z operatora energii kinetycznej dla ruchu na kierunku X oraz potencjalu danego
wzorem (1):
2 @2
h
^
(3)
H (X; t) = ? 2m @X 2 + V (X; t)
Rownanie (2) obowiazuje
dla X 2 (0; L) wraz z podanymi poni_zej warunkami brzegowymi
,
wynikajacymi
z
niesko
n
czonej
wysokosci scian potencjalu ograniczajacych
pudlo:
,
,
(0; t) (L; t) 0
1
(4)
Rozwiazanie
rownania (2) wraz z warunkami brzegowymi (4), czyli wyznaczenie ewolucji
,
funkcji falowej (X; t) w pewnym okresie czasu, przeprowadzic mo_zna numerycznie zakladajac,
dowolna, (ale spelniajac, a, warunki brzegowe) postac funkcji w chwili poczatkowej
to :
,
(X; to) = o(X )
(5)
Znajomosc (X; t) pozwala wyznaczyc mierzalne wielkosci zyczne charakteryzujace
, czastk
, e.
,
W tym wypadku wygodnie jest miec funkcje, spelniajac, a, warunek normalizacyjny:
ZL
0
(X; t) (X; t)dX = 1
(6)
Teoretycznie wystarczy, aby warunek ten spelniony byl przez funkcje, poczatkow
a, (X; to),
,
gdy_z rownanie Schroedingera nie zmienia normy funkcji falowej (w symulacji moga, pojawic sie, zmiany normy wynikajace
, z przybli_zonego charakteru metod numerycznych).
Z unormowanej funkcji falowej bedziemy
obliczac rozklad gesto
,
, sci prawdopodobienstwa
dla polo_zenia czastki,
wartosc srednia, polo_zenia oraz wartosc srednia, calowitej energii
,
czastki:
,
(X; t) = (X; t)(X; t)
(7)
hX i (t) =
hE i (t) =
ZL
ZL
0
(X; t) X (X; t)dX
(8)
(X; t) H^ (X; t)(X; t)dX
(9)
0
Przewidywania teoretyczne
Przy wylaczonym
polu elektrycznym (Ko = 0) mamy do czynienia z czastk
,
, a, poruszajac
, a,
sie, swobodnie w ograniczonym obszarze pudla. W przypadku tym rownanie (2) z warunkami (4) oraz (5) rozwiaza
, c mo_zna analitycznie, o ile tylko pozwala na to wystarczajaco
,
nieskomplikowana postac funkcji poczatkowej
(
X
).
Pewna
klasa
takich
rozwi
aza
o
,
, n
nosi nazwe, stanow stacjonarnych, ktore dla odroz_ nienia od dowolnych rozwiaza
, n (X; t)
bedziemy
oznacza
c
symbolem
(
X;
t
).
Dla
pud
la
o
niesko
n
czenie
wysokich
s
cianach po,
tencjalu (i dowolnym, ale niezale_znym od czasu potencjale wewnatrz)
istnieje nieskonczenie
,
wiele stanow stacjonarnych, numerowanych indeksem n = 1; 2; . Stany te maja, nastepuj
, ac
, a,
ogolna, postac:
iE t n(X; t) = exp ? hn n(X )
(10)
Analityczna, postac funckji n(X ) oraz wartosc parametru En uzyskac mo_zna podstawiajac, n (X; t) do rownania (2) z wylaczonym
polem elektrycznym (Ko = 0) oraz spelniajac,
,
warunki brzegowe (4). W efekcie uzyskujemy (dla n = 1; 2; ):
s
nX 2
(11)
n(X ) = L sin L
2 2 n2
h
En = 2mL2
(12)
Staly czynnik wystepuj
, we wzorze (11) przed funckja, sinus zapewnia automatyczne un, acy
ormowanie stanow n(X; t). Stany stacjonarne odroz_ niaja, sie, od innych stanow dwiema
2
podstawowymi cechami: rozklad gesto
, sci prawdopodobienstwa obliczany ze wzoru (7)
nie zale_zy od czasu, a energia czastki
w stanie stacjonarnym posiada scisle zdeniowana,
