IS-Matematyka-C-P-5 liczby zespolone

Analiza matematyczna i algebra liniowa
Materiały do zajęć:
Liczby zespolone
•
•
•
•
Zbiór liczb zespolonych jako zbiór wektorów na płaszczyźnie.
Postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej.
Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych.
Zespolone pierwiastki równań kwadratowych.
Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00
Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia
Analiza matematyczna i algebra liniowa
1. Organizacja zajęć.
Temat 6: Liczby zespolone.
1. Zbiór liczb zespolonych jako zbiór wektorów na płaszczyźnie
a) część rzeczywista i urojona liczby zespolonej
b) dodawanie i mnożenie liczb zespolonych
c) argument i argument główny liczby zespolonej
d) moduł i sprzężenie liczby zespolonej
2. Postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej
3. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych, wzór de Moivre’a
4. Zespolone pierwiastki równań kwadratowych
2. Literatura:
1) Krysicki W., Włodarski L. [2008], „Analiza matematyczna w zadaniach część II”,
wydanie 27, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
2
Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia
Analiza matematyczna i algebra liniowa
3. Materiały do zajęć:
Temat 6: Liczby zespolone.
zad. 1) Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory:
a) A = {z ∈ C : 1 ≤ z ≤ 4 ,Rez < 0} ,
π

b) B = z ∈ C : Im((1 + i)z − 2i ) > 0, Argz <  ,
4

c) C = {z ∈ C : Imz < 0, 2 − i + z ≥ 9} .
zad. 2) Przedstawić podane liczby w postaci trygonometrycznej i wykładniczej
a) z = 1 − i 3 ,
b) z = 1 + i ,
c) z = 1 + i 3 .
Odpowiedź:
5π
i
5π
5π 

a) z = 2 cos
+ i sin  = 2e 3 ,
3
3 

π
i
π
π

b) z = 2  cos + i sin  = 2e 4 ,
4
4

π
i
π
π

c) z = 2 cos + i sin  = 2e 3 .
3
3

zad. 3) Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej
3−i
a)
,
2+i
(1 + i )30
,
b)
11
1+ i 3
7−i
c)
,
1+i
(
)
2
13
i+ 3
i+ 3 i+ 3
 + ... + 

+ 
d) 1 +

 2  .
2
 2 


Odpowiedź:
a) 1 − i ,
b) 8 3 − 8i ,
c) 3 − 4i ,
1 i 3
d)
+
.
2 2
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
3
Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia
Analiza matematyczna i algebra liniowa
zad. 4) Wyznaczyć
a) (1 + i)2 ,
b)
c)
d)
4
6
1,
1,
1,
e) (cos
f)
3
π
+ i sin
12
2 + 2i .
π
12
)24 ,
Odpowiedź:
a) 2i ,
b) {− 1,1} ,
c) {− 1,1,−i, i},

1
3 1
3 1
3 1
3
,− + i
,− − i
, −i
d) − 1,1, + i
,
2
2
2
2
2
2
2
2


e) 1 ,
π
π  
3π
3π 
17π
17π
 

f) 6 8  cos + i sin , 6 8  cos
+ i sin , 6 8  cos
+ i sin
12
12 
4
4 
12
12


 

 .

zad. 5) Rozwiązać równania w zbiorze liczb zespolonych
a) z 2 + z + 1 = 0 ,
b) z 4 = 1 ,
c) z 2 + 2iz = −3 ,
d) (z − 1)4 = (1 − i)4 ,
e) z 2 + (4i − 2)z = 2 + 4i ,
f)
z + z2 = 1 ,
g) z 4 + 3z 2 − 4 = 0 ,
h) z 2 + 2iz = 1 .
Odpowiedź:
 1
3 1
3
a) − − i
,− + i
,
2 2
2 
 2
b) {1,−1, i ,−i} ,
c) {− 3i, i} ,
d) {1 + i ,1 − i ,−1 + i ,−1 − i} ,
e) {1 − 3i ,1 − i},
−1− 5 −1+ 5 1− 5 1+ 5 
f) 
,
,
,
,
2
2
2
2


