uniwersytet wrocławski

UNIWERSYTET WROCŁAWSKI
Prof. Ryszard Szekli
Instytut Matematyczny
Pl. Grunwaldzki 2/4
50-384 Wrocław
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A, LISTA ZADAŃ 2/2013.
UWAGA: zadania oznaczone (+) mogą być punktowane na ćwiczeniach (po zrobieniu przy
tablicy). Pozostałe zadania są obowiązkowe do samodzielnego rozwiązania. Nieznajomość
rozwiązania generuje punkty ujemne.
1. Niech X : Ω → R (funkcja ze zbioru Ω o wartościach rzeczywistych). Niech {X ∈
B} = {s ∈ Ω : X(s) ∈ B}. Wtedy
(a) {X ∈ A ∪ B} = {X ∈ A} ∪ {X ∈ B}
(b) {X ∈ A ∩ B} = {X ∈ A} ∩ {X ∈ B}
(c) {X ∈ A \ B} = {X ∈ A} \ {X ∈ B}
(d) A ⊆ B =⇒ {X ∈ A} ⊆ {X ∈ B}
(
2. Niech 1A (s) =
1,
0,
s∈A
s∈
/A
Wtedy
(a) 1A∩B = 1A 1B = min{1A , 1B }
(b) 1A∪B = 1 − (1 − 1A )(1 − 1B ) = max{1A , 1B }
3. Rzucamy 4 razy monetą. Niech X oznacza liczbę orłów. Wypisz wszystkie zdarzenia
elemntarne (Ω może być opisana przez ciągi zer i jedynek). Wypisz zdarzenia {X = 0},
{X = 1}, {X = 2}, {X = 3}, {X = 4}.
4. Rzucamy dwa razy kostką. Niech Y oznacza sumę wyników, U niech oznacza minimum z wyników, V maksimum z wyników. Wylistuj wszystkie zdarzenia elementarne.
Wylistuj zdarzenia {Y = 7}, {U = 2}, {V = 4}, {U = V }.
5. Rozważmy próbki pobrane bez zwracania z populacji {a, b, c, d, e}. Wypisz zbiór wszystkich nieuporządkowanych próbek. Wypisz w formie listy uporządkowane próbki, które
odpowiadają nieuporządkowanej próbce {b, c, e}. Policz liczebność zbioru uporządkowanych próbek.
6. (+) Urna zawiera 50 różnych kul. Wybieramy próbkę o liczebności 10. Znajdź liczby
próbek kolejno w przypadkach
(a) uporządkowane próbki ze zwracaniem
(b) uporządkowane próbki bez zwracania
(c) nieuporządkowane próbki bez zwracania
(d) nieuporządkowane próbki ze zwracaniem
7. (+) Populacja składa się z obiektów dwóch typów. Załóżmy, że elementów pierwszego
typu jest r, drugiego typu m − r ­ 0. Wybieramy próbkę wielkości n bez zwracania
(tzn. n ¬ m). Niech Y oznacza ilość wylosowanych obiektów pierwszego typu. Wtedy
(a) #(Y = k) = nk r(k) (m − r)(n−k) jeśli rozpatrujemy eksperyment z Ω składającej
się z uporządkowanych próbek
(b) #(Y = k) = kr m−r
n−k jeśli rozpatrujemy eksperyment na Ω składającej się z
nieuporządkowanych próbek
Ile wynosi proporcja wyników w (b) do (a)?
8. (+) Urna zawiera 1000 losów ponumerowanych od 1 do 1000. Wybieramy losowo 1.
Bookmacher oferuje wypłacić 30 zł każdemu, kto mu wpłaci 20 zł, jeśli wylosowany
numer jest podzielny przez 2 lub 3 lub 5. Jeśli numer nie jest podzielny przez te liczby,
tracimy 20 zł. Czy opłaca się robic taki zakład? (policz szansę na wygraną).
9. (+) (Lotto). Wybieramy 6 liczb ze zbioru {1, ..., 54} 1 nagroda to 6 trafionych, 2
nagroda to 5 trafionych, 3 nagroda 4 trafione. Jakie sa̧ prawdopodobieństwa zdobycia
tych nagród?
10. (+) (Kontrola jakości). Wyprodukowano M żarówek, w tym N wadliwych. Testujemy
n żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie testowane żarówki sa̧ dobre?
11. (+) (Wnioskowanie o wielkości populacji). Student biologii złowił w stawie 60 wodnych chrza̧szczy, oznaczył farba̧ i wypuścił. Po pewnym czasie wrócił i złowił 50
chrza̧szczy, w tym znajduja̧c 12 oznaczonych farba̧. Jak można oszacować wielkość
populacji chrza̧szczy w tym stawie?
12. (+) Urna zawiera 6 czerwonych i 6 czarnych kul. Wybieramy kule, po kuli aż do chwili
natrafienia na kule, czerwona.
, Niech K oznacza liczbe, kul wybranych, (może przyjać
,
wartość K = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Policz P (K = k) dla k = 1, . . . , 7. Czy znalezienie
zwiazku
miedzy
P (K = k) i P (K = k − 1) może uprościć obliczenia?
,
,
13. (+) Urna zawiera n kul białych i n czerwonych. Dwie kule są wybrane jednocześnie z
urny.
a. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych,
b. jakie jest prawdopodobieństwo, że kule są różnych kolorów
c. policz pradopodobieństwo, że kule są tego samego koloru i policz granicę tej wartości
gdy n dąży do nieskończoności.
14. (+) Przypuśćmy, że A i B są niezależne oraz B i C są niezależne. Czy A i C muszą
być niezależne? Czy B jest niezależne od A ∪ C? Czy B jest niezależne od A ∩ C?
Uzasadnij.
15. (+) Przypuśćmy, że A i B są niezależne, czy A i B c są niezależne? Uzasadnij.
16. (+) Rzucamy n razy symetryczna, moneta., Dla każdego k < n, niech Ak oznacza
zdarzenie: wynik w k-tym rzucie i (k + 1)-ym rzucie jest inny. Pokaż, że Ak dla 1 ¬
k < n sa, niezależne.
17. Niech A1 , . . . , An bed
, a, niezależne. Pokaż, że
[
P(
i
Ai ) = 1 −
Y
(1 − P (Ai )).
i
18. Pokaż, że
P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B | A)P (C | A ∩ B).
19. (+) Użyj wzoru Bayesa aby pokazać, że P (A | B) > P (A) wtedy i tylko wtedy, gdy
P (B | Ac ) < P (B | A). To znaczy warunkowanie wzgledem
B zwieksza
prawdopo,
,
dobieństwo A wtedy i tylko wtedy, gdy B ma wieksze
prawdopodobieństwo,
gdy A
,
zajdzie, niż gdy nie zajdzie.
20. (+) Robimy test na wykrycie rzadkiej choroby, która występuje 1 raz na 100000 w
populacji. Test pokazuje, że jesteś chory w rzeczywistym przypadku choroby z prawdopodobienstwem 0.95. Jeśli nie jesteś chory, test może pokazać, że jesteś chory z
prawdopodobieństwem 0.005. Jeśli test pokazuje, że jesteś chory, jakie jest prawdopodobieństwo, że diagnoza jest słuszna?
21. (+) We wsi zamieszkanej przez 50 osób pewna osoba przekazała plotke, drugiej osobie,
która nastepnie
przekazała ja, losowo jednej z osób z tej wsi, itd. W każdym kroku
,
osoba wysłuchujaca
plotki jest wybierana losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
,
plotka zostanie przekazana 8 razy bez natrafienia na osobe,
, która już ja, słyszała?