,
wartosc wynoszac, a, En (mo_zna to pokazac obliczajac, wartosc srednia, energii, hH^ i = En,
oraz dyspersje,, hH^ 2i ? hH^ i2 = 0). Dowolna liniowa kombincja stanow stacjonarnych
jest tak_ze rozwiazaniem
rownania (2), co mo_zna sprawdzic przez podstawienie (caly
,
czas rozwa_zamy przypadek Ko = 0). Ponadto mo_zna udowodnic, z_ e ka_zde rozwiazanie
,
rownania (2) spelniajace
warunki
brzegowe
(4)
da
si
e
przedstawi
c
jako
liniowa
kombinacja
,
,
w ogolnosci nieskonczonej liczby stanow stacjonarnych (10):
(X; t) =
X
n
cnn (X; t)
(13)
gdzie cn sa, pewnymi liczbami zespolonymi o wartosciach zale_znych od konkretnej postaci
funckji (X; t). Stan (13) nie jest ju_z jednak stacjonarny, jesli wiecej
, ni_z jeden wspolczynnik
cn jest roz_ ny od zera. Wezmy na przyklad kombinacje, dwu stanow, w ktorej dla uproszczenia wspolczynniki cn i cm sa, rzeczywiste:
(X; t) = cnn (X; t) + cmm (X; t)
(14)
Obliczenie gesto
, sc prawdopodobienstwa ze wzoru (7) daje w tym przypadku:
(X; t) = c2nn(X )2 + c2mm("X )2
#
(
E
n ? Em )t
+ 2n(X )m(X ) cos
h
(15)
Jak widac rozklad prawdopodobienstwa zawiera skladnik oscylujacy
, w czasie. Jesli przy
tym liczby n i m maja, przeciwna, parzystosc to prawdopodobienstwa znalezienia czastki
,
po jednej lub drugiej stronie pudla oscyluja, z przeciwna, faza, (co latwo sprawdzic na
przykladzie n = 1; m = 2). Poniewa_z nasza czastka
jest naladowana, to zachowuje sie,
,
jak drgajacy
studni zale_zy od
, dipol elektryczny. W przypadku, gdy potencjal wewnatrz
,
czasu (czyli w naszym przykladzie Ko 6= 0; 6= 0), funkcje zadane wzorami (10,11)
pojedynczo nie moga, spelnic rownania Schroedingera, co wiecej,
w ogole nie istnieja,
,
wtedy stany stacjonarne. Okazuje sie jednak, z_ e ka_zda, funkcje, (X; t), ktora spelnia
rownanie Schroedingera mo_zna nadal przedstawic w postaci liniowej kombinacji (13), jesli
dopuscimy, aby wartosci wspolczynnikow cn zale_zaly od czasu. Rozwa_zmy teraz sytuacje,,
gdy za funkcje, w chwili poczatkowej
wybierzemy jeden ze stanow (10), tzn. (X; to) =
,
n(X; to ), i obserwujemy dynamike, z wlaczonym
potencjalem oscylujacym.
W dowolnej
,
,
pozniejszej chwili czasu ewoluujac, a, funkcje, falowa, (X; t) mo_zemy rozwina,c w szereg
(13) stwierdzajac,
, z_ e stopniowo pojawiaja, sie, w nim niezerowe skladniki odpowiadajace
,
roz_ nym funkcjom m (X; t). Oznacza to, z_ e w rozkladzie gesto
s
ci
prawdopodobie
n
stwa
,
czastki,
(X; t), pojawia, sie, wyrazy oscylujace
,
, w czasie, tak jak zostalo to pokazane w
przykladzie (15). Jesli czesto
bed
, sci drgan naladowanej czastki
,
, a, odpowiadaly czesto
, sci
drgan pola elektrycznego, = jEn ? Em j=h mo_zemy spodziewac sie, efektu rezonansowego: czastka
bedzie
szczegolnie gwaltownie pochlaniac lub oddawac energie., Zjawisko
,
,
to bedziemy
sie, starali zaobserwowac w symulacji.
