Analiza numeryczna

Analiza numeryczna
II rok informatyki magisterskiej
kolokwium II A - 18 stycznia 2005
Minimum punktów z drugiego kolokwium wynosi 10, maksimum 32
Wyniki i wpisy będą
• na ćwiczeniach z analizy numerycznej 25 i 27 stycznia (grupa parzysta)
• na konsultacjach we wtorek 25 stycznia, godz. 15-16, oraz w środę 26 stycznia, godz.1718 (grupa nieparzysta)
=====================
1. Niech dane będą wartości funkcji f (x) dla x należących do zbioru S = {x0 , . . . , xn+1 }
n + 2 różnych punktów.
(a) (4 punkty) Jak obliczyć błąd dyskretnej aproksymacji w sensie Czebyszewa funkcji f na zbiorze S za pomocą wielomianów stonia ¬ n?
(b) (4 punkty) Z jakich własności ilorazów różnicowych skorzystano na wykładzie
przy wyprowadzeniu wzoru na ten błąd? Co ze sposobem wyprowadzania wzoru
na ten błąd ma wspólnego pojęcie alternansu?
2. (4 punkty) Wyznaczyć wielomian optymalny stopnia 2 dla (najlepszą aproksymację
średniokwadratową) funkcji f (x) = |x| względem normy z wagą 1 na przedziale [−1, 1].
Sformułować twierdzenie będące podstawą zastosowanej metody.
3. (4 punkty) Dla jakich wielomianów jest dokładny wzór trapezów? Wyprowadzić wzór
na błąd wzoru trapezów. Uwaga. Wystarczy podać najistotniejsze fragmenty dowodu,
ewentualnie pomijając szczegóły rachunkowe.
4. (4 punkty) Zastosować wzór trapezów do obliczenia przybliżonej wartości całki
Z
0
2π
1
2π
dx =
.
5 − 4 cos x
3
Ocenić, czy faktyczny błąd, z jakim wzór trapezów przybliża dokładną wartość tej całki,
jest zbliżony do wartości oszacowania teoretycznego błędu wzoru trapezów.
5. (4 punkty) Rozważyć dwa wielomiany w(x) = x2 − 2x + 1, u(x) = x2 − 2x + 2.
Jak będą się zachowywały ciągi kolejnych przybliżeń, wyznaczone iteracyjną metodą
Newtona zastosowaną do tych wielomianów? Jak to objaśnić? Sformułować twierdzenie o
pewnej nierówności, w której występują dwa kolejne wyrazy ciągu generowanego metodą
Newtona zastosowaną do wielomianu i pewien jego pierwiastek. Czy na podstawie tego
twierdzenia można coś dodatkowo wyjaśnić?
6. (4 punkty) Jak można obliczyć wartość pierwszej pochodnej dowolnego wielomianu w
ustalonym punkcie za pomocą dzielenia odpowiednich wielomianów? Podać ideę algorytmu i krótki komentarz uzasadniający tę metodę. Uwaga. Powyższe pytanie wiąże się
z jednoczesnym obliczaniem wartości wielomianu i jego pierwszej pochodnej.
7. (4 punkty) Na czym polega ogólnie ekstrapolacja Richardsona? Podać przykład.
1
Analiza numeryczna
II rok informatyki magisterskiej
kolokwium II B - 18 stycznia 2005
Minimum punktów z drugiego kolokwium wynosi 10, maksimum 32
Wyniki i wpisy będą
• na ćwiczeniach z analizy numerycznej 25 i 27 stycznia (grupa parzysta)
• na konsultacjach we wtorek 25 stycznia, godz. 15-16, oraz w środę 26 stycznia, godz.1718 (grupa nieparzysta)
=========================
1. (4 punkty) Sformułować twierdzenie, które mówi o związku n-tego wielomianu optymalnego, w sensie aproksymacji jednostajnej z pewną interpolacją funkcji f . Wiadomo,
że dowodów tego twierdzenia jest bardzo krótki. Co jest podstawą tego dowodu?
2. (4 punkty) Podać ideę algorytmu Remeza. Jak realizuje się w nim jedną iterację?
