Algebra macierzowa (wszystko o macierzach oraz działaniach na

Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
Mirosław Tomera
1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
W nowoczesnej teorii sterowania bardzo często istnieje potrzeba zastosowania notacji macierzowej
upraszczającej złożone wyrażenia matematyczne. Zazwyczaj notacja macierzowa umożliwia
łatwiejsze posługiwanie się zbiorem równań.
W celu wprowadzenia notacji macierzowej, rozważmy następujący zbiór n równań
algebraicznych:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = y1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = y 2
(1)
...
a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = y n
Równania te można zapisać w postaci równania macierzowego
 a11
a
 21


a n1
a12
a 22
an2
... a1n   x1   y1 
... a 2 n   x 2   y 2 
⋅
=⋅
  ...   ... 
...
    
... a nn   x n   y n 
(2)
lub w następującej formie uproszczonej
Ax = y
(3)
Symbole A, x oraz y są macierzami zawierającymi współczynniki i zmienne zbioru pojedynczych
równań (1). W równaniu (3) iloczyn macierzy A oraz x jest równy y. Te trzy macierze zdefiniowane
są następująco:
 a11
a
21
A=
 ...

 a n1
a12
a 22
an2
... a1n 
... a 2 n 
... ... 

... a nn 
(4)
 x1 
x 
2
x= 
 ... 
 
xn 
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
(5)
 M. Tomera
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
 y1 
y 
2
y= 
 ... 
 
 yn 
(6)
1.1. DEFINICJE MACIERZY
Macierz jest zbiorem (kolekcją) elementów uporządkowanych w tablicę prostokątną lub kwadratową.
Nawiasy kwadratowe, takie jak te z równań (2), (4), (5), (6) używane są do oznaczania macierzy.
Ważne jest rozróżnienie pomiędzy macierzą i wyznacznikiem. Poniżej zebrane zostały podstawowe
własności macierzy i wyznacznika.
MACIERZ
WYZNACZNIK
♦ Tablica pewnej liczby elementów
zawartych w n wierszach i m kolumnach
♦ Tablica pewnej liczby elementów zawartych
w n wierszach i n kolumnach (zawsze
kwadratowa)
♦ Nie posiada pojedynczej wartości, nawet
gdy jest kwadratowa.
♦ Ma pojedynczą wartość.
Elementy macierzy. Kiedy macierz zapisana jest następująco:
 a11
A = a 21
a 31
a12
a 22
a 32
a13 
a 23 
a 33 
(7)
a ij jest elementem macierzy w i−tym wierszu i j−tej kolumnie. Pierwszy indeks odnosi się do wiersza,
a drugi do kolumny.
Rozmiar macierzy. Rozmiar macierzy odnosi się do całkowitej liczby wierszy i kolumn. Dla
przykładu macierz (7) ma trzy wiersze i trzy kolumny i nazywana jest macierzą 3 × 3 (trzy na trzy).
Macierz z n−wierszami i m−kolumnami określana jest n × m .
Macierz kwadratowa. Macierz kwadratowa ma taką samą liczbę wierszy i kolumn.
Macierz kolumnowa. Składa się z jednej kolumny i więcej niż jednego wiersza i określana jest
macierzą n × 1 , n > 1. Bardzo często macierz kolumnowa nazywana jest wektorem kolumnowym.
Macierz wierszowa. Posiada jeden wiersz i więcej niż jedną kolumnę i jest macierzą 1 × m , gdzie
m > 1. Macierz wierszowa bardzo często nazywana jest wektorem wierszowym.
Macierz diagonalna. Jest macierzą kwadratową z elementami a ij = 0, dla wszystkich i ≠ j .
Przykładami macierzy diagonalnej są
a11
A =  0
 0
0
a 22
0
0 
0 
a 33 
3 0 
B=