g) {2i ,−2i ,−1,1} ,
h) − i .
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
4
Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia
Analiza matematyczna i algebra liniowa
zad. 6) Wyznaczyć moduł i argument liczby (i + 3 ) 9 (1 − i ) 6 .
Odpowiedź:
z = 212 , arg z = {2kπ : k ∈ Z}.
zad. 7) Wykazać, że
z−i
< 1 , gdy Im z > 0 .
z+i
zad. 8) Przedstawić funkcję e iηz w postaci algebraicznej, gdzie η jest liczbą rzeczywistą.
Odpowiedź:
e −ηy cos(ηx) + ie −ηy sin(ηx) gdzie z = x + iy .
zad. 9) Opisać górną połowę koła o równaniu (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 ≤ r za pomocą zmiennej
zespolonej.
Odpowiedź:
{z ∈ C : z − z0 ≤ r ,Im z > 0} .
zad. 10) Wykazać, że arg z1 z 2 = arg z1 + arg z 2 . Czy Argz 1 z 2 = Argz 1 + Argz 2 ?
zad. 11) Udowodnić, że następujące związki są prawdziwe:
2
a) z = z z ,
b) z1 + z 2 = z1 + z 2 ,
c) z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 .
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
5
Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Zadania do samodzielnego rozwiązania.
zad. 1) Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory:
a) A = {z ∈ C : 4 ≤ z ≤ 25,Imz > 0},
π

b) B = z ∈ C : Im((1 + 2i)z − 3i ) < 0, Argz >  ,
3

c) C = {z ∈ C : Rez < 0, 1 + i + z ≤ 16}.
zad. 2) Przedstawić podane liczby w postaci trygonometrycznej i wykładniczej
a) z = 3 − i ,
b) z = i ,
c) z = 4 − 4i ,
d) z = −1 + i .
Odpowiedź:
i
11π
11π 

a) z = 2 cos
+ i sin
 = 2e
6
6 

11π
6
,
π
π
π i

b) z =  cos + i sin  = e 2 ,
2
2

7π
i
7π
7π 

c) z = 4 2  cos
+ i sin  = 4 2e 4 ,
4
4 

3π
3π

d) z = 2  cos
+ i sin
4
4

3π
i

 = 2e 4 .

zad. 3) Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej
5+i
a)
,
2 − 2i
(1 − i )20
b)
,
13
3 +i
(
)
15
i− 3
 .
c) 

 2 
Odpowiedź:
3
a) 1 + i ,
2
3 1
b) −
+ i,
16 16
c) i .
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
6
Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia
Analiza matematyczna i algebra liniowa
zad. 4) Wyznaczyć
a)
−1 ,
4
b) i ,
c) 12 1 ,
5π
5π
d) (cos
+ i sin )16 .
3
3
Odpowiedź:
a) {− i, i} ,
5π
5π
9π
9π
13π
13π 
π
 π
b) cos + i sin , cos
+ i sin , cos
+ i sin , cos
+ i sin
,
8
8
8
8
8
8
8
8 

 3 1 1
3
1
3
3 1
3 1 1
3
1
3
3 1 
c) 1,
+ i, +
i , i ,− +
i ,−
+ i ,−1,−
− i ,− −
i ,−i , −
i,
− i
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 
 2 2 2 2
 1
3
d) − + i
.
2
2


zad. 5) Rozwiązać równania w zbiorze liczb zespolonych
a) z 2 + 1 = 0 ,
b) z 2 + 2iz = 0 ,
c) z 2 + 3iz = 1 ,
d) z 6 = −i ,
1
e) iz 2 + z = i + 1 .
4
Odpowiedź:
a) {− i, i} ,
b) {0,−2i},
 (−3 − 5 )i (−3 + 5)i 
,
c) 
,
2
2


π
π
7
π
d) cos + i sin , cos + i sin 7π , cos 11π + i sin 11π , cos 15π + i sin 15π , cos 19π + i sin 19π , cos 23π + i sin 23π 
e)

4
{−
2 − i 2, 2 + i 2 .
4
12
12
12
12
12
12
12
12
12 
12
}
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
7