3. (4 punkty) Niech f będzie funkcją o następujących wartościach: f (1) = 2, f (2) =
3, f (3) = 5, f (4) = 3. Wyznaczyć wielomian stopnia ¬ 2, będący najlepszą aproksymację średniokwadratową dyskretną funkcji f względem standardowego dyskretnego
iloczynu skalarnego na zbiorze S = {1, 2, 3, 4} za pomocą układu normalnego. Jakie
twierdzenie jest podstawą tej meotdy?
4. (a) (4 punkty) Dla jakiego stopnia wszystkich wielomianów wzór Simpsona daje dokładną wartość całki? Czy istnieje inna kwadratura, o tej samej liczbie węzłów
jak wzór Simpsona, ale dokładna dla wszystkich wielomianów wyższego stopnia
(jakiego?)? Jeśli istnieje, to jaką ona ma postać? Jeśli nie, to napisać dlaczego?
(b) (4 punkty) Wiadomo, że
Z 1
2
π=
dx.
2
−1 1 + x
Podać wzór na błąd wzoru Simpsona i na jego podstawie oszacować błąd, z jakim za
pomocą wzoru Simpsona (zastosowanego do powyżej całki) oblicza się przybliżoną
wartość π.
5. (a) (4 punkty) Podać postać macierzy, której wielomian charakterystyczny jest równy
wielomianowi w(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 i sformułować twierdzenia Gerschgorina.
(b) (4 punkty) Niech w(x) = (x − 1)(x + 2)(x2 + 1). Obliczyć współczynniki tego
wielomianu i zastosować albo twierdzenie Gerschgorina albo twiedzenie Cauchy’ego
do zlokalizowania pierwiastków tego wielomianu. Odpowiedź zilustrować graficznie.
6. (4 punkty) Wiadomo, że wyrażenie
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
h2
przybliża wartość drugiej pochodnej f 00 (x) z błędem rzędu h2 . Udowodnić to, korzystając
z rozwinięć funkcji f (x+h), f (x), f (x−h) w szereg Tylora w punkcie x. Co trzeba założyć
o funkcji f ?
2
Analiza numeryczna
II rok informatyki magisterskiej
kolokwium II C - 18 stycznia 2005
Minimum punktów z drugiego kolokwium wynosi 10, maksimum 32
Wyniki i wpisy będą
• na ćwiczeniach z analizy numerycznej 25 i 27 stycznia (grupa parzysta)
• na konsultacjach we wtorek 25 stycznia, godz. 15-16, oraz w środę 26 stycznia, godz.1718 (grupa nieparzysta)
======================
1. (4 punkty) Wyznaczyć wielomian optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej stop√
nia pierwszego aproksymujący funkcję f (x) = 3 x na przedziale [0, 1]. Wskazać punkty
alternansu.
2. (a) (4 punkty) Wyznaczyć wielomian optymalny w2 stopnia n ¬ 2 w sensie aproksy√
macji średniokwadratowej dla funkcji f (x) = x na przedziale [0, 1]. Wybrać normę z wagą 1 na przedziale [0, 1]. Wielomian wyznaczyć za pomocą wielomianów
ortogonalnych. Sformułować twierdzenie będące podstawą zastosowanej metody
konstrukcji wielomianu w2 .
(b) (4 punkty) Podać jakieś inne zastosowanie układu wielomianów ortogonalnych
podane na wykładzie.
3. (4 punkty) Czy algorytm Clenshawa ma coś wspólnego z szeregami Czebyszewa? Co
jest podstawą uzasadnienia algorytmu Clenshawa? W jakim sensie suma częściowa szeregu Czebyszewa funkcji f aproksymuje funkcję f ?
4. (4 punkty) Dane są wartości funkcji f (x) dla x z ze zbioru S = {x0 , . . . , xm } m
różnych punktów. Opisać sposób wyznaczania n-tego wielomian optymalnego w(x) dla
n < m aproksymującego funkcję f w sensie dyskretnej aproksymacji średniokwadratowej na zbiorze S względem standardowego iloczynu dyskretnego na zbiorze S (zadanie
najmniejszych kwadratów). Co będzie dla m = n? Zastosować opisany sposób do następujących danych:
1
1
f (−1) = − , f (0) = 1, f (1) = .