0 4 
Macierz jednostkowa. Macierzą jednostkowa jest macierzą diagonalną ze wszystkimi elementami na
głównej przekątnej (i = j ) równymi 1. Macierz jednostkowa jest bardzo często oznaczana jaki I.
1 0 0
I = 0 1 0
0 0 1
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
(8)
 M. Tomera
2
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
Macierz zerowa. Jest macierzą, której wszystkie elementy są równe zero.
Macierz symetryczna. Jest macierzą symetryczną, której elementy spełniają następujący warunek
a ij = a ji dla wszystkich i oraz j. Macierz symetryczna ma taką własność, że jeśli wiersze zamieniane
są z kolumnami to uzyskiwana jest taka sama macierz. Dwa przykłady macierzy symetrycznej
4 5 6
A =  5 2
3
6 3 − 1
 3 − 2
B=
4
− 2
Wyznacznik macierzy. Dla każdej macierzy kwadratowej może być zdefiniowany jej wyznacznik.
Wyznacznik macierzy kwadratowej określany jest jako
det A = ∆ A = A
(9)
Dla przykładu wyznacznikiem macierzy (7) jest
a11
A = a 21
a 31
a12
a 22
a 32
a13
a 23
a 33
(10)
Dopełnienie elementu wyznacznika. Aij będący dopełnieniem pewnego elementu a ij wyznacznika
n−tego rzędu A , jest wyznacznikiem uzyskanym po wyeliminowaniu wszystkich elementów i−tego
wiersza i j−tej kolumny pomnożonym przez
(− 1)i+ j .
Dla przykładu dopełnienie elementu a11
wyznacznika A z równania (10) jest następujące
A11 = (− 1)
1+1
a 22
a 32
a 23
= a 22 a 33 − a 23 a 32
a 33
(11)
Ogólnie wartość wyznacznika może zostać wyrażona w postaci dopełnień. Przyjmijmy, że A jest
macierzą n × n , wówczas wyznacznik macierzy A może być wyrażony w postaci sumy iloczynów
elementów pewnej kolumny lub wiersza i ich dopełnień.
det A =
m
∑a
ij
Aij
(i = 1, lub 2,..., lub n)
(12)
ij
Aij
(j = 1, lub 2,..., lub m)
(13)
j =1
lub
det A =
n
∑a
i =1
Przykład 1
Wartość wyznacznika z równania (10) jest następująca:
det A = A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
= a11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a12 (a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a13 (a 21 a 32 − a 22 a 31 )
(1.1)
Macierz osobliwa. O macierzy mówi się, że jest osobliwa jeśli wartość jego wyznacznika jest równa
zero. Jeśli macierz kwadratowa ma niezerowy wyznacznik, wówczas nazywana jest macierzą
nieosobliwą. Kiedy macierz jest osobliwa, oznacza to, że nie wszystkie wiersze i kolumny są
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
 M. Tomera
3
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
niezależne od siebie. Jeśli macierz reprezentuje zbiór równań algebraicznych, to osobliwość macierzy
oznacza, że równania te nie są niezależne od siebie.
Przykład 2
Rozważmy następujący zbiór równań:
2 x1 − 3 x 2 + x3 = 0
− x1 + x 2 + x3 = 0
x1 − 2 x 2 + 2 x3 = 0
(2.1)
Trzecie równanie jest równe sumie dwóm pierwszym. Więc te trzy równania nie są niezależne
od siebie. W formie macierzowej te równania mogą zostać zapisane następująco:
Ax = 0
(2.2)
gdzie
 2 − 3 1
A = − 1
1 1
 1 − 2 2
0 
0 = 0
0
 x1 
x =  x 2 
 x3 
(2.3)
Wyznacznik macierzy A jest równy zero, więc macierz A jest macierzą osobliwą. W tym
przypadku wiersze macierzy A są zależne.
Macierz transponowana. Macierz transponowana A definiowana jest jako macierz, która uzyskana
została przez zamianę odpowiadających sobie wierszy i kolumn w macierzy A. Przypuśćmy, że
macierz n × m , wyrażona jest następująco:
[ ]
A = a ij
(14)
n,m
Transpozycja macierzy A, oznaczana jako AT jest dana wzorem
[ ]
AT = transpozycja macierzy A = a ij
m,n
(15)
Macierzy A ma rozmiar n × m , lecz rozmiar macierzy AT jest m × n .
Przykład 3
Rozważmy macierz o rozmiarze
 3 2 1
A=