,
3
Zmienne bezwymiarowe
Przed matematycznym sformulowaniem algorytmu slu_zacego
do rozwiazywania
rownania
,
,
Schroedingera wygodnie jest przejsc do zmiennych bezwymiarowych dla polo_zenia i czasu:
(
x = X=L
= th =(mL2 )
(16)
Po podstawieniu nowych zmiennych do rownania (2) oraz wyra_zenia na Hamiltonian (3)
dostajemy:
i @ (@x; ) = H^ (x; )(x; )
(17)
@ 2 + (x ? 1=2) sin !
H^ (x; ) = ? 12 @x
2
gdzie dodatkowo oznaczylismy:
(
= Ko emL3 =h 2
! = mL2 =h
(18)
(19)
Rownanie (17) obowiazuje
dla x 2 (0; 1), a warunki brzegowe (4) przyjmuja, teraz postac:
,
(0; ) = (1; ) = 0
(20)
Jesli zalo_zymy dodatkowo, z_ e funkcja falowa (x; ) ma wartosci bezwymiarowe, wowczas
warunek normalizacyjny (6) oraz wzory na gesto
, sc rozkladu prawdopodobienstwa (7) i
srednie polo_zenie czastki
(8)
maj
a
posta
c
:
,
,
Z1
(x; ) (x; )dx = 1
(21)
(x; ) = (x; )(x; )
(22)
0
hxi ( ) =
Z1
0
(x; ) x(x; )dx
(23)
Za jednostke, energii wygodnie jest przyja,c wyra_zenie h 2=(mL2 ). Bezwymiarowe funckje
stanow stacjonarnych (10) oraz odpowiadajace
, im wartosci energii (12) wyra_zone w nowych
jednostkach sa, nastepuj
, ace:
,
p
n(x; ) = exp(?iEnt) 2 sin(nx)
(24)
En = n2 2=2
(25)
Wartosc srednia, energii dowolnej funckji falowej spelniajacej
, rownanie (17) mo_ze byc teraz
obliczona w nowych jednostkach jako:
hEi ( ) =
Z1
0
(x; ) H^ (x; )(x; )dx
4
(26)
Algorytm numeryczny
Funckje, falowa, (x; ) reprezentowac bedziemy
przez wartosci w (N + 1) punktach xk
,
rozmieszczonych regularnie na odcinku [0; 1]:
xk = kx; x = 1=N; k = 0; ; N
(27)
Wartosci te moga, byc przechowywane w rzeczywistych tablicach jednowymiarowych R
i I odpowiadajacych
cze
,
, sci rzeczywistej i urojonej funkcji falowej:
(xk ; ) = Rk + iIk
(28)
Tablice te zostaja, zainicjalizowana wartosciami funkcji w chwili poczatkowej.
W naszym
,
wypadku bedzie
to
jeden
ze
stan
o
w
stacjonarnych
(24):
,
p
Rk = 2 sin(nxk ); Ik = 0; k = 0; ; N
(29)
Dzialanie operatora Hamiltona na funckje, (x; ) przybli_zac bedziemy
operatorem roz_ nicowym
,
i zapisywac w pomocniczych tablicach H R i H I :
R
R ? 2R
k?1
k + (x ? 1=2)R sin !