2
4
5. (4 punkty) Obliczyć za pomocą wzoru trapezów przybliżoną wartość całki z funkcji
f (x) = x4 na przedziale [0, 1] oraz dokładny błąd, z jakim ona przybliża wartość całki. Otrzymany faktyczny błąd porównać z oszacowniem błędu wynikającym z wzoru
teoretycznego na błąd kwadratury opartej na wzorze trapezów.
6. (4 punkty) Uzasadnić związek między
niezerowymi pierwiastkami wielomianu w(x)
n
stopnia n i wielomianu v(x) = x w x1 . Do czego może się przydać ten związek? Podać
konkretny przykład tego zastosowania.
7. (4 punkty) Wyprowadzić wzór na błąd, z jakim następujące wyrażenie
1 (2
+
h)f
(x
+
h)
−
2f
(x)
+
(2
−
h)f
(x
−
h)
2h2
przybliża wartość sumy pochodnych f 0 (x) + f 00 (x). Uwaga. Skorzystać z rozwinięć w
szereg Taylora funkcji f (x + h), f (x), f (x − h) w punkcie x.
3
Analiza numeryczna
II rok informatyki magisterskiej
kolokwium II D - 18 stycznia 2005
Minimum punktów z drugiego kolokwium wynosi 10, maksimum 32
Wyniki i wpisy będą
• na ćwiczeniach z analizy numerycznej 25 i 27 stycznia (grupa parzysta)
• na konsultacjach we wtorek 25 stycznia, godz. 15-16, oraz w środę 26 stycznia, godz.1718 (grupa nieparzysta)
1. (a) (4 punkty) Wyznaczyć wielomian optymalny pierwszego stopnia w(x), aproksy√
mujący funkcję f (x) = x w sensie aproksymacji jednostajnej na przedziale [0, 1] i
uzasadnić, dlaczego wyznaczony wielomian jest pierwszym wielomianem optymalnym dla funkcji f .
(b) (4 punkty) Jak wyznaczyć pierwszy wielomian optymalny stopnia pierwszego dla
√
funkcji g(x) = x + 2x?
2. (4 punkty) W dowodzie jakiego twierdzenia korzysta się z twierdzenia Czebyszewa o
alternansie? Sformułować to twierdzenie.
3. (4 punkty) Niech wn będzie n−tym wielomianem optymalnym w sensie aproksymacji
jednostajnej dla ciągłej funkcji f na przedziale [−1, 1] i niech un będzie wielomianem
stopnia ¬ n interpolującym f w węzłach Czebyszewa. Dlaczego ||f −wn ||∞ ¬ ||f −un ||∞ ?
Czy ta nierówność jest prawdziwa też dla wielomianów interpolacyjnych z innymi n + 1
różnymi węzłami interpolacji? Dlaczego? Jak można oszacować ||f − un ||∞ ?
4. Początkowe wielomiany ortogonalne Legendre’a względem iloczynu skalarnego na przedziale [−1, 1] z wagą p(x) ≡ 1 są równe
q0 (x) = 1,
q1 (x) = x,
q2 (x) = 3x2 − 1.
(a) (4 punkty) Wyznaczyć q3 ? Omówić krótko własności wielomianów Legendre’a,
wynikające z własności ogólnych wielomianów ortogonalnych.
(b) (4 punkty) Co wiadomo o kwadraturze Gaussa-Legendre’a, której węzłami są
pierwiastki wielomianu q3 ? Jakie są jej zalety z stosunku do innych kwadratur
interpolacyjnych z taką samą liczbą węzłów?
5. (4 punkty) Niech x będzie ustalone i niech
L1 (h) =
f (x + h) − f (x − h)
,
2h
L2 (h) =
f (x + h2 ) − f (x − h2 )
.
h
Wiadomo, że oba wyrażnia przybliżają wartość pierwszej pochodnej f 0 (x). Z jakim
błędem L1 przybliża f 0 (x)? Od czego zależy ten błąd i jak wyprowadzić wzór na ten
błąd? Jak za pomocą L1 (h) i L2 (h) otrzymać lepsze przybliżenie wartości pierwszej
pochodnej f 0 (x)?
6. (4 punkty) Niech ax + b będzie resztą z dzielenia wielomianu w(x) przez x2 + px + q.
Wiadomo, że współczynniki a i b zależą od p i q. Opisać algorytm obliczania pochodnych
cząstkowych a i b po q.
4