0 − 1 5
(3.1)
Transpozycja macierzy A jest uzyskiwana przez zamianę wierszy i kolumn.
 3 0
A = 2 − 1
 1 5
T
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
(3.2)
 M. Tomera
4
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
Własności transponowania macierzy
1.
2.
3.
4.
T
(A ) = A
(kAT) = kAT, gdzie k jest skalarem
(A + B)T = AT + BT
(AB)T = ATBT
(16)
(17)
(18)
(19)
Macierz dopełnień. Przypuśćmy, że macierz kwadratowa ma rozmiar n. Macierz dopełnień macierzy
A jest oznaczana jako adj A i definiowana następująco:
[
adj A = Aij
wyznacznika A
]
(14)
n,n
gdzie Aij oznacza dopełnienie elementu a ij .
Przykład 4
Rozważmy macierz o wymiarach 2 × 2
 a11
A=
a 21
a12 
a 22 
(4.1)
Dopełnieniami są A11 = a 22 , A12 = − a 21 A21 = − a12 oraz A22 = a11 . Więc macierz dopełnień
macierzy A jest następująca:
 A11
adj A = 
 A21
T
A12 
 a 22
= 

A22 
− a12
T
− a 21 
 a 22
=

a11 
− a 21
− a12 
a11 
(4.2)
2. ALGEBRA MACIERZOWA
2.1. RÓWNOŚĆ MACIERZY
Dwie macierze A oraz B są sobie równe jeśli spełnione są następujące warunki
1. Mają ten sam rozmiar.
2. Odpowiadające sobie elementy są sobie równe; tzn.
a ij = bij dla każdego i oraz j
(20)
Przykład 5
Macierze A i B są sobie równe
 a11
A=
a 21
a12 
b11
=B=

a 22 
b21
b12 
b22 
(5.1)
oznacza to, że a11 = b11 , a12 = b12 , a 21 = b21 , a 22 = b22 .
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
 M. Tomera
5
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
2.2. DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY
Dwie macierze A oraz B mogą być dodawanie lub odejmowanie w formie A ± B jeśli mają taki sam
rozmiar.
[ ]
A ± B = a ij
[ ]
± bij
n,m
[ ]
= C = cij
n,m
n ,m
(21)
gdzie
cij = a ij ± bij dla wszystkich i oraz j
(22)
Rozmiar macierzy pozostaje bez zmian zarówno po dodawaniu jak i odejmowaniu.
Przykład 6
Rozważmy macierze
 0 3
B = − 1 2
 1 0
 3 2
A = − 1 4
 0 − 1
(6.1)
które mają ten samej rozmiar. Więc suma macierzy A i B
2 + 3
 3+0

C = A + B = − 1 − 1 4 + 2 =
 0 + 1 − 1 + 0
 3 5
− 2
6

 1 − 1
(6.2)
2.3 ŁĄCZNOŚĆ I PRZEMIENNOŚĆ DODAWANIA
(A + B ) + C = A + (B + C)
(23)
A+B+C=B+C+A=A+C+B
(24)
2.4. MNOŻENIE MACIERZY
Macierze A i B mogą być mnożone przez siebie do postaci iloczynu AB jeśli liczba kolumn macierzy
A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Przyjmijmy
[ ]
A = a ij
[ ]
B = bij
n, p
Iloczyn macierzy A oraz B
[ ] [b ]
C = AB = a ij
n, p
ij q , m
(25)
q ,m
[ ]
= cij
n,m
(26)
jest możliwy tylko wówczas gdy p = q. Macierz C będzie miała taką samą liczbę wierszy jak macierz
A i taką samą liczbę kolumn jak macierz B. Należy pamiętać, że macierze A oraz B mogą spełniać
warunki do wykonania iloczynu AB, a nie spełniać ich do iloczynu BA poza wyjątkiem gdy n jest
równe m. W przypadku mnożenia nie ma przemienności, zazwyczaj AB ≠ BA. Kiedy macierze A
( n × p ) oraz B ( p × m ) spełniają warunki do wykonania iloczynu C = AB, wówczas ij−ty element
macierzy C,
[c ]= ∑ a
p
ij
ik bkj
,
dla i = 1, 2,..., n oraz j = 1, 2,..., m
(27)
k =1
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
 M. Tomera
6
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
Przykład 7
Dane są dwie macierze
[ ]
A = a ij
[ ]
B = bij
2, 3
3,1
(7.1)
Spełniają warunki do wykonania iloczynu AB ale nie do iloczynu BA. Więc
 a11
AB = 
a 21
a12
a 22
b11 
a13     a11b11 + a12 b21 + a13 b31 
⋅ b21 =
a 23    a 21b11 + a 22 b21 + a 23 b31 
b31 
(7.2)
Przykład 8
Dane są macierze
 3 − 1
A = 0
1
2
0
 1 0 − 1
B=

