A WAVELET SHOW FOR HIGH-SCHOOL STUDENTS Celem wyk

A WAVELET SHOW FOR HIGH-SCHOOL STUDENTS
TOMASZ PRZEBINDA (UNIVERSITY OF OKLAHOMA, USA)
Celem wykladu jest zaprezentowanie pewnych ważnych i czesto
używanych zastosowań
,
bardzo klasycznej i bardzo nowoczesnej matematyki. Skoncentrujemy sie, na teorii i praktyce przetwarzania sygnalow. Dokladniej, bedzie
mowa o pewnych podstawowych meto,
dach używanych w kryptografjii, kodowaniu korekcyjnym i w teorii kompresji informacji.
Przykladami sygnalow sa:,
(1) rozmowa telefoniczna transmitowana bezpośrednio drutami telefonicznymi;
(2) zdjecia
wysylane z Marsa na Ziemie;
,
(3) muzyka lub dane medyczne przechowywane na plycie kompaktowej;
(4) filmy lub muzyka przesylane przez internet i odbierane na komputerze;
(5) transakcje finansowe używajace
karty kredytowej (np. zwyczajne zakupy);
,
(6) zdjecia
odcisków palców przechowywane w aktach policyjnych.
,
Kodowanie korekcyjne. Jest jasne, że w przykladzie (2) sygnal jest slaby i dlatego ulegnie
znieksztalceniom przed dotarciem do celu. Stad
, istnieje potrzeba zakodowania sygnalu
przed transmisja, w taki sposób, żeby znieksztalcenia/przeklamania mogly być wyeliminowane. Ponieważ plyta kompaktowa może ulec zadrapaniom, ta sama potrzeba wystepuje
,
w przykladzie (3). Nawet nieduże zadrapania na tradycyjnej plycie gramofonowej sa,
wyraźnie slyszalne, ale nie sa, zauważalne na plycie kompaktowej. Jest tak dlatego, że informacja jest magazynowana na plycie kompaktowej wedlug algorytmów wypracowanych
w teorii kodów korekcyjnych w drugiej polowie dwudziestego wieku, [2].
Kompresja. Zarówno filmy jak i muzyka zawieraja, mnóstwo zbednej
informacji, kt́ora,
,
chcialoby sie, usunać
, przed transmisja, bez uszczerbku dla jakości odbioru tak, aby zyskać
na predkości przekazu. Trzeba jednak uważac, żeby nie wprowadzić drastycznych znieksztalceń no i trzeba to robic bardzo szybko na bieżaco,
kiedy film jest transmitowany.
,
Podobna potrzeba wystepuje
w
przyk
ladzie
(6),
ponieważ
pami
eć
,
, komputerowa jest kosztowna i predkość
tranmisji tego typu danych gra ogromna, role. Tutaj teoria falek [1], [3],
,
okazuje sie, zródlem algorytmów, które odpowiadaja, naszym wymaganiom.
Kryptografia. Przyklad (5) jest oczywisty: nikt poza klientem i bankiem nie powinien
mieć dostepu
do przekazywanej informacji. Musimy ja, zaszyfrowac.
,
1
2
Przyklad (1) ilustruje sytuacje,
, kiedy żadna z wyżej wspomnianych metod nie jest stosowana. Zauważmy, że ten sposób komunikacji zanika.
Teoria kodów korekcyjnych bazuje na raczej skomplikowanej algebrze dlugich ciagów zer i
jedynek, dokladniej na algebrze liniowej nad cialem skończonym. System szyfrowy RSA,
opublikowany w 1978, jest bardzo udanym nowoczesnym zastosowaniem “malego twierdzenia Fermata”, które ma już ponad 350 lat, [4]. Teoria falek należy do nowoczesnej
analizy harmonicznej, której źrodla datuje sie, na poczatku
dwudziestego wieku, ale której
,
dynamiczny rozwój zacza,l sie, i trawa od mniej wiecej polowy lat siedemdziesiatych.
,
Planuje, wyjaśnić glówne pojecia
wystepuj
ace
w wyżej wymienionych teoriach w sposób
,
,
,
dostepny
uczniom
szkó
l
średnich.
Zrobi
e
to
w
ciagu dwóch godzin lekcyjnych podajac
,
,
,
jasne definicje, przyklady i symulacje komputerowe.
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
I. Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, SIAM (1992)
O. Pretzel: Error-Correcting Codes and Finite Fields, Clarendol Press - Oxford (1992)
M. V. Wickerhauser: Adapted Wavelet Analysis from Theory to Software, A K Peters (1994)
N. Jacobson: Basic Algebra I, W. H. Freeman and Company (1974)