(30)
HkR = H^ R (xk ) = ? 12 k+1 + k
k
x2
Analogiczny wzor stosujemy dla obliczenia H I z I . Wzory te stosujemy dla k =
1; ; N ? 1, natomiast dla punktow brzegowych kladziemy:
H0R = HNR = H0I = HNI 0
(31)
Calkowanie rownania Schroedingera w czasie, czyli wyznaczanie ewolucji funkcji falowej,
dokonywac bedziemy
metoda, drugiego rzedu
,
, z krokiem zastosowana, do ukladu rownan
rzeczywistych wynikajaych
z rownania zespolonego (17):
,
dRk( ) = H I ( ); dIk ( ) = ?H R ( ):
k
k
d
d
W ka_zdym kroku calkowania obliczamy:
(32)
Rk ( + 2 ) = Rk ( ) + HkI ( )=2
Ik ( + ) = Ik ( ) ? HkR( + 2 )
(33)
Rk ( + ) = Rk ( + 2 ) + HkI ( + )=2
(34)
W trakcie symulacji, co pewien krok czasowy, obliczac bedziemy
tak_ze dane pomocnicze
,
o czastce,
ktore (wraz z aktulna, wartoscia, czasu) zapisywane bed
,
, a, wierszami na zbior
*.out:
i
h
N = x Pk (Rk )2 + (Ik )2
i
h
x = x Pk xk (Rk )2 + (Ik )2
h
i
E = x Pk Rk HkR + Ik HkI
5
Gesto
, sc prawdopodobienstwa w wybranych krokach czasowych (jesli nas interesuje) wygodnie zapisywac w osobnym zbiorze *.dat w postaci wierszy (zbior ten bedzie
mo_zna wyko,
rzystac jako eld w AVS):
k = (Rk )2 + (Ik )2; k = 0; ; N
Na potrzeby wizualizacji wystarczy zapisywac rozrzedzone punkty (np dla N = 100, zapisujemy co drugi punkt, w sumie 51 punktow).
Symulacje
W obliczeniach u_zywac mo_zemy nastepuj
parametrow liczbowych (uwaga: parame, acych
,
try powinny byc wczytywane ze zbiory inputowego, tu: dane orientacyjne):
Liczba przedzialow x on odcinku [0; 1], N = 100
Krok calkowania po czasie, < 0:001? (wyznaczyc testujac, zachowanie energii) przy
wylaczonym
polu elektrycznym)
,
W pierwszych symulacjach nale_zy sprawdzic poprawnosc algorytmu przy wylaczonym
,
polu oscylujacym
(
=
0,
!
=
0).
Obliczenia
wykona
c
mo_
z
na
startuj
ac
ze
stanow
,
,
poczatkowych
(wz
o
r
29)
o
numerach
np.
n
=
1
;
4
;
9.
Dla
ka_
z
dego
przypadku
wykonujemy
,
po 4000 krokow symulacji i sprawdzamy zachowanie sie, normy, polo_zenia sredniego i energii.
W symulacjach z zaburzajacym
polem elektrycznym przyja,c nale_zy wartosc rzedu
,
,
jednosci (do kilku jednostek).
Symulacje przeprowadzic nale_zy z roz_ nymi wartosciami czesto
, sci rezonansowej ! =
2
2
2
jEn ? Emj = 3 =2; 4 =2; 8 =2 . Czas symulacji nale_zy dobrac tak, aby obejmowala
conajmniej jeden pelny cykl okresowych zmian energii (conajmniej kilkanascie jednostek
czasowych). Dane wynikowe we wszystkich rodzajach symulacji powinny byc zapisywane
z czesto
, scia, dajac
, a, w sumie do kilkaset klatek czasowych. Na podstawie wykresow energii czastki w funkcji czasu nale_zy okreslic, miedzy
ktorymi poziomami energetycznymi
,
zachodza, przejscia rezonansowe, a miedzy
ktorymi nie.
,
Dla jednej wybranej czesto
, sci rezonansowej (np dla przejscia 1 ! 2) nale_zy przeprowadzic
badania okolicy rezonansu. W tym celu przeprowadzamy serie, symulacji z wartoscia, !
rowna, 90, 92, 94, 98, 100, 102, 104, 106, 108 i 110 % wartosci rezonansowej. Z ka_zdej
symulacji nale_zy okreslic maksymalna, wartosc osiagan
hEimax a
, a, przez energie, czastki,
,
nastepnie
wykonac wykres hEimax w funkcji !.
,
6