 2 1 0
(8.1)
Na tych macierzach może być wykonane mnożenie zarówno AB jak i BA
 1 − 1 − 3
 3 − 1
 1 0 − 1 


1
0
1 ⋅ 
= 2
AB = 0

2 1 0
2
2
0 − 2
0 
(8.2)
 3 − 1
 1 0 − 1 
1 − 1
⋅ 0
1 = 
BA = 


6 − 1
 2 1 0  2

0


(8.3)
Nawet jeśli istnieje AB jak i BA nie są sobie równe. W tym przypadku uzyskane iloczyny nie
mają takich samych rozmiarów.
2.5. ODWRACANIE MACIERZY
W algebrze skalarnej, kiedy zapiszemy y = ax , to zapis x = y / a jest prawdziwy. W algebrze
macierzowej, jeśli Ax = y to
x = A −1 y
(28)
gdzie A−1 oznacza macierz odwrotną A. Warunkami w których istnieje macierz odwrotna A−1
1. A jest macierzą kwadratową
2. A musi być nieosobliwa
3. Jeśli istnieje A−1 to jest ona wyznaczana z zależności
A −1 =
adjA
A
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
(29)
 M. Tomera
7
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
Przykład 9
Mając daną macierz
 a11
A=
a 21
a12 
a 22 
(9.1)
macierz odwrotna A jest opisana wzorem
A −1
 a 22 − a12 


adjA − a 21 a11 
=
=
a11 a 22 − a12 a 21
A
(9.2)
Macierz A będzie nieosobliwa, A ≠ 0 , lub a11 a 22 − a12 a12 ≠ 0 .
Równanie (9.2) pokazuje, że macierz odwrotna o rozmiarach 2 × 2 jest uzyskiwana przez
zamianę dwóch elementów na głównej przekątnej i zamianę znaków na elementach
znajdujących się poza tą przekątną diagonalną macierzy A.
Przykład 10
Dla macierzy
 a11
A =  a 21
a 22
a12
a 22
a 22
a 22 
a 22 
a 22 
(10.1)
macierz odwrotna A jest opisana wzorem
A −1 =
adjA
=
A
a12 a 23 − a13 a 22 
 a 22 a 33 − a 23 a 32 − (a12 a 33 − a13 a 32 )
− (a a − a a )
a11 a 33 − a13 a 31 − (a11 a 23 − a 21 a13 )
21 33
23 31

 a 21 a 32 − a 22 a 31 − (a11 a 32 − a12 a 31 )
a11 a 22 − a12 a 21 
A
(10.2)
Wyznacznik macierzy A
A = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 32 a 21 − a13 a 22 a 31 − a12 a 21 a 33 − a11 a 23 a 32
(10.3)
Pewne własności odwracania macierzy
1. AA−1 = A−1A = I
2. (A−1) −1 = A
3. W algebrze macierzowej, ogólnie AB = AC nie koniecznie prowadzi do warunku
B = C. Jeśli macierz kwadratowa A jest nieosobliwa to można obustronnie pomnożyć
równanie AB = AC przez A−1. Wtedy
A−1AB = A−1AC
co prowadzi do B = C.
4. Jeśli macierze kwadratowe A oraz B są macierzami nieosobliwymi, wówczas
(AB) −1 = B−1A−1
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
 M. Tomera
(30)
(31)
(32)
(33)
8
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
2.6. RZĄD MACIERZY
Rząd macierzy A jest maksymalną liczbą niezależnych liniowo kolumn macierzy A; lub jest
rozmiarem największej macierzy nieosobliwej zawartej w A.
Przykład 11
Wyznaczenie rzędów macierzy
 3 9 2
1 3 0 rank = 2


2 6 1 
3 0 0 
1 2 0 rank = 3


0 0 1
(11.1)
ZAGADNIENIA KONTROLNE
1. Podaj definicję rzędu macierzy ?
2. Czy badanie rzędu macierzy może być zastosowane do macierzy, która nie jest kwadratowa?
3. Czy macierz niekwadratowa może być symetryczna ?
ZADANIA
Korzystając
z
oprogramowania
narzędziowego
MATLAB,
wykonaj
następujące działania:
Z1. Wyznacz następujące sumy i różnice
macierzowe.
5 − 6 10 − 3
a) 
+
3  2 − 3
0
a) A + B
b) A*B
c) A2
d) AT
e) B−1
f) BTAT
g) A2 + B2 − A*B
0
2 − 2 10



b) 0 10 +  3
4
 3
0  0 − 4
Z2. Wyznacz,
następujące
iloczyny
macierzowe A*B, B*A. Wykonaj tylko te
działania dla których macierze składowe
mają odpowiednie rozmiary, pozwalające
na wykonanie iloczynu macierzowego.
 3
a) A = 2
1 
Z4. Znajdź,
B = [6 1 0]
 − 1 2
b) A = 

 0 3
5
 2
a) A = 

10 − 1
 0 10 − 10
B=
1
− 1 1
 3 0 − 1
b) A = − 2 1 2
 0 1 − 1
Z3. Rozważ następujące dwie macierze
 1 3 4
c) A = − 1 1 0
− 1 0 − 1
2π 
6 j − 13π 
 4
A=
, B=

16 
π
6 j 10 + 2 j 
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
jeśli istnieją, odwrotności
następujących macierzy. Najpierw wykonaj
te działania ręcznie, a następnie jeśli masz
takie możliwości, przy użyciu komputera.
 M. Tomera
9
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
Z6. Wyznacz rzędy następujących macierzy:
1 0
0

d) A = 2 − 2 3
0
1 5
Z5. Wyraź zbiór następujących równań
algebraicznych w formie macierzowej,
Ax = B.
a)
b)
x1 + x2 − x3 = 1
− x1 + 3x2 − x3 = 1
3x1 − 5x2 − 2x3 = 0
3 2 
a) 6 1
3 0
2 4 0 8
c) 

1 2 6 3
1 0 0
b) 

5 0 0
1 0 0 1
d) 

0 0 5 0 
Z7. Korzystając z MATLABA wygeneruj dane
do następujących wykresów:
x1 + x2 − x3 = 1
− x1 + 3x2 − x3 = 1
=0
3x1 − 2x2
a) y ( x) = e −0.5 x sin ωx
4
4
b) y ( x) = cos ωx +
cos 3ωx
π
9π
c) y ( x) = 10 + 5e − x cos(ωx + 0.5)
c) 5x1 + 6x2 + 10x3 = 4
− 3x2 + 14x3 = 10
− 7x2 + 21x3 = 0
Sprawdź, czy te równania są liniowo
niezależne. Znajdź macierz odwrotną A,
ręcznie i przy użyciu MATLABA. Jeśli
równania nie są liniowo niezależne, czy
można je rozwiązać i wyznaczyć x1, x2 oraz
x3 ?
gdzie ω
jest zmienną wejściową
wprowadzaną z klawiatury. 0 ≤ x ≤ 10
sekund. Wygeneruj wektor x z krokiem 0.1.
Zastosuj trzy wartości ω = 1, 3, 10 rad/s.
LITERATURA
1. Dorf R.C., R.H. Bishop, Modern Control Systems, Addison−Wesley Longman, Inc., 1998.
2. Kuo B. C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
 M. Tomera
10